T.9. Kui segatuletised on piddevad kohal P=(x,y) siis on nad võrdsed sellel kohal, st kehtib f''xy=f''yx T.10. Kui funi z=f(x,y) osatuletised f'x(P) ja f'y(P) on mõlemad diferentseefuvad kohal P=(x,y) siis on segatuletised võrsed (f''xy=f''yx) kohal P=(x,y) T.11. Kui funidel u ja v on olemas osatuletised u'x (u'y)ja v'x (v'y) kohal P=(x,y) ja kui fun f on diferentseeruv vastaval kohal Q=(u(P);v(P)) siis on liitfunil F olemas osatuletis F'x (F'y) kohal P, mis on kujul F' x=f'u*u'x+f'v*v'x (F'y=f'u*u'y+f'v*v'y )
Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas (arvutatav), siis öeldakse, et z = f(x;y) on määratud punktis (x0;y0). Nivoojoon (nivoopind)- Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetame punktihulka, mis rahuldab nivoojoone võrrandit z=C. Enamikel funktsioonidel on lõpmata palju erinevaid nivoojooni. Kui meil on kahe muutuja funktsioon, siis saame nivoojoone, kui muutujaid on 3 või enam , siis on tegemist nivoopinnaga. Osatuletis, selle geomeetriline tähendus- Funktsiooni z=f(x;y) esimest järku osatuletiseks x järgi f ( x + x; y ) - f ( x; y ) ' z nimetatakse piirväärtust lim x 0 x ja tähistatakse z x , , f x ( x; y ) või z x . x
docstxt/130632723481019.txt
diferentseerida selle muutuja järgi kui ühe muutuja funk-i, vaadeldes ülejäänud muutujad Q konstantidena. Osatuletise geom. Interpretsioon: a) Q=Q(K;L) toodangu funk. b) = Q K [MPPK] K Q = QL [MPPL] c) K=K0 märamis punktist jäävad alles punktid lõigul K0B fikseeritud K L tasand K0. QL osatuletis= kõvera tõus K0CDA. TPPL- kõver fixeeritud kapitali taseme K=K0 korral. 13. Jacobi determinandid e jakobiaanid ridades kõik seosed, veerud osatuletised vastava muutuja järgi Maatriksi astakuks nim arvu r, kui maatriksi ridade ja ridade ja veergude kustutamise teel maatriksi elementidest moodustatud r-järku determinantiide hulgas on vähemalt üks nullist erinev, kõik sel viisil moodustatud (r+)-järku determinandid aga on nullid (või neid ei saagi moodustada). Kui
083 miinus lõpmatusest -3 ja 1 lõpmatuseni on nõgus <-vastus -3 kuni 1 on kumer · Mitme muutuja funktsiooni osatuletised. Näiteülesanne Leida järgmise funktsiooni osatuletised. u ( x, y , z) := z tan ( x y + 1) funktsioon ( 2 u ( x, y , z) y z tan ( x y + 1) + 1 ) x <-osatuletis x-i järgi ( u ( x, y , z) x z tan ( x y + 1) + 1 2 ) y <-osatuletis y-i järgi u ( x, y , z) tan ( x y + 1) z <-osatuletis z-i järgi · Ilmutamata funktsioonid ja nende diferentseerimine. Ilmutamata kujul antud fn-i diferentseerimine F(x,y)=0
d=/xx+/yy+/zz. Kui =x siis /x=1; /y=0; /z=0 ja dx=1x+0y+0z=x Sõltumatu muutuja x suhtes langevad täisdif ja x-muut kokku. =y(x) ning seega dy(z)=y(z) d=/ xdx+/ ydy+/ zdz. Kui z=(x; y) siis dz=z/xdx+z/ydy. Nüüd kirjutada avaldise * kahe muutuja f-ni jaoks z=z/xx+z/yy+1x+2y; 1x+2y=0 siis zz/xx+z/yy (zdz) ja (x+x; y+y)-(x; y)z/xx+z/yy ja saab valemi: (x+x; y+y) (x; y) +z/ x x+z/ y y Ilmutuamata f-ni osatuletis F(x; y)=0 (1) F-n on pidev ja on olemas pidevad osatuletised Fx; Fy ja et Fy0. F(x+x; y+y)=0 (2) (2)-(1)=F(x+x; y+y)- F(x; y)=0. F=F/xx+F/yy+1x+2y=0. (F/y+2)y=-(F/x+1)x/:(F/y+2)x eeldusel et lim 1 = lim 2 = 0 ja seega dy/dx=-F x/F y Ilmutamata osatuletis: F(x; y;z)=0; (1) Fx; Fy; Fz; (2) Fz0; x ( y ) 0 x ( y ) 0 dz/dx=-F x/F z ja sama ka y-ga Liitf-ni osatuletised z=(u; v) ja u=u(x; y) ning v=v(x; y) ja on antud ka nende osatuletised.(vt
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij =...
