1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I
Joonistel on kuue funktsiooni
graafikud . Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on
tegemist.
1 2 3 © Allar
Veelmaa 2014
2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II
© Allar Veelmaa 2014
3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
REAALARVUDE PIIRKONNAD
Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid
tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat
varianti .
Nimetus
Tingimus
Esimene
Teine tähistusviis
tähistusvi s
Lõik a-st b-ni
a
x
b [a; b]
[a; b]
Vahemik a-st b-
a asemel võib olla ka üks märkidest ( 0
Kõigepealt leiame need
x väärtused, mille korral tegurid on võrdsed nulliga, need on
x1 = 0,5;
x2 = 3 ja
x3 = –2. Märgime need arvud kasvavas järjekorras arvteljele ning
määrame korrutise märgi
x > 3 korral. Korrutis on sel juhul negatiivne ja sel juhul asub
graafik allpool
x-telge. Kuna kõik võrrandi (2
x – 1)(3 –
x)(
x + 2) = 0
lahendid on
paarituarv
kordsed , siis läbib joon kõiki neid punkte ning jooniselt loemegi võrratuse
lahendihulga. Joone tõmbamist alustame joonisel
näidatud noole suunas (võib toimida
ka vastupidi).
Vastus:
L ;
2
3
5
0
Näide 2.
Lahendame võrratuse (2
x – 1)2(3 –
x)(
x + 2) ≤ 0
Nüüd joon kohal
x = 0,5
x-telge ei läbi, sest
x = 0,5 on kahekordne
lahend . Samas
kuulub
x = 0,5 võrratuse lahendihulka, sest tegemist on mitterange võrratusega.
Joonisel
Vastus:
L
;
2
5
0
;
3
© Allar Veelmaa 2014
14 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
INTERVALLIDE MEETOD ( JÄRG )
Näide 3
. Lahendame võrratuse (
x + 1)2 (
x – 2)2 > 0.
Selles võrratuses on
x = –1 ja
x = 2 vastava võrrandi kahekordsed lahendid,
seega ei läbi joon kumbagi punkti, joonisel
Vastus:
L
R \ L
;
1
2
1
;
2
Märkus : kui võrratuses oleks range võrratusemärgi asemel mitterange võrratuse-
märk ≥, siis rahuldaks seda võrratust iga reaalarv , s.t. L = R.
Näide 4. Lahendame võrratuse (x + 1)3 (x – 2)3 ≤ 0
Mõlemad vastava võrrandi lahendid (x = –1 ja x = 2) on paarituarv kordsed
(kolmekordsed lahendid, seda näitab aste), siis läbib joon mõlemat punkti.
Vastus: L –
2
1
© Allar Veelmaa 2014
15
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
TRIGONOMEETRIA PÕHISEOSED JA NENDEST TULETATUD VALEMID
Teravnurga siinuseks nimetatakse vastaskaateti ja
hüpotenuusi suhet.
n
m
sin
, sin
p
p
Teravnurga koosinuseks nimetatakse lähiskaateti ja
hüpotenuusi suhet.
m
n
cos
, cos
p
p
Teravnurga tangensiks nimetatakse vastaskaateti ja
lähiskaateti suhet.
n
m
tan
, tan
m
n
Teravnurga kootangensiks nimetatakse lähiskaateti ja vastaskaateti suhet.
m
n
cot
, cot
n
m
Trigonomeetriliste funktsioonide vahelised seosed, neid valemeid nimetatakse ka
trigonomeetrilisteks põhiseosteks
2
2
sin
2
1
sin cos 1
tan
1 tan
cos
2
cos
cos
2
1
cot
tan cot 1
1 cot
sin
2
sin
Täiendusnurga valemid
sin cos 90
)
cos sin 90
)
1
tan
cot 90
)
tan 90
)
© Allar Veelmaa 2014
16
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
TAANDAMISVALEMID
Taandamisvalemid on valemid, mis võimaldavad mistahes nurga trigonomeetriliste
funktsioonide väärtuste leidmise taandada teravnurga trigonomeetriliste funktsioonide
väärtuste leidmisele.
