Majandusmatemaatika I (0)

Majandusmatemaatika I



1. Funktsiooni mõiste 1. Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Funktsioon - hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon, mida tähistatakse kujul y = f (x). veel üks: Eeskiri, mis seab sõltumatu muutuja (x-i) igale väärtusele vastavusse sõltuva muutuja (y-i) mingi kindla väärtuse x – sõltumatu muutuja e. argument e. originaal y – sõltuv muutuja e. funktsiooni väärtus e. kujutis 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond ja muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse hulka X. (Valemina antud funktsiooni argumendi x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada) Funktsiooni muutumispiirkond on tegelike väljundite hulk {f(x) : x on määramispiirkonna element}. f(X) (muutuja y kõigi väärtuste hulk) Funktsiooni loomulik määramispiirkond on argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. ➢ nimetaja ei tohi võrduda nulliga ➢ paarisjuure argument ei tohi olla negatiivne ➢ logaritmfunktsiooni argument peab olema positiivne 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Valem, graafik, tabel


4. Mis on funktsiooni graafik? Funktsiooni graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element. 5. Mis on pöördfunktsioon? Funktsiooni ƒ pöördfunktsioon on funktsioon ƒ−1, seab igale ƒ muutumispiirkonna väärtusele y vastavusse need väärtused x määramispiirkonnast, mille korral ƒ(x) = y Kirjutame x= 6. Mis on püsikulu, muutuvkulu, kogukulu, keskmine kulu? Püsikulu (TFC)– kulu, mis ei sõltu kauba tootmismahust Muutuvkulu (TVC)– kulu, mis sõltub kauba tootmismahust Kogukulu = püsikulu + muutuvkulu Keskmine kulu = kogukulu / toodetud kogus 7. Mis on tulu ja keskmine tulu, kasum ja keskmine kasum? Tulu – raha (või samaväärne väärtus), mida üksikisik või ettevõte saab kauba või teenuse pakkumise eest või kapitali investeerimise teel. R(Q)=pQ Keskmine tulu = kogutulu / toodetud kogus Kasum – raamatupidamiskohustuslase aruandeperioodi tulude ja kulude vahe π(Q) = R(Q) - C(Q) Keskmine kasum = kasum / toodetud kogus


8. Mis on tasuvuspunkt, sulgemispunkt? Tasuvuspunkt – müügimaht, mille puhul tulu ja kulu on võrdsed. Sulgemispunkt – müügimaht, mille puhul tulu ja muutuvkulu on võrdsed. 9. Mis on nõudlusfunktsioon ja nõudlus, pakkumisfunktsioon ja pakkumine? Nõudlusfunktsioon - kirjeldab seost nõutava koguse Q ja toote ühikuhinna p vahel. Nõudlus - seos hüvise hinna ja koguse vahel, mida tarbijad antud ajaperioodil soovivad ja suudavad osta. Pakkumisfunktsioon - kirjeldab seost pakutava koguse Q ja toote ühikuhinna p vahel. Pakkumine - seos hüvise hinna ja koguse vahel, mida tootjad soovivad ja suudavad antud ajaperioodil müüa.


2. Piirväärtus, tuletis, diferentsiaal 1. Defineerida funktsiooni pidevus. Too näiteid pidevatest ja mittepidevatest funktsioonidest. Kui kehtib võrdus siis funktsiooni nim. pidevaks kohal a. Kui see võrdus kehtib iga määramispiirkonna punkti puhul, siis on funktsioon pidev. Mittepidev funktsioon on nt: Osutub mittepidevaks punktis x = 1, sest 0-ga jagamine pole defineeritud. 2. Defineerida tuletis. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel. 3. Milline on tuletise geomeetriline tähendus? Funktsiooni graafiku puutuja tõus antud punktis. 4. Mis on funktsiooni diferentsiaal? Diferentsiaali geomeetriline tähendus? Korrutist f′(x)∆x nimetatakse funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks, tähistatakse dy. Geomeetriline tähendus:


