r r u v Nurk vektorite vahel cos = r r, uv r r r r Vektorite ristseisu tunnus u v u v = 0 r r r r Kahe vektori skalaarkorrutis u v = u v cos X1 Y1 Z1 Vektorid on komplanaarsed X 2 Y2 Z 2 = 0 X 3 Y3 Z3 Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed r r r r X 1 Y1 Z1 u Pv u = kv = = =k . X 2 Y2 Z 2 r uuur Vektori pikkus: v = AB = X 2 + Y 2 + Z 2 .
•Kui tasand lõikab koordinaattelgi punktides K(a; 0; 0), L(0; b; 0) ja M(0; 0; c), siis on tasandi võrrandiks + + 1 Tasandi võrrandi erinevad kujud • Ühe punkti ja kahe mittekollineaarse vektoriga määratud tasandi võrrand: =0 • Kolme punktiga määratud tasandi võrrand • Tasandi normaalvõrrand =0 NB: Märk ruutjuure ees võetakse vastupidine D märgiga. • Nurk tasandite vahel = • Tasandite paraleelsuse tunnus ↔ • Tasandite ristseisu tunnus =0↔ Ülesanne 1 •Leia tasandite vaheline nurk 5x – y + 3z = 2 ja 2x – 2y – 4z + 6 = 1 = 90° Ülesanne 2 • Kas antud tasandid on paralleelsed, ühtivad või lõikuvad? X+y+z–5=0 ja x+y+z +5 = 0 = - paralleelsed 3x – 4y + 5z - 6 = 0 ja -9x + 12y – 15y + 24 = 0 = = = - lõikuvad
KUJUNDID Sektori pindala: Ringi pindala: Ringjoone ümbermõõt: Kera ruumala: Kera pindala: Koonuse ruumala: Koonuse pindala: Püramiidi ruumala: Trapetsi pindala: Rombi pindala: TULETIS [f(x) · g(x)]´ = [f(x) / g(x)]´ = y = f[g(x)]; y´ = (ln x)´ = (ex)` = (ax)` = (logax)´= (sin x)´ = (cos x)´ = (tan x)´ = LÕIK, SIRGE, VEKTOR, TASAND Lõigu pikkus ruumis: d = Tasandi projektsiooni pindala: Sp = Vektorite paralleelsuse tingimus: Vektorite ristseisu tingimus: Skalaarkorrutis: Nurk vektorite vahel: Vektorite liitmine ja lahutamine: Vektori pikkus: Ühel tasandil olevaid vektoreid nimetatakse komplanaarseteks. Komplanaarsuse tingimus: Sirge võrrand tasandil Kahe punktiga: Punkti ja sihivektoriga: Punkti ja tõusuga: Tõusu ja algordinaadiga: NB! Ruumis saab leida ainult kahe punktiga. Sirgete asend ruumis Paralleelsuse tingimus: Millal lõikub, millal kiivne: Tasandi võrrandi üldkuju:
19. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kolme vektrori a, b ja c segakorrutiseks nim kahe esimese vektori a ja b vektorkorrutise a*b skalaarkorrutist vektoriga c, st arvu (a*b)c. Kolme vektori segakorrutist kasutatakse nt ruumalade arvutamisel. Nimelt osutub, et kolmele, ühest punktist vljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite segakorrutise absoluutväärtusega. 20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Kollineaarsuse tunnused: · Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on võrdsed. · Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor. · Skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega. Ristseisu tunnused: · Skalaarkorrutis on 0 · Vektorkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutistega. Komplanaarsuse tunnused: · Segakorrutis on 0 21. Sirge sihivektor. Sirge tõus
r r u v = X 1 X 2 + Y1 Y2 + Z1Z 2 . Nurk vektorite vahel leitakse tema koosinuse abil: r r u v cos = r r , u v kus cos on positiivne, kui on teravnurk ja negatiivne, kui on nürinurk. Vektorite ristseisu tunnus: r r r r u v u v = 0 . 2
