Vastus leiad õppematerjalist: Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused

Mida nimetatakse kahe vektori skalaarkorrutiseks?

Vastus leiad õppematerjalist: Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused

Mida nimetatakse antud funktsiooni algfunktsiooniks?

Vastus leiad õppematerjalist: Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused

Mis on juhusliku suuruse keskväärtus?

Vastus leiad õppematerjalist: Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused (3)

Tartu Ülikool - Matemaatika - Matemaatika

3 KEHV

Esitatud küsimused

Mis on maatriks?
Mida nimetatakse kahe vektori skalaarkorrutiseks?
Mida nimetatakse antud funktsiooni algfunktsiooniks?
Mis on juhusliku suuruse keskväärtus?

Kõrgem matemaatika

Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid.
Maatriks – ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu.
Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega)
Maatriksi järk – tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks.
Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks : a11, a22, amm
- peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht ): a11 = a22 … = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks : aij = 0, iga i ja j korral; (Täh Θ).

Tehted maatriksitega ( korrutamine arvuga, liitmine , lahutamine, korrutamine).
1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij.
2) Maatriksite liitmine: (m*n) – ma. A, (p*q) – ma. B ja m=p, n=q. A+B=C (m*n-järku); cij = aij + bij, iga i ja j korral.
Omadused: A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C); A+Θ=Θ+A=A; A+(-A)=(-A)+A=0;k(A+B)=kA+kB.
3) Maatriksite vahe: B, (-1)B =täh –B (vastandmaatriks). A-B = A+(-B) e. esimese ma. ja teise ma. vastandmaatriksi summa.
4) Maatriksite korrutamine: m*n ma. A=(aij), n*q ma. B(bjk), kus i=1,…,m; j=1,…,n; k=1,…q). A(aij)*B(bjk) = (m*q ma.) C(cik), kus cik = n j=1 aijbjk = ai1b1k + ai2b2k + … ainbnk.
Omadused: A(BC)=(AB)C; A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA; kui A=B, siis CA=CB; kui A=B, siis AC=BC;k(AB)=(kA)B=A(kB).

Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor , alamdeterminant.
Determinant -lineaaralgebras teatav funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari.
Determinandi järk – tähistab determinandi môôtmeid (read = veerud ).
Tähistused: Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt det(A), det A või |A|.
Miinor – rittaarendamise meetodit kasutades leitavad determinandid (alamdeterminandi osa)
Alamdeterminant – miinor, koos nende positsiooni kirjeldavate kordajatega algdeterminandis

Teist- ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad.
Teist järku determinandi arvutuseeskiri: peadiagonaali elementide ja teise diagonaali elementide korrutiste vahe.
Kolmandat järku determinandi arvutuseeskiri: Sarruse reegli järgi.

Kõrgemat järku determinantide arvutuseeskiri.
Kôrgemat järku determinantide arvutuseeskiri: rittaarendamise meetodiga.

Pöördmaatriksi mõiste. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus, leidmise eeskiri .
Pöördmaatriksi môiste – kui maatriksi A korral leidub selline maatriks B, et AB=BA=E, siis maatriks B on A pöördmaatriks ja täh B = A-1.
Pöördmaatriksi olemasolu tingimus – A on ruutmaatriks ja maatriksi A determinant ei vôrdu nulliga.
Pöördmaatriksi leidmise eeskiri: A-1=(1/|A|)*(Aik)T.
7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju , laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend .
Lineaarne vôrrandisüsteem – Olgu antud n muutujat, x1, x2, x3,…,xn ja arvud a1, a2, a3, …, an, saame muutujate suhtes lineaarse vôrrandi a1x1 + a2x2 + … + anxn = b, kui meil on m lineaarset vôrrandit samade muutujate suhtes, saame lineaarse vôrrandisüsteemi.
Lineaarse vôrrandsüsteemi normaalkuju (a – kordaja, x – muutuja , b – vabaliige):
Lineaarse vôrrandsüsteemi laiendatud maatriks – moodustatakse normaalkujul vôrrandisüsteemi elementidest ja vabaliikmeid on eraldatud püstkriipsuga.
Lubatavad elementaarteisendused:
1) Rea korrutamine nullist erineva arvuga
2) Ridade vahetamine
3) Ühele reale mingi arvu kordse teise rea liitmine.
Vôimalike lahendite arv:
1) Reaalarvulised lahendid puuduvad
2) Lôpmata palju lahendeid
3) Kindel arv lahendeid (konkreetsed arvud vôi konstantidega üldlahend).
Lineaarse vôrrandsüsteemi üldlahend: igale muutujale vastab konstante sisaldav avaldis , mis rahuldab süsteemi kôiki vôrrandeid. Nad vôivad olla omavahel avaldiste kaudu seotud.
Lineaarse vôrrandsüsteemi erilahend: andes üldlahendi konstantidele väärtusi saab erilahendi.

Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest.
Lineaarse vôrrandsüsteemi maatrikskuju: AX=B; A=(aij), i=1,…,m ja j=1,…,n. X – muutujate maatriks; B – vabaliikmete maatriks; A – kordajate e. süsteemimaatriks.
Lineaarse vôrrandsüsteemi lahendamisest maatrikskujul.

Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga.
Lineaarse vôrrandsüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga: elementaarteisendusi kasutades tuleb tekitada lineaarse vôrrandisüsteemi laiendatud maatriksis peadiagonaali alla 0-d, ning alustades alumisest reast lugeda välja lahendid.

Koordinaatsüsteem sirgel. Ristkoordinaadistik tasandil. Punkti ristkoordinaadid sirgel ja tasandil.
Koordinaatsüsteemi sirgel määravad:
1) Suunaga arvsirge
2) Alguspunkt (liikumise algus; O)
3) Pikkusühik.
Ristkoordinaadistik tasandil:
1) Kaks ristuvat suunaga arvsirget
2) Alguspunktid ühtivad
3) Ühikud on vôrdsed.
Punkti ristkoordinaadid sirgel ja tasandil:
1) Sirgel: A(x = |OA|, kui A asub pos. osal; x = -|OA|, kui A asub neg. osal.)
2) Tasandil (punkti koordinaatide saamiseks vôtame ristprojektsioonid vastavatele telgedele): M  Mx, My; Mx(x), My(y) => M(x;y).

Lõigu keskpunkti koordinaadid. Kahe punkti vahelise kauguse avaldis.
Lôigu keskkpunkti koordinaadid – lôigu otspunktide vastavate koordinaatide aritmeetilised keskmised. C(c1;c2;c3)  cI = (ai+bi) / 2, kus i = 1,2,3. a – alguspunkti koord., b – lôpp-punkti koord.
Kahe punkti vahelise kauguse avaldis ristkoordinaatides: A(a1;a2;a3); B(b1;b2;b3)  |AB| = [(b1-a1)2 + (b2-a2)2 + (b3-a3)2]-1/2 = (3i=1 (bi-ai)2)-1/2.

Ristkoordinaadistik ruumis. Punkti ristkoordinaadid ruumis. Punkti sfäärilised koordinaadid. Seosed punkti rist - ja sfäärkoordinaatide vahel.
Ristkoordinaadistik ruumis: 1) Kolm ristuvat suunaga arvsirget; 2) Alguspuntkid ühtivad; 3) Ühikud on vôrdsed.
Punkti ristkoordinaadid ruumis - – (punkti koordinaatide saamiseks vôtame ristprojektsioonid vastavatele telgedele) M(x;y;z)  Mx(x), My(y), Mz(z).
Punkti sfäärilised koordinaadid – M(;;).  - punkti kaugus alguspunktist ;  - nurk OMxy ja x-telje pos. suuna vahel.  - nurk OMxy ja OM vahel.
Seosed punkti rist- ja sfäärkoordinaatide vahel:1) x 2) y 3) z = sin*

Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar - ja ristkoordinaatide vahelised seosed.
Polaarkoordinaadistik tasandil:
1) Suunaga arvtelg e. polaartelg.
2) Alguspunkt
3) Ühiku pikkus
4) Polaarraadius r = |OM|
5) Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;).
Punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahelised seosed: 1) x = rcos; y = rsin. 2) r = (x2+y2)1/2; tan = y/x.

