Majandusmatemaatika teooria (0)

Majandusmatemaatika teooria
1.Mis on funktsioon? Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon. Mis on sõltumatu muutuja , sõltuv muutuja? Elementi x nimetatakse sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks, elementi y sõltuvaks muutujaks ehk (elemendi x) kujutiseks.
Sõltumatu muutuja - algebra : Valemis iga muutuja, mille väärtus ei sõltu ühestki teisest muutujast. statistika: Muutuja, mida eksperimentide seeria käigus muudetakse.
Sõltuv muutuja - algebra: Valemis muutuja, mille väärtus sõltub ühest või enamast teisest muutujast. statistika: Mõõdetav suurus, mis näitab kohtlemise efektiivsust .
2. Mis on funktsiooni määramispiirkond? Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, määramispiirkond on funktsiooni argumendi nende väärtuste hulk, mille korral funktsiooni väärtus on defineeritud. Funktsiooni f sisendväärtuste hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Muutumispiirkond ? Hulga X elementide x kujutiste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks, muutumispiirkond on funktsiooni väärtuste hulk ehk selle määramispiirkonna kujutis. Eeskirja kohaselt määramispiirkonna kõigi punktide teisendamisel saadud reaalarvude alamhulk on funktsiooni muutumispiirkond, argumendi igale väärtusele vastab ainult üks väärtus.
Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav.
3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Valemi abil (valem näitab, milliseid tehteid ja millises järjekorras tuleb funktsiooni väärtuste saamiseks argumendi väärtustega sooritada ). Graafiku abil (saadud arvud kantakse xy-teljestikku, punktid ühendatakse ja saadaksegi funktsiooni graafik ). Tabeli abil (tabeli abil esitatakse funktsioon siis, kui kas määramispiirkond või muutumispiirkond on lõplikud, sobiv ka juhul, kui on tegemist lõpliku arvu katsete või vaatluse tulemustega). Analüütiliselt: 1) ilmutatud kujul (y=2x),
2) ilmutamata kujul (2x-y=0), 3) funktsiooni parameetrilisel esitusviisil (x=2t, y=t –süsteemis)
4. Mis on funktsiooni graafik? Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element.
5. Mis on pöördfunktsioon? Pöördfunktsioon on funktsioon, mis seab antud funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonna igale väärtusele y vastavusse kõik need väärtused x funktsiooni määramispiirkonnast, mille korral y=f(x). x= f-1(y)
6.Mis on püsikulu, muutuvkulu, kogukulu , keskmine kulu? Püsikulu on kulu, mis ei sõltu otseselt kauba tootmismahust (hoonete üür, kindlustus , halduskulud, TFC- total fixed cost ). Muutuvkulu on kulu, mille suurus sõltub tootmismahust Q (TVC-total variable cost). Kogukulu on kõigi ettevõtte kulude summa (püsikulu+muutuvkulu=TC). Keskmine kulu on tootmise kogukulu jagatis toodangu kogusega (AC=TC/Q).
7. Mis on tulu ja keskmine tulu, kasum ja keskmine kasum? Kogutulu R(Q) - tulu, mis saadakse toodangu müügist R(Q)=pQ.
Keskmine tulu AR(Q)- tulu jagatud toodetud kogusega AR(Q)=R(Q)/Q. Kasum ∏(Q) - summa, mille võrra tulud ületavad kulusid , ∏(Q)=R(Q) - C(Q) [tulu-kogukulu]
Keskmine kasum A∏(Q)- kasum jagatud toodetud kogusega,
8. Mis on tasuvuspunkt ? Tasuvuspunkt on müügimaht, mille puhul tulu ja kulu on võrdsed. Osutub, et kui kaupa müüakse antud hinnaga p, siis tasuvuspunktis Q(T) on keskmine kogukulu hinnaga võrdne, AC(Qt)=p
9.Mis on nõudlusfunktsioon ja nõudlus, pakkumisfunktsioon ja pakkumine? Nõudlus on ostja valmisolek ja võime maksta kindel hind mingi kindla koguse kauba või teenuse eest/ seos hüvise hinna ja selle koguse vahel, mida tarbijad vaadeldaval perioodil soovivad ja suudavad osta. Pakkumine on seos hüvise hinna ja selle koguse vahel, mida tootjad soovivad ja suudavad vaadeldaval perioodil müüa.