Taandamisvalemeid ei tule pähe õppida, kasulik on meelde jätta skeem
Selle skeemi järgi on näha, et siinuse väärtus on positiivne esimese ja teise veerandi
nurga korral, koosinuse väärtus on positiivne esimese ja neljanda veerandi nurga
korral ning tangensi väärtus on positiivne esimese ja kolmanda veerandi nurga korral.
Näited skeemi kasutamise kohta (vaata ka skeemi)
sin300 sin 360
60 ) sin60 , sest 300° on neljanda veerandi nurk
cos 210° = cos (180° + 30°) = – cos 30°, sest 210° on kolmanda veerandi nurk
tan 150° = tan(180° – 30°) = – tan 30°, sest 150° on teise veerandi nurk
sin 1200° = sin (3 · 360° + 120°) = sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60°, sest 120° on
teise veerandi nurk.
© Allar Veelmaa 2014
17
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
KAHE NURGA SUMMA JA VAHE SIINUS , KOOSINUS JA TANGENS
Kui on teada kahe nurga x ja y siinus, koosinus ja tangens, siis saab leida ka
sin(x y)
cos(x y)
tan(x y)
Järgmiste valemite abil on võimalik lihtsustada trigonomeetrilisi avaldisi ja leida ka
mõningate nurkade siinuse, koosinuse või tangensi täpset väärtust.
sin(x y) sinx·cosy cosx·sinx
cos x
( y) cos x·cos y sin x·sin y
tan x tan y
tan x
( y) 1 tanx·tany
Näide: Leiame sin 105° täpse väärtuse.
3
2
1
2
sin 105° = sin (60° + 45°) = sin 60°·cos 45° + cos 60°·sin 45° =
=
2
2
2 2
3 2
2
2 3 )
1
4
4
4
Näide: Leiame cos 15° täpse väärtuse.
2
3
2 1
cos 15° = cos (45° – 30°) = cos 45°·cos 30° + sin 45°·sin 30° =
=
2
2
2 2
3 2
2
2 3 )
1
=
4
4
4
Näide: Leiame tan 75° täpse väärtuse.
3
1
tan 45 tan30
3 3 3
tan 75° = tan (45° + 30°) =
2 3
1 tan 45 tan30
3
3 3
1 3
Viimastes teisendustes on mõned sammud vahele jäetud, kuid lõpptulemuse saame
3 3
kätte, kui avaldises
kaotame irratsionaalsuse.
3 3
© Allar Veelmaa 2014
18
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
KAHEKORDSE NURGA JA POOLNURGA SIINUS, KOOSINUS JA TANGENS
Allpooltoodud valemid võimaldavad nurga 2x siinuse, koosinuse ja tangensi avaldada
nurga x siinuse, koosinuse ja tangensi kaudu ja vastupidi.
sin 2x = 2 sin x · cos x
cos 2x = cos2x – sin2 x
2 tan x
tan 2x =
2
1 tan x
Näited:
1
1
sin x · cos x =
2 sin x · cos x = sin 2x
2
2
sin2x – cos2x = –(cos2x – sin2x) = – cos 2x
2 tan2x
tan 4x =
1 tan2
2x
Ülesanne. Kasutades kahekordse nurga siinuse valemit lihtsusta avaldis
sin x cos x cos x
2 cos x
4 cos x
8 cos16x
1
Kui lahendad ülesande õigesti, saad lõpptulemuseks
sin32x .
32
Ülesanne. On teada, et cos 2x = cos2x – sin2 x. Millega võrdub
a) cos2 2x – sin2 2x
b) sin2 4x – cos2 4x
c) cos2 8x + sin2 8x
POOLNURGA VALEMID
Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamisel kasutatakse ka n.n. poolnurga siinuse,
koosinuse ja tangensi valemeid:
x
1 cos x
x
1 cos x
x
1 cos x
sin
cos
tan
2
2
2
2
2
1 cos x
© Allar Veelmaa 2014
19
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
KOLMNURGA PINDALA VALEMID. SIINUS- JA KOOSINUSTEOREEM
Kolmnurga pindala valemid (vaata
joonist):
ch
S
2
1
S ac
1
sin ab
1
sin bc sin
2
2
2
2
c sin sin
2
b sin sin
2
a sin sin
S
sin
sin
sin
a b c
Heroni valem S
p p )(
a p )(
b p c) , kus p
2
Siinusteoreem
Seda teoreemi saab kasutada siis, kui on teada kolmnurga
a
b
c
üks külg ja kaks nurka või kaks külge ja ühe antud külje
sin
sin
sin
vastasnurk .