näide. 3. Vektorsüsteemi lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. 4. Moodustajate süsteem. 5. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid baasi suhtes. 6. Vektorid. Geomeetrilise vektori mõiste. Lineaartehted, tehete omadused. Vektori projektsioon sirgele, teljele. Vektori pikkus. Vektori ja punkti koordinaadid 3- mõõtmelises ruumis. 7. Skalaarkorrutise mõiste. Skalaarkorrutise omadused. Skalaarkorrutise arvutamine koordinaatkujul. 8. Vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tingimused. Kahe vektori vahelise nurga leidmine. 9. Vektorkorrutise mõiste. Vektorkorrutise omadused. Vektorkorrutise arvutamine koordinaatkujul. Rööpküliku ja kolmnurga pindala arvutamine. 10. . Segakorrutise mõiste. Segakorrutise omadused. Segakorrutise arvutamine koordinaatkujul. Kolme vektori komplanaarsus. Rööptahuka ja tetraeedri ruumala arvutamine. 11. Sirge võrrandid. Punkti kaugus sirgeni. Kahe sirge vaheline nurk. 12
Detailide omavahelise asendi muutumine Ühenduskohtade jäikuse kadumine Koostöötavate pindade omavahelise kontakti muutumine Detailide deformeerumine Elastsuskadu Nõetumine ja kattumine katlakiviga Materjali väsimine Ist Istu muutumist iseloomustab liikuvates ühendustes lõtku suurenemine Liikumatutes aga pingu vähenemine kuni lõtku tekkimiseni Detailide..... Omavahelise asendi muutmisega kaasneb samatelgsuse, rööpsuse, ristseisu või telgede vahekauguse muutumine, mille tulemusena tekkivad lisajõud ja pinged põhjustava detailide vigastusi ja purunemisi Jäikuse... Kadumist iseloomustab kinnituste nõrgenemine. Dünaamilised koormused kutsuvad esile kinnituste katkemise ja detailide purunemise Ühenduskoha jäikuse kadumine muudab koostöökoha mittehermeetiliseks Koostöötavate ... Pindade kontakti muutumisel ei liibu pinnad tihedalt üksteise vastu või liibuvad ebaõigesti
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 3. Vektor tasandil. Joone võrrand Põhiteadmised · Punkti koordinaadid; · vektor, vektori koordinaadid; · vektorite summa ja vahe; · vektori korrutamine arvuga; · kahe vektori skalaarkorrutis; · vektori pikkus ja nurk vektorite vahel; · vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul; · vektorite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel; · sirge võrrandi koostamine, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, kahe punktiga, punkti ja sihivektoriga;
Vali üks: a. NaCl b. NaO3 c. CaCl3 d. Al2O3 Küsimus 12 Valmis Hinne 7,00 / 7,00 Märgista küsimus Küsimuse tekst Elektrokeemilise lihvimise pealiikumiseks on Vali üks: a. katoodi pöörlemine b. anoodi pöörlemine c. katoodi ettenihe liikumine d. anoodi ettenihe liikumine Küsimus 13 Vastamata Võimalik punktisumma 7,00'st Märgista küsimus Küsimuse tekst Leida laserlõikamisega tehtud lõige ristseisu tolerants u (vt joonis) kui lõigatud materjali paksus on 10,6 mm. Lõikepinna kvaliteet 1 klassi järgi on leitav valemiga: u=0,05+0,03·s, kus s - on lõigatava materjali paksus, mm. Vastus andke täpsusega kolm kohta peale koma. Vastus: Küsimus 14 Valmis Hinne 7,00 / 7,00 Märgista küsimus Küsimuse tekst Milline mittetraditsiooniline lõikamise protsess võimaldab lõigata ainult metalle? Vali üks: a. laserkiirega lõikamine b. plasmatöötlus c
HITSA Moodle MTT0010 Konstruktsioonimaterjalide tehnoloogia Õpikeskkonna avalehele ► Minu kursused ► Tallinna Tehnikaülikool ► Teaduskonnad ► Mehaanikateaduskond ► Materjalitehnika instituut ► MTT0010 ► 9 mai - 15 mai ► E-labor 14: Töötlemine mittetraditsiooniliste meetoditega Alustatud reede, 20. mai 2016, 16:12 Olek Valmis Lõpetatud reede, 20. mai 2016, 16:16 Aega kulus 3 minutit 46 sekundit Punktid 91/105 Hinne 87 maksimumist 100 Küsimus 1 Mittetraditsioonilised töötlemisprotsessid kasutatakse juhul, kui Õige Vali üks: Hinne 7 / 7 a. tooriku materjali tugevus ja kõvadus on väga suured, HB>400 Märgista küsimus b. tooriku mate...
