[Fiks. Punkt (x; y) muutuv punkt (x+x; y+y)(x; x ( y ) a ( b ) (3) x ( y ) a ( b ) y) kui x0 ja y0] Kahe muutuja f-ni pidevuseks tarvilik ja piisav tingimus: z=(x; y) lim z = 0 Def: f-ni x ( y ) 0 z=(x; y) nim pidevaks piirk-s D kui ta on pidev selle piirk igas punkits Mitme muutuja f-ni osatuletised x z z=(x; y); xz=(x+x; y)-(x; y); yz=(x; y+y)-(x; y) Def1: Kahe muutuja f-ni z/x on def piirv lim Def2: x 0 x z z = lim y . Sama reegel kehtib ka =(x; y; z) korral. *Geomeetriline tõlgendus: z=(x; y); y y 0 y
1. Kahe muutuja funktsioonid (definitsioon, määramis-ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näited). 2. Nivoojoone mõiste (definitsioon, näited ja omadused). 3. Kolme muutuja funktsioon (definitsioon, näited). 4. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Tõlgendus – mida näitab osatuletis? Kuidas leida osatuletisi? 5. Ekstreemumid (lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioon). 6. Statsionaarne punkt (definitsioon). 7. Lokaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. 8. Globaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. Võrdlus lokaalsete ekstreemumite leidmisega. 9. Pinna puutujatasandi võrrand. Mis on lineariseerimine ja mis on selle idee? 10
docstxt/130632723481019.txt
Funktsiooni z=f(x,y) nim. antud punktis (x;y) diferentseeruvaks, kui selle funktsiooni täismuudu z saab esitada kahe liidetava summana, millest üks on x ja y suhtes lineaarne ja teine on p suhtes kõrgemat järku lõpmatult vähenev suutus. Funktsiooni muudu lineaarset osa nim. funktsiooni täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dz või df. Võrdusest järeldub, et kui funktsioonil f(x,y) on antud punktis pidevad osatuletised, siis ta on selles punktis diferentseeruv ja tal leidub täisdiferentsiaal. Sama võrduse põhjal saame ligikaudse võrduse zdz, mille viga on p suhtes kõrgemat järku lõpmatult vähenev suurus. Sõltumatute muutujate muute x ja y nim. sõltumatute muutujate x ja y diferentsiaalideks ja tähistatakse vastavalt dx ja dy. Seega, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised, siis ta on punktis (x;y) diferentseeruv ja tema täisdiferentsiaal võrdub
f'x(a,b)=f'x(A)=limh-0{[f(a+h,b)- f(a,b)]/h} Def.9' Suurust G'(b) nim funi z=f(x,y) osatuletiseks muutuja y järgi kohal A=(a,b) ja tähist. f'y(a,b)=f'y(A)= limh-0{[f(a,b+k)- f(a,b)]/h} Def.10 Öeldakse, et fun z=f(x,y) on diferentseeruv kohal P=(x,y) kui tema muudul f on kuju f=Ah+Bk+ T.6. Kui fun on diferentseeruv kohal P=(x,y) siis on ta pidev sellel kohal. T.7. Kui fun on diferentseeruv kohal P=(x,y) siis on tal olemas osatuletised f'x(P) ja f'y(P) sellel kohal. Tõestus: Eelduse kohaselt kehtivad lim(h,k)-(0,0)/(h2+k2)1/2=0 ja f=Ah+Bk+=0... T.8. Kui funil z=f(x,y) on kohal P=(x,y) pidevad osatuletised f'x(P) ja f'y(P) siis on see fun diferentseeruv kohal P. T.9. Kui segatuletised on piddevad kohal P=(x,y) siis on nad võrdsed sellel kohal, st kehtib f''xy=f''yx T.10. Kui funi z=f(x,y) osatuletised f'x(P) ja f'y(P) on mõlemad diferentseefuvad kohal P=(x,y) siis on segatuletised võrsed (f''xy=f''yx) kohal P=(x,y) T.11
6. Sõnastada kuhjumispunkt, m-muutuja funktsiooni piirväärtus, m-muutuja funktsiooni korduvad piirväärtused. 8. m-muutuja funktsiooni pidevus. m-muutuja funktsiooni katkevuspunkt. Pidevuse tarvilik ja piisav tingimus. 9. Sõnastada m-muutuja funktsiooni osatuletis. 10. Kahe muutuja funktsiooni osatuletise geomeetriline tähendus. 11. Pinna puutuja, puutujatasand, normaal. Tuletada puutujatasandi võrrand. +tuletamine 12. Kõrgemat järku osatuletised. Segaosatuletised. 13. Näidata, kui funktsiooni z = f(x, y) teist järku segaosatuletised zxy ja zyx on pidevad punktis P(x, y), siis selles punktis zxy = zyx. 15. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali geomeetriline tähendus. +graafik 16. m-muutuja täisdiferentsiaal, m-muutuja funktsiooni diferentseeruvus, kõrgemat järku täisdiferentsiaal. +vihik +tõestus 19. Kahe muutuja ilmutamata funktsiooni osatuletised. 22
