J. Kurvitsa teooria vastused (0)

1. Kollokvium
1. Hulga mõiste. Järjestatud hulk. Tehted hulkadega. Arvuhulgad . Teoreem . Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 (tõestada). Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide).
Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud.
Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev.
Tehted hulkadega:
* Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas hulka A, hulka B või mõlemasse kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühendit tähistatakse
* Hulkade A ja B ühisosaks ehk korrutiseks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik üheaegselt nii hulka A kui ka hulka B kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühisosa tähistatakse
* Hulkade A ja B vaheks nimetatakse kõigi selliste elementide hulka, mis kuuluvad hulka A, kuid ei kuulu hulka B. Hulkade A ja B vahet tähistatakse A\B,
* Hulkade A ja B sümmeetriliseks vaheks nimetatakse kõigi selliste elementide hulka, mis kuuluvad hulka A, kuid mitte hulka B, või kuuluvad hulka B, kuid mitte hulka A. Hulkade A ja B sümmeetrilist vahet tähistatakse
Arvuhulgad: N =
- naturaalarvude hulk). Z = täisarvude hulk. Q = ratsionaalarvude hulk. I = irratsionaalarvude hulk. R = reaalarvude hulk. C = kompleksarvude hulk.
Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 tõestada.
Oletame vastupidiselt, et sellinne arv on olemas ja tähistame sümboliga . Järelikult võib ta olla mingi taandumatu murd kujul
, kus a ja b on ühistegurita.
ehk 2 = = . Et arvud a ja b on ühistegurita arvud (neil puuduvad ühised algtegurid ) ja arvu ruututõstmine ei lisa uusi algtegureid, siis on ka murd
taandumatu ega saa võrduda arvuga 2.
Tõkestatud hulgad. Definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka
nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline positiivne arv
nii, et iga
korral kehtib võrratus
. Hulk
on tõkestatud, kui kõik selle hulga elemendid kuuluvad nulli ümbrusesse
Näide: Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik vahemik (a;b) nii et AC(a;b)
Tõkestamata hulgad.
Näide: Näiteks lõpmatu vahemik (-∞, a) vahemik ja [a; ∞) lõpmatu poollõik.
2. Reaalarvu ümbrus. Arvtelg . Reaalarvu a absoluutväärtus
(näiteks lihtsustage ). Absoluutväärtuse omadused.
Tingimuse esitamine arvteljel . Reaalarvu a vasakpoolne ja parempoolne ümbrused.
Reaalarvu a ümbrus nimetatakse suvalist vahemiku (a – , a + ), kus
> 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a – , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st .
Arvtelg on sirge, millele on märgitud nullpunkt , ühiklõik ja positiivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi.
Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu:
Näiteks Lihtsustamine
Tingimuse esitamine arvteljel. Arv x kuulub reaalarvu a ümbrusesse
(a –, a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui
, st
Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - ; a], kus
> 0.
Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a; a + ), kus
> 0.
3. Funktsiooni mõiste. Funktsiooni määramispiirkond, väärtuste piirkond. Funktsiooni erinevad esitusviisid (näide). Loomulik määramispiirkond. Mitmene funktsioon (näide)
Funktsiooni mõiste: Kui hulga X igale elemendile x on mingi eeskirja abil vastavusse seatud üks kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon f ja kirjutatakse y=f(x).
Määramispiirkond. Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks.
Funktsiooni erinevad esitusviisid. Funktsioone saab esitada mitmel erineval viisil ning kõige enam kasutatakse kolme järgmist esitusviisi: tabelina, graafikuna, analüütiliselt. Näitena suvaline x ja y väärtustega tabel.
Loomulik määramispiirkond. Analüütiliselt antud funktsiooni loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi nende väärtuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on täielikult määratud.
Mitmene funktsioon. Kui igale x väärtusele, mis kuulub teatavasse piirkonda, vastab mitte üks, vaid mitu või isegi lõpmatu hulk y väärtusi, siis nimetatakse funktsiooni mitmeseks funktsiooniks.