Geomeetrilise vektori mõiste, tähistused. Vektorite võrdsus. Kollineaarsed vektorid .
Vektor e. suunatud lôik – lôik, millel on määratud suund (siht, suund ja suurus).
Tähistused – a = (a1;a2;a3) vôi AB = (a1;a2;a3).
Vektorite vôrdsus - vektoreid nim. vôrdseteks, kui nad on kollineaarsed, samasuunalised ja vôrdse pikkusega (vôivad erineda vaid alguspunkti poolest).
Kollineaarsed vektorid – vektorid, mis asuvad ühel ja samal sirgel vôi paralleelsetel sirgetel (siht on sama, suud ja pikkus vôivad olla erinevad).

Vektori korrutamine arvuga (geomeetriliselt). Vektorite liitmine ja lahutamine (geomeetriliselt).
Vektori korrutamine arvuga – vektori korrutamisel arvuga suureneb tema pikkus vôrdeliselt (siht ei muutu). Samasuunaline kui arv > 0, vastassuunaline kui arv a; ε = c/2 > 1. Asümptoodid – jooned, millele hüperbool läheneb lôpmatult: 1) y = -(b/a)x. 2) y = (b/a)x.

Parabool (mõiste, kanooniline võrrand).
Parabool – teist järku joon, mille iga punkt paikneb fikseeritud punktist (fookusest) ja etteantud (juht) joonest vôrdsetel kaugustel. d – punkti X(x;y) kaugus juhtjoonest; F(p/2; 0)  juhtjoone vôrrand x = -p/2  x + p/2 = 0. d = |Ax+By+C | / (A2+B2)1/2 = |x+p/2| / (12 + 02)1/2 = |x + p/2|. |XF| = [(x – p/2)2 + (y – 0)2]1/2. d = |XF|  |x+p/2| = [(x-p/2)2+y2]1/2  lihtsustades: y2 = 2px – parabooli vôrrand. p – fookuse kaugus juhtjoonest.

Ühe ja mitme muutuja funktsiooni mõisted. Elementaarfunktsioonid.
Ühe muutuja funktsioon – kui igale muutuja x väärtusele piirkonnas X vastab üks kindel muutuja y väärtus piirkonnas Y, siis öeldakse, et on antud funkts. x-st (y on funkts. x-st) e. y = f(x). x sôltumatu muutuja, y sôltuv muutuja.
Mitme muutuja funktsioon – kui iga vektori (x1;x2;…;xn) korral saab leida ühe kindla muutuja w väärtuse, siis see w on funktsioon muutujatest x1;x2;…;xn. xi  R, i = 1,2,…,n. n-môôtmeline vektor (x1;x2;…;xn)  |Rn. w=f(x1;x2;…;xn).
Elementaarfunktsioonid – funktsioonid, mida saab moodustada pôhielementaarfunktsioonidest aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise abil, n: y = x2 + 2x + 2, y = log(2x-3). Pôhielementaarfunktsioonid: f(x) = c; xa;ax;logax; sinx ;…;…arccotx.
Liitfunktsioonid : y=f(t) ja t = g(x)  y = f[g(x)] – y on argumendi x liitfunktsioon .

Ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali mõisted. Kõrgemat järku tuletised .
Ühe muutuja funktsiooni tuletis – kui leidub y=f(x) piirväärtus limx0(y/x) = limx0[f(x0+x) – f(x0)]/ x, siis seda piirväärtust nim. funkts. tuletiseks kohal x0 ja tähistatakse f’(x0).
Ühe muutuja funktsiooni diferentsiaal – kui leidub f’(x) ja x, siis diferentsiaaliks dy loetakse suurust dy=f’(x)* x. Kui y = x, siis dy = dx.

Liitfunktsioon ja selle tuletis.
Liitfunktsiooni tuletis – kui on antud y=f(t) ja t=g(x) ja y=f[g(x)]. Eeldusel , et leidub g’(x0) ja f’(t0), siis leidub ka f’(x0) = f’(t0)*g’(x0).

Funktsioonide summa, korrutise ja jagatise tuletise leidmise eeskirjad.
Funktsioonide summa tuletise leidmise reegel: (u+-v)’ = u’ +- v’.
Funktsioonide korrutise leidmise reegel: (uv)’ = u’v + uv’.
Funktsioonide jagatise leidmise reegel: (u/v)’ = (u’v – uv’)/v2.