HITSA Moodle MTT0010 Konstruktsioonimaterjalide tehnoloogia Õpikeskkonna avalehele ► Minu kursused ► Tallinna Tehnikaülikool ► Teaduskonnad ► Mehaanikateaduskond ► Materjalitehnika instituut ► MTT0010 ► 9 mai 15 mai ► Elabor 14: Töötlemine mittetraditsiooniliste meetoditega Alustatud reede, 20. mai 2016, 16:21 Olek Valmis Lõpetatud reede, 20. mai 2016, 16:24 Aega kulus 3 minutit 33 sekundit Punktid 84/105 Hinne 80 maksimumist 100 Küsimus 1 Mittetraditsioonilist töötlemist kasutatakse Valmis Vali üks: Hinne 7 / 7 a. kui temperatuuri tõus ja sisepinged on lubamatud Märgista küsimus b. kui töötlemist teostatakse keeruliste liikumistega c. kui detaili kinnitamiseks kasu...
x2 y2 z2 x3 y3 z3 18. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, omadused, avaldis koordinaatides). Kolme vektori segakorrutis nim. vektor a skalaarkorrutist vektorkorrutisega bx c Omadused: 1) On arvuline suurus 2) On 0, kui vektorid on komplanaarsed 3) Vôrdub vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga. Avaldis koordinaatides: (vaata üles puule). 19. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Vektorite kollineaarsuse tunnus: 1) Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on vôrdsed 2) Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor 3) Skalaarkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega. Vektorite ristseisu tunnus: 1) Skalaarkorrutis on 0 2) Vektorkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega Vektorite komplanaarsuse tunnus: Segakorrutis on 0 20. Sirge sihivektor. Sirge võrrand tasandil. Sirge tõus.
sobivat järku ühikmaatriks. Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks. Pöördmaatriksi elementide 1 ~ leidmise eeskiri: A -1 = A. det A 5. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile paneb vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks. Vektori V pikkuseks nimetatakse arvu . Vektori pikkust tähistatakse . Olgu ja nullvektorist erinevad vektorid eukleidilisest vektorruumist V. Vektorite ja vaheliseks nurgaks NO NO
risttelje suhtes võrdub üksikjõudude momentide summaga sama telje suhtes. Varignoni teoreemi tingimused: kehale mõjub jõusüsteem (F1), mille resultant on Fres Jõusüsteemi taandamise erijuhtumid. 1.Fo=0; Mo0. Süsteem taandub jõupaariks (tulemus kehtib iga taandamiskeskme korral). 2. Fo0; Mo=0. Peavektor on jõusüsteemi resultandiks. 3. Fo0; Mo0; mõlemad vektorid on omavahel risti. Vektorite ristseisu tunnus on Fo*Mo=0. Erijuhtum tekib sageli siis, kui taandatava süsteemi jõud on kas tasandilised või paralleelsed. 4. Fo0; Mo0; mõlemad vektorid on paralleelsed, mille tunnuseks on Fo x Mo=0, sellist süsteemi ühel ja samal sirgel mõjuvast jõu- ja momentvektorist nimetatakse jõukruviks ehk dünaamiks; jõukruvi mõjusirge on jõusüsteemi kesk- ehk tsentraaltelg. 5. Fo0; Mo0; mõlemad vektorid paiknevad suvalise nurga all, mille tunnuseks on Fo*Mo0 ja Fo x Mo 0
Sirged ja tasandid Joonte ja pindade võrrandite mõiste Võrdust F(x,y,z)=0 nim pinna S võrrandiks antud koordinaatide süsteemis, kui selle pinna kõikide punktide koordinadid rahuldavad seda võrdust ja nende punktide koordinadid, mis ei asu sellel pinnal, ei rahulda seda võrdust. Sfäär on niisuguste punktide hulk, milliste kaugus keskpunktist on võrdne raadiusega r. Tähistades sfääri meelevaldse punkti M koordinadid (x,y,z) ning avaldades võrduse |OM| =r koordinatide kaudu. Võrdust (x-a)² + (y-b) ² + (z-c)² = r² nim sfääri võrrandiks vaadeldavas koordinaatide süsteemis. Kui pinna võrrand on esitatav kujul F(x,y,z)=0, kus F(x,y,z) on n-astme polünoom, siis nim pinda n-järku algebraliseks pinnaks. Algebralistest pindadest lihtsaim on esimest järku pind ehk tasand. Sfäär on teist järku pind, sest selle võrrandis esinevad tundmatud on teisel astmel.Võrdust F(x,y)=0 nim joone L võrrandiks antud koordinaatide süsteemis tasandil, kui teda rahuld...