Liitmääramatused: ( ) ( ( ) ) ( ( )) Voolutugevusele: ( ) ( ) ( ) Pingele: ( ) Määramatus kasulikule võimsusele: ( ) ( ( )) ( ( )) Võttes osatuletised, saan: ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Pendli pikkuse ja raskuskeskme mõõtmisel Liitmääramatus võnkeperioodi arvutamisel: ( * Võttes osatuletise, saan: Liitmääramatus raskuskiirenduse arvutamisel ( * ( * Võttes osatuletised, saan: ( ) ( + ( * ( ) (2) FÜÜSIKALINE PENDEL Keskmine raskuskiirenduse g väärtus: ( )
nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Pinda punktiruumis Rn võrrandiga f (x1;... ; xn) = C, kus C R on etteantud konstant, nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks 4.Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus Definitsioon Funktsiooni u = f (x1; ...; xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas , kui see funktsioon on pidev piirkonna 0 igas punktis. Lause Iga mitme muutuja elementaarfunktsioon on pidev omamääramispiirkonna sisepunktides 5) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletised ja nende tähistus. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 6) Diferentseeruvus. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Võrrelda diferentseeruvuse ja tuletiste seost ühe- ning mitmemuutuja funktsiooni korral. Kusjuures on kõrgemat järku lõpmata väike usurus võrreldes vektori(x, y) pikkusega ||(x, y)||2 piirprotsessis (x, y)->(0,0)
Silindri massi mõõtmisel: lpv(m)=0,3 g; =0,95 Mõõtjast tulenev määramatus: Kaldpinna pikkuse mõõtmisel: l(l)=0,5 cm; =0,95. Liitmääramatus kaldpinna mõõtmisel: Liitmääramatus inertsimomendi arvutamisel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Võttes osatuletised, saan: (( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) Silindri inertsimomendi määramine (( ( ) )
2. puudu || x ||1: k | xk | 3. Näidata, et xϵRn korral rahuldab normi aksioome Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). 4. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 5. Näidata, et diferentseeruv kahe-või mitmemuutuja funktsioon on pidev. 6. Näidata, et kahe-või mitmemuutuja funktsioon on diferentseeruv, kui tema osatuletised on pidevad. 7.Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Üks neist tuletada. Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1; … ; n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f (x) on diferentseeruv punktis P(x1(t);…..; xn(t)), siis liitfunktsiooni f (x1(t); … ; xn(t)) = f (x(t)) = u(t) tuletis punktis t avaldub kujul Kui funktsioonid x = x(u; v) ja y = y(u; v) on diferentseeruvad punktis P(u; v) ning funktsioon z
Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon
Järeldus. Kui kinnises tõkestatud piirkonnas pidev funktsioon z = f ( x, y ) omandab kaks erinevat väärtust a ja b ( a b ) , siis ta omandab mingites punktides ka kõik vahepealsed väärtused. Kui see funktsioon omandab nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtuseid, siis leidub kindlasti vähemalt üks punkt, kus ta muutub nulliks. Märkus. Teoreemid 2.1 ja 2.2 kehtivad ka n- muutuja funktsiooni korral ( n > 2 ) . 3. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised ja nende geomeetriline tõlgendus. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) muutu. Kui me leiame funktsiooni muudu andes mõlemale argumendile vastava muudu, siis saame funktsiooni täismuudu. z = f ( x + x, y + y ) - f ( x, y ) Kui aga ainult x-muutuja saab muudu, y aga jääb konstantseks, siis saame funktsiooni osamuudu x järgi. x z = f ( x + x, y ) - f ( x, y ) Analoogselt jättes x konstantseks saame osamuudu y järgi. y z = f ( x, y + y ) - f ( x, y )
