diferentseeruv punktis P(x1(t);…..; xn(t)), siis liitfunktsiooni f (x1(t); … ; xn(t)) = f (x(t)) = u(t) tuletis punktis t avaldub kujul Kui funktsioonid x = x(u; v) ja y = y(u; v) on diferentseeruvad punktis P(u; v) ning funktsioon z = z(x; y) on diferentseeruv punktis (x(P); y(P)), siis liitfunktsiooni z = z(x(P); y(P)) = z(u; v) osatuletised avalduvad kujul zu = zxxu + zyyu; zv = zxxv + zyyv (Tõestus järgmisel lehel…) 8. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. 9. Olgu ühemuutuja funktsioon y = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f (x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon y = f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x1, x2, . . . , xn, y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f (x) osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. TÄIENDATUD ! KAHTLANE, GERDI SLAIDILT 11. Tuletada pinna puutujatasandi võrrand kahe- või
Summa, vahe, korrutise, jagatise ja liitfunktsiooni pidevus. 8. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid etteantud hulgal. Sõnastada kinnises tõkestatud hulgas pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada kinnises tõkestatud sidusas hulgas pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. 9. Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise definitsioon. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletiste tõlgendus ja geomeetriline sisu kahemuutuja funktsiooni korral. 10. Liitfunktsiooni osatuletise valem. Täistuletise mõiste. 11. Olgu ühemuutuja funktsioon y = f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Parameetrilise kahemuutuja funktsiooni osatuletiste leidmine. 12. Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem
Contents Contents...................................................................................................................... 1 4.Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus........................................................ 5 7) Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Uks neist tuletada.............................. 6 8) Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. Gradient. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus..................................................................................................................... 9 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon u = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,u)= 0. Tuletada valem funktsiooni f osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2) või üldjuhul (x Rn)...........11 12
tunnused 16. Astmerea mõiste, astmerea koonduvusraadius ja koonduvuspiirkond. 17. Funktsiooni arendamine astmereaks; Taylori rida. 18. Fourier’ rea mõiste, funktsiooni arendamine Fourier’ reaks. 19. Mitme muutuja funktsiooni mõiste, geomeetriline tõlgendus, määramispiirkond. 20. .Kahe muutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuse mõiste. Piirväärtuse omadused ja arvutamine 21. Esimest järku osatuletiste mõisted, nende geomeetriline tõlgendus, osatuletiste arvutamine. 22. Liitfunktsiooni osatuletised. 23. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali mõiste, valem 24. Ligikaudsed arvutused täisdiferentsiaali abil. Kõrgemat järku osatuletised. 25. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsete ja globaalsete ekstreemumite mõisted, nende leidmine. Ekstreemumi leidumise tarvilikud ja piisavad tingimused. 26. Tinglikud kriitilised punktid. Lagrange’i kordajate meetod tinglike ekstreemumite leidmiseks 27