kohad?Detaile mõjutavad tsüklilised koormused Tsükliliste pingete suurimad väärtused ei ületa materjali piirpinget Purunemine on ootamatu. Väsimust saab tuvastada vaid purunemispinda uurides. Kohtadeks poldipea üleminek, keerme väljalooks, keermepaari esimene keermeniit. Nimetada meetmed keermesliite väsimuse vältimiseks. Õige eelpingestatuse ja pingutusmomendi tagamine. Kinnitusdetailide ülevaatus enne paigaldamist ning defektsete komponentide asendamine. Mutri ja poldipea ristseisu tagamine poldi telje suhtes. Piltide perioodiline vahetamine vastavalt juhenditele. Õigest materjalist kinnitusvahendite kasutamine. Õige kujuga kinnitusvahendite kasutamine. Keerme väljajooks ei tohi paikneda mutrile liiga lähedal. Mis olukorral võib tekkida poldi keerme "mahatulek"? ,,Mahatulek" - keermeniitide kahjustumine/purunemine nihkel (lõikel)
seotud vektor, geomeetriliselt kui ka vabavektor. koordinaatkujul; Vektorite võrdsus. 3) arvutab kahe vektori Vektori skalaarkorrutise ning rakendab koordinaadid. vektoreid füüsikalise sisuga Vektori pikkus. ülesannetes; Vektorite liitmine 4) kasutab vektorite ristseisu ja ja lahutamine. kollineaarsuse tunnuseid; Vektori 5) lahendab kolmnurka vektorite korrutamine abil; arvuga. 6) leiab lõigu keskpunkti Lõigu keskpunkti koordinaadid; koordinaadid. Kahe 7) tuletab ja koostab sirge vektori vaheline võrrandi (kui sirge on määratud nurk. Vektorite punkti ja sihivektoriga, punkti ja kollineaarsus
Determinantide omadustest tulenevalt: kolm nullvektorist erinevat vektorit a = ( x1 ; y1 ; z1 ), b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ja c = ( x3 ; y3 ; z3 ) on komplanaarsed parajasti siis, kui nende segakorrutis on null, st rakendus: kolme vektori segakorrutist kasutatakse ruumalade arvutamisel. kolmele ühest punktist väljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite segakorrutise absoluutväärtusega. 20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Kaks vektorit on kollineaarsed (a|| b), kui vektorkorrutis on 0 ( = || || sin 0°/180° = 0) Kaks vektorit asetsevad risti ( ), kui skalaarkorrutis on 0 ( = || || cos 90° = 0) Kaks vektorit on komplanaarsed, kui segakorrutis on 0 ((a × b)c = 0) 21. Sirge sihivektor. Sirge tõus. Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand, üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil).
2. Tsükliliste pingete suurimad väärtused ei ületa materjali piirpinget 3. Purunemine on ootamatu. Väsimust saab tuvastada vaid purunemispinda uurides. Kohtadeks poldipea üleminek, keerme väljalooks, keermepaari esimene keermeniit. Nimetada meetmed keermesliite väsimuse vältimiseks. 1. Õige eelpingestatuse ja pingutusmomendi tagamine. 2. Kinnitusdetailide ülevaatus enne paigaldamist ning defektsete komponentide asendamine. 3. Mutri ja poldipea ristseisu tagamine poldi telje suhtes. 4. Piltide perioodiline vahetamine vastavalt juhenditele. 5. Õigest materjalist kinnitusvahendite kasutamine. 6. Õige kujuga kinnitusvahendite kasutamine. 7. Keerme väljajooks ei tohi paikneda mutrile liiga lähedal. Mis olukorral võib tekkida poldi keerme "mahatulek"? ,,Mahatulek" - keermeniitide kahjustumine/purunemine nihkel (lõikel). Keere tuleb maha, kui poldi tõmbejõust põhjustatud nihkepinged sise- või väliskeerme
Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (r...