Nõutav kogus Q on tooteühiku hinna p funktsioon, mida väljendatakse Q=f(p) või Q(D)=f(p) ja nimetatakse nõudlusfunktsiooniks, pakutav kogus Q on tooteühiku hinna p funktsioon, mida väljendatakse kujul Q=f(p) või Q(S)=f(p) ja nimetatakse pakkumisfunktsiooniks.
10. Defineerida funktsiooni pidevus. Too näiteid pidevatest ja mittepidevatest funktsioonidest. Kui lim f(x) = f(a), siis nimetatakse funktsiooni y=f(x) pidevaks kohal a. Kui viimane võrdus kehtib iga x korral hulgast X, siis nimetatakse funktsiooni f pidevaks hulgal X. (pidevat funktsiooni võib piltlikult kirjeldada kui funktsiooni, mille graafikut saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata). Pidev funktsioon: f(x)=1+x ,Mittepidev funktsioon: f(x)=1/x-1
11. Defineerida tuletis . Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu
y= f(x+ x) - f(x) ja argumendi muudu x suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile ja tähistatakse f’(x) või y’. f’(x) = lim
Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Funktsiooni, millel on olemas tuletis punktis x (piirkonnas X), nimetatakse diferenseeruvaks punktis x (piirkonnas X).
12. Milline on tuletise geomeetriline tähendus? Funktsiooni tuletist võib antud punktis
geomeetriliselt tõlgendada, kui selle funktsiooni graafiku puutuja tõusu antud punktis. Puutuja võrrand on y-y0=k(x-x0), normaali võrrand on y-y0= - 1/k * (x-x0)
13. Mis on funktsiooni diferentsiaal ? Diferentsiaali geomeetriline tähendus? Funktsiooni
y = f(x) diferentsiaaliks kohal x nimetatakse funktsiooni, mis avaldub korrutisena, mille tegurid on funktsiooni tuletis kohal x ja argumendi muut. Korrutist f’(x) x nimetatakse funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy, st dy=f’(x) x
Geomeetriliselt kujutab funktsiooni diferentsiaal graafiku puutuja ordinaadi muutu.
Kuna siis täisnurksest kolmnurgast :
Väikese argumendi muudu Δx korral .
14. Selgitada tuletise majanduslikku tähendust. Tuletise asemel kasutatakse majanduses mõistet lisand - ehk piirsuurus ehk marginaal . Tuletis on siin tõlgendatav teatud majandusliku objekti või majandusliku protsessi muutumise kiirusena, mis ei pruugi olla sõltuvuses ajast, vaid mõnest muust majanduslikust muutujast (hind, toodangu maht). Samas peab mainima, et alati pole tuletise kasutamine selle sõnasõnalises tähenduses võimalik, kuna majanduslikke objekte saab jagada kaduvväikesteks osadeks sageli vaid mõtteliselt ( sendid ). Seepärast ei kasutata majanduses tihti mitte tuletist ennast, vaid selle ligikaudset hinnangut , milleks on vaadeldavate suuruste piisavalt väikeste muutude suhe.
15. Mis on marginaalsuurus? Mida tähendab, et marginaalkulu on 15 krooni? Mida tähendab, et marginaaltulu on 10 eurot? Mida tähendab, et marginalkasum on 30?