Näide:
4. Paarisfunktsioon , paaritu funktsioon (näide). Perioodiline funktsioon (funktsioon y = x – [x]). Liitfunktsioon, selle komponendid (näide).
Paarisfunktsioon. Funktsiooni y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsioobiks, kui kehtib võrdus f(-x)= f(x)
Näide: y = x2
Paaritu funktsioon. Funktsioon y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui kehtib võrdus f(-x)=-f(x). Näide: y = sinx .
Perioodiline funktsioon. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu T ≠ 0 tema perioodiks , kui korral ka ning kehtib võrdus f(x+T)=f(x)
y = x – [x] perioodiline ?
Oletame t
Siis t + 1
[x + 1] = t + 1 = [x] + 1
Nt. t = (x + 1) = x + 1 – [x + 1] = x + 1 – [x] – 1 = x – [x] = f(x)
T = 1
Liitfunktsioon ja selle komponendid (näide). Funktsioonide y = f(u) ja u = g(x) liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(g(x)). Funktsioone f ja g nimetatakse liitfunktsiooni f(g(x)) komponentiteks. Liitfunktsiooni y =
komponendid on seesmine funktsioon u = 1 – x2 ja väline funktsioon y =
5. Pöördfunktsioon (näide). Üksühene funktsioon ja selle graafik (näide). Funktsioon, millel pole pöördfunktsiooni (näide). Näiteks funktsiooni y = ax või y = tanx pöördfunktsioon.
Pöördfunktsioon (näide). Funktsiooni
pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni
mis igale arvule
seab vastavusse arvu
kusjuures .
Näide: y =
pöördfunktsioon on x = log2
Üksühene funktsioon ja selle graafik . Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene.
Näide:
Näide: Funktsioon, millel pole pöördfunktsiooni. y = x + arctanx
Näide: y = tanx pöördfunktsioon. y = arctanx
6. Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud . Graafikute teisendused (näiteks, kuidas funktsiooni y = f(x) graafikust visandada funktsiooni y = -b –f(x+a) graafik, kui a0). Elementaarfunktsiooni definitsioon. Funktsioon, mis ei ole elementaarfunktsioon (tooge näide).
Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud.
Graafikute teisendused.
Elementaarfunktsiooni definitsioon. Funktsioone, mis saadakse põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehte ja liitfunktsiooni moodustamise teel, nimetatakse elementaarfunktsioonideks.
Funktsioon, mis ei ole elementaarfunktsioon.
7. Funktsioon ilmutamata kujul. Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Polaarkoordinaadid , üleminek parameetrilisele esitusele. Näited
Funktsioon ilmutamata kujul. Kui võrrandi F(x,y) = 0 on korral üks lahend y = f(x), siis öeldakse et see võrrand määrab funktsiooni y = f(x), ilmutamata kujul.
Näiteks: lox +log(y+2) – 2 = 0
Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Funktsiooni f muutujate x ja y väärtused saab määrata ka teatavate abimuutuja t funktsioonide x = x(t) ja y = y(t), väärtustena. Antud esituse korral öeldakse, et funktsioon on antud parameetrilisel kujul ning tavaliselt esitatakse see järgmiselt:
Näiteks:
Polaarkoordinaadid, üleminek parameetrilisele esitusele. Funktsiooni f saab esitada ka polaarkoordinaatides valemiga r = r(φ), φ T, mis annab funktsiooni graafiku punktid (x,y) polaarkoordinaatides (r, φ). Esituselt polaarkoordinaatides saab minna üle parameetrilisele esitusele kasutades järgmiseid valemeid:
Näiteks:
8. Jada (näide). Jada piirväärtus. Näiteks tõestada, et jada xn= piirväärtus on . Alates millisest n väärtusest suurus
- xn ei ületa ε = 0,01 ?