Nende kolme arvu saamiseks tuleb konstrueerida koordinaatsüsteem - reeglistik nimetatud arvude leidmiseks. Lihtsaim ja sagedamini kasutatav on ristkoordinaadistik (ka Descartes'i või Cartesiuse koordinaadid): kolm üksteisega risti olevat ühikvektorit, mille suunale projekteeritakse kirjeldatav kohavektor. Neid nn. baasivektoreid tähistatakse tähtedega , ja ning nad koos moodustavad ortonormaalse reeperi ("orto" tähendab siin ristseisu e. ortogonaalsust, "normaalne" aga seda, et vektorite pikkus on normeeritud väärtusega üks pikkusühik). Vektor ja tema esitus koordinaatidega- 1) Vektoriks nimetatakse suurust x , millel on suund, siht, pikkus ning mis on nende andemetega täielikult määratud. Geomeetriliselt esitatava suunatud lõiguna.2) Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. Suunatud suuruse -- vektori -- märgi muutmine tähendab suuna muutumist vastupidiseks. Nüüd on selge ka tasakaalutingimuse teise poole mõte
Mõõtemudel: LREAL=LMI+ KREAD+ KMET+ KENV+ KOBJ, kus: - LREAL on tõeline mõõtetulemus, - LMI on mõõtevahendi näit arvestades kalibreerimisel saadud parandit, - KREAD on parand lugemi võtmisest (ümmardamine ning parallaks), - KMET on parand meetodist, - KENV on parand keskkonnatingimustest, - KOBJ on parand mõõdetavast objektist. 25. DETAILI GEOMEETRILISTE HÄLVETE MÕÕTMINE Ristseisu hälve - st hälve nurgast 90o, väljendatakse lineaarpikkusmõõtmena mõõtepikkuses. Ristseisu hälve on arvutatav pinna ulatuses valemiga RA = pinna ulatus × tan , kus on hälve nurgast 90 o Sirgjoonelisuse hälve - Sirgjoonelisus on kahe paralleelse sirgevaheline tsoon, kusjuures tegelik sirge peab mahtuma lõtkuta nende sirgjoonte vahele. Detail seatakse paralleelseks aluspinnaga pikkusplaatide ploki abil. Kellindikaatori näit on sellel puhul kahes kohas detailil maksimaalne. Kuivõrd detaili liigutamine on raskendatud
13. skalaarruut aa = |a| 2 a = a2 a b X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 14. kahe vektori vaheline nurk cos = cos = a b X + Y12 + Z 12 X 22 + Y22 + Z 22 1 2 15. vektorite ristseisu ( a b) tingimus: a b = 0, sest =/2, X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0 16. ühikvektorite skalaarkorrutised ii = 1 ji = 0 ki = 0 ij = 0 jj = 1 kj = 0 ik = 0 jk = 0 kk = 1 17. Skalaarkorrutis koordinaatides a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 18. Ühe vektori projektsioon teisel vektoril prb a = X 22 + Y22 + Z 22 19. Vektoria vektorkorrutis
13. skalaarruut aa = |a| 2 a = a2 a b X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 14. kahe vektori vaheline nurk cos = cos = a b X + Y12 + Z 12 X 22 + Y22 + Z 22 1 2 15. vektorite ristseisu ( a b) tingimus: a b = 0, sest =/2, X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0 16. ühikvektorite skalaarkorrutised ii = 1 ji = 0 ki = 0 ij = 0 jj = 1 kj = 0 ik = 0 jk = 0 kk = 1 17. Skalaarkorrutis koordinaatides a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 18. Ühe vektori projektsioon teisel vektoril prb a = X 22 + Y22 + Z 22 19. Vektoria vektorkorrutis