koonduvuspiirkond. 17. Funktsiooni arendamine astmereaks; Taylori rida. 18. Fourier’ rea mõiste, funktsiooni arendamine Fourier’ reaks. 19. Mitme muutuja funktsiooni mõiste, geomeetriline tõlgendus, määramispiirkond. 20. .Kahe muutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuse mõiste. Piirväärtuse omadused ja arvutamine 21. Esimest järku osatuletiste mõisted, nende geomeetriline tõlgendus, osatuletiste arvutamine. 22. Liitfunktsiooni osatuletised. 23. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali mõiste, valem 24. Ligikaudsed arvutused täisdiferentsiaali abil. Kõrgemat järku osatuletised. 25. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsete ja globaalsete ekstreemumite mõisted, nende leidmine. Ekstreemumi leidumise tarvilikud ja piisavad tingimused. 26. Tinglikud kriitilised punktid. Lagrange’i kordajate meetod tinglike ekstreemumite leidmiseks 27. Gradient, tuletis antud antud suunas. 28
vähimruutude meetodil. Mõõtmistulemused on kaaludega vastavalt 2, 4 ja 6. Esialgsete x ja y väärtustena kasutage x0 = 3.5 ja y0 = -2.3. Ülesande lahendamisek kasutame lähenduste meetodit ja lõpetame lahendamise kui leitud parandid on tühiselt väikesed (praegusel juhul väiksemad kui 0,05). Etteantud δf δf võrranditest leiame osatuletised muutuja x ( δx ) ja seejärel muutuja y ( δy ) järgi. Vastavad osatuletised lähtevõrranditest on toodud tabelis 8. Tabel 9. Osatuletised muutujate x ja y järgi δf δf Võrrnad δx δy 1 2x 2 2 -4 12y 3 6x+4y 4x+10y Kokku saame 6 osatuletist. Kuna igal mõõtmistulemusel on selles ülesandes oma kaal,
x * = 1400 Ekstreemumi piisav tingimus (teist järku tuletise märgi järgi) = -0,02 ( x * ) = -0,02 < 0 Funktsioonil on statsionaarses punktis x * = 1400 lokaalne maksimum. max = ( x * ) = 28 1400 - 0,01 1400 2 - 50 = 19550 2. (10) Leidke tulufunktsiooni z = x 2 + y 2 + 2 xy - x 4 - y 4 kõik esimest ja teist järku osatuletised ( x ja y on müüdud kogused). Leidke funktsiooni kõik statsionaarsed punktid. z xx = 2 -12 x 2 z x = 2 x + 2 y - 4 x 3 z xy = 2 z y = 2 y + 2 x - 4 y 3 z yy
funktsioonist f ( -3) = -34.75 <-funktsiooni väärtused ekstreemumitel f ( 1) = -0.083 miinus lõpmatusest -3 ja 1 lõpmatuseni on nõgus <-vastus -3 kuni 1 on kumer · Mitme muutuja funktsiooni osatuletised. Näiteülesanne Leida järgmise funktsiooni osatuletised. u ( x, y , z) := z tan ( x y + 1) funktsioon ( 2 u ( x, y , z) y z tan ( x y + 1) + 1 ) x <-osatuletis x-i järgi ( u ( x, y , z) x z tan ( x y + 1) + 1 2 ) y <-osatuletis y-i järgi u ( x, y , z) tan ( x y + 1) z
5)n-dat järki dif võrrandi üldlahend, erilahend -n-dat järku DV üldkuju: F(t, y(t), y´(t), y´´(t),.., y(n) (t))=0 üldlahendiks: on n konstandist C1 , C2 ,...,Cn =0 ja argumendist t sõltuv fun. Y= (t, C1, C2, ..., Cn). Iga lahend mis saadakse üldlahendist konstantide C1,C2, ..., Cn arvuliste väärtuste puhul, on DV erilahend. 6) ilmutamata ja ilmutatud funktsioonid, ilmutamata funtsiooni teoreem. Ilmutamata fun.teoreem-1) fun-il F pidevad osatuletised Fy, F1, Fm punkti (y 0 ,x10 ,.., xm0 ) mingis ümbruses 2)punktis (y0 ,x10 ,.., xm0 ) mis rahuldab y=f(x 1,..,xm) ja Fy ei=0-ga selles p-is. SIIS J1) m-dimensionaalse punkti (x10,...,xm0 )ümbruses N kus y on muutujate (x 1,...,xm) üheselt määratud ilmutatud fun. Y=f(x1,...,xm). J2)see ilmutatud fun. rahuldab tingimust y 0 = f(x10 ,.., xm0 ) vaadeldavas punktis ja selle ümbruses ja J3) see ilmutatud fun f on pidev ja tal on olemas pidevad osatuletised f1,...,fm sõltumatute muutujate järgi
Mitmemuutuja funktsiooni pidevus Olgu antud mitmemuutuja funktsioon z=f(P) määramispiirkonnaga D. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui AD; eksisteerib piirväärtus lim f ( P ) ; lim f ( P ) = f ( A) PA PA Funktsiooni f nimetatakse pidevaks piirkonnas G kui ta on pidev selle piirkonna kõigis punktides. Pideva kahemuutuja funktsiooni graafik on pidev pind, st pind mis ei oma katkevuspunkte ega katkevusjooni. 4. Funktsiooni osatuletised Funktsiooni z = f(x, y) osatuletiseks x-i järgi z/x nim piirväärtust limx0(f(x+x,y)-f(x,y))/x=z/x. Osatuletis muutuja y järgi on z/y vastavalt piirväärtus limy0(f(x,y+y)/y=z/y. Osatuletist tähistatakse ka: z/x=f(x,y)/x=f/x=f 'x=fx=z'x=zx. Mitme muutuja funktsiooni osatuletise leidmiseks mingi muutuja järgi tuleb funktsiooni diferentseerida selle muutuja järgi kui ühe muutuja funktsiooni, vaadeldes ülejäänud muutujaid konstantidena.