30. Absoluutselt koonduv rida ja tingimisi koonduv rida (definitsioonid, omadused). 31. Funktsionaalrida (definitsioon). 32. Taylori ja Maclaureni read (definitsioon, leidmine). 33. Astmerida (definitsioon, omadused, koonduvusraadius ja koonduvusintervall – kuidas neid leida?). 34. Fourier rea rakendusalasid. 35. Zeno paradoksid. 1. 2. nivoojooneks 3. 5. 6. 7. Statsionaarsete punktide leidmine > Osatuletiste leidmine + determinant > Tuleuse põhjal otsustamine 8. Leiame statsionaarsed punktid piirkonnas D > Leiame statsionaarsed punktid piirkonna D rajal > Mat.Analüüs 2 Page 1 7. Statsionaarsete punktide leidmine > Osatuletiste leidmine + determinant > Tuleuse põhjal otsustamine 8. Leiame statsionaarsed punktid piirkonnas D > Leiame statsionaarsed punktid piirkonna D rajal > Arvutame funktsiooni väärtused leitud punktides (suurim = g
Et y väärtus sellel tasandil on valemiga: z = f(x+x,y+y) f(x,y). konstantne, siis muutub z joonel PS ainult sõltuvalt argumendi x muutumisest. Andes sõltumatule muutujale x muudu x , saab z muudu, mida nimetatakse z osamuuduks x järgi ja tähistatakse sümboliga x z (joonisel lõik SS): xz = f(x+x,y) f(x,y). Andes nüüd argumendile x muudu x ja argumendile y muudu y 3. Kahe muutuja funktsiooni osatuletiste mõiste ja geomeetriline interpretatsioon (joonis). Funktsiooni z = f(x,y) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile. 4. Kahe muutuja funktsiooni sümboliga dz või df . täisdiferentsiaali avaldis f f dz = dx + dy . Täis diferentsiaali (tuletamiseta) ja täisdiferentsiaali x y
funtsioon eeldab ressursid on vastastiku asendatavad astendajad a1 ja a2 näitavad kapitali osakaalu toodangus ressursi kasutamise efektiivsuse hindamiseks kasutatakse osatuletis ehk funtksiooni muutumise kiirust, see võimaldab teada saada mis juhtub toodangumahuga kui muutuvad ressurside mahud. c) arvutada astmefunktsiooni osatuletiste väärtused muutuja x 1 järgi teise muutuja x2 kolmel erineval tasemel (x2 = 5, x2 = 11 ja x2 = 18); a0= 1 a1 = 0,89 x2 x1 5 11 18 10 0,8216703321 0,89753 0,94843 10,5 0,8171925614 0,892639 0,94326 11 0,8129458634 0,888 0,93836
Kogus q 1* =a / (3 b ) on konstant c suhtes, seega "kulumarginaali c muutmine ei muuda esimese firma optimaalset tootmiskogust q 1* ". 5. Monopolisti toodang mõjutab turuhinda P nõudlusfunktsiooniga P = 3 Q 1/2 . Monopolisti kasum on = TR - TC = P Q w L r K = [pärast asendusi ]=3 ( L K )1 / 3 w L r K . Kasumi maksimeerimine on mat- se analüüsi II keeles lokaalse ekstreemumi leidmine. Osatuletiste nulliga võrdsustamisel saate võrrandisüsteemi K 1 / 3/ L 2 / 3 = w , L 1 / 3/ K 2 / 3 = r . Saadud süsteem on peaaegu alati teatud mõttes sümmeetriline, mis võimaldab kasutada erivõtteid, näiteks võrrandite jagamist/korrutamist. Antud süsteemi on lihtne lahendada vahetu asendusmeetodiga (jagamisel/korrutamisel tuleb lõpuks ka asendada !). I-st saame K 1 / 3 = w L 2 / 3 ning asendades II- e saame L 1 / 3= r ( w L 2 / 3) 2 , millest L = L* = 1 / (r w 2 )
