Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga , see geomeetriline rida on koonduv, sest ja . Et , siis on uuritav rida koonduv. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Arvrida , kus on mingi reaalarv, nimetatakse geomeetriliseks reaks. Sellise rea osasumma avaldub kujul: . Rea summa avaldub kujul: Kui siis on tegemist hajuva reaga. Kui siis saame , ... ja selle puhul on samuti tegemist hajuva reaga. Seega jõuame järeldusele, et geomeetriline rida koondub, kui ja hajub, kui . 2. Integraaltunnus
Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga , see geomeetriline rida on koonduv, sest ja . Et , siis on uuritav rida koonduv. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Arvrida , kus on mingi reaalarv, nimetatakse geomeetriliseks reaks. Sellise rea osasumma avaldub kujul: . Rea summa avaldub kujul: Kui siis on tegemist hajuva reaga. Kui siis saame , ... ja selle puhul on samuti tegemist hajuva reaga. Seega jõuame järeldusele, et geomeetriline rida koondub, kui ja hajub, kui . 2. Integraaltunnus
võrratus . Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Kui arvrea korral on täidetud tingimused, et f(k)=ak, f(x)≥0 (xϵ[1,lõpmatus)) f(x) kahaneb (xϵ[1,lõpmatus)), siis rida ja päratu intergraal kas koonduvad või hajuvad samaaegselt. 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Võrdlus harmoonilise reaga. Positiivseks arvreaks nimetatakse arvrida kujul 1.Kui positiivsete arvridade Σk=1 ak ja Σk=1bk üldliikmete vahel kehtib võrratus ak≤bk, siis rea Σk=1bk koondumisest järeldub rea Σk=1 ak koondumine; rea Σk=1 ak hajumisest järeldub rea Σk=1bk hajumine. 2.Kui Σk=1 ak ja Σk=1bk on positiivsed arvread ja eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus nende üldliikmete ak ja bk suhtes limk- ∞ ak/bk =γ≠0, siis read koonduvad või hajuvad üheaegselt Tõestus
Arvrida ∑𝑘=0 𝑞 , kus 𝑞 on mingi reaalarv, nimetatakse geomeetriliseks reaks. Sellise rea osasumma 𝑆𝑛 avaldub kujul: 𝑆𝑛 = 10. Fourier’ rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus
12 4 .10 wk 12 2 .10 pi 0 0 50 100 150 k , i+ 100 28. On antud , , . Teostada arvuti abil lineaarne interpolatsioon ja kuupsplaininterpolatsioon! vt osa 7 punkt 1.15.1 lk 53 OSA 4 1. Mis on jada, arvrida? Esitage 2 näidet! Argumendi n väärtuste kasvamise järgi järjestatud funktsiooni f(n) väärtusi f(1), f(2), f(3),....,f(n),... nimetatakse jadaks. Jada elementidest koostatud avaldist f(1)+f(2)+f(3)+....+f(n)+... nimetatakse arvreaks. Näited: n- 1 n- 1 1. Olgu n:=1,2..20. Naturaalarvulise argumendiga n funktsiooni ( -1) väärtused yn:= ( -1) moodustavad lõpliku jada
1 1 Dirichlet' rida: u n = n k , k 2 n =1 n k . Rida on koonduv Arvridade teooria põhiteoreeme Def. Antud rida (u) u n un ja tema n-indaks (un) jääkreaks , nim. rida n =1 u k = n +1 k = u n +1 + u n + 2 + ... + u k + ... Lause: kui arvrida (u) koondub, siis koondub ka iga tema jääk rida . Kui lähterea summa on lim S n = S < siis jääkrea summa on S =S-Sn n Kehtib ka vastupidine: Kui koondub jääkrida siis koondub ka arvrida (u). Järeldus: Arvrea koonduvus omadused ei sõltu sellest, kas jätame rea algusest mõned liikmed ära või lisame mõned liikmed juurde. Järeldus: jääkrea summa piirväärtus o võrdne nulliga:
42. Tuletada Greeni valem. 43. Tõestada, et potentsiaalse jõuvälja integraal mööda kinnist kontuuri tasandil võrdub nulliga. Joonintegraali sõltumatus integreerimisteest (tuletada vastav valem kahemõõtmelisel juhul ja esitada vastav valem ilma tuletamata kolmemõõtmelisel juhul ). Konservatiivse jõuvälja mõiste. 44. Esimest liiki pindintegraali definitsioon. Pinna pindala ja pinna massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus, integraaltunnus ja Leibnitzi tunnus. 47. Funktsionaalrea mõiste. Funktsionaalrea koonduvuspiirkond. Funktsionaalrea majont. Majoranttunnus funktsionaalrea koonduvuse hindamisel. 48. Astmerea mõiste. Asterea koonduvusvahemik ja koonduvusraadius. Nihutatud asterida
nimetatakse arvreaks (ka lihtsalt reaks). Arve un nimetatakse rea (1) liikmeteks. Järgnevas täpsustame,mida mõista sellise summa all. Definitsioon 14. Arvrea (1) osasummaks nimetatakse summat n S n = u1 + u 2 + ... + u n = u k . k =1 Definitsioon 15. Arvrida (1) nimetatakse koonduvaks, kui tema osasummade jada koondub, st kui eksisteerib lõplik piirväärtus nlim S n = S . Arvu S nimetatakse rea (1) summaks. Arvrida, mis ei koondu, nimetatakse hajuvaks. Näide. Rida n = 1 + 2 + ... + n + ... hajub, sest n =1 n(n + 1) lim S n = lim (1 + 2 + ...n) = lim = . Antud juhul kirjutame S=.