P P0 Kui funktsioon on pidev oma määramispiirkonna igas punktis, siis öeldakse et antud funktsioon on pidev. Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad. Funktsiooni määramispiirkonna punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse antud funktsiooni katkevuspunktiks. Mitme muutuja funktsiooni diferentseerimine Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Olgu antud funktsioon w = f ( x, y , z ,...) . Funktsiooni f osatuletiseks muutuja x järgi nim. ühe muutuja funktsiooni tuletist, mis saadakse funktsiooni f ülejäänud muutujate lugemisel konstantideks. f ( x, y , z,...) Seda tähistatakse: wx = f x ( x, y , z ,...) = . x
8. Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Ristkülikvalem. Trapetsvalem. 9. Pindala arvutamine ristkoordinaatides. 10. Polaarkoordinaadistik. Kõversektori pindala polaarkoordinaatides. 11. Kõverjoone kaare pikkus. 12. Mitme muutuja funktsiooni mõiste. 13. Kahe muutuja funktsiooni tasandilõiked ja nivoojooned. 14. Funktsiooni osamuut ja täismuut. 15. Kahe muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus. 16. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised. 17. Täismuut ja täisdiferentsiaal. 18. Ilmutamata funktsiooni tuletis. 19. Liitfunktsiooni tuletis. 20. Mistahes järku osatuletised. 21. Tuletis antud suunas. 22. Gradient. 23. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. 24. Kahe muutuja funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud piirkonnas. 25. Mitme muutuja funktsiooni tinglikud ekstreemumid. 26. Kahekordse integraali mõiste ja omadused. 27. Kahekordse integraali arvutamine.
Liitmääramatused: ( ) ( ( ) ( ( )) Kompensatsioonimeetod () () Uuritava elemendi elektromotoorjõud Elektromotoorjõu määramatus: ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) Võttes osatuletised saan: ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) JÄRELDUSED TÖÖ TULEMUSED KOOS MÄÄRAMATUSTEGA Tulemus on usaldatavusega 0,95. Uuritava galvaanielemendi elektromotoorjõud = 1,3928 ± 0,0059 V JÄRELDUSED
Muutuja vahetus kahekordses integraalis x = x(u; v) f ( x, y )dxdy 1)need on ühesed; 2)võrrandisüst. On üheselt avaldatav u ja v suhtes; 3)f-nid y = y(u; v) D peavad olema pidevad; 4)peavad olema pidevad osatuletised mõlema muutuja järgi. (joon) f ( x; y ) = f [ x (u; v ); y (u; v )] = F (u; v ) * f ( x; y ) dxdy = F (u; v) J dudv D xu xv J = Jacobi determinant e jakobiaan. yu yv Kahekordne integraal polaarkoordinaatides x = cos
KODUTÖÖ 1. Hille Kesa Leida osatuletised fx ja fy kui 1. f(x,y) = 2x² 3y 4 fx' = 2x 0 0 = 2x fy' = 0- 3- 0 = 3 2. f (x,y) = (xy1) ² = (u)² fx' = 2u * y = 2(xy 1 )* y = 2xy² - y fy' = 2u* x = 2x²y x 3. f (x, y) = x / x² + y² = x / u fx' = (x ² + y ²) 2x ² / (x ² + y ² ) ² fy' = (x ² + y ²) 2x y / (x ² + y ² ) ² 4. f(x, y ) = e x y ln y fx' = exy y lny + exy fy' = exy x lny + exy/ y Leida määramispiirkond ja kirjeldada neid 1. f (x, y) = 1 / x2 + y2 Kuna tegu on jagatisega, siis on kitsenduseks, et nimetaja st. x2 + y2 >=0 ning x >= y, kuid x=y / 0 sest vaadates funktsiooni ei saa 0 jagada, x= 0 on katkevuspunkt. x (-; 0) ja (0;), kuid funkt...