Kogus q 2* =a / (3 b ) on konstant c suhtes, seega "kulumarginaali c muutmine ei muuda teise firma optimaalset tootmiskogust q 1* ". 5. Monopolisti toodang mõjutab turuhinda P nõudlusfunktsiooniga P = 4 Q 1/ 4 . Monopolisti kasum on = TR - TC = P Q w L r K = [pärast asendusi ]=4 L 1 / 4 K 1 / 2 w L r K . Kasumi maksimeerimine on mat- se analüüsi II keeles lokaalse ekstreemumi leidmine. Osatuletiste nulliga võrdsustamisel saate võrrandisüsteemi K 1 / 2/ L 3 / 4 = w , 2 L 1 / 4/ K 1 / 2 = r . Saadud süsteem on peaaegu alati teatud mõttes sümmeetriline, mis võimaldab kasutada erivõtteid, näiteks võrrandite jagamist/korrutamist. Antud süsteemi on lihtne lahendada vahetu asendusmeetodiga (jagamisel/korrutamisel tuleb lõpuks ka asendada !). I-st saame K 1 / 2 = w L 3 / 4 ning asendades II- e saame 2 L 1 / 4= r w L 3 / 4 , millest L = L* = 4 / (r2 w 2 )
Funktsiooni z=f(x,y) osatuletist x järgi tähistatakse sümbolitega: z'x , f'x(x,y) , . Seega definitsiooni kohaselt: Analoogiliselt defineeritakse funktsiooni z=f(x,y) osatuletis y järgi funktsiooni osamuudu yz ja muudu y suhte piirväärtusena y lähenemisel nullile. Osatuletist y järgi tähistatakse sümbolitega z'y , f'y(x,y) , . Seega: Võime osatuletiste definitsioonid formuleerida ka järgmiselt: funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks x järgi nim. tema tuletist x järgi, mis arvutatakse eeldusel, et y on konstantne. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks y järgi
tegemist eksaktse DV-ga. Sellist võrrandit nimetame eraldatud muutujatega DV-ks. Kasutades eksaktse DV lahendi valemit saame osatuletised fx(x, y) ja fy(x, y) on pidevad punktis P(x, y), siis on funktsioon z = f(x, y) diferentseeruv punktis P(x, y).Tõestus: eraldatud muutujatega DV üldlahendi kujul M(x)dx + N(y)dy = C. Võrrandit kujul M1(x)M2(y)dx + N1(y)N2(x)dy = 0 nimetame Järeldub alajaotuse algul esitatud arutelust. Nimelt lähtudes osatuletiste fx ja fy pidevusest õnnestus funktsiooni muudule z anda eralduvate muutujatega DV-ks. Kuna M2(y)N2(x)((M1(x)/N2(x))dx + (N1(y)/M2(y))dy) = 0, siis lahenditeks saame konstantsed esitus z = fx(x, y) x + fy(x, y) y + . Saab näidata, et igal diferentseeruval funktsioonil on olemas esimest järku osatuletised.
fxi (A) v~oi (A) v~oi f (A) . xi xi Osatuletis kui funktsioon. Eksisteerigu funktsioonil f l~oplik osatuletis muu- tuja xi j¨argi mingi piirkonna D k~oigis punktides. See t¨ahendab et igale punktile P piirkonnast D saab vastavusse seada u ¨he kindla reaalarvu fxi (P ). Siis on osatuletis fxi piirkonnas D m¨a¨aratud funktsioon. 15) Liitfunktsiooni osatuletiste arvutamise valem. Funktsiooni täistuletis ja selle arvutamise valem. Liitfunktsiooni osatuletiste valemid. Olgu u1 = 1 (x1 , x2 , . . . , xm ), u2 = 2 (x1 , x2 , . . . , xm ), . . . , un = n (x1 , x2 , . . . , xm ) argumendist P = (x1 , x2 , . . . , xm ) s~oltuvad m-muutuja funktsioonid ja z = F (u1 , u2 , . . . , un ) argumendist (u1 , u2 , . . . , un ) s~oltuv n-muutuja funktsioon. Vaatleme liitfunktsiooni z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) = F 1 (x1 , x2 , . .
