Jagab ruumi järjestikuselt täis või tühjaseks nelinurkadeks Osaliselt täis nelinurkasid jagatakse veel omakorda Võimaldab Boole'i operatsiooni 20.Mis asi on hübriidmudel? CSG ja B-rep segu Modernsetes CAD süsteemides on arvuti siseselt kaks andmesüsteemi üheaegselt võimalikud Vastavalt nõutele valitakse sobiv struktuur Hübriid esitus ei dubleeri mudeli infot CSG esitus B-rep'st on palju lihtsam kui vastupidi 21.CAD mudelite iseloomustus (esitada tabeli kujul) 22.Mis on parameetriline modelleerimine ja milleks seda kasutatakse? Parameetrilise modelleerimise tehnoloogia, see on mitte koordinaatidega juhitav geomeetria nagu otsese modelleerimise puhul, vaid mõõtmetega kujundatav geomeetria. Parameetrilisel modelleerimisel registreerib süsteem, kuidas konstruktor ehitab mudelit ja jälgib antud elementidevahelisi geomeetrilisi suhteid. Teiste sõnadega, see on tehnoloogia, mille käigus CAD süsteem registreerib projekteeritava detaili n.ö. parameetrilise ajaloo
Matemaatika Sirge võrrand ruumis Kahe punkti A ja B kaudu: A( x1 ; y1 ;z1 ) B ( x 2 ; y 2 ;z 2 ) x - x1 y - y1 z - z1 = = x 2 - x1 y 2 - y1 z 2 - z1 Punkti A ja sihivektori s kaudu: A( x1 ; y1 ;z1 ) s ( s1 ; s 2 ; s 3 ) x - x1 y - y1 z - z1 = = = t kanooniline s1 s2 s3 x = x1 + s1t y = y1 + s 2 t parameetriline z = z +s t 1 3 Tõusu k ja algordinaadi b (y väärtus, kui x=0) kaudu: k; b y = kx +b k = tan Kahe sirge s ja t vahelise nurga arvutamine: s = ( s1 ; s 2 ; s 3 ) t = (t1 ; t 2 ; t 3 ) s t = s t cos s t s1 t1 + s 2 t 2 + s 3 t 3 cos = = s t s12 + s 22 + s 32 t12 + t 22 + t 32 Kui vektorite vaheline nurk on nürinurk, tuleb see lahutada 180-st. Kahe sirge lõikepunkti leidmine:
Detaili on võimalik kujundada erinevate puude abil. Voxel Volumetric Pixel, kolmemõõtmeline väikseim digitaalpildielement (nagu piksel) Hübriidmudel CSG ja B-Rep segu. Modernsetes CAD süsteemides on arvutisiselt kaks andmestruktuuri üheaegselt võimalikud. Vastavalt nõuetele valitakse sobiv struktuur. Hübriidesitlus ei dubleeri mudeli infot. Peamine teema on mõlema esitusviisi haldamine. CSG esituse loomine B-Rep-ist on palju lihtsam kui vastupidi Parameetriline modelleerimine möötmetega kujundatav geomeetria. Parameetrilisel modelleerimisel registreerib süsteem, kuidas konstruktor ehitab mudelit ja jälgib antud elementidevahelisi geomeetrilisi suhteid. Parameetriline modelleerimine on tehnoloogia, mille käigus CAD süsteem registreeriv projekteeritava detaili nö. Parameetilise ajaloo CAD süsteemis kasutatakse sidemeid selleks et teha seoseid geomeetria ja möötude vahel. Sedasi geomeetria muutus põhjustab möödu muutuse ning vastupidi.
3D kujutisi 46. 3D Pinnamudel: Objektide kujutamine keha Varjutused (2, 3, 4, 5); Lõiked (3, 4, 5); Pinnajooned (2, 3, 5); piiravate servade abil. Pinnamudelid võimaldavad nähtavaid ja Kujupinnad (2, 3, 5); Plahvatus vaade (3, 4, 5); Mudeli ajalugu peidetud servasid eristada. Võimalik eristada kõverpindasid. Ei (4, 5); Liikumiste analüüs (1-tinglikult, 2-tinglikult, 3, 4, 5). sisalda ruumi infot. Ja sellest tulenevalt ka füüsikalist infot 47. 59. Parameetriline modelleerimine mõõtmetega kujundatav Kolmandat järku pindasid ja jooni kasutatakse laialdaselt, sest geomeetria. Parameetrilisel modelleerimisel registreerib nad omavad inuitiivset tunnetust, mis lubab disaineril nendega süsteem, kuidas konstruktor ehitab mudelit ja jälgib antud eksperimenteerida. Samuti saab CAD süsteemides neid esitada elementidevahelisi geomeetrilisi suhteid. Parameetriline nii parameetrilisel kujul kui ka koonus lõigetena
Töövahendid........................................................................................................... 3 2.Tunni sisu................................................................................................................6 1.Sissejuhatus........................................................................................................6 2.Pooljuht sildaladi dikreet elementidel..................................................................6 3.Parameetriline stabilisaator...............................................................................10 Kokkuvõtte............................................................................................................... 13 2 Haapsalu Kutsehariduskeskus Taavi Metsvahi