Marginaalsuurus – majandusnäitajatega funktsiooni tuletis. Olgu majandusnäitaja y mingi teise majandusnäitaja x funktsioon, st y = f(x), siis nimetatakse tuletist y‘ = f’(x) suuruse y marginaalsuuruseks (ehk piirsuuruseks ehk marginaaliks) x suhtes ning tähistatakse sümboliga My. Marginaal My näitab ligikaudu kuipalju muutub suurus y kui
suurus x muutub ühiku võrra (NB! Ühik peab olema piisavalt väike). My= y’ = f’(x)
Marginaalkulu 15 krooni näitab, et tuleb täiendavalt kulutada 15 krooni, et suurendada tootmismahtu ühe ühiku võrra. Marginaaltulu 10eurot näitab, et täiendava tooteühiku müügist teenitakse 10eurot tulu (näitab kogutulu muutu kui müüakse täiendav ühik) Marginaalkasum 30eurot tähendab, et täiendava tooteühiku müümisest saadakse 30 ühikut kasumit juurde (näitab kasumi muutu).
16. Selgita kaarelastsuse ja punktelastsuse vahet. Kui andmeid ei ole võimalik esitada funktsioonina , siis kasutatakse kaarelastsuse mõistet. Kaareelastsus ehk keskpunkti elastsus – ei arvutata ei alg- ega lõpp-punkti suhtes, vaid nende aritmeetilise keskmise suhtes. Elastsuse väärtust suuruse x kindla väärtuse korral nimetatakse suuruse y punktelastsuseks kohal x. Annab vastuseks kindla väärtuse. Kui suurus y on esitatud pideva funktsioonina saab kasutada kõiki valemeid.
Elastsus = EX(y)= *y´
Elastsuse väärtust suuruse x kindla väärtuse korral nimetatakse suuruse y punktelastsuseks kohal x. Annab vastuseks kindla väärtuse. EX(y)=
*
Kaarelastsus , ei avaldata empiirilisi andmeid pideva funktsioonina. EX(y)=
*
17. Mida näitab funktsiooni elastsus? Funktsiooni elastsus näitab ligikaudselt mitme % võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi x väärtus suureneb ühe % võrra. Mida tähendab, et nõudlusfunktsiooni elastsus on -2? Hinna muutus ühe protsendi võrra vähendab nõudlust 2% võrra.
18. Seleta investeeringu tulevikuväärtuse mõistet. Olevikus liitintressiga investeeritud rahasumma väärtus tulevikus.
19. Milliseid funktsiooni punkte nimetatakse funktsiooni kriitilisteks ja statsionaarseteks punktideks? Punkte x € X, kus f ‘(x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f(x) statsionaarseteks punktideks. Funktsiooni statsionaarseid punkte ja neid punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks.
20. Kirjeldada marginaaltoodangu kahanemise seadust. Kuidas see on seotud funktsiooni teist järku tuletisega? Marginaaltoodangu kahanemise seadus: Tootmise kasvades lisatoodang, mida saadakse muutuvressursi ( tooraine , tööjõud jm) iga täiendava ühiku pealt, teatud ressursihulgast alates kahaneb. Selgitus. Olgu Q = f(x) toodangufunktsioon, st funktsioon, mis väljendab toodangu väljalaske sõltuvust kasutatud muutuvressursi kogusest. Siis väljendab lisatoodangut, mis saadakse antud muutuvressursi kogusele x täiendava ühiku lisamisel, ligikaudu marginaaltoodang f’(x). Seega leidub selline väärtus x0> ja f(x) 0 piirkonnas [(a,∞).
Päratu integraal on arvuliselt võrdne lõiguga OD, joonega f(x)=Re-ix ja x-teljega piiratud lahtise kujundi pindalaga. Päratu integraal on arvuliselt võrdne xy-tasandiga, mida piirab x-telg, vertikaalne sirge x=a ja funktiooni f(x) graafik.
39. Mis on tarbija ja tootja hinnavaru ? Tulude ja muutuvkulude vahet p* Q* – S nimetatakse tootja hinnavaruks ja tähistatakse sümboliga HVtootja, st
HVtootja=p* Q* - Kogukasulikkuse ja ostukulutuste vahet S - p* Q* nimetatakse tarbja hinnavaruks ja tähistatakse sümboliga HVtarbija, st
HVtarbija= - p* Q*
40. Milline on päratu integraali tähendus finantsmatemaatikas? Päratu integraali tähendus finantsmatemaatikas on perpetuiteet ehk lõpmatu rent.