Koosinusteoreem
Teoreemi saab kasutada siis, kui on teada
kolmnurga kolm külge või kaks külge ja nende-
2
2
2
a b c 2bc cos
vaheline nurk.
2
2
2
b
a c 2ac cos
Kui külgede vaheline nurk on täisnurk, siis saame
2
2
2
koosinusteoreemi erijuhuna Pythagorase
c a b 2ab cos
teoreemi.
Märkus: kui kolmnurga lahendamisel tuleb leida kaks nurka, siis tuleb esmalt leida
väiksem nurk (see asub lühema külje vastas) ja seejärel 180°-st lahutamise teel
suurem nurk.
© Allar Veelmaa 2014
20
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
VEKTOR . VEKTORI KOORDINAADID. VEKTORI PIKKUS
Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku.
Vektorit iseloomustavateks suurusteks on siht, suund ja pikkus.
Kui suunatud sirglõigu ehk vektori alguspunkt on A ja
lõpppunkt B, siis sellist vektorit tähistatakse AB .
Vektoreid tähistatakse sageli ka ühe väiketähega,
näiteks a ning harvadel juhtudel mõnes õpikus või
teatmeteoses ei märgita tähele noolt peale, siis
tähistatakse vektor nii: a.
Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused.
Kui vektori alguspunkt on y2 – y1 ja
lõpppunkt B(x
AB
2; y2), siis vektori
koordinaadid on
AB = (x2 – x1; y2 – y1)
y –
2 y1
Näide. Kui alguspunkt on A(–3; 2) ja lõpp-
punkt on B(5; 3), siis vektori AB koordi-
x2 – x1
naadid on AB =(5–(–3); 3 – 2) = (8; 1).
Vektori AB = (x2 – x1; y2 – y1) pikkuse arvutamiseks kasutame valemit
2
2
AB ( 2
x 1
x ) ( 2
y 1
y )
2
Kui a = (x; y), siis | a | =
2
x y
Mõlemad valemid tuletatakse Pythagorase teoreemi abil.
© Allar Veelmaa 2014
21
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
VEKTORITE LIITMINE
Vektorite geomeetrilisel liitmisel paigutatakse need vektorid nii, et esimese vektori
lõpppunkt ühtib teise vektori algusega. Summavektor ühendab esimese algust teise
lõpuga. Liidame näiteks vektorid a ja b .
a
a
b
a + b
Kui vektorid a ja b on antud koordinaatkujul, siis summavektori koordinaatide
leidmiseks liidame omavahel esimesed koordinaadid ja teised koordinaadid, s.t., kui
a = (x
b
a
b
1; y1) ja
= (x2; y2), siis
+
= (x1 + x2; y1 + y2)
Näide. Leiame vektorite a = (3; –2) ja b = (4; 5) summa.
a + b = (3 + 4; –2 + 5) = (7; 3)
Näide. Leiame vektorite a = (3; –2), b = (4; 5) ja c = (–7; –3) summa.
a + b + c =(3 + 4 – 7; –2 + 5 – 3) = (0; 0).
Vektorit koordinaatidega (0; 0) nimetatakse nullvektoriks. Vektorite geomeetrilisel
liitmisel näeb pilt välja nii:
summavektor
© Allar Veelmaa 2014
22
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
NULLVEKTOR . VASTANDVEKTOR. VEKTORITE VAHE
Vektorit O
0
0
nimetatakse nullvektoriks.
Vektori v = (a; b) vastandvektoriks nimetatakse vektorit – v = (–a; –b)
Näide. Vektori v = (4; –3) vastandvektor on vektor – v = (–4; 3).
Vektori v = (a; b) ja selle vastandvektori – v = (–a; –b)
summa on nullvektor O
0
0
Vektori lahutamine tähendab selle vektori vastandvektori liitmist.