P0P n = 0 P0P = (x +3; y -4; z 5) Ax + By + Cz + D = 0 n = (A; B; C) 2 ( x +3) -6 (y 4) + 7 (z 5) = 0 2x + 6 -6y +24 +7z 35 = 0 2x - 6y +7z -5 = 0 3. Tasand läbib punkti P0(6; 0; 8) ja rihivektorid on u = (3; -1; 4) ja v = (2; 5; -7). Toon sisse muutuva punkti P (x; y; z). u × v = n n = ( -13; 29; 17) AP = u + v AP = ( x 6; y; z 8 ) = ( 3; -; 4) + ( 2; 5; -7) = ( 3 + 2; - + 5; 4 -7) x 6 = 3 + 2 y = - + 5 z 8 = 4 - 7 (parameetriline võrrand) Sirge võrrandid P0( x0; y0; z0 ) s = (sx; sy; sz ) Toome sisse muutuva punkti P ( x; y; z). P0P = t s ( x x0; y y0; z z0 ) = ( tsx; tsy; tsz) Parameetriline võrrand: Kanooniline võrrand: 4. Leida punktile A(2; -7; 11) sümmeetriline punkt B, tasandi : 3x + 2y + 3z 47 = 0 suhtes. AC = CB Tasandi n = ( 3; 2; 3) 6 + 9s 14 + 4s + 33 + 9s 47 = 0 s = 1 ( sirge lõike parameeter) C(5; -5; 14) ( asendan S: igasse võrrandisse s = 1)
55. CSG iseloomustus. Tegu hübriid esitlusega. Puu, mis koosneb keerulistest solidest. See ei dubleeri mudeli infot. 56. Mis asi on voxel? Ruumiline dekombinatsioon, ruumi järjestikuline jagamine täis või tühjadeks nelinurkadeks 57. Mis on hübriidmudel? Kui kaks andmestruktuuri on üheaegselt võimalikud. Hübriidi info ei dubleeri mudeli infot. Peamine on mõlema esitusviisi haldamine 58. CAD mudelite omadused (esitada tabeli kujul). 59. Mis on parameetriline modelleerimine ja milleks teda kasutatakse? Parameetriline modelleerimine võimaldab luua toote variante, teha muudatusi ja kasutada detaile uuesti teistes toodetes. Kasutusel 3D programmides mudelite parandamiseks ja täiustamiseks. 60. Milleks kasutatakse CAD süsteemides sidemeid (constraints)? Detailide omavaheliseks ühendamiseks, et luua tervikut 61. Milliseid seoseid esineb geomeetria ja mõõtmete vahel? esimesed CAD-süsteemid: Mõõtude ja geomeetria vahel ei olnud sidet
mittesüsteemse rõhuühikuna on ka kasutusel bar. Pa=N/m2 1bar=100kPa(umbes 1kgf/cm2) Tahked kehad annavad neile mõjuva rõhu edasi ainult mõjuva jõu suunas. Vedelikud ja gaasid kõikides suundades ühesugused. Absoluutrõhk Absoluutskaalal mõõdetakse rõhku nullväärtusest ehk absoluutsest vaakumist alates. Skaala null punk tähistab absoluutset vaakumit(vaakumi ülempiir on õhurõhk). Absoluutskaala eristamiseks suhtelisest, lisatakse rõhuühiku taha lühend abs. Õhurõhk (parameetriline rõhk) Õhu rõhk [parameetriline rõhk, atomosfääri rõhk (atm)] on maakera ümbritseva õhu kaalust tingitud rõhk. Suhteline rõhk Suhteline rõhk näitab kui palju on mõõdetav rõhk suurem või väiksem õhurõhust 6. Rõhu mõõtmiseks kasutatakse nii suhtelise skaalaga mõõteriistu. Kliimaseadmete hooldusel kasutatakse suhtelise skaalaga manomeetreid. 7. Temperatuuri iseloomustab molekulide liikumise intensiivsust ehk keskmist
Joonis 4. Ilmutatud funktsioon ja ilmutamata funktsioon Kui funktsioon on antud kujul y = f (x), siis öeldakse, et funktsioon on ilmutatud. Nt. y=x2+3x , y= sinx+cosx Kui funkts. on antud kujul F( x, y ) = 0, Kusjuures y=y(x), siis öeldakse, et funktsioon on ilmutamata ehk võrrandiga antud. Nt. x2 + y2 = 4 (ringjoon) ehk x2 + y2 – 4 = 0. Praegu saab siit y nö. „ilmutada“: y2 = 4 - x2 ehk y=± √ 4−x 2 Joonis 5. Nt. ey = x + y , siit y „ilmutada“ ei saa. Funktsiooni parameetriline esitlus. Funktsiooni parameetrilise esituse jaoks võetakse kasutusele mingi kolmas täht, tavaliselt t, mida nim. parameetriks. Igat funktsiooni, mis on kujul y = f(x), saab esitada parameetri abil. Vastupidi ei pruugi see nii olla. Parameetrilise esituse eeskuju on: Olgu y = x2+2, parameetriline kujul { y=tx=t+2 2 Tsükloid tekib, kui ringjoon, millel on märgitud nn kinnispunkt, veereb mööda sirget. Alguses kinnispunkt asub nullpunktis
süsteemid lubavad sõrestikmudeli kasutamist lõpliku joonestamise läbi viimiseks. "Rumalad" 3D-mahtmudelid (seda tehnoloogiat kasutab ka AutoCAD) tehakse analoogselt reaalsete objektide loomisele. Peamistele kolmemõõtmelistele 6 geomeetrilistele kujunditele (prismad, silindrid, kerad jne) lisatakse või eemaldatakse mahtosa nagu päris objektide kokkupanemisel või lahtivõtmisel. Parameetriline 3D-mahtmodelleerimine nõuab kasutajalt disaini eesmärki. Objektid ja tunnused on seadistatavad. Tulevased modifikatsioonid on kas lihtsad, keerulised või lausa võimatud, olenevalt sellest, kuidas originaalosa tehti. Kasutaja peab mõtlema, kuidas see komponent "täiuslikus maailmas" välja näeks. Näiteks, kui mingi selle komponendi tunnus peab asuma objekti keskel, siis peab see seal ka asuma, mitte mugavamas punktis või ääres nagu võib teha "rumala" 3D-mahtmudeli puhul.