Võrrnad δx δy 1 2x 2 2 -4 12y 3 6x+4y 4x+10y Kokku saame 6 osatuletist. Kuna igal mõõtmistulemusel on selles ülesandes oma kaal, siis peame neid arvutuste juures arvestama ning eelnevalt koostama kaalumaatriksi W (Tabel 10). Tabel 10. Kaalumaatriks W 2 0 0 0 4 0 0 0 6 Järgnevalt moodutame Jacobi maatriksi (Tabel 11). Selleks leiame osatuletiste väärtused esialgsete muutujate x ja y väärtustega. Esialgsete muutujate väärtustega tuleb leida ka võrrandite väärtused. Tegelike mõõtmistulemuste ja esialgsete parameetrite põhjal leitud väärtuste vahe annab meile K maatriksi (Tabel 12). Tabel 11. Jacobi maatriks 7 2 -4 -27.6 11.8 -9 Tabel 12. K maatriks -0.15 -0.24 0.00 Nagu eelpool mainitud, siis peame arvestama mõõtmistulemuste kaaludega. Seetõttu
16 πLm (l 22−l 21) mm∗kg∗mm2 kg [ ] [ ] G= r 4 (T 22−T 21 ) [G] = mm4∗s 2 = mm∗s 2 16∗π∗904∗0.68(1202 −602) kg G= 0.6 4∗(7.372−5.11 2) = 9.13 * 107 ( mm∗s2 ) Nihkemooduli veo arvutamine osatuletiste alusel ∂G 16 πm ( l 22−l 21 ) 16∗π∗0.68 ( 1202−602 ) ∗∆ L= 4 2 ∗∆ L= ∗5=5.05∗10 5 ∂L 2 r ( T 2−T 1 ) 4 2 2 0.6 ( 7.37 −5.11 ) ∂G 16 πL ( l 22−l 21 ) 16∗π∗904 ( 1202 −602 ) ∗∆ m= 4 2 2 ∗∆ m= ∗0.001=1.34∗10 5
Normaalsüsteemi { dy 1 üldkuju =F 1 ( x , y 1, ... , yn ) dx ... dyn =Fn ( x , y 1, ... , yn ) dx Osatuletistega Võrrandit, mis seob otsitavat mitme muutuja funktsiooni tema osatuletiste ja diferentsiaalvõrrand sõltumatute muutujatega, nimetatakse osatuletistega diferentsiaalvõrrandiks I järku dif.võrrandi Kahe muutuja x ja y korral on esimest järku osatuletistega üldkuju diferentsiaalvõrrandi üldkujuks F(x,y,u,u'x, u'y)=0 Lineaarne Kui otsitav funktsioon u=u(x,y,z) on kolme muutuja funktsioon, siis lineaarse osatuletistega I järku osatuletistega diferentsiaalvõrrandi üldkuju on dif
𝜕𝑦 =0 𝜆 → 0. punktideks. Olgu P0 kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) statsionaarne punkt. Arvutame teist järku osatuletiste 5. y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje kehtib. Kasutades piirkonda D={(x,y)} ( ׀c ≤ y ≤ d) ˄ (𝜑(y) ≤ ψ(y))}, saab analoogiliselt näidata ∮Г 𝑌𝑑𝑦 = 𝜕2 𝑧 𝜕2 𝑧 𝜕2 𝑧 suhtes regulaarsete piirkondade korral
x0 ( x ) on LKS) x z z = + ( x ) x x y z z = + ( y ) y y kus ( x ) ja ( y ) on LKS kui x 0 ja y 0 . Siit z x z = x + ( x ) x x z yz = y + ( y ) y y Vaatleme funktsiooni täismuutu z = f ( x + x, y + y ) - f ( x , y ) = f ( x + x, y + y ) - f ( x, y + y ) + f ( x, y + y ) - f ( x, y ) = = x z ( x , y + y ) + y z ( x, y ) Asendades osamuudud osatuletiste kaudu, saame z z z = x + y + ( x ) x + ( y ) y x ( x , y + y ) y ( x , y ) z Eeldame, et osatuletis on pidev, siis x z z lim = y 0 x ( x , y +y ) x ( x ,y ) Siit z ( x, y + y ) = z ( x, y ) + ( y ) x x ( y ) 0 y 0 Lõplikult z z
´xi (A) või z ( A ) või z (A) xi xi Osatuletis kui funktsioon. Eksisteerigu funktsioonil lõplik osatuletis muutuja xi järgi mingi piirkonna D kõigis punktides. See täh et igale punktile P piirkonnast D saab vastavusse seada ühe kinlda reaalarvu ´xi(P). Siis on osatuletis `xi piirkonnas D määratud funktsioon. 15) Liitfunktsiooni osatuletiste arvutamise valem. Funktsiooni täistuletis ja selle arvutamise valem. d z = z + z du1 + z du2 +...+ z dun dx x u1 dx u2 dx un dx Liitfunktsiooni tuletist dz/dx nim ka sõltuvalt muutuja z täistuletiseks argumendi x järgi. Nimetus "täistuletis" tuleneb sellest, et tema arvutamisel on võetud arvesse muutuja z sõltuvust argumendist x täielikult liitfunktsiooni komponentide F ja 1, 2, ..., n kaudu.
