Matemaatika valemid. (14)

1. Reaalarvud ja avaldised

• Arvu absoluutväärtus –
  
• Astme mõiste ja omadused
  

• Juure mõiste ja omadused
  

• Aritmeetiline keskmine –
  
• Positiivsete arvude geomeetriline keskmine (keskmine võrdeline) –
  
• Korrutamise abivalemid –
  

Protsent

• 1 % on sajandik tervikust on
  
• p % arvust a on
  
• Arv, millest b moodustab p% on
  
• Arv a on arvust b
  
• Arv b on arvust a suurem
  
• Arv a on arvust b väiksem
  

2. Võrrandid ja võrratused

• Lineaarvõrrand –
  

• Ruutvõrrand –
  

• Murdvõrrand –
  

• Lineaarvõrrandisüsteem –
  

– üks lahend
– lahend puudub
– lõpmata palju lahendeid
3. Vektor tasandil. Joone võrrand

• Lineaartehted vektoritega
  

kui A(x1; y1), B(x2; y2)

• Kahe vektori skalaarkorrutis , nurk kahe vektori vahel –
  
• Kahe punkti vaheline kaugus tasandil –
  

Sirge tasandil

• Sirge üldvõrrand – Ax + By + C = 0
  
• Tõusuga k ja algkordinaadiga b määratud sirge – y = kx + b
  
• Tõusuga k ja punktiga (x1; y1) määratud sirge – y – y1 = k(x – x1)
  
• Kahe punktiga (x1; y1) ja (x2; y2) määratud sirge –
  
• Kahe sirge vastastikused asendid –
  

Lõigu keskpunkti koordinaadid

• Ringjoon – (x – a)2 + (y – b)2 = r2
  Kui a = b = 0, siis x2 + y2 = r2
  

• Parabool – y = ax2 + bx + c
  D = b2 – 4ac
  Kui a 0, siis avaneb parabool allapoole.
  Kui a > 0 ja D > 0, siis parabool avaneb ülespoole.
  

4. Funktsioonid ja nende graafikud
Valemid

• Võrdeline sõltuvus – y = ax
  
• Pöördvõrdeline sõltuvus –
  

Diferentseeruva funktsiooni uurimine

• Nullkohtade hulk – funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine
  
• Positiivsuspiirkond –
  
• Negatiivsuspiirkond –
  
• Kasvamisvahemikud –
  
• Kahanemisvahemikud –
  
• Maksimumkoht – Kui , siis x1 on maksimumkoht
  
• Miinimumkoht – Kui , siis x2 on miinimumkoht
  
• Funktsiooni maksimum – ymax = f (xmax)
  
• Funktsiooni miinimum – ymin = f ( xmin )
  
• Maksimum- ja miinimumpunkt – Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin)
  
• Periood – f(x + T) = f(x), T – periood
  
• Paarisfunktsioon – Funktsioon f(x), kui f(– x) = f(x)
  
• Paaritu funktsioon – Funktsioon f(x), kui f(–x) = – f(x)
  

Lineaarfunktsioon – y = ax + b,
ja b – antud arvud
Ruutfunktsioon – y = ax2 + bx + c, , b ja c – antud arvud
Astmefunktsioonid
y = x 2n, n0, nN
y = x 2n – 1, n0, nN
y = x – 2n, n0, nN
y = x – (2n – 1), n0, nN
Juurfunktsioonid
y =
Eksponentfunktsioon
Logaritmfunktsioon
Trigonomeetrilised funktsioonid
y = sin x; y = cos x ; y = tan x
5. Arvjada ja selle piirväärtus. Aritmeetiline ja geomeetriline jada

• Aritmeetiline jada
  an = an – 1 + d
  an = a1 + (n – 1)d
  
• Geomeetriline jada
  an = q . an – 1
  an = a1 . qn – 1
  
• Liitprotsendiline kasvamine või kahanemine –
  
• Et jada piirväärtust arvutada, on vaja tunda piirväärtuse omadusi:
  

• Jada piirväärtus –
  
• Funktsiooni piirväärtus –
  

• Funktsiooni piirväärtuse arvutamine, kui
  

Olgu
ja k reaalarvuline konstant, siis kehtivad järgmised valemid:
6. Logaritm - ja eksponentfunktsioonid. Logaritm- ja eksponentvõrrandid ning võrratused

• Arvu logaritm ja selle omadused
  ac = b c = loga b, kus a > 0, b > 0,
  

alog b = b
loga1 = 0
logaa = 1
log a = b
10b = a
loga bc = loga b + loga c, kui b > 0 ja c > 0
loga = loga b – loga c, kui b > 0 ja c > 0
loga bn = nloga b, kui b > 0

• Eksponentfunktsioon – Kui y = ax, a > 1, siis on kasvav funktsioon.
  Tema graafik ei lõika x-telge ja graafik läbib punkti (0; 1).
  Kui y = ax, 0 Tema graafik ei lõika x-telge ning graafik läbib punkti (0; 1).
  
• Logaritmfunktsioon – Kui y = loga x, a > 1, siis on kasvav funktsioon.
  Tema graafik ei lõika y-telge ning graafik läbib punkti (1; 0).
  Kui y = loga x, 0 Tema graafik ei lõika y-telge ja graafik läbib punkti (1; 0).
  