· Parameetrilised stabilisaatorid · Kompensatsioonsabilisaatorid Pingestabilisaatorid. Üldist. Põhiparameetrid. Vt.joonist pingestabilisaatorid. Parameetrid · Pinge stabiliseerimistegur tingimusel, et koormusvool on muutumatu e. konstantne · Sisetakistus e. väljundtakistus sisendpinge peab olema muutumatu · Silutegur iseloomustab muutusi kiiretele muutustele. · Stabiliseerimistegur iseloomustab stabilisaatori reaktsiooni aeglastele muutustele Parameetriline pinge stabilisaator Vt. joonis parameetriline pinge stabilisaator. 1. Kasutatud on stablitroni (Zeneri diood) omadusi p-n siirde läbilöögi piirkonnas st vastupingestatult. 2. Nominaalne stabiliseerimispinge on vahemikus 2,4 200/400 V +/- 20% 3. Selline stabilisaator tagab väljundpinge stabiilse oleku sisendpinge (toitepinge) ja koormusvoolu muutumise korral. 4
Vahelduvvoolu alalisvooluks muundav seade. Alaldatud voolu pulsatsiooni vähendamiseks ühendatakse a-i väljundahelasse silufilter. Ühefaasilisi kasut peamiselt automaatika- ja telemehaanika- ning raadioseadmete toitmiseks. Kahest rööpharust ja nendevahelisest sildühendusest koosnev lülitus. Kasut elektrimõõtmistel ja alaldites, vähem filtrites. 48.Ühefaasiline alaldi, trafo sekundaarmähise keskväljaviiguga skeem. 49.Silufiltrid, C, LC, RC. 50.Parameetriline stabilisaator. 51.Kompensatsioonstabilisaator. 52.AM. Amplituudmodulatsioon, mille puhul moduleeriva pingega muudetakse genereeritavate elektrivõngete amplituudi. Am on levinuim moduleerimisviis ringhäälingus dekameeter ja pikemail laineil. 53.FM, SM. Sagedusmodulatsioon modulatsioon, mille puhul moduleeriva pingega muudetakse genereeritavate elektrivõngete sagedust. Sm võimaldab vastuvõtul alandada elektriliste häirete taset. 54.AM-signaali demoduleerimine. 55
vektorite ja vektorkorrutise × skalaarkorrutist vektoriga , s.t. arvu ( × ) . Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit × , mis on risti vektoritega ja , mille pikkus ühtib vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga ning mille suund on antud kruvireegliga. 7. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Kolmemõõtmelise ruumi tasandi võrrand, tasandi normaalvektor. x1 = c1 + s1t Parameetriline: x = c + s t Kanooniline: x1 - c1 = x 2 - c 2 = ... = x n - c n Kolmemõõtmelise ruumi tasand: 2 2 2 s1 s2 sn .......... . xn = c n + s n t Tähistades sel korral x1 = x, x 2 = y , x3 = z , , ja muutes arvude
Piirangud ligipääsetavusele Sobib kõigile keevisõmbluste Õmblustele ligipääsetavus on asenditele, kui valitakse õige halb. elektrood ja keevitusparameeter. Seadmete hea ligipääsetavus ja transporditavus. Keevitusprotsessi Lihtne keevitusparameetite Parameetrite valik toimub parameetriline seadistamine. seadme häälestuskaardi järgi. reguleeritavus Keevitaja kvalifikatsioon Kvaliteet ei sõltu keevitaja Väljaõpe on lühiajaline. treenitusest ja töökogemusest. Arvestades, et soovitakse teha masstootmist, on otstarbekam valida punktkontaktkeevitus. Antud meetod on väga tootlik ja väljaõpe on lühiajaline. Punktkontaktkeevituse tehnoloogia
DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim. funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks ehk teist järku tuletiseks ja tähistatakse y´´ ehk f´´(x) ehk d 2y/dx2 ehk d2f(x)/dx2 või (d2/dx2)f(x). Seega f´´(x)=[f´(x)]´. Analoogselt ka kolmandat järku tuletis jne. DEF 2. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nim. tuletist (n-1) järku tuletisest. Näited: leian nt (3) tuletise . Leian leides algul (3) ja siis tõesta mat. Induktsiooniga. Parameetriline leida 2. Tuletis. Tulemus: Kõrgemat järku tuletised: Lause 1.(Leibnizi valem). Funktsioonide korrutise f(x)g(x) n-järku tuletis on leitav selle valemi abil: Tõestus. Leian n-nda tuletise korrutise tuletisest. Algul leian 2 tuletist: Tõestada ka mat. Induktsiooniga: 1)n=n 2)n=n+1 N. 1.14 Funktsiooni diferentsiaalid DEF 1. Avaldist f´(x)x nim. funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df. dy=f´(x)x DEF 2
4. Üldised vastused BIM-i teemadel 7.4. Miks on alanud BIM-i võidukäik? Kuigi 3D CAD aitab visualiseerida ehitusprojekti projekteerimise ajal, võimaldab BIM pakkuda paremat alternatiivi. Kasutades BIM-i on võimalik oluliselt paremaks muuta mitut ehitusprojekti aspekti. BIM-i näol on tegu revolutsioonilise tehnoloogiaga, mis muudab meie arusaamu alates projekteerimisest kuni ehitise elutsükli lõpuni. BIM on andmerikas, objektile orienteeritud, intelligente ja parameetriline digitaalne esitlus ehitisest, mis võimaldab projektist välja võtta vajalikku informatsiooni ja ning seda analüüsida, et selle põhjal teha otsuseid kiirendamaks ehitise valmimise protsessi. BIM täiustab ehitusprojekti erinevate osapoolte suhtlemist ning tõstab oluliselt vahetatava informatsiooni kvaliteeti, nii et mõlemad pooled sellest üheselt aru saaksid ja seda kõike selleks, et vähendada ehitusprojekti ehitus- kui ka kasutuskulusid.
seotud nullvektorist erinev seotud vektor, s.t. s = , kus AB s. Joonis: Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1,A2) nimetatakse sirge s : A1x1 + A2x2 + A3 = 0 normaalvektoriks. Koordinaattelg - Sirget, mis läbib reeperi alguspunkti O ja mille sihivektoriks on vektor e , nimetame koordinaatteljeks. Punkti O ja i ei poolt määratud koordinaattelge nimetame O e -teljeks ehk xi -teljeks. i Sirge parameetriline vektorvõrrand - Sirge s võrrandit kujul s :AX = ts, t R nimetame sirge s parameetriliseks vektorvõrrandiks. Suurust t selles võrrandis nimetame parameetriks. Sirge parameetrilise vektorvõrrandi võime üles kirjutada ka kujul s = {X| AX = ts, t R}. Sirge parameetriline vektorvõrrand punktide kohavektorite kaudu - Sirge s võrrandit kujul s : = a + ts, t R nimetatakse sirge parameetriliseks vektorvõrrandiks punktide kohavektorite kaudu.
