SIRGE SIRGE TÕUSUNURK x-telje positiivse suuna ja sirge vahel SIRGE TÕUS k näitab, mitu ühikut ühe x'i ühiku kohta sirge tõuseb. (Tangens tõusunurgast) SIRGE TÕUS KAHE PUNKTI JÄRGI SIHIVEKTOR - suvaline vektor, millel on sirgega sama siht e. paralleelne pikkus, suund pole tähtis sihivektoreid on lõpmata palju SIRGE VÕRRAND kujutab suvalist punkti x(x;y) sirgel. Sirge võrrand antakse alati kujul Sirgel SIRGE VÕRRAND KAHE PUNKTI KAUDU SIRGE VÕRRAND TÕUSU JA ALGKOORDINAADIGA
Joone võrrand Lineaarfunktsioon Funktsiooni, mida saab esitada kujul y = ax+ b nimetatakse lineaarfunktsiooniks. Avaldis ax on lineaarliige. Arv b on vabaliige, b väärtus vastab argumendi (x) väärtusele 0. Arv a näitab, mille võrra muutub funktsioon (y), kui argument (x) suureneb ühe võrra. Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafikuks on sirge, mis lõikub y-teljega punktis (0;b) ja läbib punkti (1; a+b). Sirge tõus a näitab, kui palju muutub sirgel oleva punkti ordinaat (y) siis, kui abstsiss (x) kasvab ühe ühiku võrra. Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega y = ax 2 + bx + c, kus ax 2 on ruutliige, bx on lineaarliige, c on vabaliige. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse parabooliks. Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mille suhtes parabool on sümmeetriline (nimetatakse ka parabooli teljeks). Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatak...
5.
(1;-1), a1 = 3; a2 = -3; arccos 0,8. 6. y = -x2+6x-5; x1=1, x2=5; H(3;4); A(0;1); x1
X B - X A YB - Y A X -0 Y -4 X Y -4 Asetame arvud võrrandisse: = = . -3-0 0 -4 -3 -4 4x = 3y + 12 4x + 3y = 12 või 4x 3y = 12 ÜLDVÕRRAND: 4x 3y + 12 = 0 7. Koosta sirge võrrand, kui sirge läbib punkti A(1 ; -8) ja tema sihivektor on s = (2 ; -16). X - X A Y - YA Sirge kanooniline võrrand: = . s1 s2 X - 1 Y - (-8) X -1 Y + 8 Asetame arvud võrrandisse: = = 2 - 16 2 -16 Y +8 Korrutame võrrandi mõlemat poolt 2-ga: X - 1 = -8 x + 8 = y + 8 -8 x = y
Millal on sirge nurgapoolitaja? Kui iga punkti kaugus x-ja y- A(-2;2) teljest kui nurga haaradest on B(3:-3) sama. Mida tähendab, kui y=5 Kõigil punktidel sirgel on ordinaat 5. Kuidas koostatakse sirge X-x1 = y-y1 võrrand, kui teada on üks punkt s1 s2 ja sihivektor? (s1;s2)=sihivektor Kui suur võib olla sirge 0°a<180° tõusunurk? Kui suur on sirge tõusunurk, 90° kui see on x- teljega risti?
Sirged tasandil Sirge esitamise viisid: 1. Kahe punktiga esitatud sirge võrrand: Olgu antud kaks punkti , siis sirge võrrandiks on 2. Punkti ja sihivektoriga esitatud sirge võrrand: Olgu antud punkt ja sihivektor , siis sirge võrrandiks on 3. Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand: Olgu antud punkt ja tõus , siis sirge võrrandiks on 4. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand: Olgu antud tõus k ja algordinaat b (y telje koordinaat, kus sirge läbib y-telge) y = kx + b 5. Sirge võrrand telglõikudes: Läbigu sirge koordinaattelgi punktides (a; 0) ja (0; b), siis sirge võrrand on
20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Kollineaarsuse tunnused: · Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on võrdsed. · Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor. · Skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega. Ristseisu tunnused: · Skalaarkorrutis on 0 · Vektorkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutistega. Komplanaarsuse tunnused: · Segakorrutis on 0 21. Sirge sihivektor. Sirge tõus. Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand, üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil). Sirge sihivektoriks nim selle sirge mis tahes kahe punktiga määratud vektorit või sellega samasihilist vektorit. Suund ja pikkus pole olulised. Sirge võrrand tasandil: Kanooniline võrrand - ehk - sirge s kanooniline võrrand tasandil või ka sirge võrrand sihivektrori ja punkti järgi.