f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) + x + y Funktsiooni muudu lineaarset osa x y nimetatakse funktsiooni täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse 5. Kahe muutuja ilmutamata F F funktsiooni osatuletised (valemid). z x = x y z = F y F z z 6. Nivoopinnad ja nivoojooned nivoopindadeks. Kui funktsioon u on (mõisted)
y on konstantne (muutumatu) ja seejärel arvutame funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte (sisu sama, mis ühe muutuja korral). f ( x; y + y ) - f ( x; y ) lim y Tuletis y järgi analoogiliselt y 0 . Geomeetriliselt näitab osatuletis x järgi pinna (funktsiooni z = f (x;y) graafiku) puutujatasandi tõusu x telje sihis. Kõrgemat järku osatuletis. Arvutades osatuletised osatuletistest saame teist (ja kõrgemat) järku osatuletised. Teist järku '' 2z z xx , z x'' 2 , z x 2 , 2 osatuletist x järgi tähistame kas x , tavaliselt eelistame teisena esitatud kirjapilti. Segaosatuletiseks nimetame teist (või kõrgemat) järku osatuletist, kus tuletis on võetud z '' vähemalt kahe muutuja järgi, näiteks: xy
25,05 -0,22 0,0484 33,5 0,295 0,0870 2,35 -0,050 0,0025 24,830 0,4960 33,795 0,55225 2,300 0,0150 Ua 0,171 Ua 0,180 Ua 0,030 Ub 0,033 Ub 0,033 Ub 0,033 Uc 0,17 Uc 0,18 Uc 0,0446 Ristlõike Pindala: osatuletised * Uc: pi 0,656966 S 412,7842 d sise -6,630488 delta S 2,380588 d välis 9,555311 11,64899 tab4=kruvikuga di d-di (d-di)^2 t 9;0,95 2,3 2,22 -0,023 0,0005 t lõpmatus, 0,95 2 2,17 0,027 0,0007 2,21 -0,013 0,0002 lpv(nihik) 0,05
lokaalne ekstreemum, siis punkt P0 on selle kahe muutuja funktsiooni kriitiline punkt.Viimane tingimus on sisepunkte, siis ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 . Tõestus.Kahekordse integraali GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas 2 2 tarvilik lokaalse ekstreemumi olemasoluks, st mujal kui kriitilises punktis kahe muutuja funktsioonil lokaalset definistsioonist ei sõltu piirväärtus piirkonna D osapiirkondadeks jaotamise viisist
Antud: Mõõtelindiga mõõdeti silindrilise paagi: ümbermõõt p = 7,33 m ja kõrgus h = 3,55 m Mõõtmisel pingutati mõõtelinti ja see venis 0,5 %: p = 7,33 + 7,33 0,005 = 7,36665 h = 3,55+ 3,55 0,005 = 3,56775 mõõtemääramatus p = h = ± 1 cm = ± 0,01 m Sp silindri põhja pindala Sp = p2 h/4 p2 h Silindri ruumala V = S p h = = 15,40723205m 3 4 Võttes osatuletised p ja h järgi saame ruumala vea leidmiseks järgmise valemi: 2 2 2 2 h p p2 3,56775 7,36665 7,36665 2 V = ± p + h = ± 0,01 + 0,01 = 2 4 2 4 = 0,462194335m 3 2 V U ( V ) = = 0,533696048m 3 3 Vastus: Silindri ruumala V=15,41 ± 0,53 m3 2
( ) ( ( ) * Võttes osatuletise, saan: ( ) ( ) ( ) Liitmääramatus kiiruse arvutamisel ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( )) ( ( )* ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) Võttes osatuletised, saan: ( ) (( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( )+ ( ( ) ( )) ( ( ) ( )+ ( ( )+ ( ) ( )
5. Mitme muutuja funktsiooni pidevus( definitsioon, näiteid pidevatest funktsioonidest) Mitme muutuja funktsioon on pidev punktis (a1,...an), kui lim f(x1;...xn)= f(a1,...an), kus (x1;...xn) → (a ,...a ) 1 n Näide: Pidevate funktsioonide summa, vahe, korrutis, jagatis, polünoomid ja liitfunktsioonid on ka pidevad. f(x,y)=arctan x/y- Pidev välja arvatud kui y=0 6. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Geomeetriline ja füüsikaline tõlgendus. Kuidas leida osatuletisi? DEF: Tuletist, mis arvutatakse mitme muutuja funktsioonist z=f(x1;....xn) fikseeritud muutuja xi järgi, käsitledes teisi muutujaid kui konstante, nimetatakse selle funktsiooni i-ndaks osatuletiseks ja tähistatakse zi= fi(x1;....xn), i=1,2,...n Füüsikaline tõlgendus: Geomeetriline tõlgendus:
() ( ) ( ) Liitmääramatus läätse kõverusraadiuse arvutamisel. ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) Newtoni rõngad Võttes osatuletised, saan: ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) )
Temp; °C Tõus: 0,10371 ± 0,00511 Vabaliige: 25,96553 ± 0,17968 Leian takistuse temperatuuriteguri k (graafiku tõus) = · R0 (vabaliige) Leian takistuse temperatuuritegurile määramatuse ( ) ( ( )) ( ( )) Võttes osatuletised, saan: ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Takistuse temperatuurisõltuvus 0,003500 0,003480
0,35 0,30 ft(x) 0,25 0,20 0,15 0,10 0,00 3,00 6,00 9,00 12,00 15,00 18,00 21,00 x (cm) Magnetilise induktsiooni suurus: Määramatus magnetilisele induktsioonile: ( ) ( ) Võttes osatuletised, saan: ( ) ( ) Solenoidi magnetväli i'st sõltuv määramatus: Arvutan mõõteriistade lubatud põhivead vastavalt juhendis esitatud valemile. kus on mõõteriista täpsusklass ja xn jaotiste arv skaalal.