Tasandusmeetodi valik - ptk. 4.3.3 Tuntakse lihtsustatud ja rangeid tasandamismeetodeid, Kohalike ja mõõtmisvõrkude tasandamiseks kasutatakse harilikult lihtsustatud tasandamist. Käikudest ja polügoonidest moodutatud võrkde puhul on kas popovi või parameetrilisel meetodil Triangulatsioonivõrkude puhul kasutatakse lihtsustatud tasandamist Geodeetiliste põhivõrkude rangel tasandamisel on enam levinud kaks põhilist meetodit parameetriline ja korrelaatidega tasandamine Matemaatilised tingimused - ptk. 4.2 NB! Põhimõte Geodeetilises võrgus tehtud iga lisamõõtmine võimaldab koostada ühe sõltumatu tingimusvõrrandi. 3. Lihtsustatud tasandamine - ptk. 5.1 Lihtsustatud tasandamisel ei järgita vähimruutude meetodit põhimõtet täiel määral , vaid tehakse arvutuste käigus mitmesuguseid lihtsustamisi. Samal ajal jälgitakse et leitud parandid
5. Funktsiooni põhilised esitusviisid (loetleda, selgitada, tuua näiteid). 1. Esitus ilmutatud kujul. Esitatakse valemiga y=f(x), mis näitab, millised tehted tuleb teostada argumendiga, et saada funktsiooni väärtus. Sisuliselt kujutab valem funktsiooni graafiku võrrandit. 2.Esitus ilmutamata kujul , s.o. võrrandi F(x,y)=0 abil. 3. Parameetriline esitus .Muutujate x ja y väärtused määratakse teatavate abimuutuja t funktsioonide x=x(t), y=y(t), t∈T väärtustena. Abimuutujat t nimetatakse parameetriks ja vaadeldavafunktsiooni parameetrilisteks võrranditeks. 4
26. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise skalaarkorrutist kolmanda vektoriga c nimetatakse vektorite a,b,c segakorrutiseks. V = ( a x b ) c 27. Vektorite komplanaarsuse tingimus ( a x b ) c = 0 X1 Y1 Z1 28. Segakorrutis koordinaatides ( a x b ) c = X 2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 Sirge võrrand ruumis. 29. Sirge parameetriline võrrand. x = xA + tl ; y = yA + tm ; z = zA +tn . 30. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud sihivektoriga s ehk sirge kanooniline võrrand x xA y yA z zA = = l m n x xA y yA z zA 31. Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B = = xB x A yB y A z B z A
26. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise skalaarkorrutist kolmanda vektoriga c nimetatakse vektorite a,b,c segakorrutiseks. V = ( a x b ) c 27. Vektorite komplanaarsuse tingimus ( a x b ) c = 0 X1 Y1 Z1 28. Segakorrutis koordinaatides ( a x b ) c = X 2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 Sirge võrrand ruumis. 29. Sirge parameetriline võrrand. x = xA + tl ; y = yA + tm ; z = zA +tn . 30. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud sihivektoriga s ehk sirge kanooniline võrrand x xA y yA z zA = = l m n x xA y yA z zA 31. Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B = = xB x A yB y A z B z A
andmepaketi. Aeg on ületatud (inglise keeles Time exceeded) 6 Kõik IP andmepaketid omavad välja TTL, mille väärtust vähendatakse ühe võrra igal paketi saatmise sammul allikast sihtpunktini. Juhul kui TTL omandab väärtuse null, või killustatud andmepaketi üks osa ei saabu sihtpunkti, saadetakse allikale sõnum "aeg on ületatud". Parameetriline probleem (inglise keeles Parameter problem) Vigaste andmepaketi päiseparameetrite korral ei õnnestu hostil alati paketti töödelda ja pakett tuleb kustutada. "Parameetrilise probleemi" sõnum saadetakse just nendel juhtudel, kui töötlemisel tekkinud vea tõttu paketist loobutakse. 3.2 Informatiivsed Informatiivseid sõnumeid ei genereerita vastuseks IP andmepakettides esinenud vigadele, vaid kasutatakse võrguühenduse diagnoosimiseks ja testimiseks. Need sõnumid võimaldavad
o Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnast X on reegli f abil seatud vastavusse muutuja y täpselt üks väärtus piirkonnas Y, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X ja tähistatakse kujul y = f (x). o Funktsiooni põhilised esitusviisid. Ilmutatud kuju y = f (x). Nt y = a x +b; y = ax2 + b x + c Ilmutamata kuju f (x, y) = 0. Nt x2 + y2 = 4 Parameetriline kuju . Nt Geomeetriline esitus graafiku abil. o Numbriline esitus tabeli abil. Funktsioonide liigitamine. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x), ja paarituksfunktsiooniks, kui f (-x) = -f (x) iga x korral määramispiirkonnast X. Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse
Ühtivad tasandid = Paralleelsed tasandid || Lõikuvad tasandid =l Tasandid on risti kui Nurk tasandite vahel Sirge ruumis Sirge sihivektoriks nim iga vektorit, mis on paralleelne sirgega. Sirge kanooniline võrrand Vaatleme sirget, mis läbib punkti Mo(xo;yo;zo) ja sihivektor on . Valime sirgel suvalise punkti M(x;y;z). Moodustame vektori . Kui asendada kanoonilisse võrrandisse mingi punkti koordinaadid, siis kõik 3 suhet on omavahel võrdsed. Sirge parameetriline võrrand Parameeter t on muutuv suurus, erinevatel sirge punktidele vastab erinev t väärtus. Sirge kanooniliste ja parameetriliste võrrandite leidmiseks on vaja punkti, mis asuks sirgel ja sirge sihivektorit. Sirge ja tasandi vastasikused asendid Olgu sirge s: A(xo;yo;zo); Tasand : Ax+By+Cz+D=0; Sirge asetseb tasandil s ;A Sirge on tasandiga paralleelne s|| ;A Sirge lõikab tasandit s={L} Kahe punktiga määratud sirge võrrand