Jada. Definitsioon nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N.
Näide: αn =
(1,
...)
Jada piirväärtus. Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, ... piirväärtuseks, kui iga kuitahes vaikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a – ε, a + ε). Jada piirväärtust tähistatakse lim xn = a
Tõestus:
9. Lõpmatult kahanevad , lõpmatult kasvavad ja tõkestatud suurused (näited). Kaks olulist teoreemi (näited).
Lõpmatult kahanev. Muutuvat suurust a nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim a = 0.
Näide:
Lõpmatult kasvav. Muutuvat suurust a nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim
= ∞.
Näide:
Tõkestatud. Muutuvat suurust
nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud.
Näide:
Teoreem1. Suurus a on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus
on lõpmatult kasvav.
Teoreem2. Kui suurus a on lõpmatult kahanev ja suurus β on tõkestatud, siis nende korrutis aβ on lõpmatult kahanev.
10. Funktsiooni piirväärtus. Selle geomeetriline tõlgendus. Näiteks tõestada, et
Või
= 6
Funktsiooni piirväärtus. Funktsioon y = f(x) läheneb piirväärtusele b (y b) argumendi x lähenemisel väärtusele a (x ), kui iga kuitahes väikese positiivne arv ε , et iga x ≠ a puhul, mis rahuldab võrratust
Kirjutatakse:
Geomeetriline tõlgendus. Kui funktsioonil y = f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x
a, kus x ≠ a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b.
Tõestus
11. Funktsiooni ühepoolsed piirväärtused (näiteid). Piirväärtuse
f(x) = b eksisteerimise tingimus. Tooge näide funktsioonist, millel piirprotsessis x
pole piirväärtust
f(x).
Ühepoolsed piirväärtused. Arvu
nimetatakse funktsiooni
vasakpoolseks piirväärtuseks punktis
, kui iga
leidub
, et kui
Arvu
nimetatakse funktsiooni
parempoolseks piirväärtuseks punktis
, kui iga
leidub
, et kui
korral kehtib võrratus
Näited:
= 1 ja
= - 1
Piirväärtuse
f(x) = b eksisteerimise tingimus. Piirväärtus
f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused
f(x) ja
f(x). Peale selle, piirväärtuse
f(x) olemasolu korral kehtib valem:
f(x) =
f(x) =
f(x)
Tooge näide funktsioonist, millel piirprotsessis x
pole piirväärtust
f(x).
sin , selles piirprotsessis funktsiooni väärtused ei lähene ühelegi suurusele vaid võnguvad arvude -1 ja +1 vahel.
12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (näited). Ekvivalentsed lõpmata väikesed suurused (tabel). Tõestada, et
= 1.
Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine.
Olgu α(x) ja β(x) lõpmata väikesed suurused piirprotsessis x
ja
= k, kui:
1. k = 0, siis α(x) on β(x) suhtes kõrgemat järku lõpmata väike suurus.
2. 0 3. k = 1, siis α(x) ja β(x) on ekvivalentsed lõpmata väikesed suurused: α(x) ~ β(x).
Näited: α(x) = 3x2 , β(x) = 14x2.
(läheneb 0-le ühe kiirusega).
α(x) = 7x2 , β(x) = 2x
(α(x) läheneb 0-le kiiremini)
Ekvivalentsed lõpmata väikesed suurused ja tabel.
Kui α ja β on ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis α – β on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii α kui β suhtes.
Tõestus:
13. Funktsiooni pidevus punktis (mõlemad definitsioonid ). Pidevate funktsioonide omadused. Näiteks tõestada, et 1) funktsioon y = x3 – 2x on pidev kogu oma määramispiirkonnas; 2) funktsioon y = 2x on pidev punktis x = 1.