4 muutuja x1 suurenedes funtsioon kasvab praktiliselt lineaarselt(kuna sten uuritakse kapitali (x1) ja tööjõu(x2) funtsioon eeldab ressursid on vastastiku asendatavad astendajad a1 ja a2 näitavad kapitali osakaalu toodangus ressursi kasutamise efektiivsuse hindamiseks kasutatakse osatuletis ehk funtksiooni muutumise kiirust, see võimaldab teada saada mis juhtub toodangumahuga kui muutuvad ressurside mahud. c) arvutada astmefunktsiooni osatuletiste väärtused muutuja x 1 järgi teise muutuja x2 kolmel erineval tasemel (x2 = 5, x2 = 11 ja x2 = 18); a0= 1 a1 = 0,89 x2 x1 5 11 18
4. Sõnastada m-muutuja funktsioon, m-muutuja funktsiooni määramispiirkond, m-muutuja funktsiooni muutumispiirkond, funktsiooni graafik. +muutumispiirkond +graafik 5. Nivoojooned, nivoopinnad. 6. Sõnastada kuhjumispunkt, m-muutuja funktsiooni piirväärtus, m-muutuja funktsiooni korduvad piirväärtused. 8. m-muutuja funktsiooni pidevus. m-muutuja funktsiooni katkevuspunkt. Pidevuse tarvilik ja piisav tingimus. 9. Sõnastada m-muutuja funktsiooni osatuletis. 10. Kahe muutuja funktsiooni osatuletise geomeetriline tähendus. 11. Pinna puutuja, puutujatasand, normaal. Tuletada puutujatasandi võrrand. +tuletamine 12. Kõrgemat järku osatuletised. Segaosatuletised. 13. Näidata, kui funktsiooni z = f(x, y) teist järku segaosatuletised zxy ja zyx on pidevad punktis P(x, y), siis selles punktis zxy = zyx. 15. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali geomeetriline tähendus. +graafik 16
toob kaasa funktsiooni f(x,y) väärtuste tõkestamatu lähenemise arvule A Kahe muutuja Funktsiooni z=f(x,y) nimetatakse pidevaks punktis (x 0, y0), kui ta on selles funktsiooni pidevus punktis määratud ning funktsiooni väärtus punktis (x 0, y0) võrdub tema piirväärtusega lähenemisel sellele punktile Esimest järku Funktsiooni z=f(x,y) esimest järku osatuletiseks argumendi x järgi osatuletis f ( x+ x , y )-f (x , y) nimetatakse piirväärtust z'x= lim x 0 x Liitfunktsiooni du dx du dy Kui u=f(x,y), x=x(t) ja y=y(t), siis liitfunktsiooni osatuletis on +
määratud punktis N0(x0;y0); · funktsioon z=f(x,y) on määratud punkti N0(x0;y0) ümbruse kõigis punktides, kuid · puudub piirväärtus · funktsioon on määratud N0(x0;y0) ümbruse kõigis punktides, piirväärtus on olemas, kuid 6. Kahe muutuja funktsiooni osatuletis. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks x järgi nim. vastava osamuudu xz ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletist x järgi tähistatakse sümbolitega: z'x , f'x(x,y) , . Seega definitsiooni kohaselt: Analoogiliselt defineeritakse funktsiooni z=f(x,y) osatuletis y järgi funktsiooni osamuudu yz ja muudu y suhte piirväärtusena y lähenemisel nullile.
piirkonnas iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 3) Kui funktsioon on pidev kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas D ja omandab selles piirkonnas nii positiivseid kui negatiivseid väärtusi, siis leidub selles piirkonnas vähemalt üks punkt A nii et (A) = 0. 14) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletise mõiste: Olgu antud m-muutuja funktsioon z= (x1, x2, ..., xm) ja olgu A= (a1, a2, ...,am) punkt funktsiooni määramispiirkonnas. Piirväärtust lim (a1, a2, ...,ai-1, xi,...,am) - (a1, a2, ...,ai-1, ai,...,am) xiai xi-ai nim funktsiooni osatuletiseks argumendi xi järgi punktis A ja tähistatakse
piirkonnas iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 3) Kui funktsioon on pidev kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas D ja omandab selles piirkonnas nii positiivseid kui negatiivseid väärtusi, siis leidub selles piirkonnas vähemalt üks punkt A nii et (A) = 0. 14) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletise mõiste: Olgu antud m-muutuja funktsioon z= (x1, x2, ..., xm) ja olgu A= (a1, a2, ...,am) punkt funktsiooni määramispiirkonnas. Piirväärtust lim (a1, a2, ...,ai-1, xi,...,am) - (a1, a2, ...,ai-1, ai,...,am) xiai xi-ai nim funktsiooni osatuletiseks argumendi xi järgi punktis A ja tähistatakse