väärtused, mille korral y=f(x) Funkts.f on esitatud võrrandi F(x,y)=0 abil ilmuatamat kujul, kui x-X, F(x,f(x))=0. Punktihulka x,y nim võrrandiga F(x,y)=0 ilmutamata kujul antud funkts graafikuks. Funkts Y=f(x) esitust kujul x=(t) ja y=(t), kus t-T{(t)It-T}=X ja t-T(f((t))=(t)) nim funkts parameetriliseks esituseks x = ( t ) , Funkts parameetriline esitus: On antud kaks võrrandit y = ( t ) , kus t omandab kõik väärtused lõigult [ T1 , T2 ] . Igale t väärtusele vastab üks x väärtus ja üks y väärtus (eeldusel, et funktsioonid ja on ühesed). Kui x ja y väärtusi vaadelda punkti koordinaatidena xy-tasandil, siis igale t väärtusele vastab tasapinna üks punkt. Kui t muutub väärtusest T1 väärtuseni T2 , siis see punkt kujundab mingi joone tasandil
Väga lihtne appi saab võtta mitteparameetrilised testid. Kust leida mitteparameetrilised testid? Tähelepanu! Ei ole samas kohas, kus t-testid! Käsklusterida: Analyze Nonparametric Tests Legacy Dialogues 2 Independent Samples. Vanemates SPSS-i versioonides võivad sõltumatute ja sõltuvate gruppidega t testid olla muud moodi nimetatud. Kui nõnda, siis vasted võivad olla järgmised: Parameetriline Mitteparameetriline 2 sõltumatu valimiga t test Mann-Whitney U Test Sõltuva valimiga t test Wilcoxon Signed Ranks Test Sõltumatute valimitega t-testi raporteerimine käib nõnda: Selles suvalises näidislauses leiti, et loengutes kohalkäijate keskmine tulemus (N = kohalkäijate arv,
17. Pankroti prognoosimine (ainult Altmani Z skoori jargi). Võimaldab teha: võimaldab ettevõtte pankrotistumise tõenaosust. Tegurid, mida arvesse võtab: likviidsus (selle kasvades tõenaosus pankrotti sattuda vaiksem), jaotamata kasum, kasumlikkus, naitab kapitali strukuuri (mida rohkem omakapitali , seda vaiksem tõenaosus sattuda pankroti). 18. Eelarvete kirjete prognoosimise meetodid. Kõige enam on levinud kasvumaar, parameetriline, valemid ja finantsotsused. 19. Kasumieelarve skeem 1 peamised erinevused skeemist 2. Skeem 1 lihtsam ja arusaadavam. Koostamiseks jagatakse infot tulude ja kulude kontodelt. Ei ole võimalik eristada tootmiskulusid mitte tootmiskuludest. Skeemis 1 on esitatud tööjõukulud, skeemis 2 seda eraldi ei ole. 20. Muugikaibe planeerimine. Prognoos, mis tehakse esimesena, sest sellega seonduvad paljud teised prognoosiread.
Kui rank(A) ≠ rank(B), siis LVSil ei ole lahendeid. 2. Kui rank(A) = rank(B) = n, siis on LVSil ühene lahend. 3. Kui rank(A) = rank(B) < n, siis on LVSil lõpmata palju lahendeid. 8 Sirge sihivektor sirgel fikseeritakse üks punkt ja nullvektorist erineva vektori abil antakse sirge siht. Seda vektorit nimetatakse sirge sihivektoriks Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1, A2) nimetatakse sirge s : A1x + A2y + A3 = 0 normaalvektoriks. Sirge parameetriline vektorvõrrand Sirge parameetrilised võrrandid koordinaatides Sirge kanoonilised võrrandid Sirge üldvõrrand Sirgetaandatud võrrand Sirge tõus Sirge algordinaat Sirge võrrand telglõikudes Sirge kahe tasandi lõikejoonena (ruumis) Sirge asendid koordinaattelgede suhtes. Kui A2 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub y-teljega. Kui A1 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub x-teljega. 9
Tabel, graafik. x 1< x 2 ⟹ f (x 1) ≥ f ( x 2) . { x=f (t) Monotoonne f-n: kogu määramispiirkonnas mittekasvav või mittekahanev. * parameetriline: y=g(t) , punktitabel X1 ⊂ X x ∈ X1
Vahelduvvoolu alalisvooluks muundav seade. Alaldatud voolu pulsatsiooni vähendamiseks ühendatakse a-i väljundahelasse silufilter. Ühefaasilisi kasut peamiselt automaatika- ja telemehaanika- ning raadioseadmete toitmiseks. Kahest rööpharust ja nendevahelisest sildühendusest koosnev lülitus. Kasut elektrimõõtmistel ja alaldites, vähem filtrites. 48.Ühefaasiline alaldi, trafo sekundaarmähise keskväljaviiguga skeem. 49.Silufiltrid, C, LC, RC. 50.Parameetriline stabilisaator. 51.Kompensatsioonstabilisaator. 52.AM. Amplituudmodulatsioon, mille puhul moduleeriva pingega muudetakse genereeritavate elektrivõngete amplituudi. Am on levinuim moduleerimisviis ringhäälingus dekameeter ja pikemail laineil. 53.FM, SM. Faasmodulatsioon ??? Sagedusmodulatsioon modulatsioon, mille puhul moduleeriva pingega muudetakse genereeritavate elektrivõngete sagedust. Sm võimaldab vastuvõtul alandada elektriliste häirete taset. 54.AM-signaali demoduleerimine