B( x 2 ; y 2 ; z 2 ) : x 2 - x1 y 2 - y1 z 2 - z1 Antud on 1 sirge punkt A( x1 ; y1 ; z1 ) ja x - x1 y - y1 z - z1 = = sx sy sz s = (sx ; s y ; sz ) sihivektor : Sirge parameetrilised võrrandid: Antud on 1 sirge punkt A( x1 ; y1 ; z1 ) ja sihivektor x = x1 + ts x s = (sx ; s y ; sz ) y = y1 + ts y : z = z1 + ts z
y P(x;y) y2 y1 x2 x1 B(x2;y2) A(x1;y1) s sx ; s y x y y1 x x1 s sy sx Sirge sihivektoriks nimetatakse iga vektorit, mille siht langeb kokku sirge sihiga. Näide. Koosta sirge võrrand, kui sirge sihivektor on koordinaatidega (4;-1) ning sirge läbib punkti P(3;-2). x 3 y 2 4 1 ( x 3) 4( y 2) .... y 0,25 x 1,25 y 0,25 x 1,25 Sirge üldvõrrand ...... on lineaarvõrrand kujul Ax + By + C =0, kus A, B ja C on konstandid ning A ja B ei võrdu korraga samaaegselt nullidega Näide Teisenda üldkujuline võrrand tõusu ja
võrrand Sirge võrrandiks, kui on teada tõus k = tan ja mingi punkt A(x1; y1) sirgelt, on y - y1 = k ( x - x1 ) . y A(x1; y1) 0 x Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand Sirge sihivektoriks nimetatakse selle sirgega kollineaarset (paralleelset) vektorit. Kui on teada sirge sihivektor s = ( s1 , s2 ) ja mingi punkt A(x1; y1) sellelt sirgelt, siis saab sirge võrrandi esitada kujul x - x1 y - y1 = . s1 s2 y s A(x1; y1) 0 x Sirge üldvõrrand Sirge üldvõrrandiks on kaht tundmatut sisaldav lineaarne võrrand kujul
Avaldis koordinaatides: (vaata üles puule). 19. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Vektorite kollineaarsuse tunnus: 1) Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on vôrdsed 2) Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor 3) Skalaarkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega. Vektorite ristseisu tunnus: 1) Skalaarkorrutis on 0 2) Vektorkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega Vektorite komplanaarsuse tunnus: Segakorrutis on 0 20. Sirge sihivektor. Sirge võrrand tasandil. Sirge tõus. Sirge sihivektor sirge sihiline vektor (suund ja pikkus pole olulised). Sirge vôrrand tasandil: Ax + Bx + C = 0; (x x2) / (x2 x1) = (y y2) / (y2 y1); y y1 = k(x x1); y = kx + b; (x x1) / sx = (y y1) / sy. Sirge tôus k = tan = f'(x) ( on nurk sirge ja x-telje pos. suuna vahel.) 21. Sirge kanoonilised ja parameetrilised x = svõrrandid ruumis. Kahe sirge vastastikused asendid.