Nimetus "täistuletis" tuleneb sellest, et tema arvutamisel on võetud arvesse muutuja z sõltuvust argumendist x täielikult liitfunktsiooni komponentide F ja 1, 2, ..., n kaudu. d = F 1 + F 2 +...+ F 2 dx u1 xi u2 xi u2 xi 16) Tuletada ilmutamata funktsiooni tuletise arvutamise valem Olgu ühemuutuja funktsioon y = (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Eeldame et tuletis `(x) ja osatuletised F`x F`y. eksisteerivad mingis vaadeldavas punktis. Eesmärgiks ontuletada valem ´(x) jaoks F´x ja F`y. kaudu. Selleks leiame kõigepealt ühemuutuja funktsiooni F(x, (x)) tuletise avaldise. Täistuletise arvutamise eeskirja dz = z + z u'1 + z u'2 +...+ z u'm dx x u1 u2 um põhjal kehtib järgmine valem: dF (x, (x)) = F'x(x, (x)) + F'y(x, (x)) '(x) dx
Nimetus "täistuletis" tuleneb sellest, et tema arvutamisel on võetud arvesse muutuja z sõltuvust argumendist x täielikult liitfunktsiooni komponentide F ja 1, 2, ..., n kaudu. d = F 1 + F 2 +...+ F 2 dx u1 xi u2 xi u2 xi 16) Tuletada ilmutamata funktsiooni tuletise arvutamise valem Olgu ühemuutuja funktsioon y = (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Eeldame et tuletis `(x) ja osatuletised F`x F`y. eksisteerivad mingis vaadeldavas punktis. Eesmärgiks ontuletada valem ´(x) jaoks F´x ja F`y. kaudu. Selleks leiame kõigepealt ühemuutuja funktsiooni F(x, (x)) tuletise avaldise. Täistuletise arvutamise eeskirja dz = z + z u'1 + z u'2 +...+ z u'm dx x u1 u2 um põhjal kehtib järgmine valem: dF (x, (x)) = F'x(x, (x)) + F'y(x, (x)) '(x) dx
f ( x + x) - f ( x ) f ' ( x ) = lim x 0 x y f ( x 0 + x ) - f ( x 0 ) = erinevuste suhe, y-i, x-i keskmise muudu määr. Kui x on väga väike, x x siis tuletis on funk-i muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. y/x mõõdab y-i muutumise määra. Tuletis on hetkelise muudu määr. Tuletis on kõvera kallak (tõus või langus) e muudu määr. 12. Osatuletised ja nende geomeetriline tuletamine. Osatuletised on tavatuletised teatud lisatingimusel. Vaatleme mitme muutujaga funk-i y=f(x 1,x2,...,xn) lubame muutuda ainult ühel muutujal, teised fikseerimey muutub osaliselt y y f 'i = = lim Mitme muutuja funk-i osatuletise leidmine mingi muutuja järgi tuleb funk-i xi xi 0 xi diferentseerida selle muutuja järgi kui ühe muutuja funk-i, vaadeldes ülejäänud muutujad
geomeetriliselt tähendab diferentseeruva funktsiooni y = f(x) tuletis y' = f'(x) selle funktsiooni graafikule punktis P(x; f(x)) tõmmatud puutuja tõusu k. füüsikaliselt näitab tuletis liikumise hetkkiirust. 31. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. mitme muutuja funktsiooni osatuletis funktsiooni z = f(x; y) osatuletis argumendi x järgi tähistatakse z'x. mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal kui funktsiooni z = f(x; y) osatuletised on z'x ja z'y ja need on funktsiooni määramispiirkonna punktis (x; y) pidevad, siis leidub vaadeldaval funktsioonil täisdiferentsiaal dz = z'x dx + z'y dy nt: 32. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine. funktsioonil z = f(x; y) on lokaalne maksimum punktis M(xo; yo), kui f(xo; yo) > f(x; y) kõigile punktile M lähedaste, kuid siiski erinevate punktide P(x; y) korral. funktsiooni z = f(x; y) kriitilisteks punktideks nimetatakse määramispiirkonna
ʃʃΩfdxdz=±ʃʃΔf[x(u,v), y(u,v), z(u,v)]Bdudv ʃʃΩfdydz=±ʃʃΔf[x(u,v), y(u,v), z(u,v)]Adudv, kus A, B, C on antud valemitega. 2)Kui pind Ω on antud ilmutatud kujul võrrandiga z=z(x,y), xЄD, siis ʃʃΩfdxdy=±ʃʃDf[x, y, z(x,y)] 18. Greeni, Gauss-Ostrogradski ja Stokesi valemid, näiteid Stokesi valem võimaldab arvutada II liiki joonintegraali II liiki pindintegraali abil. Olgu pind Ω ja tema rajajoon L siledad. Kui funktsioonid f, g ja q ning nende osatuletised fy,fz,gx,gz,qx ja qy on pidevad pinnal Ω, siis kehtib Stokesi valem: ʃLfdx+gdy+qdz = ʃʃ(qy- gz)dydz + (fz-qx)dzdx + (gx-fy)dxdy, kus joonintegraal on võetud mööda joont L positiivses suunas pinna Ω külje suhtes, mida mööda integreeritakse. Gauss-Ostrogradski valem võimaldab arvutada II liiki pindintegraali kolmekordse integraali abil. Olgu ruumiline pind V kinnine ja tema rajapind Ω sile. Kui funktsioonid f,g ja q ning nende osatuletised fx, gy ja qz on