3. Tuletise majandusrakendused: marginaalsuurused ja elastsused 1. Selgitada tuletise majanduslikku tähendust. Tuletis - teatud majandusliku objekti või protsessi muutumise kiirus, mis ei pruugi olla sõltuvuses ajast, vaid mõnest muust majanduslikust muutujast. 2. Mis on marginalsuurus? Mida tähendab, et marginaalkulu on 15 krooni? Mida tähendab, et marginaaltulu on 10 eurot? Mida tähendab, et marginaalkasum on 30? Marginaalsuurus ehk piirsuurus - näitab ligikaudu, kui palju muutub suurus y, kui suurus x muutub ühe ühiku võrra. Marginaalkulu - täiendavalt tuleb kulutada 15kr, et suurendada tootmismahtu ühe ühiku võrra Marginaaltulu - täiendava tooteühiku müügist teenitakse 10€ tulu. Marginaalkasum - täiendava tooteühiku müügist saadakse 30€ kasumit. 3. Selgita kaarelastsuse ja punktelastsuse vahet. Kaarelastus - kasutatakse siis, kui andmeid pole võimalik funktsioonina esitada, väikese muutuse korral. Punktelastsus - kasutatakse kindla suuruse x korral kohal x, suurte muutuste korral. 4. Mida näitab funktsiooni elastsus? Elastsus näitab ligikaudselt mitme % võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi (x) väärtus muutub 1% võrra. |Ex (y)| = 1, siis nimetatakse suurust y suuruse x suhtes ühikelastseks ehk neutraalseks |Ex (y) | > 1, siis nimetatakse suurust y suuruse x suhtes elastseks


|Ex (y)| < 1, siis nimetatakse suurust y suuruse x suhtes mitteelastseks ehk jäigaks 5. Seleta investeeringu tulevikuväärtuse mõistet Olevikus liitintressiga investeeritud rahasumma väärtus tulevikus (pidev funktsioon, ajast sõltuv).


4. Liitfunktsioon ja selle tuletis, kõrgemat järku tuletised. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine ning ekstreemumid. Kasumi ja tulu maksimeerimine, täieliku konkurentsi firma pakkumisfunktsioon. 1. Milliseid funktsiooni punkte nimetatakse funktsiooni kriitilisteks ja statsionaarseteks punktideks? Punkte x E X, kus f'(x)=0, nimetatakse statsionaarseteks punktideks (ehk nullkohad). Funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni tuletist ei eksisteeri/on lõpmatu, nimetatakse kriitilisteks punktideks. 2. Kirjeldada marginaaltoodangu kahanemise seadust. Kuidas see on seotud funktsiooni teist järku tuletisega? Tootmise kasvades lisatoodang, mida saadakse muutuvressursi täiendava ühiku pealt, teatud ressursihulgast alates kahaneb. 3. Kirjeldada marginaalkasulikkuse kahanemise seadust. Kuidas see on seotud funktsiooni teist järku tuletisega? Marginaalkasulikkus hakkab teatud ressursihulgast alates kahanema. Seos II järgu tuletisega on analoogne eelmisega. 4. Mis on funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkond, monotoonse kasvamise ja kahanemise piirkond? Kuidas neid leida? Kasvamispiirkond X↑ - maksimaalse pikkusega vahemik, milles funktsioon on kasvav. Kahanemispiirkond - maksimaalse pikkusega vahemik, milles funktsioon on kahanev. Monotoonse kasvamise/kahanemise pk: kui piirkonnas X vastab suuremale argumendi väärtusele suurem/väiksem funktsooni väärtus. Leidmine: tuletis, kriitilised punktid, tabel