Kui v = (a; b) ja u = (c; d), siis
v – u = v +(– u ) = (a; b) + (–c; –d) = (a – c; b – d)
Näide. Leiame v – u , kui v = (4; 6) ja u = (7; 5).
v – u =(4 – 7; 6 – 5) = (–3; 1).
© Allar Veelmaa 2014
23
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA. VEKTORITE KOLLINEAARSUS
Vektori
alguspunkt on
(–1; –1) ja lõpppunkt (–2; 1).
Vektori
koordinaadid on
=(–1; 2).
a
Ülesanne.
Leidke jooniselt vektoriga
samasuunalised (vastas-
suunalised) vektorid ja määrake
kindlaks, missuguse arvuga on
vektorit
korrutatud.
Kahte vektorit u ja v , millede vahel kehtib seos u = k · v , kus k on konstant,
nimetatakse kollineaarseteks.
Kahe kollineaarse vektori u = (a; b) ja v = (c; d) vastavad koordinaadid on võrdelised,
a
b
s.t.
.
c
d
Näide. Vektorid koordinaatidega (3; 5) ja (6; 10) on kollineaarsed , samuti on kolline-
aarsed vektorid (2; 0) ja (3; 0), kuid (3; 4) ja (5; 6) ei ole kollineaarsed.
© Allar Veelmaa 2014
24
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
VEKTORITE SKALAARKORRUTIS
Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
a b a b cos
Vektorite skalaarkorrutist saab rakendada näiteks töö arvutamisel füüsikas, kui kehale
mõjub jõud F ning selle jõu mõjul teeb keha nihke s , siis jõu F mõjul tehtud töö
leitakse valemiga A = F s cos , kus on nurk vektorite F ja s vahel.
Kui vektorid a ja b on antud koordinaatjuhul, s.t. a =(x
b
1; y1) ja
=(x2; y2), siis
a b =x ·
1
x2 + y1 · y2
Näide. Leiame vektorite a =(4; 3) ja b =(–2; 5) vahelise nurga.
a b
4 ( )
2 3 5
7
Et cos
, siis cos
2600
0
2
2
2
2
5 29
a b
4 3 ( )
2 5
Arvuti abil leiame, et kui cos = 0,26
Siis nurk = 74,9°
© Allar Veelmaa 2014
25
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
KOKKUVÕTE: TEHTED VEKTORITEGA
On antud vektorid a (x ;y )
1
1 ja b (x ;y )
2
2 , siis
Vektorite summa a b (x x ;y y )
1
2
1
2
Vektorite vahe a b (x x ;y y )
1
2
1
2
Vektori korrutis arvuga k a (k x ;k y )
1
1
1
x
1
y
Vektorite kollineaarsus
2
x
y2
2
2
Vektori pikkus a
( 2
x 1
x ) ( 2
y 1
y )
Vektorite skalaarkorrutis a b
1
x 2
x 1
y 2
y
a b
Nurk vektorite vahel arccos
a b
Märkus. Sümbol arccos a tähendab seda, et leiame vähima mittenegatiivse nurga x,
mille koosinus on a. Ülesannete lahendamisel leiame nurga tavaliselt arvuti abil,
kasutades selleks klahvi cos–1
© Allar Veelmaa 2014
26
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
SIRGE VÕRRAND
PUNKTI JA TÕUSUGA MÄÄRATUD SIRGE VÕRRAND. TÕUSU JA
ALGORDINAADIGA MÄÄRATUD SIRGE VÕRRAND
Sirge tõus k = tan , kus
y 1
y
k
x 1
x
Sellest võrdusest saame, et
y 1
y kx 1
x
See on punkti ja tõusuga määratud
sirge võrrand.
y kx b
See on tõusu ja algordinaadiga
määratud sirge võrrand.
Näide. Leiame sirge võrrandi kui sirge läbib punkti A(4; 5) ja sirge tõusunurk on 60°.
tan60
k
3 , sirge võrrand on
y 5
3 x )
4
Näide. Leiame sirge tõusu ja tõusunurga, kui sirge läbib punkte A(–4; 5) ja B(3; 1).
y y
3 ( )
4
7
2
2
k
x x
1 5
4
2
1
Kuna tangensi väärtus on negatiivne, siis on tõusunurk nürinurk.