y 2 = 0,5 x + 1 ja 2 x + 4 y = -8 asuvad joonisel 4. Joonestamisega koos saab meelde tuletada lineaarfunktsiooni liikmete nimed ja kordajate tähendused. Joonis 4 Järgmisena laseksin õpilastel joonestada sirgeid erinevate andmete põhjal. Näiteks: a) antud on kaks punkti A(-4;3) ja B(2;-4); b) antud on punkt C(3;4) ja sirge tõus 1; c) antud on punkt D(2;-3) ja sirge tõusunurk 60 o ; r d) antud on punkt E(-4;-2) ja sihivektor s = (3;1) ; e) antud on punkt F(5;2) ja on teada, et sirge on paralleelne y-teljega; f) antud on punkt G(0;-4) ja on teada, et sirge on paralleelne x-teljega; g) sirge läbib punkti H(5;-4) ja on paralleelne sirgega y1 = 2 x - 3 ; h) sirge poolitab koordinaattasandi II ja IV veerandi; i) sirge poolitab koordinaattasandi I ja III veerandi. Saame järgmise joonise (vt joonis 5): Joonis 5 Märkame, et suudame sirgeid joonistada erinevate andmete järgi
6.14 Kahe vektori skalaarkorrutiste rakendusi Koosinusteoreemi saab tõestada vektorite skalaarkorrutist kasutades Joone võrrand 7.1 Sirge võrrand Sirge võrrand peaks arvatavasti olema võrrand, mis sisaldab sirge mis tahes punkti koordinaate x ja y kui muutujaid. · Läbi kahe punkti saab joonestada vaid ühe sirge. Tähendab, kui on antud kaks punkti oma koordinaatidega, peaksima saama koostada sirge võrrandi. · Sirge sihivektor. Iga vektorit, mis on paralleelne vaadeldava sirgega või asub sellel sirgel, nimetatakse sirge sihivektoriks. Järelikult on sihivektoreid lõpmatult palju ja nad erinevad omavahelt pikkuselt või suunalt (2 sihivektorit erinevad vaid arvulise kordaja poolest). Selle leidmiseks piisab kahe punkti leidmisest vaadeldaval sirgel. Nende punktidega määratud vektor ongi üks sirge sihivektor. · Punkti ja sihivektoriga määratud sirge
kolmele ühest punktist väljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite segakorrutise absoluutväärtusega. 20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Kaks vektorit on kollineaarsed (a|| b), kui vektorkorrutis on 0 ( = || || sin 0°/180° = 0) Kaks vektorit asetsevad risti ( ), kui skalaarkorrutis on 0 ( = || || cos 90° = 0) Kaks vektorit on komplanaarsed, kui segakorrutis on 0 ((a × b)c = 0) 21. Sirge sihivektor. Sirge tõus. Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand, üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil). Sirge sihivektoriks nimetatakse selle sirge mis tahes kahe punktiga määratud vektorit või sellega samasihilist vektorit. Suund ja pikkus pole olulised. Kui sirge s on määratud punktidega A(x1 ; y1 ) ja B(x2 ; y2 ), siis selle sirge sihivektoriks on iga (nullvektorist erinev) vektor s, mis on samasihiline (kollineaarne) vektoriga AB
vastuolu! Järelikult peab |KA|=|KB| mis tähendab, et punkt K poolitab lõiku AB. (lemma. 9.6). Teist järku joone diameetri kõik punktid kuuluvad samale sirgele. Tõestus: Olgu antud teist järku joon : a11x12+2a12x1x2+a22x22+2a1x1+2a2x2+a0 ja selle mingi diameeter olgu =(s1;s2). Vaatame sirget u: (a11s1+a12s2)x1+(a12s1+a22s2)x2+a1s1+a2s2=0. Olgu K(k1;k2) diameetri mingi punkt. Et K on diameetri mingi punkt siis on K ka mingi kõõlu keskpunkt, kusjuures see kõõl kuulub sirgele, mille sihivektor on (s1;s2). Seega kehtib (a11k1+a12k2+a1)s1+ (a12k1+a22k2+a2)s2=0 ehk (a11s1+a12s2)k1+(a12s1+s2)k2+a1s1+a2s2=0. Näeme, et punkt K kuulub sirgele u, et K oli diameetri suvaline punkt siis kuuluvad fikseeritud diameetri kõik punktid samale sirgele u. 10.(lause 10.6) Teist järku joonrl leidub iseärane siht L() parajasti siis kui on paraboolne joon ning L() on joone asümptootiline siht. Tõestus: Olgu teist järku joon : a11x12+2a12x1x2+a22x22+2a1x1+2a2x2+a0
Joonte parameetrilised võrrandid Joone parameetrilisteks võrranditeks ruumis nim võrandeid kujul x=x(t) y=y(t) z=z(t) kui esimene võrrand esitab x-i t-funktsioonina, teine võrrand esitab y-i ja kolmas z-i muutuja funktsioonina. Muutujat t nim parametriks. Tasandil nim joone parameetrilisteks võrranditeks võrrandeid x=x(t) y=y(t) Sirge parameetrilised võrrandid Sirge on täielikult määratud kui on teada nullist erinev sirgega paralleelne vektor, nn sirge sihivektor s ja üks punkt M1 sirgel. M on meelevaldne punkt sirgel, siis OM1=r1 ja OM=r. Punktid M1 ja M määravad vektori M1M=r-r1. See vektor on paralleelne sihivektoriga. Võrrand r-r1=st on sirge parameetriline võrrand vektorkujul. Võrrandit y= kx+b nim sirge võrrandiks tõusu ja algordinaadi järgi. Siin arv k on sirge tõus ehk x-telje positiivse suuna ja sirge vahelise nurga tangens. Arvu b nim sirge algordinaadiks.See on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat.