41. Defineerida kahe muutuja funktsioon. Mis on selles sõltumatud muutujad ja sõltuv muutuja? Kui igale arvupaarile (x;y) ehk punktile P= (x; y) hulgast D on mingi eeskirja f
abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z = f(x,y) ja kirjutatakse z=f(x,y) (x;y) C D ehk z=f(P) P C D.
Sõltumatud muutujad ehk argumendid – x, y ; Sõltuv muutuja – z
42. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? Kahe muutuja funktsiooni määramispiirkonda kujutab teatud punktide hulk tasandil. Lihtsamatel
juhtudel koosneb kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond joontega piiratud tasapinna osadest.
43. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised . Funktsiooni z=f(x,y, u, ...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu ∆ z ja argumendi x muudu ∆x suhte piirväärtust ∆x lähenemisel nullile:
Funktsiooni z = f(x,y, u, ..) osatuletis y järgi:
44. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis. Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust.
grad z(P ) = (z’
45. Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Funktsioon F kasvab antud punktis A kõige kiiremini selle funktsiooni gradiendi suunas. Suunatuletise väärtus on maksimaalne, kui argument liigub gradientvektori suunas.
46. Selgitada marginaalsuuruse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Suuruse
f marginaalsuuruseks (marginaaliks) majandusnäitaja x(y) suhtes nimetatakse funktsiooni f
osatuletist x(y) järgi.
47. Selgitada osaelastsuse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Suuruse f osaelastsuseks majandusnäitaja x suhtes (y suhtes) nimetatakse suurus:
Funktsiooni osaelastsus majandusnäitaja x suhtes (y suhtes) näitab ligikaudselt mitme protsenti võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi x (argumendi y) väärtus muutub ühe protsendi võrra kui y ei muutu (kui x ei muutu).
48. Mis on kahe muutuja funktsiooni nivoojoon? Kahe muutuja funktsiooni z = f(x,y) nivoojoonte võrrandiks nimetatakse võrrandit f(x,y)=C
49. Mis on isokvant , isokost ja ükskõiksuskõver? Isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver on nivoojoonte rakendused majanduses. Isokvant tähendab majandusuuringutes kõverat, mis kajastab erinevate tegurite kombinatsioone, isokvant on antud tootmiskoguse valmistamiseks vajalike tootmissisendite geomeetriline koht. Isokost on nende sisendikombinatsioonide graafiline koht, mida firma võib antud summa eest muretseda. Ükskõiksuskõver väljendab kõikide niisuguste hüviste geomeetrilist kohta, mille suhtes tarbja on ükskõikne.
50. Mis on tootmistegurite asendatavuse piirmäär? Tootmisfunktsiooni Q = f(K,L), kus K on kapital ja L on tõõjõud, korral on ∆Lk = -1,5. Selgitada, mida see tähendab.
Asendatavuse piirmäär näitab ligikaudselt, kui suure koguse kauba Y tarbmimisest võib loobuda , kui täiendavalt tarbija üks ühik kaupa x. Kui tarbida üks ühik kapitali siis tuleb loobuda 1,5ühikust tööjõust.
51. Olgu U = f(x, y) mingi kasulikkusefunktsioon (kus x ja y on tarbitavate kaupade X ja Y
mahud). Mis on kaupade X ja Y asendatavuse piirmäär? Mida tähendab, ∆y= - 3 ? Asendatavuse piirmäär näitab siis ligikaudselt, kui suure koguse kauba Y tarbimisest võib
loobuda, kui täiendavalt tarbida üks ühik kaupa X.
52. Defineerida 2 muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid . Öeldakse, et funktsioonil z=f(x,y) on punktis P (x ,y ) lokaalne ekstreemum , kui tal on selles punktis lokaalne miinimum või maksimum.
