Siis kehtivad jargmised väited: 1. Kui paratu integraal 1 f(x)dx koondub, siis koondub ka rida s. 2. Kui paratu integraal 1 f(x)dx hajub, siis hajub ka rida s. Märgime, et funtsiooni f(x) nim. monotoonselt kahanevaks, kui iga x1 ja x2 korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib mitterange võrratus f(x1) ¸ f(x2). 33. Funktsionaalrida ja selle koonduvuspiirkond. Olgu antud funktsioonide jada u1(x), u2(x),u3(x). Avaldist s(x)= u ( x) i=1 =u1(x)+ u2(x)+ u3(x)+.... Nim. funktsionaalreaks. Suurus s(x) s6ltub i muutujast x ehk on x funktsioon. Kuna funktsioon ui(x) omandab iga x korral oma määramispiirkonnast ühe kindla reaalarvulise väärtuse, siis muutuja x fikseerimisel saame
Tingimisi koonduval real k , ak∈ R leidub selline ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt etteantud arv või ∞ või -∞. 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus. Funktsionaalreaks nimetatakse rida ΣUK(x)+u1(x)+u2(x)+...+uk(x)+... mille liikmed uk kϵN on funktsioonid ΣUK:Xk→Yk Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus Olgu meil antud funktsionaalrida (X≠tühihulk) Fikseerides argumendi X0 ϵ X väärtuse saame arvrea Uk(X0) ϵ R Σ UK(x0) Definitsioon 3 Öeldakse, et funktsionaalrida koondub punktis x0ϵX, kui koondub arvrida Σ UK(x0) Kui arvrida Σ UK(x0) hajub, siis öeldakse, et funktsionaalrida hajub punktis X0 ϵ X. koonduvus normi järgi Vaatleme funktsiooni f nn LP-normi (p≥1) piirkonnas D. Riemanni integraali omaduste põhjal, kui
Tingimisi koonduval real k , ak R leidub selline ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt etteantud arv või või -. 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus. Funktsionaalreaks nimetatakse rida UK(x)+u1(x)+u2(x)+...+uk(x)+... mille liikmed uk kN on funktsioonid UK:XkYk Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus Olgu meil antud funktsionaalrida (Xtühihulk) Fikseerides argumendi X0 X väärtuse saame arvrea Uk(X0) R UK(x0) Definitsioon 3 Öeldakse, et funktsionaalrida koondub punktis x0X, kui koondub arvrida UK(x0) Kui arvrida UK(x0) hajub, siis öeldakse, et funktsionaalrida hajub punktis X0 X. koonduvus normi järgi Vaatleme funktsiooni f nn LP-normi (p1) piirkonnas D. Riemanni integraali omaduste põhjal, kui Siis võib leiduda lõplik arv punkte XD, mille korral f(x)g(x)
Tingimisi koonduval real k , ak R leidub selline ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt etteantud arv või või -. 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus. Funktsionaalreaks nimetatakse rida UK(x)+u1(x)+u2(x)+...+uk(x)+... mille liikmed uk kN on funktsioonid UK:XkYk Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus Olgu meil antud funktsionaalrida (Xtühihulk) Fikseerides argumendi X0 X väärtuse saame arvrea Uk(X0) R UK(x0) Definitsioon 3 Öeldakse, et funktsionaalrida koondub punktis x0X, kui koondub arvrida UK(x0) Kui arvrida UK(x0) hajub, siis öeldakse, et funktsionaalrida hajub punktis X0 X. koonduvus normi järgi Vaatleme funktsiooni f nn LP-normi (p1) piirkonnas D. Riemanni integraali omaduste põhjal, kui Siis võib leiduda lõplik arv punkte XD, mille korral f(x)g(x)
geomeetrilise reaga ∑∞ ∞ 𝑘=1 (2) , see geomeetriline rida on koonduv, sest 𝑞 = 2 ja 𝑞 = 2 < 1. Et ∑𝑘=1 (𝑘+1)2𝑘 ≤ (2) (𝑘𝜖𝑵) , siis 𝑪[𝒂, 𝒃](𝒌 ∈ 𝑵𝟎 ) ja ∑𝒙𝒌=𝟎 𝒖′𝒌 (𝒙) koondub ühtlaselt lõigul [a,b], siis funktsionaalrida (𝟏) võib lõigul [a,b] liikmeti diferentseerida,
Def. Funktsionaalreaks nimetatakse rida u (x ) = u (x ) + u (x ) + ... + u (x ) + ... , n =0 n 0 1 n mille liikmed u n (x ) n = 0,1,... on mingil hulgal X määratud funktsioonid u n = u n (x ) . Fikseerides argumendi väärtuse kujutab funktsionaalrida endast arvrida. n Funktsionaalrea u n (x ) osasummaks nimetatakse summat S n (x ) = u k (x ) . n =0 k =0 Funktsionaalrea osasumma on samuti argumendi x funktsioon. Def. Kui punktis x X leidub lõplik piirväärtus lim S n ( x ) = S ( x ) , siis öeldakse, et
hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused). 26. Rea koonduvuseks tarvilik tingimus. 27. Geomeetriline ja harmooniline rida. 28. Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alembert, võrdlustunnus, integraaltunnus). 29. Vahelduvate märkidega rea koonduvustunnus (Leibnizi tunnus). 30. Absoluutselt koonduv rida ja tingimisi koonduv rida (definitsioonid, omadused). 31. Funktsionaalrida (definitsioon). 32. Taylori ja Maclaureni read (definitsioon, leidmine). 33. Astmerida (definitsioon, omadused, koonduvusraadius ja koonduvusintervall – kuidas neid leida?). 34. Fourier rea rakendusalasid. 35. Zeno paradoksid. 1. 2. nivoojooneks 3. 5. 6. 7. Statsionaarsete punktide leidmine > Osatuletiste leidmine + determinant > Tuleuse põhjal otsustamine 8
Kui a=0 saame f (x)=∑ ∗x – sellist rida nimetatakse k=1 k! Maclaurini reaks 34.Astmerida(definitsioon, omadused, koonduvusraadius ja koonduvusintervall- kuidas neid leida? ∞ Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida kujul ∑ cn x n , kus c0, n=0 c1.... on arvud, mida nimetatakse rea kordajateks. Omadused: rida koondub ainult punktis x=a; rida koondub kõikide x- de korral; Leidub postitiivne arv R, nii et rida koondub kui I x-a I on väiksem koonduvusraadiusest ja hajub kui I x-a I on suurem koonduvusraadiusest. Koonduvusraadius- R
Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks Leibnitzi tunnuse järgi. 6. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? = a1-a2+... kus an > 0 iga n=1,2... korral. Koondub kui on täidetud tingimused: 1) = 0 2) a1 a2 a3 ... Kui on täidetud tingimused, koondub tingimisi TEOORIAKÜSIMUSED nr 16 1. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid. = u1(x) + u2(x)...+ui(x)+... See rida koondub punktis a, kui andes muutujale x väärtuse a saame koonduva arvrea. Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks. Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summe S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks. 2
absoluutselt koonduvaks, kui koondub selle rea liikmete absoluutväärtuste rida Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks. 63. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? = =a1-a2+... kus an > 0 iga n=1,2... korral, koondub kui on täidetud tingimused: 1) lim a = 0 2) a1 a2 a3 ... Kui on täidetud tingimused, koondub tingimisi. 64. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid u1(x) + u2(x)...+ui(x)+... See rida koondub punktis a, kui andes muutujale x väärtuse a saame koonduva arvrea. Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks. Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summa S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks.
1.Kui rida koondub lim S n ( x0 ) = S ( x0 ) DEF: Kõigi nende argumendi väärtuste hulka, mille puhul funktsionaal reale vastav arvrida (u(xo)) on koonduv nimetatakse vaadeldava funktsionaal rea koonduvus piirkonnaks. (See on alamhulk) xo kuulub koonduvuspiirkonda. S ( x0 ) S ( x) = lim S n ( x) , x kuulub hulka Y . n Funktsionaal rida määrab oma koonduvuspiirkonnas teatud funktsiooni. Astmerida ja tema koonduvuspiirkond Def: funktsionaalrida, mille liikmed on muutuja x positiivsete täisarvuliste astmetega funktsioonid u n ( x) = c n x n või u n ( x) = cn ( x - a) n , nim astmereaks. Märkus: esimene rida on teise rea erijuhtum, kus a=0. vastupidi, kui tähistada y=x-a, teiseneb rida 2 esimeseks. Seega on nad samaväärsed read. Abeli teoreem: 1) kui esimene rida koondub mingi x=x0 0 puhul, siis ta koondub absoluutselt kõigi x väärtuste puhul, mis rahuldavad võrratust x < x0
absoluutselt koonduvaks, kui koondub tema liikmete absoluutväärtustest moodustatud rida u1+ u2+...+un+... . Kui aga muutuvate märkidega rida u1+ u2+...+un+... koondub, kuid tema liikmete absoluutväärtustest moodustatud rida u1+ u2+ ...+un+... hajub, siis nim. antud muutuvate märkidega rida u1+ u2+...+un+... tingimisi ehk mitteabsoluutselt koonduvaks. Absoluutse koonduvuse mõiste abil formuleeritakse teoreem 39.1. sageli järgmiselt: iga absoluutselt koonduv rida on koonduv rida. 17. Funktsionaalrida, selle koonduvuspiirkond, funktsionaalrea summa: vastavate mõistete definitsioonid. Rida u1+ u2+...+un+... nim. funktsionaalreaks, kui tema liikmed on argumendi x funktsioonid. Argumendi x nende väärtuste hulka, mille puhul funktsionaalrida koondub, nim. selle rea koonduvuspiirkonnaks. On ilmne, et rea koonduvuspiirkonnas on rea summa suuruse x mingi funktsioon. Seetõttu märgitakse funktsionaalrea summat sümboliga s(x).