1. Kahe muutuja funktsioonid (definitsioon, määramis-ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näited). 2. Nivoojoone mõiste (definitsioon, näited ja omadused). 3. Kolme muutuja funktsioon (definitsioon, näited). 4. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Tõlgendus – mida näitab osatuletis? Kuidas leida osatuletisi? 5. Ekstreemumid (lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioon). 6. Statsionaarne punkt (definitsioon). 7. Lokaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. 8. Globaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. Võrdlus lokaalsete ekstreemumite leidmisega. 9. Pinna puutujatasandi võrrand. Mis on lineariseerimine ja mis on selle idee? 10. Täisdiferentsiaali valem. Rakendusi (nt veahinnang). 11
x, y + y ) f (x, y) 44. kahe muutuja funktsiooni piirväärtus- arvu A nimetatakse funktsiooni f (x, y ) piirväärtuseks punkti P lähenemisel punktile P0 , kui iga arvu > 0 korral leidub arv r > 0 , et kõigi võrratust | PP0 | < r (vektori pikkus) rahuldavate punktide P puhul kehtib võrratus | f (x, y) A | < ja kirjutatakse lim f ( x, y) = A , x x0 ja y y0 45. mitme muutuja funktsiooni osatuletis- funktsiooni z = f(x, y, u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu x z ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: z ` x = lim x z / x kui x 0 Osatuletis y järgi: z ` y = lim y z / y kui y 0 46. mitme muutuja funktsiooni lokaalne ekstreemum- öeldakse, et funktsioonil z = ( x, y ) on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne ekstreemum, kui tal on selles punktis lokaalne maksimum või miinimum. 47
Optimeerimine majanduses 2011 sügis, kt nr 1 vastused/vihjed Ülesanded Optmajkt1A_11 1(2p). Firma kulufunktsioon on C = a q 3 + 3 q 2 + 3 q . Kuidas sõltub marginaalkulu parameetri a muu- tumisest ? Millise a korral on marginaalkulu alati mittenegatiivne? Tehke marginaalkulu graafik a = ¾ ja q > 0 korral. 2(2p). . Näidake, et y = 1 / ln (a / x ) (a > 0, x > 0) jaoks elastsus (y; x ) = y. Millise y korral (y; x ) = x ? 3(4p). Olgu nõudlusfunktsioon D n = 5 4 p n2 ja pakkumisfunktsioon S n + 1 = 1 + p n2 . a) Koostage hinna diferentsvõrrand. b) Leidke tasakaaluhind. c) Tehke "ämblikuvõrgu" analüüsi. d) Hinnast p 0 = 1 lähtudes leida kolm järgmist hinda. Vihje: x 2 / a 2 + y 2/ b 2 = 1 on ellips. 4(6p). Käsitlege Cournot' duopoli mudelit juhul diferentsvõrrandis TC i = (i c ) q i (i = 1, 2). Leidke q1*, q2*, Q*, P*. Tehke q1* võrdlevat staatikat kulumarginaali c suhtes ning sõnastage saadud tulemus. 5(6p). Monopolisti toodangule on n...
muutuja z diferentsiaalide jagatisena. Saame {g[f(x)]}′ = dz/dx . Kasutades neid valemeid arvutame: ' dz dz ∙ dy { g [ f ( x ) ] } = dx = =g' ( y ) ∙ f ' ( x )=g ' [ f ( x ) ] f '( x ) dy ∙ dx ' Liitfunktsiooni arvutamise valem: { g [ f ( x ) ] } =g ' [ f ( x ) ] f ' (x) 15. Loetleda diferentsiaali omadused. 16. Defineerida n-muutuja funktsiooni osatuletis. Kuidas seda tähistatakse? f (a 1, . .. , ai−1, xi ,ai+1, . .. , an)−f (a 1, . .. , ai−1, ai , ai+ 1,. . . , an) Järgmist piirväärtust lim xi xi−ai nimetatakse funktsiooni f osatuletiseks muutuja xi suhtes argumentide väärtustel a1,…an ∂f ∂ tähistatakse f ' xi ( a1 ,…
artuse vahel. Omadus 3. Kui funktsioon f on pidev kinnises t~ okestatud sidusas piirkonnas D ja omandab selles piirkonnas nii positiivseid kui negatiivseid v¨ a¨artusi, siis leidub selles piirkonnas v¨ ahemalt u ¨ks punkt A nii et f (A) = 0. 14) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletise m~ oiste. Olgu antud m-muutuja funktsioon z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) ja olgu A = (a1 , a2 , . . . , am ) punkt funktsiooni f m¨a¨ aramispiirkonnas. Piirv¨a¨ artust f (a1 , a2 , . . . , ai-1 , xi , ai+1 , . . . , am ) - f (a1 , a2 , . . . , ai-1 , ai , ai+1 , . . . , am ) lim
..) . Funktsiooni f osatuletiseks muutuja x järgi nim. ühe muutuja funktsiooni tuletist, mis saadakse funktsiooni f ülejäänud muutujate lugemisel konstantideks. f ( x, y , z,...) Seda tähistatakse: wx = f x ( x, y , z ,...) = . x Funktsiooni osatuletise leidmiseks antud punktis leitakse kõigepealt antud funktsiooni osatuletis ning seejärel omistatakse osatuletise kui uue funktsiooni muutujatele etteantud punkti koordinaadid. Kõrgemat järku osatuletised Olgu antud funktsioon z = f ( x, y ) ning leidugu z x ja z y . Siis 2 f ( x, y ) 2 f ( x, y ) 2 f ( x, y ) 2 f ( x, y ) z xx = ( z x ) x = z xxy = ( z x ) = z yx = ( z y ) = z yy = ( z y ) y = .
Ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui Öeldakse, et funktsioonil funktsioonil z = f ( x, y ) on punktis M 0 ( x0 ; y 0 ) (s.o. z = f ( x, y ) on x = x0 , y = y 0 puhul x = x0 ja y = y 0 korral) maksimum, ekstreemum, siis argumentide nende väärtuste puhul z iga esimest järku kui f ( x0 ; y 0 ) > f ( x, y ) kõigi punktile osatuletis võrdub nulliga või puudub. ( x0 ; y0 ) küllalt lähedaste ja temast Tõestus. Anname muutujale y kindla erinevate punktide f ( x, y ) puhul. väärtuse, nimelt y = y0 . Siis Öeldakse, et funktsioonil f ( x, y 0 ) on ühe muutuja x funktsioon. z = f ( x, y ) on punkti M 0 ( x0 ; y 0 ) (s.o. Et punkt x = x0 on tema x = x0 ja y = y 0 korral) miinimum, ekstreemumkohaks
sisu. Summa, vahe, korrutise, jagatise ja liitfunktsiooni pidevus. 8. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid etteantud hulgal. Sõnastada kinnises tõkestatud hulgas pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada kinnises tõkestatud sidusas hulgas pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. 9. Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise definitsioon. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletiste tõlgendus ja geomeetriline sisu kahemuutuja funktsiooni korral. 10. Liitfunktsiooni osatuletise valem. Täistuletise mõiste. 11. Olgu ühemuutuja funktsioon y = f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Parameetrilise kahemuutuja funktsiooni osatuletiste leidmine. 12. Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas
Määramispiirkond Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas, siis öedakse, et z=f(x;y)on määratud punktis (x0;y0). Argumentide väärtuspaaride hulka, mille korral funktsioon on määratud nimetakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Nivoojoon(Nivoopind) Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetakse punktihulka, mis rahuldab võrranditx=C. Enamikul funktsioonidel on lõpmata palju nivoojooni.3 muutuja funktsiooni puhul muutub nivoojoon nivoopinnaks. Osatuletis, selle geomeetriline tähendus Def: Funktsiooni z = f(x;y) esimest järku osatuletiseks x järgi nimetatakse piirväärtust f ( x + x; y ) - f ( x; y ) lim x 0 x z ' x ,
F(x,y(x),Y`(x))=0 x (a , b) Cauchy ülesanne 1-järku võrrandi jaoks seisneb sellise lahendi y(x) leidmises, mis rahuldab algtingimust y( x0 ) = y0 Peano teoreem Olgu f(x,y) pidev kahemuutuja f-n piirkonnas D. Siis läbi iga punkti (x0,y0) D kulgev vähemalt 1 DV integraalkõver. On tuntud ka Dv lahendi olemasomu teoreemina. Cauchy teoreem - Olgu f(x,y) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas f ( x, y ) olemas pidev osatuletis y . Siis läbib igat punkti (x0,y0) kuulub hulka D kulgeb parajasti üks DV integraalkõver. On tuntud DV lahendi ühesuse teoreemina. Kasvamine ja kahanemine tüüpiline võrrand kujul dx/dt=kx, kus otsitav on x=x(t), tema tuletis dx/dt, t sõltumatu muutuja(tavaliselt aeg) ja k võrdetegur. Eraldatud muutujatega DV M(x)dx+N(y)dy=0, kus M(x) ja N(y) on antusd funktsioonid (N: x+lny=0) Teoreem Olgu M(x) pidev vahemikus (a,b), N(y) pidev vahemikus ( , ) ning
Tuletise rakendusi funktsiooni käitumise uurimisel: 1) f'(x) > 0 positiivsuspiirkond; 2) f'(x) < 0 negatiivsuspiirkond; 3) f'(x) = 0 annab kriitilised kohad, mida saab teise tuletisega kontrollida; 4) f''(x) > 0 annab nôgususpiirkonna; 5) f''(x) < - annab kumeruspiirkonna; 6) f''(x) = 0 annab käänukohad. 33. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. Mitme muutuja funktsiooni osatuletis kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limx0(xZ / x) = Z'x st. osatuletis muutja x järgi; xZ = f(x0 + x; y) f(x;y). Kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limy0(yZ / y) = Z'y st. osatuletis muutja y järgi; yZ = f(x; y0 + y) f(x;y). Mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal: w=f(x;y;z); dw = w'xdx + w'ydy + w'zdz. 34. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine: z=f(x;y). Leiduvad osatuletised z'x , z'y , z''x2 , z''y2 , z''xy. Eeldame, et funkts. on pidev ja segaosatuletised vôrdsed
Optimeerimine majanduses 2011 sügis, kt nr 1 vastused/vihjed Ülesanded Optmajkt1B_11. 1(2p). Kui hinnaga P kauba iga ühiku q pealt makstakse aktsiisi t, siis kauba pakkumisfunktsioon on qS = (P t )/ 2 c (c>0 ). Olgu nõudlusfunktsioon qD = a - P/ 2 (a>0 ). a) Leida tasakaaluhind P* ja tasakaalukogus q*, mis sõltuvad aktsiisist t. b) Leida kogu maksutulu T = t q* maksimaalne väärtus t suhtes. 2(3p). Hinnaga P kauba nõudlusfunktsioon olgu Q = P 1/a (a>0 ). a) Millise a korral on nõudlus väheelastne, ühikelastne või elastne hinna suhtes. b) Näidake, et antud nõudlusfunktsiooni korral tulukuse R = P Q marginaal MR ( Q suhtes) rahuldab seost MR = P (1 + 1/ (Q; P ) ) 3(3p). Olgu nõudlusfunktsioon D n = 5 p n2 ja pakkumisfunktsioon S n + 1 = 1 + 4 p n2 . a) Koostage hinna diferentsvõrrand. b) Leidke tasakaaluhind. c) Tehke "ämblikuvõrgu" analüüsi. Vihje: x 2 / a 2 + y 2/ b 2 = 1 on ellips. 4(6p). Käsitlege Cournot' duopoli mudelit juhu...
