Keskkooli matemaatika raudvara (21)

KESKKOOLI MATEMAATIKA RAUDVARA
1. osa
Andres Haavasalu dikteeritud konspekti järgi koostanud Viljar Veidenberg.
2003. aasta

Sisukord

Sisukord 2
Arvuhulgad 5
Naturaalarvude hulk N 5
Negatiivsete täisarvude hulk z – 5
Täisarvude hulk Z 5
Murdarvude hulk 5
Ratsionaalarvude hulk Q 5
Irratsionaalarvud 6
Reaalarvud R 6
* Rooma numbrid 6
Reaalarvu absoluutväärtus 6
Reaalarvude piirkonnad 7
Protsentarvutus 7
Ratsionaalavaldise lihtsustamine 7
Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine 8
Astendamine 8
Naturaalarvuline astendaja 8
Tehted astmetega 8
Negatiivse täisarvulise astendajaga aste 9
Arvu 10 astmed 9
Juurimine 9
Ruutjuur 9
Arvu n-es juur 10
Tehted juurtega 10
Murru nimetaja vabastamine irratsionaalarvust 10
Ratsionaalarvulise astendajaga aste 11
Tehted astmete ja juurtega 11
Irratsionaalavaldise teisendamine 11
Ligikaudsed arvud 11
Täpsed ja ligikaudsed arvud 12
Absoluutne viga 12
Relatiivne viga (suhteline viga) 12
Arvu tüvenumbrid 12
Arvu standardkuju 12
II Võrrandid ja võrratused 12
Võrrandid 12
Võrrandi samaväärsus 13
Lineaarvõrrand 13
Ruutvõrrand 13
Viete teoreem 14
Biruutvõrrand 14
Murdvõrrand 14
Parameetreid sisaldav võrrand 15
Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem 15
Asendusvõtte näide 15
Liitmisvõtte näide 15
Graafiline võte 16
Determinandid 16
Kahe tundmatuga ruutvõrrandisüsteem 17
Tekstülesande lahendamine võrrandi või võrrandisüsteemi abil 17
Juurvõrrand 18
Absoluutväärtust sisaldav võrrand 18
Arvvõrratus, selle omadused 19
Ühe muutujaga lineaarvõrratus 19
Ühe muutujaga lineaarvõrratuse süsteem 19
Ruutvõrratus 20
Intervallide meetod 20
Murdvõrratus 21
Absoluutväärtust sisaldav võrratus 21
III Trigonomeetria 22
Täisnurkse kolmnurga trigonomeetria 22
Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine 23
Nurkade liigitamine 23
Nurga kraadi- ja radiaanimõõt 23
Kraadimõõt 23
Radiaanimõõt 24
Trigonomeetriliste nurkade väärtused mõnede nurkade korral 24
Ringjoone kaare pikkus, sektori pindala 24
Mistahes nurga trigonomeetrilised funktsioonid 24
Seosed ühe ja sama nurga trigonomeetriliste funktsioonide vahel 25
Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised seosed 25
Kahe nurga summa ja vahe siinus 26
Kahe nurga summa ja vahe koosinus 26
Kahe nurga summa ja vahe tangens 26
Taandamisvalemid 26
Kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid 27
Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid 27
Trigonomeetriliste funktsioonide summa ja vahe teisendamine korrutiseks 28
Taandamisvalemid 28
Trigonomeetriliste funktsioonide korrutise teisendamine summaks või vaheks 29
Kolmnurga pindala valemid 29
Siinusteoreem 29
Koosinusteoreem 30
IV Vektor tasandil 30
Sissejuhatuseks 30
Lõigu pikkus 30
Lõigu keskpunkti koordinaadid 31
Vektor, vektori koordinaadid 31
Vektori pikkus 31
Vektorite liitmine 32
Geomeetriliselt 32
Algebraliselt 32
Nullvektor , vastandvektor . 32
Vektorite lahutamine 32
Vektori korrutamine arvuga 32
Vektorite kollineaarsus 32
Ühikvektorid ja 33
Kahe vektori skalaarkorrutis 33
Kahe vektori ristseisu tunnus 34
Nurk kahe vektori vahel 34
Joone võrrand 34
Sirge tõusunurk, sirge tõus 34
Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand 35
Kahe punktiga määratud sirge võrrand 35
Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand 35
Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand 35
Sirge võrrand telglõikudes 36
Koordinaatteljega paralleelse sirge võrrand 36
Koordinaattelgede vahelise nurga poolitaja võrrand 36
Sirge üldvõrrand 36
Sirge joonestamine 36
Kahe sirge vastastikulised asendid tasandil 36
Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid 37
Kahe sirge vaheline nurk 38
Ringjoonevõrrand 38
Ruutfunktsiooni graafik , selle joonestamine 38
Pöördvõrdelise sõltuvuse graafik 39
I Reaalarvud ja avaldised

Arvuhulgad

Naturaalarvude hulk N

N kinnine liitmise ja korrutamise suhtes (tulemus ei välju hulgast).
* (N1

Negatiivsete täisarvude hulk z –

Z

Täisarvude hulk Z

Z z = z –  N. Hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes.