Funktsiooni pidevus punktis. Def1. Funktsioon y = f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui funktsioonil on lõplik piirväärtus kohal a ning see on võrdne funktsiooni väärtusega kohal a ehk
f(x) = f(a) . Viimasest võrdusest on näha, et funktsioon y = f(x) on pidev, kui on täidetud järgmised tingimused:
1. funktsioon y = f(x) peab olema määratud kohal a
2. funktsioon y = f(x) peab olema lõplik piirväärtus kohal a ehk
f(x) =
f(x) =
f(x)
3. peab kehtima võrdus
f(x) = f(a)
Def2. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse pidevaks punktis x, kui ta on määratud punktis x ja selle mingis ümbruses ning
Δy = 0. Seega on funktsioon y = f(x) kohal x pidev, kui argumendi muudu hääbumisel ka funktsiooni väärtuse muut hääbub.
Pidevate funktsioonide omadused.
1. Kahe pideva funktsiooni summa on pidev funktsioon
2. Kahe pideva funktsiooni korrutis on pidev funktsioon
3. Kahe pideva funktsiooni jagatis on pidev funktsioon, kui jagaja ei võrdu vaadeldavas punktis nulliga
4. Liitfunktsioon on pidev, kui tema koostis osad on pidevad funktsioonid.
14. Katkevuspunktid ja nende liigitus. Tooge näiteid iga vaadeldud variandi kohta.
Katkevuspunktid ja nende liigitus.
Kui funktsioon y = f(x) ei ole pidev punktis a, siis öeldakse, et ta on katkev punktis a ja punkti a nimetatakse funktsiooni y = f(x) katkevuspunktiks
Liigitus:
1) Kui funktsiooni y = f(x) katkevuspunktis a on olemas lõplikud ühepoolsed piirväärtused
f(x) ning
f(x), siis punkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks.
2) Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest f(x) või
f(x) puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni y=f(x) teist liiki katkevuspunktiks.
Näited:
Funktsioon f(x)
ei ole määratud punktis x = 1. Kuid selles punktis olemas lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja need on võrdsed. (esimest liiki katkevuspunkt )
Funktsioon f(x) = sinx katkeb kohal x = 0 (teist liiki katkevuspunkt)
15. Ühepoolne pidevus. Funktsiooni pidevus vahemikus (a, b) ja lõigul [a, b]. Tuua näiteid. Lõigul pidevate funktsioonide omadusi.
Ühepoolne pidevus. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui
1. Funktsioon y = f(x) on määratud kohal a
2. Funktsioonil y = f(x) on lõplik vasakpoolne piirväärtus f(x)
3. Peab kehtima võrdus
f(x) = f(a)
Analoogiliselt defineeritakse ka paremalt pidev funktsioon.
Näited:
1) Paremalt pideva näide
2) Vasakult pideva näide
Funktsiooni pidevus vahemikus (a, b) ja lõigul [a, b]. Def1. Kui funktsioon y = f(x) on pidev vahemiku (a, b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a, b). Def2. Kui funktsioon y = f(x) on määratud lõigul [a, b], pidev vahemikus (a, b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a, b]
Lõigul pidevate funktsioonide omadusi. Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0
2. Kollokvium
1. Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali mõisted. Argumendi x diferentsiaal .
Tuletis . Funktsiooni y = f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtus kohal x argumendi muudu lähenemisel 0 nimetatakse selle funktsiooni tuletiseks kohal x ja tähistatakse y’, f’(x) või
st: y’ =
Kui viimane piirväärtus on lõplik, siis funktsioon y = f(x) on diferentseeruv kohal x. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks.
2. Seos funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel (vastava teoreemi tõestus, Teoreem 3.1.)
Seos. Kui funktsioon y = f(x) on diferentseeruv punktis x, siis on ta selles punktis pidev. Kuid funktsiooni pidevust mingis punktis ei järeldu tuletise olemasolu selles punktis.
Tõestus: Funktsioon on pidev, kui on täidetud järgmised tingimused:
1) a
X – triviaalne, kuna muidu poleks võimalik leida f(a) tuletist avaldamises.