Vähendatud programm 1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. 2. Kahekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 3. y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje suhtes regulaarsete piirkondade korral. Millal nimetatakse piirkonda regulaarseks? 4. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse (esitada vastav valem tuletamata). 5. Kolmemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kolmekordse integraali definitsioonid. 6. Kolmekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 7. Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina. 8. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 9. Silinderkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silind...
58 < d 65 18 11 7 4,4 65 < d 75 20 12 7,5 4,9 75 < d 85 22 14 9 5,4 85 < d 95 25 14 9 5,4 95 < d 110 28 16 10 6,4 110 < d 130 32 18 11 7,4 Märkus. Liistu pikkus valitakse kasutades alljärgnevat arvrida: 6; 8; 10; 14; 16; 18; 20; 22; 25; 28; 32; 36; 40; 45; 50; 56; 63; 70; 80; 90; 100; 110; 125; 140; 160; 180; 200; 250; 280; 315; 335; 400; 450. Tabel 6. Pingekontsentratsiooni tegurid K ja K tegurid Rm, MPa 60 70 800 90 1000 0 0 0 K 1,6 1,7 1, 1,9 2 5 8 K 1,5 1,6 1, 1,9 2,1 7 Tabel 7. Mastabitegurid Kd ja Kd
süsteem kui vektorruumi V iga vektor avaldub süsteemi M kuuluvate vektorite lineaarkombinatsioonina Vektorruumi baas Vektorruumi V baasiks {e1, ..., en} nimetatakse vektorruumi V lineaarselt sõltumatut moodustajate süsteemi Vektori koordinaadid Vektori a koordinaatideks baasil {e1, ..., en} nimetatakse kordajaid x1, x2, ..., xn baasi suhtes avaldises a=x1e1+x2e2+...+xnen Arvrida Arvreaks nimetatakse lõpmatut summat, mis avaldub kujul u ( n ) =u ( 0 ) +u ( 1 )+ ...+u ( m )+ ... n=0 Arvrea summa Arvrea summaks nimetatakse piirväärtust (kui see eksisteerib) S= n lim u ( k ) n k=0 Arvrea koondumise
võrratust xn ≤ yn , siis samasugust võrratust rahuldavad ka nende jadade piirväärtused 7 Näidata et koonduv jada on Cauchy jada. Eeldame, et limn→∞xn = a. Olgu ε > 0 suvaline, siis leidub N ∈N omadusega |xn −a| < ε / 2 iga n > N korral. Kui n > N, siis saame |xn+p −xn| = |xn+p −a +a−xn| ≤ |xn+p −a|+|xn −a| < ε /2 + ε /2 = ε seega on{xn}Cauchy jada 8 Näidata, et Cauchy arvjada koondub. S – rea summa ∞ Arvrida ∑ ak koondub parajasti siis, kui iga ε > 0 korral leidub naturaalarv N ∈ N, nii et iga n > N k=1 ja p > 0 korral kehtib |Sn+p − Sn| = |an+1 + an+2 + ... + an+p| < ε 9 Sõnastada funktsiooni piirväärtuse peamised omadused. Üks omadus tõestada. 1 Kontsantse funktsiooni piirväärtuseks on see konstant 2 Kui eksisteerib funktsiooni f(x) piirväärtus punktis x0 , siis leidub punkti x0 selline ümbrus U( x0), et funktsioon f(x) on tõkestatud hulgal U( x0) / { x0}.