Tuletise geomeetriline ja füüsikaline vaste . Funktsiooni muutumise kiirus ja kiirendus.
Tuletise geomeetriline tähendus – funktsiooni esimene tuletis mingil kohal annab funktsiooni puutuja tôusu sellel kohal.
Funktsiooni füüsikaline tähendus – funktsiooni esimene tuletis mingil ajahetkel annab hetkkiiruse sellel ajahetkel.
Tuletise rakendusi funktsiooni käitumise uurimisel : 1) f’(x) > 0 – positiivsuspiirkond; 2) f’(x) negatiivsuspiirkond ; 3) f’(x) = 0 – annab kriitilised kohad, mida saab teise tuletisega kontrollida; 4) f’’(x) > 0 – annab nôgususpiirkonna; 5) f’’(x)

Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste.
Mitme muutuja funktsiooni osatuletis – kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limx0(xZ / x) = Z’x st. osatuletis muutja x järgi; xZ = f(x0 + x; y) – f(x;y). Kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limy0(yZ / y) = Z’y st. osatuletis muutja y järgi; yZ = f(x; y0 + y) – f(x;y).
Mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal: w=f(x;y;z); dw = w’xdx + w’ydy + w’zdz.

Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine.
Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine: z=f(x;y). Leiduvad osatuletised z’x , z’y , z’’x2 , z’’y2 , z’’xy. Eeldame, et funkts. on pidev ja segaosatuletised vôrdsed. 1) Leida statsionaarsed kohad – süsteem: z’x(x0;y0) = 0 ja z’y(x0;y0) = 0; 2) Leida (x0;y0) = Z’’x2*Z’’y2 – (Z’’xy)2. 3) Kui (x0;y0) > 0 ja Z’’x2 0 ja Z’’x2 > 0, siis min koht; kui (x0;y0)

Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon . Määramata integraal ja selle omadused.
Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon – funktsiooni y = F(x) nim. funktsiooni y=f(x) algfunktsiooniks kui f(x) = F’(x). Kui y=F(x) on y=f(x) algfunkts., siis on seda y=F(x) + C.
Määramata integraal – määramata integraaliks funktsioonist y=f(x) nim. kôikide algfunktsioonide hulka e. f(x)dx = F(x) + C.
Määramata integraali omadused: 1) [f(x)dx]’ = f(x); 2) d[f(x)dx] = f(x)dx; 3) dF(x)=F(x)+C; 4) af(x)dx = af(x)dx; 5) [f(x) +- g(x)]dx = f(x)dx +- g(x)dx.

Integreerimisvõtteid (muutujavahetus, ositi integreerimine ).
Muutuja vahetus: f(u)du = f[g(x)]g’(x)dx; ( u = g(x); du = g’(x)dx )
Ositi integreerimine: udv = uv - vdu; (harilikult u-ks kas x aste vôi ln).
Liitfunktsioon: f(ax+b)dx = 1/a*F(ax+b)
39. Määratud integraali mõiste ja omadused. Newton -Leibnizi valem.
Määratud integraali môiste – eeldusel, et f(x) on pidev lôigus [a;b]; kui leidub piirväärtus (vaata all), siis see on määratud integraal funktsioonist y=f(x) rajades a-st b-ni.
Määratud integraali omadused: vaata omadused 4. ja 5., koos rajadega ning: 1) Kui rajad on vôrdsed on integral 0; 2) Integral rajadega a-b on integralide a-c ja c-b summa, kui c kuulub lôiku a-b.
Newton-Leibnizi valem -

Integraalarvutuse rakendusi.

Integraalarvutuse rakendusi:

Kaare pikkuse arvutamine

Pöördkehade ruumalade leidmine ja pindalade leidmine

Hariliku diferentsiaalvõrrandi mõiste, järk, üld- ja erilahend.
Hariliku diferentsiaalvôrrandi môiste – vôrrand, mis seob üht sôltumatud muutujat x funktsiooni y=f(x) ja selle funkts. tuletisi vôi diferentsiaali.
Hariliku dif. vôrrandi järk – vôrrandis sisalduvate tuletiste kôrgeim järk.
Hariliku dif. vôrrandi üldlahend – iga niisugune y=f(x0), mis rahuldab antud diferentsiaalvôrrandit mistahes konstantide C1…Cn väärtuste korral.
Hariliku dif. vôrrandi erilahendid – üldlahendi konstantidele C1…Cn on antud kindlad väärtused.