2)
f(x) –
f(x) =
(f(x) – f(a) + f(a)) =
= f’(a) · 0 + f(a) = f(a)
3)
on tõestatud punktis 2.
3. Funktsiooni tuletise aritmeetiliste tehetega seotud omadused (omaduse b tõestus)
Tõestus: (uv) = u(x) · v(x)
Δ(uv) = u(x + Δx) · v(x · Δx) – u(x) · v(x)
(uv)’ =
4. Joone puutuja ja normaalsirge mõisted. Vastavate võrrandite tuletamine
Joone puutuja. Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x).
Puutja võrrandiks on: y – y0 = f’(x0)(x – x0)
Võrrandi tuletamine: Tuletame puutuja s võrrand. Kõigepealt märgime, et valemi
y − b = p(x − a) põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul
y − f(a) = p(x − a) , kus p on s tõus.
Vaatleme piirprotsessi x → a. Kui x → a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus ￣p puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal
p = ￣p = = f ‘ (a)
Valemitest y – f (a) = p(x − a) ja p = lim￣p = = f ′ (a)
Lõpp võetud vanast konspektist ja lim – p õige kirjapilt jäi mulle arusaamatuks.
Normaalsirge. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub funktsiooni y = f(x) graafiku puutujaga selles punktis. Punkti A = (x0 ,y0) läbiva normaalsirge võrrand: y – y0 = -
Võrrandi tuletamine: Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu
p = tan φ. Kuna φ = α + ja tan α = f ′(a),
siis p = tan φ = tan(α +) = − = −
Punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on järgmine:
y − f(a) = − ∙ (x − a)
5. Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa . Näidata, et kehtib ligikaudne valem
Δy
dy, kui Δx
Peaosa. Diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui Δx, β on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus Δx suhtes. Järelikult väikese Δx korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme β võib väikese Δx korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem. Δy = dy, kui Δx
Näide: Tähistame
ja f’(a) vahe järgmiselt: r(Δx) = , siis . Saame valemi:
Δy = f’(a)Δx + β, kus β = r(Δx)Δx. Funktsiooni muut koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)Δx ja teine β.
6. Diferentsiaali geomeetriline sisu. Korrektne selgitus joonisega.
Geomeetriline sisu. Funktsiooni diferentsiaal võrdud selle funktsiooni graafiku puutuja kasvuga lõigul [a, x].
Joonis:
tanα =
QR = AR · tanα
QR = f’(x0) · Δx
QR = dy
PR = Δy
PQ = PR – PQ
PQ = β
7. Diferentsiaali omadused. (omaduse 2 tõestus).
1. d(u ± v) = du ± dv,
2. d(uv) = vdu + udv,
3. d = , kui v≠0.
4. d(Cu) = Cdu , C − konstant,
Tõestus: d(uv) = (uv)’dx = (u’v + uv’)dx = u’vdx + dv’dx = u’dx · v + u · v’dx = vdu + udv
8. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid . Definitsioonid.
Lokaalsed ekstreemumid. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks.
Definitsioon. Lokaalne maksimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ);
2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1).
Definitsioon. Lokaalne miinimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui
1.funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ);
2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1).
9. Fermat’ lemma (tõestusega).
Teoreem. Kui funktsioonil y = f(x) on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f’(x1) = 0.
Tõestus:
10. Rolle’i teoreem (tõestusega).
Teoreem. Kui funktsioon y = f(x) on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f’(c) = 0.
Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x ∈ [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st
f′(x) ≡ 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c ∈ (a, b) korral.
Edasi vaatleme juhtu, kui M ≠ m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M ≠ m tuleneb, et f(x) v.a.artused lõigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi sõnastuses!). Tekib vastuolu. Järelikult ei olnud oletus , et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat’ lemma põhjal saame f′(c) = 0.