Funktsioon on lokaalne maksimum (miinimum) kui see asub kogupiirkonnast valitud lõigust suuremas (väiksemas) kohas. 32. Defineerida kahe muutuja funktsiooni globaalne maksimum ja miinimum antud piirkonnas D. 33. Millised on tarvilikud tingimused selleks, et kahe muutuja funktsioon z = f (x, y ) omaks lokaalset ekstreemumit punktis P (x * , y * ) ? Lokaalne ekstreemum on sellisel juhul, kui selles punktis on lokaalne maksimum või miinimum Punktis on osatuletis = 0 või puudub 34. Mis on võrdlev staatika? Ettevõtte kasum avaldub funktsiooni z = f (x, y ) abil, mis sisaldab positiivseid parameetreid a ja b ning kus x ja y on kahe erineva toote tootmismahud. On teada, et kasum saavutab maksimumi, kui x = 2a − b ja y = a + 3b . Milliste a ja b väärtuste korral omab see lahend mõtet? Leida võrdleva staatika tulemused ja selgitada, mida need tähendavad.
7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne Cauchy ülesanne esimest järku HDV jaoks: Kus xo,y0 on mingid antud reaalarvud. Lause (Peano teoreem) Olgu f (x;y) pidev kahemuutuja funktsioon piirkonnas D R2. Siis läbi iga punkti (x0; y0) D kulgeb vähemalt üks diferentsiaalvõrrandi y'= f (x; y) integraalkõver. Lause (Cauchy teoteem) Olgu f (x; y ) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas olemas pidev osatuletis fy (x; y ). Siis läbi iga punkti (x0; y0) D kulgeb parajasti üks diferentsiaalvõrrandi y' = f (x; y) integraalkõver. Definitsioon Võrrandi y'= f (x; y) üldlahendiks piirkonnas D nimetatakse suvalisest konstandist C sõltuvat lahendit y = y(x; C), mis rahuldab tingimust: iga punkti (x0; y0) D korral leidub konstandi C selline väärtus C0, et lahend y = y (x; C0) rahuldab algtingimust y(x0) = y0. Definitsioon
ni ui @ # n; M*2 ] !ni u2i @ # n 33. Punkthinnangu arvutamise momentide meetod. Valimi keskmise ja dispersiooni arvutamine summa meetodil [D = M*1 h+C; DB = [M*2 - (M*1)2 ] h2, M*1 ] d1 # n; M*2 ] !s1 + 2s2 @ # n ; d1 = a1 - b1 , s1 = a1 + b1 , s2 = a2 + b2 34. Punkthinnangu arvutamise parima sobivuse meetod Antud jaotise mitteteada parameetrite väärtuste hinnang seisneb sobivusfunktsiooni maksimumi leidmises. f(x1, ..., xn, ) = ln f(x1, ..., xn, ) = ln f(xi, ). Maksimiseerimise tingimus on osatuletis f ]0. 35. Matemaatilise ootuse intervallhinnang [D - t ( / n) a [D + t ( / n), kus t ( / n) = on valimi mahu täpsushinnang> t Laplace funktsioonist ! t @. 36. Dispersiooni ja standardhälbe intervallhinnang s (1 q) s (1 + q) kui q < 1; q tabelist n ja alusel. 37. Statistilise hüpoteesi põhimõte Parameetrite või jaotuste vastavuse kontrollimine teoreetiline ja empiiriline. Kontrollkriteerium. Olulisustase (tõenäosustase) . Hüpoteesid Y0 ja Y1. 38
f(a)) 3) F(a)=F(b)=0 F(a)=(f(a)-f(a))(b-a)-(f(b)-f(a))(a-a)=0 Definitsioon 3 Kahe muutuja funktsiooni F(x,y) osatuletis x-i Vastavalt Rolle'i teoreemile eksisteerib niisugune c järgi saadakse võttes teine muutuja y konstantseks. (a,b), et F'(c)=0
Kolmemõõtmeliste väljade operaatorid Operaator "nabla" = x , y , z = x i + y j + z k Olgu antud väli (funktsioon) = ( x, y, z ) = ( x ) . Gradient on kiireima muutuse suunaline vektor = grad = x , y , z = n n kus n on välja samaväärtuspinna normaalisuunaline ühikvektor (risti pinnaga = const) ning on normaalisuunaline osatuletis. n Vektorvälja v = ( u , v, w) , kus kõik komponendid on kolme koordinaadi funktsioonid, divergents määratakse kui operaatori ja vektori v skalaarkorrutis u v w v = div v = + + . x y z Vektorvälja v = ( u , v, w) rootor defineeritakse kui operaatori ja vektori v vektorkorrutis
Tihti esitatakse need kujul : 1. 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne Cauchy ülesanne esimest järku HDV jaoks: Kus xo,y0 on mingid antud reaalarvud. Lause (Peano teoreem) Olgu f (x;y) pidev kahemuutuja funktsioon piirkonnas D R2. Siis läbi iga punkti (x0; y0) ϵ D kulgeb vähemalt üks diferentsiaalvõrrandi y’= f (x; y) integraalkõver. Lause (Cauchy teoteem) Olgu f (x; y ) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas olemas pidev osatuletis fy (x; y ). Siis läbi iga punkti (x0; y0) ϵ D kulgeb parajasti üks diferentsiaalvõrrandi y’ = f (x; y) integraalkõver. Definitsioon Võrrandi y’= f (x; y) üldlahendiks piirkonnas D nimetatakse suvalisest konstandist C sõltuvat lahendit y = y(x; C), mis rahuldab tingimust: iga punkti (x0; y0) ϵ D korral leidub konstandi C selline väärtus C0, et lahend y = y (x; C0) rahuldab algtingimust y(x0) = y0. Definitsioon
30. Tuletise geomeetriline ja füüsikaline vaste. Funktsiooni muutumise kiirus ja kiirendus. geomeetriliselt tähendab diferentseeruva funktsiooni y = f(x) tuletis y' = f'(x) selle funktsiooni graafikule punktis P(x; f(x)) tõmmatud puutuja tõusu k. füüsikaliselt näitab tuletis liikumise hetkkiirust. 31. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. mitme muutuja funktsiooni osatuletis funktsiooni z = f(x; y) osatuletis argumendi x järgi tähistatakse z'x. mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal kui funktsiooni z = f(x; y) osatuletised on z'x ja z'y ja need on funktsiooni määramispiirkonna punktis (x; y) pidevad, siis leidub vaadeldaval funktsioonil täisdiferentsiaal dz = z'x dx + z'y dy nt: 32. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine. funktsioonil z = f(x; y) on lokaalne maksimum punktis M(xo; yo), kui f(xo; yo) > f(x; y)
fx(x,y)z/x:= lim(x0) f(x+x,y)-f(x,y), / x fy(x,y)z/y:= lim (y0) f(x,y+y)-f(x,y) / y Taylori valem kahe- või mitmemuutuja funktsiooni jaoks. Jääkliikme Lagrange' kuju. Kui hulgal määratud funktsioonil u = f(P) eksisteerib osatuletis uxi hulga 0 igas punktis, siis see osatuletis uxi kujutab Funktsiooni z=f(x,y) nimetatakse n korda diferentseeruvaks punktis P(x,y), kui selle funktsiooni kõik (n-1)-järku osatuletised on endast hulgal 0 määratud funktsiooni. diferentseeruvad punktis P. Seega n-muutuja funktsiooni osatuletised on n-muutuja funktsioonid millest võime võtta osatuletisi muutuja xk(k1,..