´xi (A) või z ( A ) või z (A) xi xi Osatuletis kui funktsioon. Eksisteerigu funktsioonil lõplik osatuletis muutuja xi järgi mingi piirkonna D kõigis punktides. See täh et igale punktile P piirkonnast D saab vastavusse seada ühe kinlda reaalarvu ´xi(P). Siis on osatuletis `xi piirkonnas D määratud funktsioon. 15) Liitfunktsiooni osatuletiste arvutamise valem. Funktsiooni täistuletis ja selle arvutamise valem. d z = z + z du1 + z du2 +...+ z dun dx x u1 dx u2 dx un dx Liitfunktsiooni tuletist dz/dx nim ka sõltuvalt muutuja z täistuletiseks argumendi x järgi. Nimetus "täistuletis" tuleneb sellest, et tema arvutamisel on võetud arvesse muutuja z sõltuvust argumendist x täielikult liitfunktsiooni komponentide F ja 1, 2, ..., n kaudu.
IRM0110 Laineväljad ja antennid EKSAMIKÜSIMUSTE TEEMAD 2016 I LAINEVÄLJAD 1. ELEKTROMAGNETILINE VÄLI JA KESKKONA PARAMEETRID 1. Elektri- ja magnetvälja parameetrid ja omadused. IRM0110_03_mgvali.pdf LOENGUSLAIDIDE LÕPUS TABEL!!! IRM0110_02_elvali Elektrivälja tugevus: Laengud mõjustavad üksteist elektrivälja vahendusel. Igasugune laeng muudab teda ümbritseva ruumi omadusi: tekitab seal elektrivälja. Süsteemi kahest laengust võib vaadelda ka ekvivalentsel kujul kui laengut q1, mis asub laengu q2 poolt tekitatud elektriväljas. Elektrivälja tugevus on jõud, mis mõjutab üht laenguühikut elektriväljas. Vektori E suund ühtib positiivsele laengule mõjuva jõu suunaga. Joon.2-2. Punktlaengu elektrivälja tugevus E. kus F [N] on elektriline jõud, mis mõjutab üht laenguühikut elektriväljas piki laenguid ühendatavat joont, q1 ...
1. Kahe muutuja funktsioon ja selle osatuletise rakendused: ekstreemumi leidmine, pinna puutuvtasapind ja normaal, näiteid Kahe muutuja funktsioon esitab pinda xyz-ruumis R3. Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks
4) Mida nimetatakse kõverusringjooneks? 5) Millal ei ole inertsijõud reaalne? 6) Milliseid jõudusid nimetatakse dissipatiivseteks? Dissipatiivseteks nim jõudusi mittetsentraalseid jõudusi, mehaanilise energia jäävuse seadus kehtib vaid tsentraalsete jõudude korral. Kui energia hajub. Tekivad teised mittemehaanilised energialiigid (soojus ) siis on tegemist dissipatiivsete jõududega 7) Mida nimetatakse gradiendi leidmiseks? Mitme muutuja funktsiooni f osatuletiste vektor , mis iseloomustab funktisooni f kiireima kasvamise suunda ja kasvamise kiirust vaadeldavas punktis 8) Kus mõjub välisjõud? Välisjõud mõjuvad antud süsteemi osade ja sellst väljaspool asuvate kehade vahel 9) Algkiiruse saanud keha libiseb mööda kaldpinda üles, 30 cm kaugusel lähtekohast oli keha 1,0s ja 2,0s pärast liikumise algust, leida keha algkiirus ja kiirendus? V
sellel ajahetkel. Kiirus funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Kiirendus funktsiooni teist järku tuletis näitab funktsiooni muutumise kiirendust argumendi muutumisel. 34. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks argumendi x järgi nim vastava osamuudu xz ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletist argumendi x järgi tähistatakse sümbolitega: Analoogselt, kui x on konstantne ja y saab lubatava muudu y, siis saame vaadeldava funktsiooni osamuudu argumendi y järgi. Leidugu funktsioonil z=f(x,y) osatuletised z'x ja z'y ja olgu need pidevad funktsioonid
Pikilainetus on nn ruumilainetus, levides aine sees. Näiteks heli levimine õhus. B) Sfääriline ja tasapinnaline laine Tasalaine − lainepinnad on paralleelsed tasandid, mis on risti laine levimissuunaga Sfääriline laine − lainepinnad on kontsentrilised sfäärid. C) Lainete differentsiaalvõrrand. Superpositsiooniprintsiip Lainete diferentsiaalvõrrand Kui laine ei levi x-telje sihis, saadakse ψ’’ asemele kõigi koordinaatide järgi võetud teise astme osatuletiste summa. D) Lainete interferents Interferents on füüsikaline nähtus, kus kahe laine liitumisel saadakse uus laine, mille amplituud on suurem või väiksem. Üldjuhul mõeldakse interferentsi all selliste lainete liitumist, mis on üksteisega seotud või koherentsed. Selle jaoks peavad lained tulema samast allikast või olema lähedase sagedusega. Interferentsi nähtust võib jälgida nii valgus-, raadio-, heli- kui ka veelainete korral.