Murdarvude hulk

Harilik murd → lihtmurd + liitmurd
Kümnendmurd → lõplik kümnendmurd + lõpmatu (perioodiline) kümnendmurd + lõpmatu mitteperioodiline murd (viimane ei kuulu ratsionaalarvude hulka).
Kui periood algab kohe peale koma , on see puhtperioodiline murd, nt. = 0,(2)
Kui periood ei alga kohe peale koma, on see segaperioodiline murd, nt. = 0,41(6)
Perioodilise kümnendmurru saab teisendada harilikuks murruks .
Puhtperioodilise murru korral paneme perioodis oleva arvu lugejasse ning nimetajasse paneme nii mitu üheksat kui mitu arvu on perioodis.
Üks kõik millise murru korral paneme koma taga oleva arvu lugejasse ja lahutame sellest mitteperioodis oleva arvu. Nimetajasse paneme üheksa ja nii mitu nulli kui on mitteperioodis olevaid numbreid , -1 null.

Ratsionaalarvude hulk Q

Täisarvude hulga ja murdarvude hulga ühend on ratsionaalarvude hulk (v.a. mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud).
Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus aZ, bZ ja b≠0.
= 0 ; = - ;
= iga arv.
Ratsionaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Ratsionaalarvude hulk on tihe, st iga kahe ratsionaalarvu vahel on ratsionaalarv.
* Arvu a vastandarv on –a ja pöördarv . Arvul 0 ei ole pöördarvu.
Iga ratsionaalarvu saab avaldada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna.

Irratsionaalarvud

Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna.
= 1,414213562... ; π = 3,141592654...

Reaalarvud R

Reaalarvude hulk on ratsionaalarvude hulga ja irratsionaalarvude hulga ühend. Reaalarvude hulk on lõpmatu hulk, milles pole vähimat ega suurimat arvu. Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Reaalarvude hulk on pidev (arvud katavad kogu arvtelje). Reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üks-ühes vastavuses (igale arvule vastab üks punkt arvteljel ja igale punktile vastab üks arv).
ei lahendu reaalarvude hulgas (vastus on „-3i“).
Tehetes reaalarvudega kehtivad omadused:

Kommutatiivsus : a + b = b + a ; ab = ba

Assotsiatiivsus: a + (b + c) = (a + b) + c

Distributiivsus: a (b + c) = ab + ac

* Rooma numbrid

I =1; X=10; C=100; M=1000; V=5; L=50; D=500
Rooma numbrid moodustavad mittepositsioonilise arvusüsteemi. Kasutatakse seitset numbrit. Enam kui kolm korda üht märki ei kirjutata . Kui väiksema väärtusega number asub suurema järel, siis numbrite väärtused liidetakse, nt VIII=8. Vastupidisel juhul lahutatakse, nt. IX=9, MIM=1999

Reaalarvu absoluutväärtus

| | - absoluutväärtuse märgid. Nt. |-5| = 5 ; |5| = 5
Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist .

Reaalarvude piirkonnad

Olgu antud kaks reaalarvu a ja b, kus a b.
Arvtelg tükeldub piirkondadeks. Vaatleme järgmisi võimalusi:
a  x  b
[a; b]
- lõik
a x  b
]a; b]
a  x b
[a; b[
a x b
]a; b[
- vahemik
x  a
[a; ∞[
- kiir
x > a
]a; ∞[
x  a
]-a; a]
x a
]-a; a[