muutumise kiirust). See võimaldab teada saada, mis juhtub toodanguga, kui muutuvad ressursside mahud Cobb-Douglase funktsiooni graafikuks on kumer pind. Cobb-Douglase funktsioon on kasvav funktsioon Ressursi x2 suurenedes kasvab funktsioon oluliselt mittelineaarselt, kuna astendaja a2 ligikaudu 0 Ressursi x1 suurenedes kasvab funktsioon praktiliselt lineaarselt, kuna a1 astendaja=1 Majanduslikult näitab ressursi K osatuletis y/x1 (ressursi kasutamise efektiivsus) tootmismahu ligikaudset muutu, kui ressurssi K kasutatakse ühe ühiku võrra enam ja ressursi L kogus ei muutu. Majanduslikult näitab ressursi L osatuletis y/x2 tootmismahu ligikaudset muutu, kui ressurssi L kasutatakse ühe ühiku võrra enam ja ressursi K kogus ei muutu. Järelikult vastava ressursi osatuletis näitab kogutoodangu ligikaudset muutu selle ressursi ühe täiendava ühiku kasutamisest eeldusel, et teine ressurss ei muutu. 19
1. Kahe muutuja funktsioon ja selle osatuletise rakendused: ekstreemumi leidmine, pinna puutuvtasapind ja normaal, näiteid Kahe muutuja funktsioon esitab pinda xyz-ruumis R3. Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem
järku HDV jaoks f(x,y) on pidev piirkonnas D=> eksisteerib (Xo; Yo). Kui y=y(x) on teada, siis y'(x) = f(x, y(x)) iga xD korral ; y'(Xo)=f(Xo,y(Xo)) ; y'(Xo)=f(Xo,Yo) ; tan=y'(Xo)=f(Xo;Yo) 2.I järku DV lahend: DV lahend on funktsioon, mille asetamisel võrrandisse same samasuse sõltumatute muutujate suhtes. *Esimest järku DV üldlahendiks nim f-i: y(Xo)=Yo. Lahendi olemasolu ja ühesus: Cauchy teoreem: Olgu f(x;y) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas olemas pidev osatuletis f(x,y)/y. Siis läbi iga punkti (Xo;Yo)D kulgeb parajasti üks DV integraalkõver (Cauchy ülesandel on parajasti üks lahend. Cauchy ülesande puhul võib esineda kolm võimalust: 1)ül polegi lahendit 2)ül on mitu lahendit 3)ül on parajasti üks lahend. Näiteks Cauchy ülesandel y'=-x/y, y(0)=0 lahend puudub. Cauchy ülesandel y'=3y 2/3 , y(Xo)=0 on mistahes algväärtuse Xo korral mitu lahendit, näiteks lahendid y=0 ja y=(x-Xo)3
Kus üldlahend parameetrilisel kujul (10.4) (10.3)' saame eralduvate muutujatega võrrandi: Esimest järku võrrandi lahendi olemasolu teoreem ja ühesuse teoreem. Teoreem 10.1 Vaatleme võrrandit, kus (10.5) Olgu f: f(x,y) pidev ristkülikus ja olgu täidetud Lipscitzi tingimus y-muutuja suhtes. Siis eksisteerib üksainus võrrandi (10.5) lahend: , mis rahuldab algtingimust . Lipschitsi tingimusest järeldub: . Järelikult, kui eksisteerib osatuletis , siis saame, et (tõkestatud K-ga absoluutväärtus). 11. Claeraut' ja Lagrange'i võrrandid Need võrrandid on võrrandi (10.3) erijuhud. Claeraut' võrran omab kuju: (11.1) . Lagrange'i võrrandi kuju on: (11.2) . Mõlemal juhul asendame ja diferentseerimine võrduse mõlemat pool x suhtes. (11.1) saame ja . (11.3) sirgete parv Teine võimalus . Siit saame iseärase lahendi: (11.4) sirgete parve mähisjoon. Langrang'i võrrandist (11.2) saame Võttes , saame lahendi p1, p2, .......