7
Vastus: k
ja 90
3
60
3
150
4
Näide. Leiame sirge võrrandi, kui sirge tõusunurk on 45° ja sirge läbib punkti A(3; 4).
tan45
k
1 ja b = 4, seega sirge võrrand on
y = x + 4.
© Allar Veelmaa 2014
27
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
KAHE PUNKTIGA MÄÄRATUD SIRGE VÕRRAND
Sirge läbib punkte A(x1; y1) ja B(x2; y2) ning punkt P(x; y) on sirge suvaline punkt.
Kuna punktid A, B ja P asuvad
ühel ja samal sirgel, siis on
vektorid AB ja AP kollineaarsed
vektorid ning kehtib võrdus
x 1
x
2
x 1
x
y 1
y
y2 1
y
See on kahe punktiga määratud
sirge võrrand.
Näide. Leiame sirge võrrandi, kui A(–3; –5) ja B(4; 3).
Asendame punktide koordinaadid sirge võrrandisse
x ( )
3
4 ( )
3
x 3
7
ehk
,
y ( )
5
3 ( )
5
y 5
8
millest peale lihtsustamist saame
8
11
y
x
.
7
7
Ülesanne. Leidke sirge võrrand, kui A(–3; –5) ja B(4; –5)
Ülesanne. Leidke sirge võrrand, kui A(–3; –5) ja B(–3; 5)
© Allar Veelmaa 2014
28
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
PUNKTI JA SIHIVEKTORIGA MÄÄRATUD SIRGE VÕRRAND. SIRGE
ÜLDVÕRRAND
Punkt A(x1; y1) asub sirgel ning
sirge sihivektor on s (s ; s )
1 2 .
Nii määratud sirge võrrand esitub
kujul
x 1
x
y 1
y
1
s
2
s
Näide. Kui sirge läbib punkti
A(3; 4) ja sihivektor s (
5
1
,
siis sirge võrrand on
x 3
y 4
, ehk
1
5
peale lihtsustamist y = –5x + 19.
Sirge võrrandit kujul Ax + By + C = 0 nimetatakse sirge üldvõrrandiks.
Näites toodud sirge üldvõrrand on 5x + y – 19 = 0.
Arvud A ja B sirge üldvõrrandis on sirge sihivektori koordinaadid. Kui sirge võrrand on
Ax + By + C = 0, siis selle sirge sihivektor on
s ( ;
B )
A
© Allar Veelmaa 2014
29
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
RINGJOONE VÕRRAND
Ringjooneks nimetatakse antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulka
tasandil.
Kui ringjoone keskpunkt on
O(0; 0) ja raadius r, siis selle
ringjoone võrrand on
x2 + y2 = r2
r
Näiteks ringjoone x2 + y2 = 25
raadius r = 5.
Kui ringjoone võrrand on
x2 + y2 = 0, siis r = 0 ja ring-
joone asemel on tegemist
punktiga.
Kui ringjoone keskpunkt on O(x1; y1) ja raadius r ,
siis ringjoone võrrand on
(x – x1)2 + (y – y1) = r 2
Näide. Ringjoone keskpunkt on O(4; –5) ja raadius r = 7, siis ringjoone võrrand on
(x – 4)2 + (y + 5)2 = 49.
© Allar Veelmaa 2014
1
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONI MÄÄRAMISPIIRKOND
y
8
7
6
5
4
1
y = x +
x
3
5
2
y = 1+x2
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2 3
4 5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
Leia joonisel olevate funktsioonide määramispiirkond
© Allar Veelmaa 2014
2
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONI MÄÄRAMISPIIRKOND
Leia joonise abil funktsiooni
2
y
ja
1 x
y 5 x
määramispiirkond
© Allar Veelmaa 2014
3
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONI NULLKOHAD
y
8
7
y=(x-3)4+1
6
5
2
y x (x )
3
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Määra joonise abil funktsiooni nullkohad
© Allar Veelmaa 2014
4
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONI NULLKOHAD
1) Missugune graafik on funktsiooni y = x(x + 1) graafik?