p2 MU 2 p1 p2 Kui on tegemist pideva ja diferentseeruva kasulikkusfunktsiooniga (ja käesoleval juhul nii MU 1 on), siis nimetatakse suhet hüviste asendamise piirmääraks ja see on arvutatav MU 2 majapidamisele ühepalju kasulikkust andvate komplektide hulka kirjeldava funktsiooni (samakasulikkuskõvera) tuletisena või vahetult kasulikkusfunktsiooni osatuletiste suhtena. Ja kuna hindade suhe (eelarvejoone tõus) on eelarvejoone tuletis, siis saame selle võrduse alusel dq 2 p MU1 p MU1 p 2 leida täiesti täpse lahendi tingimusest 1 1 . Suhe 1 on dq1 p2 MU 2 p2 MU 2 p2 3 teada, aga kuidas leida piirkasulikkuste suhe, kui matemaatika on meelest läinud?
Maatriksesituses Y = Xb + u Normaalvõrrandite süsteem Parameetrite hinnangute leidmine u^ ( yi b^1 b^2 x2i b^3 x3i ... b^k xki )2 min 2 i Normaalvõrrandite süsteem maatrikskujul Peale osatuletiste nulliga võrdsustamist saadakse normaalvõrrandite YX T = b^ ( X T X ) süsteem k tundmatu b^1 , b^2 , ... , b^k jaoks y i nb^1 b^2 x2i b^3 x3i ... b^k xki XT on transponeeritud maatriks (read ja veerud vahetatud) yx i 2i b^1 x2i b^2 x22i b^3 x2i x3i ... b^k x2i xki
kohal. Funktsiooni füüsikaline tähendus funktsiooni esimene tuletis mingil ajahetkel annab hetkkiiruse sellel ajahetkel. Tuletise rakendusi funktsiooni käitumise uurimisel: 1) f'(x) > 0 positiivsuspiirkond; 2) f'(x) < 0 negatiivsuspiirkond; 3) f'(x) = 0 annab kriitilised kohad, mida saab teise tuletisega kontrollida; 4) f''(x) > 0 annab nôgususpiirkonna; 5) f''(x) < - annab kumeruspiirkonna; 6) f''(x) = 0 annab käänukohad. 33. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. Mitme muutuja funktsiooni osatuletis kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limx0(xZ / x) = Z'x st. osatuletis muutja x järgi; xZ = f(x0 + x; y) f(x;y). Kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limy0(yZ / y) = Z'y st. osatuletis muutja y järgi; yZ = f(x; y0 + y) f(x;y). Mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal: w=f(x;y;z); dw = w'xdx + w'ydy + w'zdz. 34. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine: z=f(x;y)
f ( x1 ,..., xi -1 , xi + xi , xi +1 ,..., x m ) - f ( x1 ,..., x m ) f xi := lim . xi 0 x i f z Tähistus: f xi = f xi (P ) = z xi = = xi xi Osatuletise leidmine: Funktsiooni z = f ( x1 ,..., x m ) osatuletiste leidmisel muutuja xi (1 i m ) järgi kasutatakse ühe muutuja funktsiooni tuletise leidmise eeskirju, lugedes need muutujad, mille järgi parajasti osatuletist ei leita, konstantideks. Osatuletise geomeetriline tähendus z = f(x, y) z x z = f ( x, y ) f x (a, b ) on joone x := punktis A võetud
liitfunktsioon, mis on määratud kogu reaalarvude hulgal R. 29. Funktsioonide summa, korrutise ja jagatise tuletise leidmise eeskirjad. 30. Tuletise geomeetriline ja füüsikaline vaste. Funktsiooni muutumise kiirus ja kiirendus. geomeetriliselt tähendab diferentseeruva funktsiooni y = f(x) tuletis y' = f'(x) selle funktsiooni graafikule punktis P(x; f(x)) tõmmatud puutuja tõusu k. füüsikaliselt näitab tuletis liikumise hetkkiirust. 31. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. mitme muutuja funktsiooni osatuletis funktsiooni z = f(x; y) osatuletis argumendi x järgi tähistatakse z'x. mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal kui funktsiooni z = f(x; y) osatuletised on z'x ja z'y ja need on funktsiooni määramispiirkonna punktis (x; y) pidevad, siis leidub vaadeldaval funktsioonil täisdiferentsiaal dz = z'x dx + z'y dy nt: 32. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine.