Püsival rõhul ja temperatuuril saavad spontaanselt toimuda vaid need protsessid (keemilised reaktsioonid), mille Gibbsi energia väheneb. Seega kulgeb iga protsess iseeneslikult vabaenergia vähenemise suunas (∆G < 0). 44. Gibbsi vabaenergia arvutamine. Konstantne rõhk ja temperatuur deltaG=deltaH-T*deltaS deltaG=-T*deltaS Standardne reaktsiooni vabaenergia G=Gsaadused-Glähteained 45. Keemiline potentsiaal. Keemiline potentsiaal on termodünaamilise potentsiaali osatuletis aine moolide arvu järgi. 46. Keemiline tasakaal, tasakaalukonstantide erinevad avaldusvormid. Pöörduvate reaktsioonide korral: Kui tingimused ei muutu, kulgevad reaktsioonid olekuni, kus vastassuunaliste reaktsioonide kiirused saavad võrdseks, ainete kontsentratsioonid enam ajas ei muutu ja tekkinud segus on sõltuvalt tingimustest rohkem või vähem kõiki reaktsioonis osalevaid aineid = TASAKAAL K=(C)^C*(D)^D/(A)^A*(B)^B Kc=(C)^C*(D)^D/(A)^A*(B)^B p=(Pc)^C*(Pd)^D/(Pa)^A*(Pb)^B 47
Kahe muutuja funktsiooni määramispiirkonda kujutab teatud punktide hulk tasandil. Lihtsamatel juhtudel koosneb kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond joontega piiratud tasapinna osadest. 43. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z=f(x,y, u, ...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu z ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: Funktsiooni z = f(x,y, u, ..) osatuletis y järgi: 44. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis. Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust. grad z(P ) = (z' 45. Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Funktsioon F kasvab antud punktis A kõige kiiremini selle funktsiooni gradiendi suunas. Suunatuletise
yi b1 b2 x2i b3 x3i ... bk xki ui summaarne TSS=ESS+RSS n-1 · Kui x2 suureneb ühiku võrra ja ülejäänud seletavad tunnused x3, ... xk jäävaks samaks, siis y muutub b2 võrra. · Ceteris paribus: kõik muu jääb samaks · bj on y marginaalväärtus xj suhtes, matemaatiliselt osatuletis F statistik allub Fisheri ehk F- jaotusele y bj x j 2
3) x k x k 0 x k k = 1,2,..., n z Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) ja selle osatuletist . x xz = tan x Kui x 0 , siis tan tan z z = lim x = lim tan = tan , x x 0 x x 0 kus on puutuja tõusunurk, tan = k on puutuja tõus. z Geomeetriliselt on osatuletis võrdne pinna z = f ( x, y ) ja tasandi y = const x lõikejoone antud punktis tõmmatud puutja tõusuga k = tan . z Analoogselt on võrdne pinna z = f ( x, y ) ja tasandi x = const lõikejoonele tõmmatud y puutuja tõusuga. 4. Kahe muutuja funktsiooni diferentsiaal. Teoreem diferentsiaali olemasolust. Def. 4.1. Kui kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) täismuudu saab esitada kujul z = Ax + By + ( ) ,
x + x, y + y ) f (x, y) 44. kahe muutuja funktsiooni piirväärtus - arvu A nimetatakse funktsiooni f (x, y ) piirväärtuseks punkti P lähenemisel punktile P0 , kui iga arvu > 0 korral leidub arv r > 0 , et kõigi võrratust | PP0 | < r (vektori pikkus) rahuldavate punktide P puhul kehtib võrratus | f (x, y) A | < ja kirjutatakse lim f ( x, y) = A , x x0 ja y y0 45. mitme muutuja funktsiooni osatuletis - funktsiooni z = f(x, y, u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu x z ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: z ` x = lim x z / x kui x 0 Osatuletis y järgi: z ` y = lim y z / y kui y 0 46. mitme muutuja funktsiooni lokaalne ekstreemum - öeldakse, et funktsioonil z = ( x, y ) on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne ekstreemum, kui tal on selles punktis lokaalne maksimum või miinimum.
1. punkt A ei kuulu funktsiooni määramispiirkonda; 2. ei eksisteeri piirväärtust lim f (P ) ; P A 3. ei kehti võrdus lim f (P ) = f ( A) . P A 2 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 5. Mitme muutuja funktsiooni osatuletis Olgu antud funktsioon z = f ( x1 ,..., x m ) . Olgu argumendi xi (1 i m ) muut xi . Def. Funktsiooni z = f ( x1 ,..., x m ) osatuletiseks muutuja xi (1 i m ) järgi punktis P( x1 ,..., x m ) nimetatakse piirväärtust f ( x1 ,..., xi -1 , xi + xi , xi +1 ,..., x m ) - f ( x1 ,..., x m ) f xi := lim .