5. Mis on funktsiooni lokaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? Lokaalne ekstreemum - lokaalne maksimum ja miinimum. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum/miinimum, kui leidub niisugune punkti a ümbrus, kus: 6. Mis on funktsiooni globaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? Funktsiooni globaalseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. 1) leida funktsiooni kriitilised punktid f'(x)=0 2) arvutada funktsiooni väärtused kriitilistes punktides ja lõigu otspunktides; 3) saadud väärtustest leida suurim ja vähim 7. Kirjeldada kasumi maksimeerimise kuldreeglit Tootjale optimaalne toodete väljalaske hulk vastab marginaalkulu ja marginaaltulu võrdsusele. Kumerus, nõgusus, funktsiooni uurimine. Joone asümptoodid. Funktsiooni uurimine. 1. Defineerida joone kumerus ja nõgusus. Kui vahemikus (a;b) kõigis punktides f''(x)<0, siis joon y=f(x) on selles vahemikus kumer. Kui vahemikus (a;b) kõigis punktides f''(x)>0, siis joon y=f(x) on selles vahemikus nõgus. 2. Kuidas asetseb joone puutuja igas punktis kumera (nõgusa) oleva funktsiooni graafiku suhtes.


Kumer - üleval Nõgus - all 3. Mis on joone käänupunkt? Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast. 4. Kuidas leida funktsiooni kumeruse ja nõgususe piirkondi ning käänupunkte? Kui vahemiku (a; b) kõigis punktides funktsiooni f (x) teine tuletis on negatiivne, s.t. f ´´(x) < 0, siis joon y = f (x) on selles vahemikus kumer. Kui vahemiku (a; b) kõigis punktides funktsiooni f (x) teine tuletis on positiivne, s.t. f ´´(x) > 0, siis joon y = f (x) on selles vahemikus nõgus. Funktsiooni graafikul võib käänupunkt olla vaid tuletise f ´(x) kriitilises punktis. 5. Selgitada, mis on joone asümptoot. Mis on püstasümtoot ja kaldasümptoot? Asümptoot - sirge, millele joone graafik piiramatult läheneb, kuid ei lõiku. Asümptooti võrrandiga x = a püstasümptoot (risti x-teljega). Asümptooti võrrandiga y = mx + b kaldasümptoot (ei ristu kummagagi).




5. Määramata ja määratud integraali mõisted, arvutusvalemid. Newton-Leibnizi valem. Integreerimise põhivõtted. 1. Mis on antud funktsiooni y = f(x) algfunktsioon? Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F´(x) = f(x) iga x ∈A korral. 2. Mis on antud funktsiooni y = f(x) määramata integraal? Avaldis F(x) + c, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c ∈ R suvaline konstant. 3. Nimetada määramata integraali omadusi. 1) (∫ f (x)dx)' = f (x) 2) ∫( f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ±∫ g(x)dx 3) ∫ af (x)dx = a∫ f (x)dx Korrutise ja jagatise integreerimiseks eraldi valemeid ei ole. Nendel juhtudel tuleb kasutada integreerimise erivõtteid. 4. Defineerida määratud integraal. Lõigul x=a ja x=b ja joonega y=f(x) ning x-teljega piiratud kõvertrapetsi pindala. 5. Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus? Kogu joone aluse ja x-telje vahelise osa pindala. 6. Nimetada määratud integraali omadusi. 1) aditiivsus 2) lineaarsus 3) monotoonsus


7. Newton-Leibnizi valem?


7. Integraali rakenduse mitme muutuja funktsioonis. Integraalide majandusrakendusi. Mitme muutuja funktsiooni mõiste ja näiteid majanduses kasutatavatest mitme muutuja funktsioonidest. 1. Defineerida päratu integraal. Funktsiooni päratuks integraaliks rajades a-st lõpmatuseni (rajades miinus lõpmatusest a-ni) nimetatakse piirväärtust 2. Kirjeldada, mida geomeetriliselt näitab päratu integraal , kui f (x) > 0 piirkonnas [(a,∞). Päratu integraal on võrdne sellise piirkonna pindalaga, mida piiravad x-telg, vertikaalne sirge x=a ja funktsiooni f(x) graafik. 3. Mis on tarbija ja tootja hinnavaru? Tarbija hinnavaru - kogukasulikkuse ja tarbimiskulu vahe (maksmise koguvalmiduse ja tegelikult makstava summa vahe). Tootja hinnavaru - tulude ja muutuvkulude vahe. 4. Milline on päratu integraali tähendus finantsmatemaatikas? Päratu integraal finantsmatemaatikas on perpetuiteet ehk lõpmatu rent. 5. Defineerida kahe muutuja funktsioon. Mis on selles sõltumatud muutujad ja sõltuv muutuja?