Protsentarvutus

1% =
tervikust, 100% = tervik. Vaatleme järgmisi ülesandeid.
a) Protsendi leidmine antud arvust.
Leia 20% 80-st. =16 või 80∙0,2=16
b) Arvu leidmine tema protsendi järgi.
Leia arv, kui 10% sellest on 12. =120 või 12:0,1=120
c) Suhte väljendamine protsentides:
Mitu % moodustab 2 8-st? =25%
d) Muutuse väljendamine protsentides.
1) Kauba hind suurenes 2 kroonilt 6-le. Mitme % võrra tõusis hind?
6-2=4 krooni võrra =200% võrra
2) Kauba hind vähenes 6 kroonilt 2-le. Mitme % võrra hind vähenes?
6-2=4 krooni võrra =66,(6)% võrra
e) „ Kuivaine “ ülesanne.
Toored marjad sisaldavad 80% vett, kuivatatud marjad aga 5% vett. kui palju kuivatatud marju saab 400kg tooretest marjadest ?
80% 400-st = =320kg vett. 400-320=80kg kuivainet . Peale kuivatamist on alles ikkagi 80kg kuivainet, kuid nüüd on kogu aine kohta kuivainet 100-5=95%. Kuivatatud marju saab järelikult =84,2kg.

Ratsionaalavaldise lihtsustamine

Ratsionaalavaldiseks nimetatakse avaldist , milles võivad esineda muutujate ja/või arvude liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ning astendamine täisarvudega. Näiteks:
Kui avaldis ei sisalda muutujat nimetajas, siis on see täisavaldis, nt . Vastasel juhul on tegu murdavaldisega, nt .
Algebraliseks murruks nimetatakse hariliku murru kujul esitatud avaldist (), kus vähemalt üks avaldistest (a või b) sisaldab muutujat. Näiteks: või või , kuid mitte nt. .

Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine

Tegurdamisel võib kasutada järgmisi võtteid:

Ühise teguri sulgudest välja toomine: (2x-6x)=2x(x+3)

Valemite rakendamine: 4x²-25y²=(2x+5)(2x-5)

Ruutkolmliikme tegurdamine:
ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2) , kus x1 ja x2 on võrrandi ax²+bx+c=0 lahendid .
Näiteks: 2x²-5x+3=2(x-1)(x-1,5), sest , x1=1 ja x2=1,5

Rühmitamine: x³+3x²-4x-12=x²(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x²-4)
Näidisülesanne: lihtsusta :
* K-valem: kui ax²+2Kx+c=0, siis

Astendamine

Naturaalarvuline astendaja

2³=2∙2∙2=8 00= - a0=1, kui a≠0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0).
11²=121
12²=
144
13²=
169
14²=
196
15²=
225
16²=
156
17²=
289
18²=
324
19²=
361
20²=
400
21²=
441
22²=
484
23²=
529
24²=
576
25²=
625
1³=1
2³=8
3³=27
4³=64
5³=125
6³=216
7³=343
8³=512
9³=729
10³=1000
20=1
21=2
22=24
23=8
24=16
25=32
26=64
27=128
28=256
29=512
210=1024

Tehted astmetega

1) am ∙ an = a m + n Näiteks: 2² ∙ 2³ = 22+3 = 25 = 32
Võrdsete alustega astmete korrutamisel võime astendajad liita ning saadud tulemusega astendada antud alust.
2) am : an = a m-n Näiteks: 36 : 34 = 36-4 = 3² = 9
Võrdsete alustega astmete jagamisel võime jagatava astendajast lahutada jagatava astendaja ning saadud tulemusega astendada alust.
3) (a · b)n = an · bn Näiteks: (2 · 4)² = 2² · 4² = 64
Korrutise astendamisel võime astendada iga teguri eraldi.
4) (am)n = am × n Näiteks: (3²)5 = 3 2 × 5 = 310 = 59049
Astme astendamisel võime astendajad korrutada ning saadud tulemusega astendada antud alust.
5) Näiteks:
Murru astendamisel võime astendajad korrutada ning saadud tulemusega astendada antud alust.

Negatiivse täisarvulise astendajaga aste

, kui a≠0
Näiteid:

Arvu 10 astmed

Arvu 10 astmeid kasutatakse väga suurte või väga väikeste arvude kirjutamiseks.
1012
- tera
10-12
- detsi
109
- giga
10-9
- senti
106
- mega
10-6
- milli
103
- kilo
10-3
- mikro
102
- heto
10-2
- nano
10
- deka
10-1
- piko
Näiteks: 1 000 000 00 = 108 ; 0,000 000 1 = 10-7

Juurimine

Ruutjuur

= 5, sest 5² = 25; , sest ; =0, sest 0² = 0
= - (vastus puudub reaalarvude hulgas; =-2i)
Negatiivsest arvust ruutjuurt leida ei saa. (See pole reaalarv ).
, kui a0 ja b0 , kui b≠0