parempoolseim number on viimane oluline tüvenumber; δ suhteline viga; δk korduvmõõtmise suhteline viga; ∆ absoluutne viga; sümbolile võib järgneda füüsikalise suuruse tähis; ∆k korduvmõõtmise absoluutne viga; n mõõtmiste arv; ∂ osatuletis; tuletis mitme muutujaga funktsioonist üle ühe muutuja; σ standardhälve; t Studenti kordaja; uA A-tüüpi määramatus; väike u tähistab määramatust 68 % usaldusnivool; uB B-tüüpi määramatus; uC liitmääramatus;
com), Toomas Sarv 14 2. x 2 y + sin xy = 0 (ilmutamata funktsioon) Võtame mõlema poole tuletise, eeldades, et y on x -i funktsioon. 2 xy + x 2 y '+ cos y ( y + cy ' ) = 0 2 xy + y cos yx + ( x 2 + x cos y ) y ' = 0 2 xy + y cos xy y' = 2 x + x cos xy F = y 2 x + y cos xy x F = x 2 + x cos xy y Definitsioon 3 Kahe muutuja funktsiooni F ( x, y ) osatuletis x -i järgi saadakse võttes teine muutuja y konstantseks. F F ( x + x, y ) (9.5) = lim x x 0 x Analoogselt osatuletis y -i järgi saadekse nii, et x = const F F ( x, y + y ) (9.5) = lim y y 0 y Teoreem 2 Ilmutamata funktsiooni F ( x, y ) = 0 tuletis avaldub kujul F x (9.5) y' = - F y
com), Toomas Sarv 14 2. x 2 y + sin xy = 0 (ilmutamata funktsioon) Võtame mõlema poole tuletise, eeldades, et y on x -i funktsioon. 2 xy + x 2 y '+ cos y ( y + cy ' ) = 0 2 xy + y cos yx + ( x 2 + x cos y ) y ' = 0 2 xy + y cos xy y' = 2 x + x cos xy F = y 2 x + y cos xy x F = x 2 + x cos xy y Definitsioon 3 Kahe muutuja funktsiooni F ( x, y ) osatuletis x -i järgi saadakse võttes teine muutuja y konstantseks. F F ( x + x, y ) (9.5) = lim x x 0 x Analoogselt osatuletis y -i järgi saadekse nii, et x = const F F ( x, y + y ) (9.5) = lim y y 0 y Teoreem 2 Ilmutamata funktsiooni F ( x, y ) = 0 tuletis avaldub kujul F x (9.5) y' = - F y
Lahendi olemasolu ja ühesus: Kui võrrandis y' = f(x, y) on esinev funktsioon Tingliku ekstreemumülesande lahendamisel saab kasutada selle ülesandega seotud nn Lagrange’i funktsiooni. f(x, y)ja tema osatuletis fy' = (x, y) on muutuja y suhtes pidevad xy-tasandi mingis piirkonnas D, mis Lagrange’i funktsioon konstrueeritakse selliselt, et funktsioonile f liidetakse juurde teatud kordajaga . Lagrange’i funktsioon järgmine: F(x, y, λ) = f(x, y) + λ
Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui AD; eksisteerib piirväärtus lim f ( P ) ; lim f ( P ) = f ( A) PA PA Funktsiooni f nimetatakse pidevaks piirkonnas G kui ta on pidev selle piirkonna kõigis punktides. Pideva kahemuutuja funktsiooni graafik on pidev pind, st pind mis ei oma katkevuspunkte ega katkevusjooni. 4. Funktsiooni osatuletised Funktsiooni z = f(x, y) osatuletiseks x-i järgi z/x nim piirväärtust limx0(f(x+x,y)-f(x,y))/x=z/x. Osatuletis muutuja y järgi on z/y vastavalt piirväärtus limy0(f(x,y+y)/y=z/y. Osatuletist tähistatakse ka: z/x=f(x,y)/x=f/x=f 'x=fx=z'x=zx. Mitme muutuja funktsiooni osatuletise leidmiseks mingi muutuja järgi tuleb funktsiooni diferentseerida selle muutuja järgi kui ühe muutuja funktsiooni, vaadeldes ülejäänud muutujaid konstantidena. Funktsiooni z=f(x,y) teist järku osatuletised defineeritakse selle funktsiooni esimest järku osatuletiste osatuletisena ja tähistatakse
suunas. Reaktsiooni vabaenergia muutub temperatuuri muutudes aga märgatavalt ja võib isegi märki muuta! Standartne reaktsiooni vabaenergia: 25. Keemiline potentsiaal? Keemiline potensiaal on termodünaamikas potensiaalse energia vorm mida saab ära kasutada või vabastada keemilise reaktsiooni ajal. See on vaba energia kasvu mõõt teatud komponendi sisalduse muutumisel süsteemis, kusjuures süsteemi muud parameetrid ei muutu. - keemiline potentsiaal - so Gibbsi energia osatuletis üht liiki molekulide järgi i = (G/ni)P,T,n. 26. Keemiline tasakaal, tasakaalukonstantide erinevad avaldusvormid? Keemiline tasakaal. Pöörduvate reaktsioonide korral: Kui tingimused ei muutu, kulgevad reaktsioonid olekuni, kus vastassuunaliste reaktsioonide kiirused saavad võrdseks, ainete kontsentratsioonid enam ajas ei muutu ja tekkinud segus on sõltuvalt tingimustest rohkem või vähem kõiki reaktsioonis osalevaid aineid = TASAKAAL
работу. Из уравнения (2 -75) следует, что cp = ( dq/dT)p = ( ∂h/∂T)p. ( 2 -76) Таким образом, частная производная энтальпии по температуре и при постоянном давлении равна изобарной теплоемкости. 9. Millega on võrdne entalpia osatuletis temperatuuri järgi püsival rõhul: Чему равна частная производная энтальпии по температуре при постоянном давлении? Энальпия – это функция состояния, поскольку изменение энтальпии термодинамического тела в
annaabi.ee 