53. Mis on võrdlev staatika? Võrdlev staatika uurib, mis juhtub süsteemi optimeerivate väärtustega ( kas nad suurenevad või vähenevad), kui muutuvad parameetrid.
54. Ettevõtte kasum avaldub valemiga ∏ = f (K, L, a,b), kus K on kapital, L tööjõud ning a ja b on positiivsed parameetrid. On leitud, et kasum saavutab maksimumi , kui K = 3a − b ja L = a + 2b. Milliste a ja b väärtuste korral omab see lahend mõtet? Leida võrdleva staatika tulemused ja selgitada, mida need tähendavad.
55. Selgitada, mida tähendab geomeetriliselt tingliku ekstreemumi ülesande max min z = f(x,y) ; g(x,y) = 0 lahendamine.
56. Selgitada Lagrange ’i kordaja majanduslikku tähendust. Lagrange´i kordaja näitab kuidas muutub sihtfunktsiooni optimaalne väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel. λ on koguse x (seisundimuutuja) varihind . Ressursi varihind on täiendav (varjatud) kasum, mida oleks võimalik saada vastava ressursi ühe lisaühiku kasutamisel
57. Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa. Rea summaks nimetatakse tema osasummade jada (Un) piirväärtust U (juhul kui see eksisteerib).
58. Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U=∞ või U=-∞ siis öeldakse, et rea summa on ∞ või -∞.
59. Mis on diskonteerimine ? Diskonteerimiseks nimetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi.
60. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Rea koonduvus tarvilik tunnus: Ei garanteeri rea koonduvust, rida võib koonduda kui küsimus jääb lahtiseks (kas on tingimisi koonduv või absoluutselt koonduv).
61. Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Koonduvaid ridu võib liikmeti liita ja tulemuseks saadud rida on koonduv. Olgu U ja V koonduvad read, siis U+V on ka koonduv. U=u1+u2+u3+...+ui+... V=v1+v2+v3+...+vi+... ...
62. Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste. Rida nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui koondub selle rea liikmete absoluutväärtuste rida
Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks.
63. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? = =a1-a2+... kus an > 0 iga n=1,2... korral, koondub kui on täidetud tingimused: 1) lim a = 0
2) a1 ≥ a2 ≥ a3 ... Kui on täidetud tingimused, koondub tingimisi.
64. Mis on funktsionaalrida ? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon ? Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid u1(x) + u2(x)...+ui(x)+... See rida koondub punktis a, kui andes muutujale x väärtuse a saame koonduva arvrea. Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks. Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summa S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks.
65. Mis on astmerida ? Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida, mis on esitatav kujul:
c0 + c1 (x-a) + c2(x-a)2..+ci(x-a)i + ... Erijuhtum, kui a=0
66. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? Astmerida, mille kõik kordajad Cn avalduvad valemiga Cn= nimetatakse Taylori reaks ja tähistatakse: f(x) Erijuhul, kui a=0, nimetatakse Taylori rida Maclaurini reaks:
f(x)
67. Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)? Selleks, et funktsiooni Taylori rida koonduks väärtuseks f(x), on nii piisav kui ka tarvilik, et lim R (x) = 0. Selle tingimuse täidetuse korral võib funktsiooni väärtuse ligikaudseks arvutamiseks kasutada valemit: f(x)
68. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse Cauchy tunnus. Kuna geomeetriline rida koondub 0 = 1, siis positiivne rida koondub kui ≤ q Kui eksisteerib piirväärtus = C siis positiivne rida

• koondub kui C
• hajub kui C > 1
  
• C= 1 korral jääb küsimus lahtiseks.
  

69. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse D’Alemberti tunnus. Positiivne rida
• koondub kui D= ≤ q • hajub kui D = ≥ 1
Kui eksisteerib piirväärtus = D Positiivne rida
• koondub, kui D • hajub, kui D > 1
• D= 1 korral jääb küsimus lahtiseks