Sissejuhatus Erinevad ühikud rad rad 1 2 = 1Hz 1 = Hz s s 2 Vektorid r F - vektor r F ja F - vektori moodul Fx - vektori projektsioon mingile suunale, võib olla pos / neg. r Fx = F cos Vektor ristkoordinaadistikus Ükskõik millist vektorit võib esitada tema projektsioonide summana: r r r r F = Fx i + Fy j + Fz k , millest vektori moodul: F = Fx2 + Fy2 + Fz2 Kinemaatika Kiirus Keskmine kiirus Kiirus on raadiusvektori esimene tuletis aja t2 järgi. s v dt s v = - võimalik leida ühtlase liikumise kiirust vk = = t1 t t t ds ...
f Osatuletist y j¨argi t¨ahistatakse veel zy , fy (x, y), . y Kahe muutja funktsiooni osatuletise leidmisel x j¨argi on muutuja y loetud konstsntseks. Ainaks muutujaks selles definitsioonis on x. Samuti on osatu- letise leidmisel y j¨argi loetud konstantseks muutuja x ja ainsaks muutujaks definitsioonis on y. J¨arelikult j¨a¨avad osatuletiste leidmisel kehtima k~oik u ¨he muutuja funktsiooni tuletise leidmise reeglid, millele lisandub reegel, et muutujat mille j¨argi osatuletist ei leita, vaadeldakse konstandina. N¨ aide 1. Leiame funktsiooni z = x3 y-x2 y 2 osatuletised m~olema muutuja j¨argi. Osatuletise leidmisel x j¨argi on muutuja y konstantne, seega diferentsee- rimisreeglite p~ohjal z 3 = (x y)- (x2 y 2 ) = y (x3 )-y 2 (x2 ) = y·3x2 -y 2 ·2x = 3x2 y-2xy 2 .
limx0(f(x+x,y)-f(x,y))/x=z/x. Osatuletis muutuja y järgi on z/y vastavalt piirväärtus limy0(f(x,y+y)/y=z/y. Osatuletist tähistatakse ka: z/x=f(x,y)/x=f/x=f 'x=fx=z'x=zx. Mitme muutuja funktsiooni osatuletise leidmiseks mingi muutuja järgi tuleb funktsiooni diferentseerida selle muutuja järgi kui ühe muutuja funktsiooni, vaadeldes ülejäänud muutujaid konstantidena. Funktsiooni z=f(x,y) teist järku osatuletised defineeritakse selle funktsiooni esimest järku osatuletiste osatuletisena ja tähistatakse /x(z/x)=2/x2=2f(x,y)/x2=2f/x2=f `'x2= fx2=z''x2=zx2 Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste Olgu antud m-muutuja funktsioon z=f(x1,x2,...,xm) ja olgu A(a1,a2,...,am) punkt funktsiooni f määramispiirkonnas. Piirväärtust f ( a1 , a 2 ,..., ai -1 , xi , ai +1 ,..., a m ) - f ( a1 , a 2 ,..., ai -1 , ai , ai +1 ,..., a m ) lim xi ai xi - ai
RAKENDUSLIK SÜSTEEMITEOORIA 2012 EKSAMIKÜSIMUSED 1. Süsteemiteooria põhilised mõisted (süsteem, elemendid, sisendid, väljundid, operaator, olek, käitumine). Süsteemide liigitamine. Süsteemide omadused, struktuur, entroopia. Süsteem objekt, mis koosneb osadest ehk elementidest ja kus osade vahel on seosed ning kogu see osade kooslus moodustab terviku / süsteem on omavahel seostatud elementide hulk, mida vaadeldakse kui tervikut. Elemendid asjad või objektid, millest süsteem koosneb (võivad olla materiaalsed nt aatomid, või siis ideaalsed , abstraktsed nt mõisted, mis moodustavad mingi otsuse) Süsteeme kirjeldades vaadeldakse süsteemi elementide vahelisi seoseid kui põhjuslikke. Sellest tulenevalt koosneb süsteem sisendelementidest ehk sisenditest, väljundelementidest ehk väljunditest ja operaatorist ehk funktsioonist, mis määrab väljundite sõltuvuse sisenditest....