Funktsioon on kahe muutuja funktsioon, kui eksisteerivad hulgad X, Y ja Z, nii et X*Y=Z. z = f (x, y) x, y - sõltumatud muutujad z - sõltuv muutuja 6. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? D - määramispiirkond Z - muutumispiirkond z - graafik (3-dimensiooniline)


8. Mitme muutuja funktsioonide osatuletised. Ilmutamata funktsioonid. Gradient, tuletis antud suunas. 1. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z = f (x, y) osatuletiseks x järgi nim vastava osamuudu ja argumendi x muudu ∆x suhte piirväärtust ∆x lähenemisel nullile. 2. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis. 3. Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Mingis punktis leitud gradientvektori suund näitab funktsiooni kiireima muutumise suunda selles punktis. Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust.


9. Mitme muutuja funktsioonide majandusrakendusi: marginaalid, osaelastsused, ükskõiksuskõverad, isokvandid, isokostid. 1. Selgitada marginaalsuuruse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Marginaalsuurus on majandusnäitajatega funktsiooni tuletis. Suuruse f marginaalsuuruseks majandusnäitaja x(y) suhtes nimetatakse funktsiooni f osatuletist x(y) järgi 2. Selgitada osaelastsuse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Funktsiooni osaelastsus majandusnäitaja x suhtes (y) näitab ligikaudselt mitme % võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi x (y) väärtus muutub 1% võrra, kui y ei muutu (kui x ei muutu) 3. Mis on kahe muutuja funktsiooni nivoojoon? Nivoojooned on kahe muutuja funktsiooni graafiku lõikejooned tasandiga z = const. Mingi konkreetse nivoojoone võrrand saadakse, kui funktsioonile z antakse mingi konkreetne väärtus. Võrrand f (x,y) = C 4. Mis on isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver? a) Tootmisfunktsiooni korral nimetatakse jooni, mille korral toodangumaht on konstantne, tootmisfunktsiooni isokvantideks ehk samatoodangukõverateks. Samatoodangukõver võimaldab leida selliseid kaptali K ja tööjõu L väärtuste paare, mille korral kogutoodang võrdub etteantud väärtusega.


b) Isokost annab kõik mahtude paarid (x, y), mille korral kulu on ühesugune. r = kapitali ühe ühiku hind w = tööjõu ühe ühiku hind Kulu: C(K;L) = rK + wL c) Ükskõiksuskõver ehk samakasulikkuse kõver - esitab kõikvõimalikud X ja Y suuruste paarid, kus kasulikkus on ühesugune ja konstantselt võrdne C-ga. 5. Mis on tootmistegurite asendatavuse piirmäär? Asendatavuse piirmäär näitab ligikaudselt, kui suur kogus tootmistegurit Y on asendatav tootmisteguri X ühe ühikuga antud koguste juures. Tootmisfunktsiooni Q = f (K, L), kus K on kapital ning L tööjõud, korral on ∆ Lk = − 1,5 Selgitada, mida see tähendab. Tootmismahu säilitamiseks tuleb tööjõukulusid vähendada 1,5 ühikut. 6. Olgu U = f (x, y) mingi kasulikkusefunktsioon (kus x ja y on tarbitavate kaupade X ja Y mahud). Mis on kaupade X ja Y asendatavuse piirmäär? Mida tähendab, et ∆Yx  = −3? Asendatavuse piirmäär näitab ligikaudselt, kui suure koguse kauba Y tarbimisest võib loobuda, kui täiendavalt tarbida üks ühik kaupa X. Kui ∆Yx = −3, siis kui täiendavalt tarbida üks ühik kaupa X, võib loobuda 3 ühiku kauba Y tarbimisest.