2) Missugune graafik on funktsiooni y = (x – 2)2(x – 3) graafik?
Leia kummagi funktsiooni nullkohad jooniselt ning kontrolli seda ka arvutuslikult
© Allar Veelmaa 2014
5
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONI POSITIIVSUS - JA NEGATIIVSUSPIIRKONNAD
6
y=(x+3)2
5
4
3
y=x2-2x+2
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
X+ = ]-
X+ = R
–
-3
–
X = Ø
X = Ø
-4
-5
-6
© Allar Veelmaa 2014
6
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONI POSITIIVSUS- JA NEGATIIVSUSPIIRKONNAD
6
y=0,5x(x+3)(x-2)
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
2+ 5
-2
-3
-4
-5
-6
y=-x2+4x+1
X+ =
X+ =
X– = ]-
X– =
© Allar Veelmaa 2014
7
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONI KASVAMINE JA KAHANEMINE
6
5
4
y = x2-3x-4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y = -x(x +4)
-7
-8
X
X
X
X
© Allar Veelmaa 2014
8
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONI KASVAMINE JA KAHANEMINE
8
7
4
y =
x
6
y = –x3
5
4
3
2
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
X = Ø
-4
X = R \ {0}
-5
X = Ø
-6
X = R
-7
-8
© Allar Veelmaa 2014
9
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
ASTMEFUNKTSIOON y = x2n
y = x4
y = x6
y = x2
© Allar Veelmaa 2014
10
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
ASTMEFUNKTSIOON y = x2n+1
y = x5
y = x3
© Allar Veelmaa 2014
11
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
PAARISFUNKTSIOONID
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
y = 0,5x4 – 2x2
y = x2 – 5
y = 1:x2
Kirjelda funktsiooni graafiku asendit ordinaattelje suhtes
© Allar Veelmaa 2014
12
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
PAARITUD FUNKTSIOONID
1
y x
x
y = –2 : x
y = x3 – x
Kirjelda funktsiooni graafiku asendit koordinaatide alguspunkti suhtes
© Allar Veelmaa 2014
13
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
KAHE FUNKTSIOONI SUMMA
Joonisel on funktsiooni y = x + 2 ja y = x2 graafik.
Missugune on nende funktsioonide summa graafik?
© Allar Veelmaa 2014
14
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
KAHE FUNKTSIOONI SUMMA (VASTUS)
y = x2 + x + 2
y = x2
y = x + 2
© Allar Veelmaa 2014
15
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
KAHE FUNKTSIOONI KORRUTIS
Joonisel on funktsiooni y = x ja y = –x graafik. Missugune on nende funktsioonide
korrutise graafik?
© Allar Veelmaa 2014
16
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
KAHE FUNKTSIOONI KORRUTIS (VASTUS)
y = –x2
y = –x
y = x
© Allar Veelmaa 2014
17
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
KAHE FUNKTSIOONI JAGATIS
8
7
6
5
4
3
2
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
f(x)
x-1
f(x) = x –1
g(x) = x + 1
=
x+1
g(x)
© Allar Veelmaa 2014
18
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
ÜLESANNE
On antud neli funktsiooni:
2
1) y = x ; 2) y = x
;
3) y = x + x ; 4) y = x x .
Leia funktsioonile vastav graafik.