• Eksponentvõrrand – ax = b  x = loga b
  a f(x) = ab    f(x) = b
  
• Logaritmvõrrandid –
  

7. Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid

• Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid
  

Funktsioon
I veerand
II veerand
III veerand
IV veerand
y = sin
–
–
y = cos
–
–
y = tan
–
–
y = cot
–
–

• Trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi
  

0o
30 o
45 o
60 o
90 o
180 o
270 o
sin
0
1
0
– 1
cos
1
0
– 1
0
tan
0
1
–
0
–
cot
–
1
0
–
0

• Taandamisvalemid
  

sin
cos
sin
– cos
sin
cos
sin
– cos
sin
cos
tan
cot
tan
cot
tan
cot
tan
cot
tan
cot

• Negatiivse nurga trigonomeetrilised funktsioonid
  

• Põhivalemid
  

• Nurkade summa ja vahe, kahekordse siinus , koosinus ja tangens
  

• Poolnurga siinus, koosinus ja tangens
  

• Trigonomeetrilised põhivõrrandid
  

• Arkusfunktsioonide omadusi
  

sin( arcsin x) = x
cos( arccos x) = x
tan( arctan x) = x
arcsin (– x) = – arcsin x
arccos(– x) =
– arccos x
arctan(– x) = – arctan x
8. Funktsiooni piirväärtus ja tuletis

• Funktsiooni muut ja tuletis – Δy = f(x + Δx) – f(x)
  

[f(x)
g(x)]´ = f ’(x)
g’(x)
[f(x) . g(x)]´ = f’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)
[c . f(x)]´ = c . f’(x)

• Funktsiooni f(x) graafku y = f(x) puutuja punktis (x0; y0) – y – y0 = f ´(x0)(x – x0)
  

• Tuletiste tabel:
  

Tõenäosus
Sündmuse tõenäosus
Sündmuse A tõenäosuseks nimetatakse sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste arvu n suhet, st
Iga sündmuse ja tema vastandsündmuse tõenäosuste summa on 1, st
Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel
Liitmise reegel – kui mingi elemendi A võib valida r erineval viisil, elemendi B aga s erineval viisil (mis ei sõltu elemendi A valimisviisist), siis elemendi “kas A või B” saab valida r + s erineval viisil.
Näide 1. Kui kooli sööklas on võimalik valida soolastest toitudest kahe erineva supi ja kolme erineva prae vahel, siis kokku on soolase toidu valimiseks 2 + 3 = 5 võimalust.
Korrutamise reegel – kui elemendi A saab valida r erineval viisil ning elemendi B saab valida s erineval viisil (sõltumata elemendi A valikust), siis elementide paari “A ja B” saab valida r . s erineval viisil.
Näide 2. Kui kooli söökla menüüs on 4 erinevat praadi ja 2 erinevat magustoitu, siis prae ja magustoidu valikuks on 4 . 2 = 8 erinevat võimalust.
Permutatsioonid – ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide järjestuse poolest.
Näide 3. Ajaloo järeleksami sooritajaid on 6. Kui mitmel erineval viisil saame moodustada vastamise järjekorra?
Erinevaid võimalusi vastamise järjekorra moodustamiseks on
P6 = 6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720.
Kombinatsioonid – ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide endi poolest.
Näide 4. Riiulil on 10 erinevat DVD- kassetti . Mitmel erineval viisil saab neist valida neli DVD-d?
Erinevaid võimalusi on .
Variatsioonid – ühendid, mis erinevad üksteisest kas elementide endi või nende järjestuse poolest.
Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel. Kombinatsioonid
Kombinatsioonid n-elemendist k-kaupa on n-elemendilise hulga k-elemendilised osahulgad (elementide järjestus ei ole oluline).
Teineteist välistavate sündmuste liitmisteoreem
Kahe teineteist välistava sündmuse tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga , st
Tõenäosuste korrutamisteoreem
Kahe sõltumatu sündmuse korrutise tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste korrutisega, st
Antud valem kehtib ka suurema arvu sõltumatute sündmuste korral:
Üksteist mittevälistavate sündmuste summa tõenäosus
Kahe teineteist mittevälistava sündmuse summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud nende sündmuste koosesinemise ehk korrutise tõenäosus, st
Vastandsündmusele üle minnes võib kasutada valemit
Kolme üksteist mittevälistava sündmuse puhul kasutatakse valemit
Täistõenäosuse valem
Kui sündmus A võib toimuda koos ühega hüpoteesidest H1; H2; …; Hn, siis sündmuse A tõenäosus on võrdne summaga, mille liidetavateks on iga hüpoteesi tõenäosuse ja sellele hüpoteesile vastava sündmuse tingliku tõenäosuse korrutis.
Bernoulli valem
Kui sündmuse A tõenäosus igal katsel on p, siis tõenäosus, et n katse korral sündmus A toimuks k korda, leitakse valemiga
kus .
Tõenäoseim sündmuse toimumiste arv
Kui sündmuse A tõenäosus on igal katsel p, siis sündmuse A tõenäoseim toimumiste arv n katse korral m* rahuldab võrratusi