tuletisega argumendi väärtusel x0 . k = y x = x = f ( x0 ) . Teades puutepunkti koordinaate ja puutuja tõusu, 0 leiame puutuja võrrandi, kasutades selleks sirge võrrandit läbi antud punkti antud tõusuga: y - y 0 = k ( x - x 0 ) ehk y - y0 = f ( x0 )( x - x0 ) . Normaaliks punktis M0 nimetatakse sirget, mis läbib punkti M0 ja on risti puutujaga. Leiame normaali tõusu. Et joone normaal on puutujaga risti, siis sirgete ristseisu tunnuse põhjal 1 1 1 (k1*k2=-1) on tema tõus k 2 = - = - ja normaali võrrand on y - y0 = - ( x - x0 ) k1 f ( x0 ) f ( x0 ) Funktsiooni uurimine- Funktsiooni uurimise all mõistetakse, et tuleb leida kõik või osad järgnevatest funktsiooni iseloomustavatest suurustest (punktid, piirkonnad jne). 1
12. klassis. Esimene kursus kannab pealkirja ,,Vektor tasandil. Joone võrrand" nii laias kui kitsas matemaatikas, kuid erinevused sisus on olulised. Kitsas matemaatikas peab kolmanda kursuse lõpetaja oskama selgitada vektori mõistet ja selle koordinaate; liitma ja lahutama vektoreid ning korrutama vektoreid arvuga nii geomeetriliselt kui ka koordinaatkujul; arvutama vektori pikkust; leidma vektorite skalaarkorrutist ning tundma vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnuseid. Õpilane koostab sirge võrrandi, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga või kahe punktiga ning määrab sirgete vastastikuse asendi ja leiab vajadusel nende lõikepunkti. Õpilane tunneb ja joonestab sirgeid, paraboole ja ringjooni nende võrrandite järgi ning koostab ringjoone võrrandi keskpunkti ja raadiuse järgi. Samuti peab õpilane oskama leida joonte lõikepunkte, kui üks
2 2 Kommentaarid. Ülesandega kontrolliti kursuse ,,Vektor tasandil. Joone võrrand" põhioskuste ja teadmiste omandatust. See ülesanne oli eksaminandide üks vaieldamatu lemmik. Enamus eksaminande oskasid seda ülesannet vähemalt osaliselt lahendada. 8 Põhilisteks probleemideks osutusid sirgete paralleelsuse ja ristseisu tunnus, kahe sirge lõikepunkti leidmine, ristküliku külgede pikkuste ja ümbermõõdu arvutamine (tehted juurtega) ja ringjoone võrrandi koostamine. 8. (20 punkti) Ehitatakse risttahukakujuline hoone, mille ruumala on V m3 . Hoone katus on ristkülik, mille üks külg on teisest 2 korda lühem. Katuse ühe ruutmeetri ehitamine maksab 1250 krooni. Hoone ühe pikema seina ühe ruutmeetri ehitamine läheb maksma 1000 krooni,
x1 x 2 i i x1 y 2 i j x1 z 2 i k y1 x 2 j i y1 y 2 j j y1 z 2 j k z1 x 2 k i z1 y 2 k j z1 z 2 k k x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 , ehk a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 . VEKTORITE RISTSEISU JA KOLLINEAARSUSE TINGIMUSED Vektorid on risti, kui nende skalaarkorrutis on 0: a b 0 , x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 0 . Kui vektorid on kollineaarsed, siis nad on paralleelsed sama sirgega ja võib kirjutada: a k b , kus k on mingi arv ehk koordinaatides: x1 , y1 , z1 kx2 , ky2 , kz 2 . Vektorite võrdsusest saame: x1 kx 2 , y1 ky 2 , z1 kz 2 .