majanduslikku tähendust Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa Koonduva ja hajuva rea mõiste Mis on diskonteerimine? Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse Cauchy tunnus Sõnastada positiivste ridade koonduvuse D’Alemberti tunnus Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste? Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Mis on astmerida? Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)?
Rida nimetatakse absoluutselt koonduvaks kui koondub selle rea liikmete absoluutväärtuste rida. Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks Leibnitzi tunnuse järgi. 6. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? Teooriaküsimused nr. 16 1. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? 2. Mis on astmerida? 3. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? 4. Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)?
Olgu funktsioonid fk , kus k ∈ N, määratud mingis mittetühjas hulgas D ⊆ R. Avaldist ∞ X fk = f1 + f2 + . . . + fn + . . . k=1 nimetatakse hulgas D määratud funktsionaalreaks. ∞ Definitsioon. Öeldakse, et funktsionaalrida fk koondub hulgas D P k=1 ∞ 1) punktiviisi, kui arvrida fk (x) koondub iga x ∈ D korral, P k=1 ∞ 2) absoluutselt, kui |fk (x)| < ∞ iga x ∈ D korral. P k=1
Esitada näide! ja rida koondub, kui Näited: järgmises punktis. 3. Milline rida on absoluutselt koonduv, tingimisi koonduv? Esitada 1 näide kummagi juhu kohta! Absoluutne koonduvus on rea koonduvus, mille puhul koondub ka rea liikmete absoluutväärtuste rida. Tingimisi koonduvus on rea koonduvus, mille puhul ei koondu rea liikmete absoluutväärtuste rida. koondub koondub absoluutselt koonduv tingimisi koonduv 4. Mis on funktsionaalrida? Esitada näide! Rida, mille liikmed on funktsioonid, nimetatakse funktsionaalreaks. 5. Mis on astmerida? Esitada näide! a xi i Funktsionaal rea tähtis erijuhtub on astmerida i = 0 , kus a0 ,a1 , a2, ... , an , .... on konstandid. 6. Mis on koonduvusraadius ja koonduvusvahemik? Esitada näide!
1 𝑖𝑗𝑘 ∑𝑛𝑘=1 𝑓𝑥𝑘 (𝑎) cos 𝛼𝑘 . Def. Funktsionaalrida 𝑐0 𝜑0 (𝑥) + 𝑐1 𝜑1 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑘 𝜑𝑘 (𝑥) + ⋯ = ∑∞𝑘=0 𝑐𝑘 𝜑𝑘 (𝑥) nim ortogonaalreaks süsteemi diskreetseid väärtusi 𝑓𝑗 : 𝑓(𝑥) = ∑𝑛𝑘=−𝑛 𝑓̂𝑘 𝑒 𝑛 ,kus 𝑓̂𝑘 ∶= ∑𝑛𝑘=−𝑛 𝑓𝑗 𝑒 −
koondavad u ¨ksteist. 8.6 Funktsionaalread Funktsionaalreaks nimetatakse rida, mille liikmed on funktsioonid, st rida uk (x) (8.11) k=1 Kui fikseerida argumendi x v¨a¨artus x0 , omandavad funktsioonid uk(x) kindlad arvulised v¨a¨artused uk (x0 ), st v¨a¨artuse x0 korral saame reast (8.11) arvrea. N¨aide. Vaatleme funktsionaalrida 2 k 1 + x + x + ... + x + ... = xk (8.12) k=0 1 Andes selles reas muutujale x v¨aa¨rtuse x = , saame geomeetrilise rea, 2
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