Mõningaid diferentsiaalvõrrandite lahendusvõtteid (eraldunud muutajatega, eralduvate muutujatega, 1. järku lineaarne homogeenne ja mittehomogeenne diferentsiaalvõrrand).
Lihtsamate dif. vôrrandite lahendusvôtted:
1) Eraldunud muutujatega dif. vôrrand – P(y)dy + Q(x)dx = 0  integreeri môlemad pooled
2) Eralduvate muutujatega dif. vôrrand – N(x)M(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0  jaga läbi, et eralduksid ning integreeri
3) Homogeenne 1. järku dif. vôrrand ( M(x;y)dx + N(x;y)dy = 0 ) – tekib situatsioon y/x – y  tx ja y’  t’x + x  lahenda ja t’ asenda dt/dx, lahenda ära, saab t, lôpuks asenda
4) 1. järku lineaarne dif. vôrrand: y’ + p(x)y = q(x)  a) u’ + p(x)u = 0 (saab u); b) uv’ = q(x) (saab v); y = uv  y’ = u’v + uv’.

Eksponentsiaalse kasvu seadus ja valem.

Juhuslik suurus, pidev ja diskreetne juhuslik suurus. Juhusliku suuruse jaotus (jaotusseadus).
Juhuslik suurus (JS) – suurus, mis antud tingimustes võib omandada ühe oma võimalikest väärtustest või väärtusvahemikest. Näiteks üliõpilaste arv loengul, puu diameeter , kilude protsent räimevõrgus jne.
Diskreetne JS – lõplik või loenduv hulk väärtusi (täringu silmade arv, mittearvulise tunnuse kodeerimistulemused jne.)
Pidev JS – iga kahe väärtuse vahel võime näidata veel ühe väärtuse (puu diameeter, väljapüütud kilu kaal jne.). JS tähistatakse suurtähtedega, näiteks X, Y, Z.
JS konkreetseid väärtusi tähistatakse vastavate väiketähtedega, näiteks JS X väärtusi x1, x2…
JS (tõenäosuste) jaotus ehk jaotusseadus on eeskiri, mis määrab vastavuse JS iga väärtuste hulga ja sellest hulgast mingi väärtuse omandamise tõenäosuse vahel.
Diskreetse JS X jaotus on vastavus iga xi ja tema esinemise tõenäosuse pi vahel. Seejuures
42. Juhusliku suuruse jaotus- ja tihedusfunktsioon .
Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks F(x) nimetatakse funktsiooni, mis määrab tõenäosuse, et JS on väiksem argumendi teatud väärtusest x,
F(x)=P(X

.DOC Laadi alla originaalfail 8 lk · .doc · 251 allalaadimist

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused #1

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused #2

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused #3

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused #4

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused #5

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused #6

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused #7

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused #8

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 8 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2012-02-04 Kuupäev, millal dokument üles laeti

251 laadimist Kokku alla laetud

3 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

uknow Õppematerjali autor

Kõrgema matemaatika küsimused ja vastused

maatrik miinor pöördmaatriks polaarkoordinaadistik ristkoordinaadistik punkti sfäärilised koordinaadid vektori korrutamine arvuga vektori koordinadid vektori projektsioonid

Sarnased õppematerjalid

doc

Kõrgema matemaatika eksam

1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij. ·

Kõrgem matemaatika

doc

Kõrgem matemaatika

KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks.

Kõrgem matemaatika

docx

Lineaaralgebra eksami kordamisküsimused vastused

1. Ristkoordinaadid- kui ruumis on antud ristkordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määratud ristkordinaatidega x,y,z, kus x on punkti P ristprojektsioon absissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaattelele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaattelele P(x,y,z) 2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nend

Matemaatiline analüüs 1

156

pdf

Kõrgem matemaatika

MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kõrgem matemaatika

doc

Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks

Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetami

Lineaaralgebra

rtf

Lineaaralgebra eksam

1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) z1, z2, z3 C korral

Lineaaralgebra

pdf

Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria konspekt

Eksami kordamisküsimused Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria (2015- 2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks lo

Algebra ja analüütiline geomeetria

doc

Algebra ja geomeetria kordamine

MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks, mille ridade arv

Algebra ja geomeetria

Rohkem sarnaseid