© Allar Veelmaa 2014
19
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONID y = f(x), y = –f(x) ja y = f(–x)
8
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y = x2 – 2x – 3
y = –x2 + 2x + 3
y = x2 +2x – 3
© Allar Veelmaa 2014
20
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONID y = f(x), y = 2f(x) ja y = –0,5f(x)
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y = x2 – 2x – 3
y = 2x2 – 4x – 6
y = –0,5x2 + x + 1,5
© Allar Veelmaa 2014
21
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONI f(x) = x2 – 2x – 3, f(0,5x) ja f(2x) GRAAFIK
5
4
3
2
1
-4
-3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5
y = x2 – 2x – 3
y = 0,25x2 –x – 3
y = 4x2 – 4x – 3
© Allar Veelmaa 2014
22
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONID f(x) = x2 – 2x – 3, f(x – 2) ja f(x + 2)
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
y = x2 – 2x – 3
y = (x – 2)2
y = (x + 2)2
© Allar Veelmaa 2014
23
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONID f(x) = x2 – 2x – 3, f(x) + 3 ja |f(x)|
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
y = x2 – 2x – 3 y = x2 – 2x
y = |x2 – 2x – 3|
© Allar Veelmaa 2014
24
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
PÖÖRDFUNKTSIOON
4
3
2
1
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
y = x2
y = x
y = – x y = x
© Allar Veelmaa 2014
25
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
EKSPONENTFUNKTSIOON I
8
7
6
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y = 2x
y = 3x
y = 4x
© Allar Veelmaa 2014
26
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
EKSPONENTFUNKTSIOON II
8
7
6
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y = 0,6x
y = 0,5x
y = 0,4x
© Allar Veelmaa 2014
27
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
EKSPONENTFUNKTSIOON III
8
7
6
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
y = 2x
y = 4x
y = 0,5x
© Allar Veelmaa 2014
28
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONID y = 2x ja y = log2 x
8
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
1 2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
y = 2x
y = x
y = log
2 x
© Allar Veelmaa 2014
29
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONID y = log x, y = log2 x ja y = log0,5 x
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
y = log x
y = log2 x
y = log0,5 x
© Allar Veelmaa 2014
30
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONID y = log x ja y = ln x
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
y = log x
y = ln x
© Allar Veelmaa 2014
31
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONID y = ln x2 ja y = ln x
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
y = ln x
y = ln x2
© Allar Veelmaa 2014
32
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOON y = sin x ja y = 2·sin x
Funktsioon y = sin x
3
2
0
2
-
Funktsioon y = 2sin x
2
1
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
© Allar Veelmaa 2014
33
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOONI y = sin x ja y = 2 · sin x GRAAFIK ÜHES TELJESTIKUS
© Allar Veelmaa 2014
34
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOON y = sin x, y = sin x2, y = sin2x ja y = |sin x|
y = sin x ja y = sin x2
y = sin x ja y = sin2 x
y = sin x ja y = |sin x|
© Allar Veelmaa 2014
35
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOON y = sin x, y = sin (x + ), y = 1–sin 0,5x ja y = –1+ sin 2x
2
Funktsioonid y = sin x ja y = sin (x + )
2
1
0
-1
y = sin x
y =
sin (x+ )
2
Funktsioonid y = 1–sin 0,5x ja y = –1+sin 2x
1
y = 1 – sin 0,5x
y = –1+ sin 2x
© Allar Veelmaa 2014
36
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOON y = sin x ja y = x + sin x
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
y = sin x
y = x
y = x + sin x
© Allar Veelmaa 2014
37
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
KOOSINUSFUNKTSIOON
Funktsioonid y = cos x ja y = -2 cos x
-
0
2
2
T
õrge!
y = cos x
y =
-2cos x
Funktsioonid y = cos 0,5x ja y = cos 2x
y = cos 2x
y = cos 0,5x
© Allar Veelmaa 2014
38
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOON y = tan x
© Allar Veelmaa 2014
39
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOON y = cot x
© Allar Veelmaa 2014
40
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOON y = arcsin x
2
Tõrge !
-
2
0
2
-
2
y = sin x
y = arcsin x
© Allar Veelmaa 2014
41
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOON y = arccos x
3
2
1
-
-2
-1
1
2
2
2
-1
-2
y = cos x
y = arccos x
y = x
a
© Allar Veelmaa 2014
42
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOON y = tan x ja y = arctan x
© Allar Veelmaa 2014
43
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOON y = –x3 + x2 + 5x – 6
© Allar Veelmaa 2014
44
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
x + 1
FUNKTSIOON y = x 2
© Allar Veelmaa 2014
45
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOON y = x3 – 3x2
© Allar Veelmaa 2014
46
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
1
FUNKTSIOON y =
x2 - 1
© Allar Veelmaa 2014
47
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOON y = x3 – 4x
© Allar Veelmaa 2014
48
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
4x
FUNKTSIOON y =
x2 + 1
© Allar Veelmaa 2014
49
11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
FUNKTSIOON y = sin x – 0,5sin 2x
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
1
REAALARVUDE PIIRKONNAD
Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid
tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti.