Arvu n-es juur

(Loeme: ennes juur aast on võrdne beega.)
Näiteks: = 2, sest 2³ = 8 = -3³ = -27 = 0, sest 05=0 = -

Tehted juurtega

1)
 Näiteks:
Võrdsete juurijate juurte korrutamisel võime juuritavad korrutada ning saadud tulemust juurida antud juurijaga.
2)
Näiteks:
3)
Näiteks:
Näiteks:
Juurijat ning juuritava astendajat võib korrutada (juure laiendamine) või jagada (juure taandamine ) ühe ja sama naturaalarvuga.
Näiteks:
4) Näiteks:
Juurte juurimisel võime juurijad korrutada ning saadud tulemusega juurida antud juuritavat.

Murru nimetaja vabastamine irratsionaalarvust

Laiendame murdu nii, et nimetajasse tekiks ruutude vahe valem, s.o. (a+b)(a-b)=a²-b².

Ratsionaalarvulise astendajaga aste

, kui n2 ja a>0.
Näiteks:  

Tehted astmete ja juurtega

Näiteks: Arvuta.

Irratsionaalavaldise teisendamine

1) Koondamine


2) Tegurdamine
 
3) Lihtsustamine

Ligikaudsed arvud

Täpsed ja ligikaudsed arvud

Kõik mõõtmisel saadud tulemused on ligikaudsed. Samuti ka ümardamisel saadud arvud.

Absoluutne viga

Absoluutseks veaks nimetatakse lähendi vea võimalikku suurimat absoluutväärtust.
Näiteks: Leia arvu x lähend ja absoluutne viga, kui 32  x  34.

Relatiivne viga (suhteline viga)

Relatiivseks veaks nimetatakse lähendi absoluutse vea ja lähendi jagatist.
Näiteks: Kumb ligikaudsetest arvudest 125(±4) ja 25(±1) on suhteliselt täpsem?
ja Seega esimene on täpsem, kuna suhteline viga on väiksem.

Arvu tüvenumbrid

Ligikaudse arvu tüvenumbriteks loetakse kõiki õigeid numbreid, v.a. kümnendmurru alguses olevad nullid ning täisarvu lõpus olevad numbrid.
Näiteks:
 Arvu 26,4 tüvenumbrid on 2, 6 ja 4  Arvu 0,0270 tüvenumbrid on 2, 7 ja 0
 Arvu 4800,320 tüvenumbrid on 4, 8, 0, 0, 3, 2 ja 0.

Arvu standardkuju

Absoluutväärtuselt suured ja väikesed arvud esitatakse sageli nn. standardkujul a · 10k , kus kZ ja 1a0, siis 2 erinevat lahendit.
Kui D=0, siis 2 võrdset lahendit (ehk siis 1 lahend ).
Kui D>>>
>>>>
4·1,5 + 2y = 3
2y = -3 |:2
y1= -1,5
4·(-0,5) + 2y = 3
2y = 5 |:2
y = 2,5

Tekstülesande lahendamine võrrandi või võrrandisüsteemi abil

Näide:
Kaks matkajat läbisid 24 km. Üks neist liikus 2 km/ h võrra kiiremini ning jõudis seetõttu 1 tund varem kohale. Leia matkajate kiirused.
Olgu 1. matkaja kiirus x km/ h
teepikkus (km)
kiirus (km/ h)
aeg (h)
1. matkaja
24
x
2. matkaja
24
x+2
Koostan võrrandi, mille lahendan:
24x + 48 + 24x – x² – 2x = 0
x² + 2x – 48 = 0
x1 = -1 + 7 = 6 (x2 = -1 – 7 = -8)
Kontroll:
teepikkus (km)
kiirus (km/ h)
aeg (h)
1. matkaja
24
6
2. matkaja
24
6+2 = 8
Et üks matkaja jõudis teisest sihtpunkti 4 – 3 = 1 tund varem, siis lahendus on õige.
Vastus: 1. matkaja kiirus oli 6 km/ h ja teise matkaja kiirus 8 km/ h

Juurvõrrand

Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb juuritavas. Näiteks , kuid mitte näiteks .
Lahendamiseks tuleb saada ruutjuur, milles on tundmatu, üksi võrrandi ühele poole ja seejärel võtta kogu võrrand ruutu . Oluline on tabada, et ehk on võrrandi ruutu tõstmisel tarvis kasutada mõnda valemit. Kindlasti on vaja teha kontroll, kuna sageli ei osutu mõni lahenditest tõeseks.
Näidisülesanne:
x + 15 = 25 – 10x + x²
...
x1 = 10 x2 = 1
KONTROLL:
x = 10 v.p: p.p.=5 v.p. p.p x ≠ 10
x = 1 v.p: p.p.=5 v.p = p.p x = 1