Taandatud võrrand S : y = kx+b puudub Võrrand telglõikudes x y puudub + =1 S: p1 p2 Võrrand kahe tasandi PUUDUB S: lõikejoonena { A 1 x + B1 y +C 1 z + D 1=0 A 2 x +B 2 y +C 2 z + D 2=0 74.Sirge sihivektor – nimetatakse sirge suvalise 2. Erineva punkti poolt määratud vektorit. Sirge s sihivektori tähiseks on ´s . Teisiti öeldes on sirge sihivektor suvaline vektor, mille moodustajaks on mingil sirgel asuv seotud nullvektorist erinev seotud vektor, s.t ´s = A´B , kus AB ⊂ s. 75.Normaalvektor- nimetatakse vektorit n´ =( A 1− A 2 ) sirge s : A 1 x + A 2 y + A3=0 76
Punkti Po(xo; yo; zo) kaugus tasandist Ax+By+Cz+D=0 Kahe tasandi vastastikused asendid Olgu 2 tasandit : A1x+B1y+C1z+D1=0; ja tema normaalvektor : A2x+B2y+C2z+D2=0; ja tema normaalvektor Ühtivad tasandid = Paralleelsed tasandid || Lõikuvad tasandid =l Tasandid on risti kui Nurk tasandite vahel Sirge ruumis Sirge sihivektoriks nim iga vektorit, mis on paralleelne sirgega. Sirge kanooniline võrrand Vaatleme sirget, mis läbib punkti Mo(xo;yo;zo) ja sihivektor on . Valime sirgel suvalise punkti M(x;y;z). Moodustame vektori . Kui asendada kanoonilisse võrrandisse mingi punkti koordinaadid, siis kõik 3 suhet on omavahel võrdsed. Sirge parameetriline võrrand Parameeter t on muutuv suurus, erinevatel sirge punktidele vastab erinev t väärtus. Sirge kanooniliste ja parameetriliste võrrandite leidmiseks on vaja punkti, mis asuks sirgel ja sirge sihivektorit. Sirge ja tasandi vastasikused asendid Olgu sirge s:
n1 n 2 , n1 n 2 0, A1 A2 B1 B 2 C1C 2 0 . Näide: Määrata tasandite vastastikune asend: 2 x 3 y z 2 0, 4 x 3 y z 5 0. 2 3 4 3 2 4 3 3 1 1 0 Järelikult tasandid on omavahel risti. SIRGE VÕRRAND RUUMIS Sirge on ruumis määratud, kui on teada tema siht (sihivektor) ja üks punkt sirgel. Tuletame võrrandi sirgele, mis läbib punkti M 0 x0 , y0 , z0 ja mille suunavektor on s m, n, p . Olgu sirge suvaline punkt M x, y, z . Vektor M 0 M x x0 , y y0 , z z0 .