10. Kahe muutuja funktsioonide ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. Kasumi ja tulude maksimeerimine. Võrdlev staatika. 1. Defineerida 2 muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Funktsioonil z = f(x, y) on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne ekstreemum, kui tal on selles punktis lokaalne miinimum või maksimum. Funktsioonil z = f(x, y) on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne maksimum, kui f (x0 , y0 ) > f (x, y) kõigi punktile (x0 , y0 ) küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide (x, y) korral. Funktsioonil z = f(x, y) on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne miinimum, kui f(x0 , y0 ) < f(x, y) kõigi punktile (x0 , y0 ) küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide (x, y) korral 2. Mis on võrdlev staatika? Võrdlev staatika uurib, mis juhtub süsteemi optimeerivate väärtustega (suurenevad/vähenevad), kui muutuvad parameetrid.


11.-12. Tingliku ekstreemumi ülesannete lahendamine. Lagrange'i kordajate meetod, Lagrange'i kordaja majanduslik tähendus. Vähimruutude meetod. 1. Selgitada, mida tähendab geomeetriliselt tingliku ekstreemumi ülesande lahendamine. ● Leida kriitilised punktid piirkonna D sisepiirkonnas ● Uurida läbi piirkonna raja (leida kriitilised punktid piirkonna rajal) ● Arvutada funktsiooni väärtused leitud punktides, suurim väärtus on globaalne maksimum, vähim väärtus on globaalne miinimum. ● Kahe muutuja korral on üks võrrandina g(x,y)=0 esitatav tingimus. 2. Selgitada Lagrange’i kordaja majanduslikku tähendust. Lagrange’i kordaja (λ) näitab, kuidas muutub sihifunktsiooni optimaalne väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel. Tingimusliku äärmuse leidmise probleemi kasutatakse selliste majandusprobleemide lahendamisel nagu ressursside optimaalse jaotuse leidmine, optimaalse väärtpaberiportfelli valimine jne.


13. Arvread ja nende rakendusi finantsmatemaatikas 1. Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa. Rea summaks nim tema osasummade jada (Un ) piirväärtust U. 2. Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik, siis on rida koonduv. Kui U on lõpmatu või ei eksisteeri, siis on rida hajuv. 3. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimine - raha nüüdisväärtuse leidmine lõppsumma järgi.


14. Koonduvate ridade omadusi. Positiivsete ridade koonduvuse tunnused. Absoluutne ja tingimisi koonduvus. Leibnizi tunnus. 1. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Selleks, et rida saaks koonduda, on tarvilik, et indeksi n suurenedes muudaks iga täiendav liidetav järjest vähem osasumma suurust. Tingimus: See tingimus ei garanteeri rea koonduvust. 2. Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. ● Olgu U ja V koonduvad read, siis U+V on ka koonduv. (Koonduvaid ridu võib liikmeti liita, tulemuseks saadud rida on koonduv.) ● Kui rida U on koonduv, siis on koonduv ka cU (c on suvaline konstant). 3. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse Cauchy tunnus. Cauchy koonduvuse tunnus - positiivne rida... ● koondub, kui C < 1 ● hajub kui, kui C > 1 ● C=1 korral jääb küsimus lahtiseks 4. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse D’Alemberti tunnus. D’Alemberti koonduvuse tunnus - positiivne rida… ● koondub kui D < 1 ● hajub kui D > 1 ● D =1 korral jääb küsimus lahtiseks


5. Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste? Rida nimetatakse absoluutselt koonduvaks kui koondub selle rea liikmete absoluutväärtuste rida. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks. 6. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks?


15. Funktsionaalrea mõiste. Astmeread, astmerea koonduvusraadius, koonduvuspiirkond ja absoluutse koonduvuse piirkond. 1. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Funktsionaalrida - rida, mille liikmeteks on funktsioonid Koonduvuspiirkond - vahemik, mille korral funktsionaalrida koondub teatud väärtuste korral, mis kuuluvad hulka X. Piirfunktsioon -igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summa S. 2. Mis on astmerida? Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida, mis on esitatav kujul: 3. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? Taylori rida - astmerida, mille kordajateks on funktsiooni tuletised ühe etteantud argumendi väärtuse a juures.


4. Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)? Selleks, et funktsiooni Taylori rida koonduks väärtuseks f(x), on nii piisav kui ka tarvilik, et