funktsioonina. Muutujat t nim parametriks. Tasandil nim joone parameetrilisteks võrranditeks võrrandeid x=x(t) y=y(t) Sirge parameetrilised võrrandid Sirge on täielikult määratud kui on teada nullist erinev sirgega paralleelne vektor, nn sirge sihivektor s ja üks punkt M1 sirgel. M on meelevaldne punkt sirgel, siis OM1=r1 ja OM=r. Punktid M1 ja M määravad vektori M1M=r-r1. See vektor on paralleelne sihivektoriga. Võrrand r-r1=st on sirge parameetriline võrrand vektorkujul. Võrrandit y= kx+b nim sirge võrrandiks tõusu ja algordinaadi järgi. Siin arv k on sirge tõus ehk x-telje positiivse suuna ja sirge vahelise nurga tangens. Arvu b nim sirge algordinaadiks.See on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat. Sirge vektorvõrrand ja sirge kanoonilised võrrandid Kui vektor r-r1 on paralleelne vektoriga s ja paralleelsete vektorite vektorkorrutis on 0, siis s(r- r1)=0, so sirge vektorvõrrand
joone osadeks jaotamise viisist ja Qi valikust, siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni f joonintegraaliks kaare pikkuse järgi üle AB ehk I liiki joonintegraaliks. Seda tähistatakse: VALEM Kui funktsioon f on pidev joonel AB, siis on tal olemas I liiki joonintegraal, kusjuures kehtib valem: VALEM Kui joon AB asub z, x, y tasandil, siis nimetatakse integraali tasandiliseks. Sellisel juhul võib olla ka funktsioon f kahe muutuja funktsioon f(x,y). See esitub kujul: VALEM Parameetriline võrrand: x=x(t) y=y(t) tЄ[α;β] , siis VALEM Ristkoordinaadid: y=y(x), xЄ[a,b], siis VALEM Polaarkoordinaadid: ρ=ρ(φ), φЄ[α;β], siis ʃABf(x,y,z)ds=ʃαß:f(ρcosφ;ρsinφ)sqrt[ρ2+(ρ’)2]dφ OMADUSED: 1)Joonintegraal ei sõltu integreerimistee läbimise suunast. ʃABf(x,y,z)ds=ʃBAf(x,y,z)ds 2)Joonintegraal on aditiivne. ʃABf(x,y,z)ds=ʃACf(x,y,z)ds + ʃCBf(x,y,z)ds 3)Joonintegraal on lineaarne, iga arvu k ja l korral VALEM 12
Mis juhtub siis, kui parameetriliste testide parameetrid (ehk eeldused siin kontekstis) ei ole täidetud? Väga lihtne appi saab võtta mitteparameetrilised testid Käsklusterida: Analyze Nonparametric Tests Legacy Dialogues 2 Independent Samples. Vanemates SPSS-i versioonides võivad sõltumatute ja sõltuvate gruppidega t testid olla muud moodi nimetatud. Kui nõnda, siis vasted võivad olla järgmised: Parameetriline Mitteparameetriline 2 sõltumatu valimiga t test Mann-Whitney U Test Sõltuva valimiga t test Wilcoxon Signed Ranks Test Sõltumatute valimitega t-testi raporteerimine käib nõnda: Selles suvalises näidislauses leiti, et loengutes kohalkäijate keskmine tulemus (N = kohalkäijate arv, Mastak = keskmise astaku väärtus) on statistiliselt oluliselt kõrgem kui
vahetada tsükliliselt abc=cab=bca=-bac=-cba=-acb 4)Segakorrutist saab arvutada ka determinandi abil. Rööptahuka ruumala V=|abc|. Kui abc=0, siis on vektorid a,b ja c komplanaarsed (st. Samale tasandile viidavad). Sirge parameetrilised võrrandid tasandil ja ruumis r=ro+ts, tR, nimetatakse sirge L parameetriliseks võrrandiks vektorkujul ja kordaja t on võrrandi parameeter. Kui sirgel on algus ja lõpp, siis on tegu lõiguga. Selle parameetriline võrrand vektorkujul on r=ro+ts, t[a,b]. Pmst sama ruumis. Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil ja ruumis Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil x=xo +tsx ,y=yo +tsy ,kus tR. Lõigu parameetrilised võrrandid erinevad ainult parameetri t väärtustelt: need muutuvad kõigi reaalarvude asemel teatud lõigu [a,b]. Pmst sama ruumis. Kanooniline võrrand x-xo/sx=y-yo/sy. y=k(x-xo)+yo, kus k=sy/sx nim. Sirge tõusuks. See on sirge ja x-telje vahelise nurga tangens, st. k=tan
o andmetest tulenevat viga, ei hinda konstrueeritud puu vastavust tegelikule puule. Jack-knife erineb bootstrapist pseudokoopiate koostamise strateegialt. Jack-knife meetod kasutab vähem informatsiooni (vähem pseudoandmestikke), kui bootstrap meetod. Kui jack-knife meetodis keskendutakse rohkem statistikute standardhälvete arvutamisele, siis bootstrap meetodi eesmärgiks on lisaks ka statistiku jaotust hinnata. 43. Mille poolest erineb parameetriline bootstrap bootstrapist? Parameetriline bootstrap – valimid genereeritakse konstrueeritud puu ja mudeli parameetrite põhjal. Klassikaliselt on bootstrap- meetod mitteparameetriline ehk me ei tee jaotuse kohta mingeid eelduseid. Juhul kui meil on aga teada, millisesse jaotusesse võiks uuritav tunnus kuuluda, on võimalik kasutada parameetrilist bootstrap meetodit. 44. Mida hindab kooskõlaaste (goodness of fit) ja mida
võrdne nende vektoritele ehitatud rööpk ruumalaga V=|(x,y,z)| 3)Kolme vek segakor on võrd 0ga
parajasti siis kui need vektorid on komplanaarsed (x,y,z)=0óx,y,z komplanaarsed 4)Vektorid x,y,z
moodustavad paremakäe kolmiku kui nende segakor on posit, vektorid x,y,z mood vasakukäekolmiku
kui nende segakorrutis on neg (nürinurk=vasakukäe, tervanurk=paremakäe)
Tasandi üldvõr A1x+B1y+C1z+D=0
Sirge u parameetriline võr{x1=c1+s1t;x2=c2+s2t,...xn=cn+snt arv t on parameeter
Kanooniline võr x1-c1/S1=x2-c2/S2=...xn-cn/Sn
Tasandi norm võrrand xcosa+ycosB+zcosg=P P-norm vektori suund =>0, kordajad on määratud
üheselt.
Punkti kaugus tasandist nim antud punktist tasandile tõmmatud ristlõigu pikkust.