11. Caucy teoreem (tõestusega).
Teoreem. Kui funktsioonid f ja g on lõigul [a, b] pidevad, vahemikus (a, b) diferentseeruvad ja iga x ∈ (a, b) korral kehtib võrratus g′(x) ≠ 0, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et
=
Tõestus: Defineerime järgmise funktsiooni:
F(x) = f(x) –
(g(x) − g(a)) .
Arvutame:
F(a) = f(a) – · (g(a) − g(a)) = f(a),
F(b) = f(b) –
(g(b) − g(a)) = f(b) − (f(b) − f(a)) = f(a)
Seega F(a) = F(b). Ühtlasi on F(x) pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b). Järelikult rahuldab F(x) Rolle’i teoreemi eeldusi. Rolle’i teoreemi põhjal leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et F′(c) = 0. Valemist (3.25) leiame funktsiooni F(x) tuletise:
F′(x) = f′(x) –(f(b) −
− g(a))
g′(x).
Seega
F′(c) = f′(c) – · g′(c) = 0.
Siit järeldub, et
f′(c) = · g′(c).
12. Lagrange’i teoreem (tõestusega).
Teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev ja vahemikus (a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(b) − f(a) = f′(c)(b − a) .
Tõestus: Kuna y = f(x) ja y = g(x) on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv, siis Cauchy teoreemi järgi
c
(a, b) et
=> f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)
13. l’ Hospitali reegel (tõestusega).
Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis ümbruses, kusjuures g′(x) ≠ 0 iga x korral sellest ümbrusest. Peale selle, olgu f(a) = g(a) = 0 .
Kui eksisteerib piirväärtus
, siis eksisteerib ka piirväärtus
ja kehtib valem
Tõestus:
14. Kõrgemat järku tuletised ja diferentsiaalid.
Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n − 1- järku tuletise tuletist ja tähistatakse f (n). Lõpliku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks.
Funktsiooni y = f(x) n-järku ehk n-daks diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni
(n – 1) - järku diferentsiaalist ja tähistatakse d(n)y= f(n)(x)dxn
15. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Teoreemi 4.1 tõestus
Teoreem. Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited:
1. Kui f’(x) > 0 iga x
(a, b) korral, siis y = f(x) on kasvav vahemikus (a, b).
2. Kui f’(x) (a, b) korral, siis y = f(x) on kahanev vahemikus (a, b).
Tõestus:
16. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus.
Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil y = f(x) on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla.
Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus 1. Olgu x1 funktsiooni y=f(x) kriitiline punkt.
1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum.
2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum.
17. Joone kumerus , nõgusus ja käänupunktid (tarvilik tingimus, piisav tingimus).
Kumerus. Funktsiooni y = f(x) graafik on vahemikus (a, b) kumer ehk kumer üles (), kui selle vahemiku igas punktis x funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja asetseb ülalpool graafikut.
Funktsiooni y = f(x) graafik on vahemikus (a, b) nõgus ehk kumer alla (), kui selle vahemiku igas punktis x funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja asetseb allpool graafikut.
Käänupunkti tarvilik tingimus. Kui P = (x1,f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni y = f(x) teist järku kriitiline punkt.
Käänupunkti piisav tingimus. Olgu x1 funktsiooni y = f(x) teist järki kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt.
18. Algfunktsioon ja määramata integraal . Teoreemi 5.1 tõestus.
Algfunktsioon. Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui selles piirkonnas F’(x) = f(x)
Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon piirkonnas X, siis kõik funktsiooni f(x) algfunktsioonid piirkonnas X avalduvad kujul F(x) + C, kus C on suvaline konstant.