6.10 Vektori skalaarkorrutis Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks a·b nimetatakse nende vektorite pikkuste ning vektorivahelise nurga koosinuse korrutist. 6.11 Järeldusi skalaarkorrutiste definitsioonist · Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis nende vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega · Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis nende vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutise vastandarvuga · Vektorite ristseisu tunnus: kaks nullvektorist erinevat vektorit on risti siis ja ainult siis, kui nende skalaarkorrutis on null, st · Vektori skalaarruut võrdub vektori pikkuse ruuduga, so 6.12 Vektorite skalaarkorrutiste omadusi · Skalaarkorrutis on kommutatiivne, st · Skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga (arvuga) korrutamise suhtes · Skalaarkorrutis on distributiivne vektorite liitmise suhtes, st 6.13 Skalaarkorrutiste avaldamine vektorite koordinaatide kaudu
50. 2. Tsükliliste pingete suurimad väärtused ei ületa materjali piirpinget (voolepiiri ega tugevuspiiri); 51. 3. Purunemine on OOTAMATU, ilma materjali voolamiseta (sarnaneb rabedale murrule). 31. Nimetada meetmed keermesliite väsimuse vältimiseks. 52. 1. Õige eelpingestatuse ja pingutusmomendi tagamine: 53. 2. Kinnitusdetailide ülevaatus enne paigaldamist ning defektsete komponentide asendamine: 54. 3. Mutri ja poldipea ristseisu tagamine poldi telje suhtes: 55. 4. Poltide perioodiline vahetamine vastavalt juhenditele; 56. 5. Õigest materjalist kinnitusvahendite kasutamine 57. 6. Õige kujuga kinnitusvahendite kasutamine 58. 7. Keerme väljajooks ei tohi paikneda mutrile liiga lähedal. 32. Mis olukorral võib tekkida poldi keerme "mahatulek"? 59. Keere tuleb maha, kui poldi tõmbejõust põhjustatud nihkepinged sise- või
.......................................................................33 Ühikvektorid ja .....................................................................................................................33 Kahe vektori skalaarkorrutis...................................................................................................33 3 Kahe vektori ristseisu tunnus..................................................................................................34 Nurk kahe vektori vahel......................................................................................................... 34 Joone võrrand......................................................................................................................... 34 Sirge tõusunurk, sirge tõus.............................................................................................
Analoogselt tõestatakse võrdus BA = E . Ongi näidatud, et B = A-1 . Sellega on teoreem tõestatud. Def. 2. Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks. Teoreemi 2 kohaselt leidub pöördmaatriks ainult regulaarsetel ruutmaatriksitel. 5.Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus. Afiinses ruumis pole võimalik arvutada nn. meetrilisi suurusi: vektori pikkust, punktide vahelist kaugust, vektorite vahelist nurka jne. Meetriliste suuruste sissetoomiseks kasutatakse skalaarkorrutise mõistet, mille üldine definitsioon on järgmine. Def. 1. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile paneb vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse
..). 3.1.2 Instrumentide kontroll Enne geomeetrilise nivelleerimise välitööde algust sooritati nivelliiri ja lattide kontrollimise käigus järgmised toimingud: - nivelliiri ja statiivi üldise seisukorra kontrollimine, - paigaldamise vesiloodide kontrollimine ja justeerimine, - nivelliiri viseerimiskiire ja horisontaaltasapinna vahelise nurga (nurga i) määramine, - lati talla nullpunktide kõrguste erinevuse määramine (Lisa 7), - lati talla ristseisu kontrollimine (Lisa 7). Välitööde perioodil kontrolliti iga päev: - nivelliiri ja statiivi üldist seisukorda, - paigaldamise vesiloodide õigsust, - lati ümarvesiloodi. Nivelliiri viseerimiskiire ja horisontaaltasapinna vaheline nurk (nurk i) määrati välitööde perioodil iga päev ning võrreldi selle väärtust eelmiste päevade tulemustega. 12 3.1.3 Metoodika põhipunktid