Avaldist s(x)= u ( x) i=1 =u1(x)+ u2(x)+ u3(x)+.... Nim. funktsionaalreaks. Suurus s(x) s6ltub i muutujast x ehk on x funktsioon. Kuna funktsioon ui(x) omandab iga x korral oma määramispiirkonnast ühe kindla reaalarvulise väärtuse, siis muutuja x fikseerimisel saame funktsionaalreast teatud arvrea. Üldiselt on see arvrida erinevate x-de korral erinev. Seega võib ta ühtede x väärtuste korral koonduda ja teiste x väärtuste korral hajuda. Muutuja x nende väärtuste hulka, mille korral funktsionaalrida koondub, nim. selle rea koonduvuspiirkonnaks. 34. Astmerida. S(x)= ai x i =a0+a1x+a2x+.... kus ai on reaalarv i=0 Astmerea koonduvuspiirkond on vahemik, mille keskpunkt 0, st vahemik kujul(-R,R).Arvu R nim astmerea koonduvusraadiuseks
75 < d 85 22 14 9 5,4 85 < d 95 25 14 9 5,4 95 < d 110 28 16 10 6,4 110 < d 130 32 18 11 7,4 Märkus. Liistu pikkus valitakse kasutades alljärgnevat arvrida: 6; 8; 10; 14; 16; 18; 20; 22; 25; 28; 32; 36; 40; 45; 50; 56; 63; 70; 80; 90; 100; 110; 125; 140; 160; 180; 200; 250; 280; 315; 335; 400; 450. 19
Def. Funktsionaalreaks nimetatakse rida u (x ) = u (x ) + u (x ) + ... + u (x ) + ... , n =0 n 0 1 n mille liikmed u n (x ) n = 0,1,... on mingil hulgal X määratud funktsioonid u n = u n (x ) . Fikseerides argumendi väärtuse kujutab funktsionaalrida endast arvrida. n Funktsionaalrea u n (x ) osasummaks nimetatakse summat S n (x ) = u k (x ) . n =0 k =0 Funktsionaalrea osasumma on samuti argumendi x funktsioon. Def. Kui punktis x X leidub lõplik piirväärtus lim S n ( x ) = S ( x ) , siis öeldakse, et
. . + fn + . . . k=1 nimetatakse hulgas D määratud funktsionaalreaks. ∞ Definitsioon. Öeldakse, et funktsionaalrida fk koondub hulgas D P k=1 ∞ 1) punktiviisi, kui arvrida fk (x) koondub iga x ∈ D korral, P k=1 ∞ 2) absoluutselt, kui |fk (x)| < ∞ iga x ∈ D korral. P k=1 Tähistame n X sn (x) := fk (x) (x ∈ D, n ∈ N) . k=1
1 lim =0 k k t¨aidetud, kuid ometi on v~oimalik t~oestada, et harmooniline rida on hajuv. 8.3 Positiivsete liikmetega ridade koonduvustunnused K¨aesolevas punktis vaatleme positiivsete liikmetega arvridu, st ridu (8.1), mille liikmed uk > 0, k = 1, 2, . . . Olgu lisaks reale (8.1) antud veel teine positiivsete liikmetega arvrida vk (8.6) k=1 Matemaatiline anal¨ uu¨s I kursuses esines teoreem, millest j¨areldub, et mo- notoonselt kasvaval t~okestatud jadal on olemas (l~oplik) piirv¨a¨artus. Kehtib ka vastupidine, jada S1 , S 2 , . . . , Sn , . . . piirv¨aa¨rtus on definitsiooni kohaselt S, kui > 0 korral N , et kui n N , siis
75 < d 85 22 14 9 5,4 85 < d 95 25 14 9 5,4 95 < d 110 28 16 10 6,4 110 < d 130 32 18 11 7,4 Märkus. Liistu pikkus valitakse kasutades alljärgnevat arvrida: 6; 8; 10; 14; 16; 18; 20; 22; 25; 28; 32; 36; 40; 45; 50; 56; 63; 70; 80; 90; 100; 110; 125; 140; 160; 180; 200; 250; 280; 315; 335; 400; 450. Prismaliistudega liidete põhiarvutuseks on arvutus muljumisele. Standardliistude arvutust lõikele tavaliselt ei tehta, kuna liistu kõrgus h ja laius b on valitud nii, et liite koormamist piiratakse liistu muljumisega, mitte nihkega. Ft
annaabi.ee 