ja l y puutujate tõusud z x tan , z y tan . Funktsiooni z f x, y täisdiferentsiaaliks dz või df nimetatakse avaldist dz f x x, y dx f y x, y dy Funktsiooni, millel on täisdiferentsiaal, nimetatakse diferentseeruvaks. Nagu jooniselt näha, kujutab funktsiooni z f x, y täisdiferentsiaal geomeetriliselt funktsiooni f graafiku puutujatasandi aplikaadi (z-koordinaadi) muutu üleminekul punktist P x, y punkti P 1 x x, y y. Näide 4. Funktsiooni z x 2 sin y osatuletised on z x 2x sin y y const z y x 2 cos y x const ja täisdiferentsiaal dz 2x sin y dx x 2 cos y dy. Selle väärtus punktis 2, 4 kui x 0, 01 ja y 100 on dz x 2,y /4 2 2 sin 4 0, 01 2 2 cos 4 100 0, 117
..+ f/xn(A)xn+(x), kus (x) on vektori x pikkuse suhtes kõrgemat järku lõpmata väike suurus piirprotsessis x(0,...,0) Suurust df=f(x,y)/x dx+f(x,y)/y dy, kus dx=x ja dy=y, nim funkts-i f(x,y) täisdiferentsiaaliks. Suurust d(df) nimetatakse funktsiooni f(x; y) teist järku täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse d2f Funktsiooni f(x; y) n-järku täisdiferentsiaal defineeritakse kui esimest järku täisdiferentsiaal n-1-järku täisdiferentsiaalist, s.t dnf=d(dn-1f) Liitfunktsiooni osatuletised: Olgu g1(x1,...xm) ,...,gn(x1,...,xm) m- muutuja funkts-id punkti ARm mingis ümbruses U ja diferentseeruvad punktis A. Lisaks eeldame, et n-muutuja funkts f(y1,...,yn) on diferentseeruv punktis P(g1(A),...,gn(A)). Liitfunktsioon h(x1,...,xm)=f(g1(x1,...,xm),...,gn(x1,...,xm) on diferentseeruv punktis A, kusjuures h/xi(A)= f/y1(P) g1/x1(A)+...+ f/xyn(P) gn/x1(A), 1im Ilmutamat funktsiooni osatuletised:Olgu funktsioon y(x) antud ilmutamata võrrandiga F (x;
mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z = f (x, y) Sõltumatud ehk argumendid x,y Sõltuv muutuja - z 26. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? Määramispiirkond x ja y ühisosa Muutumispiirkond - Z={z|z=f(x,y); (x;y)D} Graafik määramispiirkonnas olev pind ruumis 27. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z = f (x, y, u, ...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile 28. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Gradient - vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis
3 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 6. Pinna z = f (x, y ) puutujatasand ja normaal Def. Pinna z = f ( x, y ) puutujaks punktis A = (a, b, f (a, b )) nimetatakse sellel pinnal asuva ja punkti A läbiva joone puutujat. Väide. Kui punktis A = (a, b ) leiduvad pidevad osatuletised f x ja f y , siis pinna z = f ( x, y ) puutujad punktis A = (a, b, f (a, b )) asuvad kõik samal tasandil. Seda tasandit nimetatakse pinna z = f ( x, y ) puutujatasandiks punktis A . Puutujatasandi võrrand: Pinna z = f ( x, y ) puutujatasandi võrrand punktis A = (a, b, c ) c = f (a, b ) on (z - c ) = f x (a, b )( x - a ) + f y (a, b )( y - b ) . Tõestus. Olgu antud tasand, mis läbib punkti A = (a, b, c ) c = f (a, b ) ja mille normaal on ( r ~ ~ ~
n -> lõpmatus ja osapiirkondade sj suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse integraaliga ülre piirkonna D. Minnes võrduses piirile, saame ehk . Kaksikintegraali avaldise väljakirjutamisel saame lõpuks . 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t x Rn, nimetatakse regulaarseks , kui · Ta on üksühene · osatuletised xk(t), k=1,.....,n on pidevad piirkonnas · teiseduse jakobiaan Kui funktsioon f on pidev piirkonnas Rn ja teisendus t x on regulaarne piirkonnas ' Rn ning teisendub piirknna ' piirkonnaks , siis Üleminek polaarkoordinaatidele, kui teisendus on kujul ja , kui Saame Kui piirkond D on polaarkooordinaatides piiratud kiirtega ning kõveratega ja , siis saab valemi esitada kujul 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides
funktsiooni globaalne globaalne miinimum, kui piirkonna D igas punktis P kehtib võrratus f(P)>=f(P 0) miinimum Tarvilikud ja piisavad Funktsioonil y=f(x) on punktis x0 maksimum parajasti siis, kui f'(x0)=0 ja tingimused f''(x0)<0 ja miinimum parajasti siis, kui f'(x0)=0 ja f''(x0)>0 ekstreemumite leidumiseks Statsionaarne punkt Statsionaarseks punktiks nimetatakse punkti, mille korral funktsiooni kõik osatuletised selles punktis on võrdsed nulliga Kriitiline punkt Kriitiliseks punktis nimetatakse punkti, kui see punkt on statsionaarne punkt või osatuletist selles punktis ei eksisteeri või osatuletis on lõpmatu. Tinglik kriitiline punkt Tinglikuks kriitiliseks punktiks nimetatakse punkti, kui see punkt on statsionaarne punkt või punkte, mis rahuldavad lisatingimust ja kus
f(A). Funktsioon on pidev piirkonnas D sel korral kui ta on pidev selle piirkonna igas punktis. Märkus: kui funktsioonid f ja g on pidevad, siis f ± g (aritm. Tehete abil saadavad funktsioonid) on ka selles piirkonnas pidev. (pidev f ± pidev f = pidev f) |PA|< f(P) f(A)0 Def: katkev on funktsioon punktis A: a) f(A) = (A ei kuulu MP-sse) b) lim P A f ( P) = c) lim P A f ( P ) f ( A) Osatuletised. Diferentseeruvus Funktsiooni osatuletisi arvutatakse teadaolevate reeglite kohaselt muutuja järgi mitme muutuja funktsioonist nii, et ülejäänud muutujad fikseeritakse käituvad konstantidena. I 2MF: w=f(x,y), P(x,y) D R 2 2MFil on 2 I j osatuletist 1 a) fix y-i f(x,y)F(x): kui on DV-uv, siis eksisteerib F f ( x + x, y ) - f ( x, y ) f ( x, y )
mille tulemusel saame selle jaoks kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandi. Toodud näites diferentseerime teist võrrandit d 2z dz dy dy +b +c = 0 ning asendame esimesest võrrandist = az . Saame dx 2 dx dz dx d 2z dz 2 +b + acz = 0 . dx dx Mitme muutuja funktsiooni tuletised Olgu funktsioon f ( x, y ) , siis osatuletised on f f ( x + x, y ) - f ( x, y ) = lim , x x 0 x f f ( x, y + y ) - f ( x, y ) = lim . y y 0 y Teist järku osatuletised avalduvad kujul 2 f f 2 f f = ; = ; x 2 x x y 2 y y Pideva funktsiooni korral segaosatuletis ei sõltu diferentseerimise järjekorrast 2 f f 2 f f
Bakterite arvukus on ekstremaalne, kui n (t) = 0. n (t) = 0, kui 980 - 10t = 0, sest e-0,01t = 0. Saame, et t = 98 aja¨ uhikut. Leiame n(98) = 37531. Kuivrd nii varasematel ajahetkedel (n¨aiteks t = 0 korral, n(0) = 2000) ning hilisematel (n¨aiteks t = 100 korral n(100) = 37523 ) on bakterite arvukus v¨aiksem, on tegemist maksimumiga. g(x, y) g(x, y) 5. Leida osatuletised gx (x, y) ja gy (x, y) , kui g(x, y) = 2y cos x - ye2x (2p). x y Lahendus. gx = (2y cos x - ye2x )x = 2y(cos x)x - y(e2x )x = -2y sin x - y(e2x )(2x)x = -2y sin x - 2ye2x , gy = ((2y cos x - ye2x )y = 2 cos x(y)y - e2x (y)y = 2 cos x · 1 - e2x · 1 = 2 cos x - e2x . 6. Leida integraalid (muutuja vahetusega) (2p):
olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse integraaliga ülre piirkonna D. Minnes võrduses piirile, saame ehk . Kaksikintegraali avaldise väljakirjutamisel saame lõpuks . 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t →x ϵ Rn, nimetatakse regulaarseks , kui Ta on üksühene osatuletised xk(t), k=1,…..,n on pidevad piirkonnas Ω teiseduse jakobiaan n Kui funktsioon f on pidev piirkonnas Ω R ja teisendus t →x ϵ Ω on regulaarne n piirkonnas Ω’ R ning teisendub piirknna Ω’ piirkonnaks Ω, siis Üleminek polaarkoordinaatidele, kui teisendus on kujul ja , kui Saame
Järelikult on leitud suurused õiged ning rahuldavad antud võrrandeid. Ülesanne 2.Antud on kolm mittelineaarset mõõtmistulemuste parameetrilist võrrandit: 1) Leida tundmatute parameetrite x ja y kõige tõenäolisemad väärtused vähimruutude meetodil. Mõõtmistulemused on võrdsete kaaludega. Esialgsete x ja y väärtustena kasutage x0 = 2.1 ja y0 = 0.45. Ülesande lahendamiseks leiame kõigepealt antud võrrandite osatuletised muutuja x ja seejärel muutuja y järgi. Saame 6 osatuletist, millesse asendame muutujate x ja y esialgsed väärtused. Tulemuseks saame J maatriksi (Jacobi maatriks). Tabel 6. Jacobi maatriks 5.55 5.4 92.61 -2.7 -0.7 -9.9 Järgnevalt asetame muutujate x ja y esialgsed väärtused algvõrranditesse ja leiame neile esialgsed väärtused. Nende kaudu leiame maatriksi K (Tabel 7), mis on tegelike
annaabi.ee 