2.23 nende pohfieljedon omavahel paralleelsed ja esijdljed on omavahel paralleelsed, kuid l6ikavadpohijebi. 15 (n"'f h"' 0htlasirto'I p,. ja no" ]- f," uhtlasi no" I eo). Sama lause on kasutatavka 0ldiseltsirge ja tasandi ristseisu tunnusena, vdlja arvatud juhtum, kus sirge kujutisedon x-teljegaristi (profiilsirge). Nomaali kasutatakseulesannetes,kus on tegu kaugusemddramisega tasandist.Nditeks punktikaugusesaamisekstasandistv6etakse
Ta näitab uuritava keha asukohta taustkeha suhtes · Ristkoordinaadid (ortonormaalne reeper). Lihtsaim ja sagedamini kasutatav koordinaatsüsteem on ristkoordinaadistik: kolm üksteisega risti olevat ühikvektorit, mille suunale projekteeritakse kirjeldatav kohavektor. Neid nn. baasivektoreid tähistatakse tähtedega , ja ning nad koos moodustavad ortonormaalse reeperi ("orto" tähendab siin ristseisu e. ortogonaalsust, "normaalne" aga seda, et vektorite pikkus on normeeritud väärtusega üks pikkusühik). · Vektor ja tema esitus koordinaatidega. Vektor ehk geomeetriline vektor (ladina keeles vector - vedav, kandev) on lõik, millel on suund ehk siht ja pikkus. Vektoreid tähistatakse järgmiselt: või , kus A ja B tähistavad vastavalt vektori algus- ja lõpp-punkti. Vektori pikkust
kaudu järgmiselt: r r u v = X 1 X 2 + Y1 Y2 + Z1Z 2 . Nurk vektorite vahel leitakse tema koosinuse abil: r r u v cos = r r , u v kus cos on positiivne, kui on teravnurk ja negatiivne, kui on nürinurk. Vektorite ristseisu tunnus: r r r r u v u v = 0 . 8. ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA 8.1 Lõigu pikkus ja keskpunkt 45 Olgu M ( x1 ; y1 ) ja N ( x2 ; y2 ) xy-tasandi punktid. Punktide M ja N vaheline kaugus ehk lõigu MN pikkus ( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) .
MITTE- LÄBIV LÄBIV Fig. Kaliibriga kontroll LÄBIV kaliiber on ümbriku näidiseks kuivõrd mahub detaili. Ümbriku nõude korral on võimalik vähendada mõõtme tolerantside tähtsust ning esile seada kujuhälbed, kuid kujuhälve peab jääma väiksemaks mõõtme tolerantsist. Joonisel tähistatakse märgiga 20-0,2 E On kasutatav vaid parallelsuse hälvete puhul kuid mitte ristseisu, samatelgsuse või sümmeetrilisuse hälvete korral. 20-0,2 E 20 19,8 Ümbriku nõue kontrollib mitut hälvet korraga, st hälbed ei ole enam iseseisvad. 7 5.4 Maksimaalse materjali tingimus
r r u v X 1 X 2 Y1 Y2 Z1Z 2 . Nurk vektorite vahel leitakse tema koosinuse abil: r r u v cos r r , u v kus cos on positiivne, kui on teravnurk ja negatiivne, kui on nürinurk. Vektorite ristseisu tunnus: r r r r u v u v 0 . 8. ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA 8.1 Lõigu pikkus ja keskpunkt 45 Olgu M x1 ; y1 ja N x2 ; y2 xy-tasandi punktid. Punktide M ja N vaheline kaugus ehk lõigu MN pikkus x2 x1 y2 y1 .
Kontrolltöö teemad 1. Vektorite skalaarkorrutis ja selle omadused, nurk kahe vektori vahel. 2. Vektorkorrutis, segakorrutis. Nende omadused. Eksamiteemad 1. Seotud vektorid, vabavektorid. Vektori projektsioonivektor ja projektsioon vektori sihile. Eukleidiline vektorruum Rn , tema loomulik baas, vektori pikkus ruumis Rn . 2. Skalaarkorrutise mõiste. Skalaarkorrutise omadused. Skalaarkorrutise arvutamine koordinaat- kujul. Vektorite ristseisu tingimus. Kahe vektori vahelise nurga leidmine. 3. Vektorkorrutise mõiste. Vektorkorrutise omadused. Vektorkorrutise arvutamine koordinaat- kujul. Rööpküliku ja kolmnurga pindala arvutamine. Vektorite kollineaarsuse tingimus. 4. Segakorrutise mõiste. Segakorrutise omadused. Segakorrutise arvutamine koordinaatkujul. Kolme vektori komplanaarsus. Rööptahuka ja tetraeedri ruumala arvutamine.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