Absoluutväärtust sisaldav võrrand

Absoluutväärtust sisaldav võrrand on võrrand, milles tundmatu esineb absoluutväärtusmärkide vahel. Lahendamisel toetume arvu absoluutväärtuse definitsioonile: arvu absoluutväärtus näitab arvu kaugust arvtelje nullpunktist.
Näidisülesanne 1:
|3x – 5| = 4
3x – 5 = 4 3x – 5 = -4
x1 = x2 = 3
Näidisülesanne 2:
|x + 2| – |5 – x| = 3
a)
x -(x + 2) – (5 – x) = -3
-x – 2 – 5 + x = -3
-7 = -3 (vastuolu)
Lahendid puuduvad
b)
-2  x (x + 2) – (5 – x) = -3
x + 2 – 5 + x = -3
2x = 0 |:2
x = 0
c)
x  5
(x + 2) – [-(5 – x)] = -3
x + 2 + 5 – x = -3
7 = -3 (vastuolu)
Lahendid puuduvad.
Vastus: x = 0

Arvvõrratus, selle omadused

Kui kaks avaldist ühendatakse märgiga ,  või , siis saadakse arvvõrratus.
>, ,  - mitterange võrratus.
Üldjoontes on võrratus sarnane võrrandile, kuid erinevusi on ka:

• Kui vahetada võrratuse pooled, muutub võrratuse märk vastupidiseks: Näit: 5>2  22  10>4  2,5 >1
  
• Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse arvuga, muutes võrratuse märgi vastupidiseks. Näiteks: 5>2  -10 0 (või ax + b x + b  0 või ax + b  0) nimetatakse ühe muutujaga lineaarvõrratuseks.
  Näide:
  5 – 3(x + 4)  x + 8
  5 – 3x – 12  x + 8
  -4x  15|: (-4)
  x 
  

  Ühe muutujaga lineaarvõrratuse süsteem

  
  Võrratusesüsteemi lahendamine tähendab leida mõlema võrratuse ühine lahend.
  Näide 1:
  x 0 (a0 ja > võib olla ka 0 (a=2>0, seega harud ülespoole)
  2x² - 5x + 3 = 0
  x1 = 1 x2 = 1,5
  x1,5
  

  Intervallide meetod

  
  Näide 1:
  (x + 3)(x + 1)x(x - 2)(x – 4)  0 (leiame vastava funktsiooni nullkohad)
  -3 -1 0 2 4
  Kanname nullkohad arvteljele: Vastus: x3 v -1x0 v 2x4
  Näide 2:
  (x + 5)(x + 4)²(x – 1)³(x – 2)(x – 3)²  0
  -5 -4 1 2 3
  Vastus: -5x1 v x2
  Abijoon lõikab x-telge, kui nullkoht on paarituarvulise kordusega ning puudutab x-telge, kui on paarisarvulise kordusega.
  

  Murdvõrratus

  
  Murdvõrratuseks nimetatakse võrratust, mis sisaldab muutujat murru nimetajas.
  Lahendamiseks üritame jätta võrratuse ühele poole nulli ja teisele poole ühe murru. Siit tulenevalt saab murdvõrratust lahendada järgnevalt:
  a) Murru väärtus on positiivne, kui lugeja ja nimetaja on ühemärgilised:
  Näiteks:  2>0 ja x+5>0  x > -5
  b) Murru väärtus on negatiivne, kui lugeja ja nimetaja on erimärgilised.
  Näiteks:  x seitse on alati suurem nullist ja seega peame lahendama ainult võrratuse x-38
  Murdvõrratust saab lahendada ka intervallide meetodil, kuna märgi seisukohalt võime jagamise asendada korrutamisega.
  Näide 1:
   x-5 v x>8
  Näide 2:
    (x – 1)(x – 7)(x – 3)(x – 5)  0 (x3, x5)
  Vastus: 1  x x  7
  

  Absoluutväärtust sisaldav võrratus

  
  Lahendamiseks on kaks moodust:
  1) Lahendame mõlemal viisil näiteks võrratuse |x – 2|  3 .
  a)
  |x – 2|  3
  x>2
  -(x – 2)  3
  -x  1 |: (-1)
  x  -1
  x