z dz Sõltumatute muutujate muute x, y, ... nimetatakse sõltumatute muutujate x, y, ... diferentsiaalideks ja tähistatakse vastavalt dx, dy, ... Täisdiferentsiaal avaldub seetõttu kujul dz = fx(x, y, ...)dx + fy(x, y, ...)dx Teoreem Kui funktsioonil z = f (x, y, z, ...) on pidevad osatuletised, siis on ta punktis (x; y; z; ...) diferentseeruv ja tema täisdiferentsiaal avaldub osatuletiste ja vastavate sõltumatute muutujate diferentsiaalide korrutiste summana. (leitakse iga muutujaga eraldi tuletis ja liidetakse siis tuletised) 0 45. Diferentsiaalvõrrandid. Diferentsiaalvõrrandi lahend, üldlahend, erilahend, singulaarne lahend. Harilikuks diferentsiaalvõrrandiks ehk diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob otsitavat funktsioon y = y (x) tema tuletistega y`,...,y(n) ja sõltumatu muutujaga x.
10) Jagame viimase valemi veel suurusega dx ja arvestame, et koodinaatide sõltumatuse tõttu on osatuletised y/ x ja z/ x võrdsed nulliga, samas kui x/ x võrdub ühega. Selle põhjal saame lõplikuks tulemuseks Ex , x potentsiaali kui koordinaatidest sõltuva funktsiooni osatuletis koordinaadi x järgi on elektrivälja tugevuse x-projektsiooni vastandväärtus. Sama kehtib ka potentsiaali osatuletiste kohta teist koordinaatide järgi. Järelikult p p p E i j k grad p . (10.11) x y z See tähendab, et elektrivälja tugevuse vektor on potentsiaali gradiendi vastandvektor. Meenutame, et mingi skalaarse suuruse gradient on selline vektor,
Sellisel juhul rahuldab funktsioon otsitavat lainevõrrandit. Kuid peab arvestama seda, et Funktsioonid, mis rahuldavad lainevõrrandit, kirjeldavad mingeid laineid. Laine faasikiiruse määrab ära ruutjuur avaldise ees oleva koefitsendi pöördväärtusest. Ühe või teise laine saame lainevõrrandi lisatingimustest. Tehete kompleksi tähistatakse sümboolselt Laplace`i operaatoriga. See annab muutujate x, y, z funktsioonist nende muutujate järgi võetud teist järku osatuletiste summa: See võimaldab lainevõrrandi kirjutada aga järgmisele väga lihtsale kujule: mis on ka meie lõplik otsitav lainevõrrand. 1.3.4 Määramatuse seosed Oletame, et meil on üks osake, mis pidevalt teleportreerub aegruumis. Kui me aga soovime teada osakese täpset asukohta ruumis, peab siis osake nö. ,,kohapeal teleportreeruma". Mida enam täpse- malt soovime osakese koordinaati ruumis leida, seda enam peab ta sellele lähenema kohapeal tele- portreeruma
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