Tõestus. Olgu F funktsiooni y = f(x) algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F + C, kus C on konstant, on tõepoolest y = f(x) algfunktsioonid hulgas D. Kuna F′(x) = f(x) iga x ∈ D korral, siis
[F(x) + C]′ = F′(x) + C′ = F′(x) = f(x) iga x ∈ D korral, mis näitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on tõesti f algfunktsioon hulgas D. Tõestame nüüd teoreemi väite: f-i kõik algfunktsioonid hulgas D avalduvad
kujul F +C. Selleks oletame vastuväiteliselt, et f-l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F +C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on ühe ja sama funktsiooni y = f(x) algfunktsioonid hulgas D, siis saame
(G(x) − F(x))′ = G′(x) − F′(x) = f(x) − f(x) = 0 iga x ∈ D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G − F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest võrdusest saame seose G = F +C, mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. Jõudsime vastuolule
Määramata integraal. Funktsiooni y = f(x) algfunktsioonide üldavaldist F(x) + C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse .
19. Muutujate vahetuse meetod (muutujate vahetuse selgitus).
Oletame, et on vaja leida integraal , kusjuures f(x) algfunktsiooni ei ole lihtne vahetult leida. Sellisel juhul püütakse teha integraalialuses avaldises muutuja vahetust. Oletame, et x = φ(t) on diferentseeruv funktsioon, millel leidub pöördfunktsioon, siis:
dx = φ’(t)dt ning kehtib võrdus . Valemit nimetatakse määramata integraali muutujate vahetuse valemiks . Muutujat t nimetatakse uueks integreerimismuutujaks.
20. Ositi integreerimine (ositi integreerimise valemi selgitus).
Teoreem. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning eksisteerigu määramata integraal , siis kehtib võrdus:
= uv -
Selgitus. Viimast valemit nimetatakse määramata integraali ositi integreerimise valemiks ja seda kasutatakse niisuguste avaldiste integreerimisel, mida saab esitada kahe teguri u ja dv korrutisena. Funktsioon u on sellinne, mis diferentseerimise kaudu muutub lihtsamaks (näiteks arcsinx, lnx, x3), aga dv on avaldis, millest integreerimise teel saame leida v.
21. Integraalsumma ja määratud integraal. Definitsioonid, lisaks ka korralik selgitus.
Integraalsumma. On antud lõigul [a, b] esialgu pidev ja mittenegatiivne funktsioon y = f(x). Jaotame lõigu [a, b] n osaks punktidega a = x0, x1, x2 ... xn = b, kusjuures
a = x0 Summat Sn = f(α1)Δx1 + f(α2)Δx2 +...+ f(αn)Δxn =
nimetatakse funktsiooni
y = f(x) integraalsummaks lõigul [a, b].
Määratud integraal. Anname järgmise üldise definitsiooni loobudes eeldustest, et funktsioon y = f(x) on pidev ja mittenegatiivne.
Funktsioon y = f(x) määratud integraaliks rajades a-st b-ni nimetatakse piirväärtust
ja tähistatakse sümboliga
22. Integraali keskväärtusteoreem (tõestusega).
Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigul [a, b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et
Tõestus: Omaduse 10 järgi teame, et pidev funktsioon saavutab lõigul [a, b] oma vähima m ja suurima M väärtuse.
m
M
Kuna lõigul pidev funktsioon omab kõiki oma väärtusi [a, b], siis leidub punkt c nii, et
23. Muutuva ülemise rajaga integraal. Teoreemi 5.3 tõestus.
24. Newton -Leibnitzi valem. Tõestusega
Teoreem. Kui F(x) on pideva funktsiooni y = f(x) algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem
25. Päratud integraalid . Mõisted ja geomeetriline tõlgendus.
Teoreem. Kui pidev funktsioon y = f(x) on integreeruv igal lõigul [a, b] (β > a) ja eksisteerib lõplik piirväärtus
Siis seda piirväärtust y = f(x) I liiki päratuks integraaliks rajades a-st +∞-ni ja kirjutatakse
Geomeetriline tõlgendus: Geomeetrilises mõttes f(x) > 0 korral I liiki päratu integraal
avaldab joonte y = f(x), x = a ja x – telje vahele jääva tõkestamata (lõpmatu) piirkonna pindala