L=
kriipsjoonega). 1.11.2 Liikmesfunktsioonide tüübi roll Liikmesfunktsioonide kuju järgi võib neid jagada kahte kategooriasse a) Tükati lineaarsed liikmesfunktsioonid (kolmnurksed, trapetsikujulised) b) Siledad liikmesfunktsioonid (splainipõhised liikmesfunktsioonid) Veel on võimalik rühmitada liikmesfunktsioone selle järgi, kas nende tuum koosneb ühestainsast või rohkemast punktist. a) hägusad numbrid (kolmnurkne liikmesfunktsioon, 3-parameetriline splainipõhine liikmesfunktsioon s.o. b = c avaldises (11)) b) hägusad intervallid (trapetsikujuline liikmesfunktsioon, 4- parameetriline splainipõhine liikmesfunktsioon (11)) 1.11.3 Järeldusalgoritmi parameetrid 29 Hägusate intervallide kasutamine tingib omalaadse tundetuse tsooni tekke läbipaistvuse kontrollpunkti ümbruses, mille suurus on
74.Sirge sihivektor – nimetatakse sirge suvalise 2. Erineva punkti poolt määratud vektorit. Sirge s sihivektori tähiseks on ´s . Teisiti öeldes on sirge sihivektor suvaline vektor, mille moodustajaks on mingil sirgel asuv seotud nullvektorist erinev seotud vektor, s.t ´s = A´B , kus AB ⊂ s. 75.Normaalvektor- nimetatakse vektorit n´ =( A 1− A 2 ) sirge s : A 1 x + A 2 y + A3=0 76.Sirge parameetriline vektorvõrrand – Olgu X sirge s suvaline punkt. ⃗ Võrrandit s: AX = t s⃗ , t ∈ R ¿ s1 t+x 0
Tehted hägusate hulkadega: Hägus tükeldus: Hägusad süsteemid: Liikmesfunktsioonid- Liikmesfunktsioonide kuju järgi võib neid jagada kahte kategooriasse a) Tükati lineaarsed liikmesfunktsioonid (kolmnurksed, trapetsikujulised) b) Siledad liikmesfunktsioonid (splainipõhised liikmesfunktsioonid) Veel on võimalik rühmitada liikmesfunktsioone selle järgi, kas nende tuum koosneb ühestainsast või rohkemast punktist. a) hägusad numbrid (kolmnurkne liikmesfunktsioon, 3-parameetriline splainipõhine liikmesfunktsioon – s.o. b = c avaldises (11)) b) hägusad intervallid (trapetsikujuline liikmesfunktsioon, 4- parameetriline splainipõhine liikmesfunktsioon (11)) Järeldusalgoritm: Häguärastamine: Hägusate süsteemide konstrueerimine ja kasutamine süsteemide modelleerimisel- Kaks tähtsat hägusate süsteemide rakendusala on protsesside hägus modelleerimine ja protsesside hägus juhtimine. Allikateks, millest hägusaid süsteeme luuakse, on protsessi alane
Üldiselt saame Kuid konstandi tuletis on null f'(x)=0 x (a,b) Rn(h) on valemi jääkliige 2) Olgu M0 ja olgu f(c)=M Valem on kirjutatud nii, et f(a+h) ja selle n esimest tuletist Olgu antud parameetriline funktsioon Eksisteerib y'(c) mis ei saa olla positiivne ega on võrdsed f(a), f'(a), f(n)(a) kui võtta h=0 Tema esimene tuletis negatiivne. Vastasel juhul funktsioon oleks kasvav või kahanev punkti c ümbruses. Mõlemal juhul peab
arvutamise protsess. Hinnang- tõenäolise suuruse kvantitatiivne määramine. Peab alati sisaldama täpsusastet. Ettenägematute kulude reserve- täiendavad vahendid, mis on planeeritud selleks, et vähendada projekti eesmärkide ülekulu riski organisatsioonile vastuvõetava tasemeni. Analoogne hinnang- hindamise meetod, mis kasutab eelneva projekti kulusid ja muid näitajaid, näiteks suurust, kaalu ning keerukust selleks, et hinnata sarnast tulevast projekti. Parameetriline hinnang- hindamise meetod, mis kasutab projekti kulude arvutamisel eelmiste perioodide andmete ja teiste muutujate vahelist statistilist seost. Alt-üles hinnang- projektikulude hindamise meetod, mille puhul töö jaotatakse rohkemateks detailideks. Hinnatakse iga üksiku tegevuse kulu ja seejärel liidetakse kõigi tegevuste hinnangud, et saada projekti kogukulu. Väärtustehnika- loominguline lähenemine, mida kasutatakse projekti kulude
Kiivsirged kolm vektorit a, b ja AB ei ole komplanaarsed Lõikuvad sirged kolm vektorit a, b ja AB on komplanaarsed, sihivektorid a ja b ei ole kollineaarsed Paralleelsed sirged kolm vektorit a, b ja AB on komplanaarsed, ainult sihivektorid a ja b on kollineaarsed Ühtivad sirged kolm vektorit a, b ja AB on komplanaarsed, vektorid on paarikaupa kollineaarsed 23. Sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis. kanooniline võrrand: parameetriline võrrand: 24. Tasandi normaal. Tasandi üldvõrrand ruumis. Tasand võib olla määratud punktiga P(xp; yx; zp) ja normaalvektoriga n = (n1; n2; n3) Tasandi normaal (ristsirge) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil. (st vektorid n ja PQ on risti) tasandi vektorvõrrand: PQ n = 0 tasandi üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 x,y,z tasandi punkti koordinaadid; a,b,c kordajad vektorkujul: koordinaatkujul: 25
Kaare diferentsiaal b määrat. int. abil. Taandub määratud int-i arvutamisele AB f ( x, y )ds = f ( x, y ( x)) 1 + ( y ' ( x)) 2 dx a b) Tasandiline joon: parameetriline võrrand x=x(t); y=y(t) A( x( ); y ( )); B ( x ( ); y ( )) , ·2 · 2 · · t [ , ] - kaarel ds = x + y dt dx = x(t )dt ; dy = y (t )dt · - tuletis t järgi Märkus: Kui joon on ruumiline, on funktsioone kolm: x(t)=x; y(t)=y; z(t)=z Rakenused: 1) Saab arvutada teatud silinderpinna pindala. Kui funktsioon = 1, siis kaare AB pikkus on I liiki int üle kaare AB AB = ds