Iga kahe erineva punkti p.A ja p.B korral afiinses ruumis leidub parajasti üks sirge u, millel asuvad need punktids.o. (Au, Bu). Sirgeks läbi p.A ja sihivektoriga nim. kõigi selliste punktide PP hulka u mille korral ( ) mingi AR Seda tähistatakse lühidalt: U=PP, iga 26. Sirge 2-mõõtmelises eukleidilises ruumis.sirge üldvõrrand,normaalvektor. Kahemõtmelises eukleidilises ruumis kasutame tuntud x,y-teljestiku.Siin tähistatakse P(x,y) see on x1=x;x2=y, A(x0,y0) sihivektor =(sx,sy),nad avalduvad võrandid kujul. 27. Hüpertasandi mõiste,vektorvõrrand.hüpertasand 2-ja 3 mõõtmelises ruumis.' A(V,P) on-mõõtmiline afiine ruum,milles on määratud mingi reeper.T=(O,B).Hüpertasandiks afiinses ruumis A nim kõige selliste punktide hulka,mille koordinadid rahuldavad lineaarsed võrrandit. Kahemõtmilises eukleidilises ruumis on hüpertasandiks A läbiv sirge u mille võrand on ax+by+c=0 ja mille normaalvektor on =(a,b)
tema maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga. Teoreem LVS-i lahendite arvust Olgu LVS-i maatriksiks A ja süsteemi laiendatud maatriksiks B ja olgu LVSis tundmatute arvuks n. 1. Kui rank(A) ≠ rank(B), siis LVSil ei ole lahendeid. 2. Kui rank(A) = rank(B) = n, siis on LVSil ühene lahend. 3. Kui rank(A) = rank(B) < n, siis on LVSil lõpmata palju lahendeid. 8 Sirge sihivektor sirgel fikseeritakse üks punkt ja nullvektorist erineva vektori abil antakse sirge siht. Seda vektorit nimetatakse sirge sihivektoriks Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1, A2) nimetatakse sirge s : A1x + A2y + A3 = 0 normaalvektoriks. Sirge parameetriline vektorvõrrand Sirge parameetrilised võrrandid koordinaatides Sirge kanoonilised võrrandid Sirge üldvõrrand Sirgetaandatud võrrand Sirge tõus Sirge algordinaat Sirge võrrand telglõikudes
Tõusuga k ja ühe punktiga ( x1 ; y1 ) määratud sirge: y - y1 = k ( x - x1 ) . Kahe punktiga ( x1 ; y1 ) ja ( x2 ; y2 ) määratud sirge: x - x1 y - y1 = x2 - x1 y2 - y1 r y2 - y1 sirge sihivektor s = ( x2 - x1 ; y2 - y1 ) ja tõus k = tan = . x2 - x1 r Punktiga ( x1 ; y1 ) ja sihivektoriga s = ( X ; Y ) määratud sirge: x - x1 y - y1 = . X Y Sirge üldvõrrand:
x y ( z1 + z 2 ) = x yz1 + x yz 2 (x ) yz = x(y) z = xy(z) =( xyz) Segakorrutise koordinaadid parema käe ristkoordinaatide kaudu: SIRGE VÕRRAND:Sirge võrrandid: Poolus suvaline punkt O E Punkti kohavektor pooluse O suhtes - nimetatakse vektorit OX Joonis: Vektorite liitmise definitsiooni kohaselt OX =OA +AX. Tähistame sirge s fikseeritud punkti A ning suvalise punkti X kohavektoreid edaspidi lühemalt: a :=OA, :=OX. Sirge sihivektor Sirge sihivektoriks nimetatakse sirge suvalise 2 erineva punkti poolt määratud vektorit. Sirge s sihivektori tähiseks on s. Teisiti öeldes on sirge sihivektor suvaline vektor, mille moodustajaks on mingi sirgel asuv seotud nullvektorist erinev seotud vektor, s.t. s = , kus AB s. Joonis: Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1,A2) nimetatakse sirge s : A1x1 + A2x2 + A3 = 0 normaalvektoriks. Koordinaattelg - Sirget, mis läbib reeperi alguspunkti O ja mille sihivektoriks
Tõusuga k ja ühe punktiga x1 ; y1 määratud sirge: y y1 k x x1 . Kahe punktiga x1 ; y1 ja x2 ; y2 määratud sirge: x x1 y y1 x2 x1 y2 y1 r y2 y1 sirge sihivektor s x2 x1 ; y2 y1 ja tõus k tan . x2 x1 r Punktiga x1 ; y1 ja sihivektoriga s X ; Y määratud sirge: x x1 y y1 . X Y Sirge üldvõrrand:
. . . . . . . . . . . . 134 14.8 Nurk kahe tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 14.9 Nurk sirge ja tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Kontrolltöö teemad 1. Tasandi ja sirge võrrandite koostamine ruumis. 2. Punkti kaugus sirgest ja tasandist. 3. Tasandite ja sirgete vastastikused asendid (nurgad nende vahel). Eksamiteemad 1. Tasandi riht. Normaalvektor. Sihivektor. 2. Tasandi parameetriline vektorvõrrand, tasandi üldvõrrand. 3. Sirge parameetriline vektorvõrrand, sirge kanooniline võrrand ruumis. 4. Punkti kaugus sirgest ja punkti kaugus tasandist. 5. Kahe sirge vaheline nurk, kahe tasandi vaheline nurk, sirge ja tasandi vaheline nurk. PEATÜKK 14. SIRGE JA TASAND RUUMIS Antud loengu materjal pärineb suuresti Aivo Parringu loengu-
7 7 Ülesanne. Leidke sirge võrrand, kui A(–3; –5) ja B(4; –5) Ülesanne. Leidke sirge võrrand, kui A(–3; –5) ja B(–3; 5) © Allar Veelmaa 2014 28 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium PUNKTI JA SIHIVEKTORIGA MÄÄRATUD SIRGE VÕRRAND. SIRGE ÜLDVÕRRAND Punkt A(x1; y1) asub sirgel ning sirge sihivektor on s (s1; s2 ) . Nii määratud sirge võrrand esitub kujul x x1 y y1 s1 s2 Näide. Kui sirge läbib punkti A(3; 4) ja sihivektor s (1;5) , siis sirge võrrand on x 3 y 4 , ehk 1 5 peale lihtsustamist y = –5x + 19. Sirge võrrandit kujul Ax + By + C = 0 nimetatakse sirge üldvõrrandiks.