sin 2 y + cos 2 y = 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 13 Parameetrilise funktsiooni ja ilmutamata funktsiooni tuletis (tõestusega). Definitsioon 1 Ühe muutuja funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui ka funktsiooni väärtus y on antud parameetri (t ) funktsioonis. x = u (t ) (9.1) y = v(t ) Näide: x = R cos t (ringjoone parameetriline võrrand) y = R sin t x 2 + y 2 = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t = R 2 x2 + y2 = R Teoreem 1 Parameetriliselt esitatud funktsiooni (9.1) tuletis avaldub kujul o y o (9.2) y' = o , kus y = y ' (t ) = v' x o x = x' (t ) = u ' Tõestus: Vastavalt definitsioonile y y
sin 2 y + cos 2 y = 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 13 Parameetrilise funktsiooni ja ilmutamata funktsiooni tuletis (tõestusega). Definitsioon 1 Ühe muutuja funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui ka funktsiooni väärtus y on antud parameetri (t ) funktsioonis. x = u (t ) (9.1) y = v(t ) Näide: x = R cos t (ringjoone parameetriline võrrand) y = R sin t x 2 + y 2 = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t = R 2 x2 + y2 = R Teoreem 1 Parameetriliselt esitatud funktsiooni (9.1) tuletis avaldub kujul o y o (9.2) y' = o , kus y = y ' (t ) = v' x o x = x' (t ) = u ' Tõestus: Vastavalt definitsioonile y y
Induktiivsus L on trafo magneetimisahela induktiivsus. 78. Maaühendus isoleeritud neutraaliga võrgus ja võrgusageduslike liigpingete teke Joonis 6.13 Pingete ja voolu kõverad faasi A maaühendusel isoleeritud neutraaliga võrgus 79. Transientliigpinged kaarmaaühendusel isoleeritud neutraaliga võrgus 80. Resonantsliigpinged · Resonants sagedusel 50 Hz · Kõrgemate harmoonikute resonants · Ferroresonants · Madalharmoonikute resonants · Parameetriline resonants Resonantsliigpinged esinevad ahelates, kus induktiivsus ja mahtuvus on jadaühenduses ja nende omavõnkesagedus on lähedane toiteallika sagedusele. Näide: kõrgepingeliinide pikikompensatsioon. Joonis 6.14 Pikikompenseeritud liini lühis Pikimahtuvusega kompenseeritakse osaliselt liini induktiivtakistust, millega parandatakse liini ülekandevõimet. Kui tekib lühis mahtuvuse "taga" ning induktiivsuse ja mahtuvuse omavõnkesagedus läheneb 50 Hz-le, tekib liinis resonants
.., yn. x x1 x2 ... xn y y1 y2 ... yn Sellist esitusviisi kasutatakse sageli eksperimentaalsete tulemuste märkimiseks. 3. Geomeetriline esitus graafiku abil. Esitatakse funktsiooni graafik, kust saab määrata argumendi väärtustele vastavad funktsiooni väärtused. Esitusviis on tüüpiline isekirjutavate mõõteseadmete korral. 4. Parameetriline esitus. Muutujate x ja y väärtused määratakse teatavate abimuutuja t funktsioonide x = x( t ) x = x( t ) , y = y ( t ) , t T ehk t T (*) y = y( t ) väärtustena. Abimuutujat t nimetatakse parameetriks ja avaldisi (*) vaadeldava funktsiooni parameetrilisteks võrranditeks
5) Ligilähedaste mahtude meetod mõõdet vaid kõige tähtsamate, kallimate tööde mahud ja rakendatakse vastavaid hindu nt katuse konstruktsioon m2-tes; karkass tervikuna, viimistlus jne 6) Maksumusmudelid keerulisemad matem. meetodil, algoritme, mis võivad haarata mitmesugused tegureid. Mõnikord käsit. omaette veel hinnakataloogide kasutamist, vahest ka hinnaindeksite meetodite klassifitseerimine. Üldine lääne riikide jaotus. 1. Detailiseeritud eelarved 2. Parameetriline eelarvestamine 3. Ajalooline eelarvestamine 4. Fiktseeritud eelarvete kasut. meetod 5. Spetsiaal- või erieelarvete meetod 6. Kombineeritud Lk 15. teine pool Detailiseeritud meetod on mikroeelarvestamise tase. Detail eelarved kost. tööelementide struktuuri kõige täpsemal tasemel, põhinevad tööjõu ja materjalide ühikmaksumustel. Need saadakse, kas enda kogemuste alusel või käsiraamatutest. See eeldab iga väiksemagi ehitise detaili kokkulugemist ja hindamist.
isendi jaoks. 2. Eri objektide võime reageerida samale teatele erinevalt. 3. Polümorfism on nähtus, kus üks objekt (või avaldis) võib samas skoobis omada erinevaid tüüpe. 4. Polümorfism on tehnika, mille puhul on võimalik kasutada sama koodi ja funktsioone erinevate andmetüüpidega, mille tulemuseks on üldisemad ning abstraktsemad implementatsioonid. Kuidas saab liigitada · parameetriline polümorfism, ad-hoc-polümorfism · kompileerimisaegne polümorfism, käivitamisaegne polümorfism Kas üledefineerimine on polümorfismi avaldus? List · Andmestruktuur, milles andmed on kindlas järjekorras. · Saab: 1. elemendi võtta - get 2. elemendi lisada - add 3. elemendi eemaldada - remove · Saab mitut moodi realiseerida, näiteks klassidest ArrayList, LinkedList import java.util.*; import java.util.*;
valemit (8.2). G F z Saame = - x = - x x G F z z z Analoogselt saame ka osatuletise . y M.O.T.T. Märkus. Analoogsed valemid kehtivad ka n-muutja ilmutamata funktsiooni jaoks. F ( x1 , x 2 ,..., x n , u ) = 0 F u x =- k x k F u k = 1,2,..., n Kahe muutuja parameetriline funktsioon omab kuju x = ( u, v ) y = ( u, v ) (8.6) z = ( u, v ) kus u ja v on parameetrid. z z Leiame osatuletised ja kui liitfunktsiooni tuletised x y z z u z v x = u x + v x z z u z v (8.7) = + y u y v y u ja v osatuletised ei ole teada. Nende leidmiseks diferentseerime kahte esimest võrdust. dy
annaabi.ee 