= x2 - x1 y2 - y1 Näide: Sirge läbib punkte A(-5;3) ja B(4;-7). Koosta sirge võrrand. x+5 y -3 x +5 y -3 = = . 4 + 5 -7 - 3 9 -10 Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand r A(x1;y1) antud punkt sirgel; s = (s1;s2) sirge s sihivektor. X(x;y) suvaline punkt sirgel. uuur = (x x1; y y1) AX uuur || r (kollineaarsed). AX s Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised. x - x1 y - y1 =
|6 · 0 12 · 0 4 · 1/2 3 | 1 . 14 62 122 42 Sirge ja tasand Sirge ja tasand on kas lõikuvad (erijuhuna sirge asub tasandil) ja siis nende vaheline kaugus on null või on paralleelsed. Sirge on paralleelne tasandiga ainult siis kui tema sihivektor on risti tasandi normaalvektoriga. Kui nad on parallelsed, siis sirge iga punkti kaugus tasandist võrdub sirge kaugusega tasandist. Näide 3: Leida sirge kaugust tasandist -3x + y + 5z + 6 = 0. Lahendus: Kuna sirge sihivektor = (2; 1; 1) on tasandi normaalvektoriga =(-3;1;5) risti: · 2 · 3 1 · 1 1 · 5 0, siis antud sirge on tasandiga parallelne. Sirge kauguse d tasandist leidmiseks võtame sirgel
on -(,) = (,)( -)+(,)( -) ehk (,)( -)+(,)( -)-( -(,)) = 0. cD g(P)dS Viimasest võrrandist on leitav võrrandiga = (,) antud pinna normaalvektor punktis (,,(,)) = ((,), (,), 6. Kui eksisteerib integraal D f(P)dS ja piirkonnas D kehtib võrratus m f(P) M, siis m D f(P)dS M -1). Et vektor n on punktis P pinna normaali (normaalsirge) sihivektor, siis soovitud normaali võrranditeks on - / (,) = - /(,) = -(,)/ -1 , kusjuures (,,) on selle normaalsirge suvaline punkt. Kui aga P on pinna fikseeritud punkt, Muutujavahetus kordses integraalis. Leida jakobiaan polaarkoordinaatide korral. näiteks (,,(,)), siis puudub vajadus kolmiku (,,) kasutamiseks
2) ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦), −1). Et vektor n on punktis P pinna normaali (normaalsirge) sihivektor, siis soovitud normaali võrranditeks on 𝜉−𝑥 𝜂−𝑦 𝜍−𝑓(𝑥,𝑦)
D x Joonis 7.2. Joone l¨abimine positiivses suunas N¨ aide 1. Arvutame x cos ydx - y sin xdy u ¨le sirgl~oigu punktist A(0; 0) AB punktini B(; 2). - Sirge sihivektor on AB = (; 2) ja parameetrilised v~orrandid x = t y = 2t, kusjuures punktis A on t = 0 ja punktis B on t = 1. Valemi (7.10) rakenda- miseks leiame veel x = ja y = 2. Valemi j¨argi 1 x cos ydx - y sin xdy = (t cos 2t · - 2t sin t · 2)dt AB 0 1
annaabi.ee 