Nimetus
Tingimus
Esimene
Teine tähistusviis
tähistusvi s
Lõik a-st b-ni
a x b
[a; b]
[a; b]
Vahemik a-st b-ni a , siis
, siis
3
(3x–2)3 > 0. Kui x 0, kui x > 2 ning f (x) x b ja b + c > a
k olmnurga kõrgused ha, hb ja hc
b
lõikuvad ühes punktis
hc
t eravnurkses kolmnurgas asub punkt O
O
kolmnurga sees, täisnurkses küljel ja
c
nürinurkses väljaspool kolmnurka
B
hb
ha
aha
bhb
chc
Pindala S =
=
=
2
2
2
a
1 1 1
ha : hb : hc = : : .
a b c
Mediaanid ehk küljepoolitajad
C
1. lõikuvad ühes punktis
2. BO:OF = CO:OD = AO:OE = 2 : 1
3. Mediaan jaotab kolmnurga kaheks pind-
võrdseks osaks, näiteks S
F
m
ADC = SDBC
a
4. Kolm mediaani jaotavad kolmnurga kuueks
pindvõrdseks osaks.
c
O
E
5. Punkti O nimetatakse ka raskuskeskmeks.
mb
6. ma = 0,5 2b2 + 2c2 - a2 =
m
A
c
b
=0,5 b2 + c2 + 2bc cos
D
a
B
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
27
MEETRILISED SEOSED KOLMNURGAS II
Kolm
nurga ümberringjoon
C
R
O
R
B
D
D
A
Ümberringjoone keskpunkt asub keskristsirgete lõikepunktis. Täisnurkses kolm-
nurgas on see hüpotenuusi keskpunkt, nürinurkses kolmnurgas asub väljaspool
kolmnurka.
Kolmnurga siseringjoon
Kolmnurga siseringjoone keskpunkt on nurgapoolitajate lõikepunkt.
C
0,5
0,5
Sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje
osadeks , mis on võrdelised nurga lähis-
külgedega:
E
D
BD : DC = AB : AC
O
Nurga poolitaja jaotab pindala võrdeliselt
0,5
0,5
lähiskülgedega:
SABD : SADC = AB : AC
0,5
0,5
A
F
B
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
28
KOLMNURK
* Pythagorase teoreem :
a2 + b2 = c2
* Eukleidese teoreem:
a
b
a2 = f·c ja b2 = g·c
h
* Teoreem kõrgusest:
h2 = f·g
* a·b = h·c, S = 0,5ab, R = 0,5c
f
g
c
h
f
h
h
g
h
= sin,
= cos,
= tan
= sin,
= cos
= tan
a
a
f
b
b
g
Siinus- ja koosinusteoreem. Pindala valemid
a
b
c
Siinusteoreem: sin = sin = sin
Koosinusteoreem:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos
b2 = a2 + c2 – 2ac cos
c2 = a2 + b2 – 2ab cos
Pindala valemid
abc
S = 0,5ah
S = 0,5ab sin
S = pr
S =
4R
a2 sin sin
S =
2 sin
S = p(p–a)(p–b)(p–c) (Heroni valem)
a2 3
Võrdkülgse kolmnurga pindala S =
.
4
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
29
HULKNURK
Kumer hulknurk
Mittekumer hulknurk
Kumera hulknurga sisenurkade summa on Sn =(n – 2)180º.
n(n – 3)
Diagonaalide arv d =
.
2
TRAPETS
b
a + b
S =
h
h
2
a
ROMB
d ·d
S = 1 2
d2
2
d1
RÖÖPKÜLIK
S = ab sin
d
b
a
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
30
STATISTIKA PÕHIMÕISTED
Üldkogum - objektide (nähtuste) hulk, mille kohta tahetakse teha järeldusi
Valim - mõõtmiseks võetud osa üldkogumist
VALIM
VALIM
ARVUKAS
PLANEERITUD
JUHUSLIK
VALIMISSE SATTUMINE
ON VÕRDTÕENÄONE
KÕIGILE ÜLDKOGUMI
OBJEKTIDELE
TUNNUSED
ARVTUNNUSED
MITTEARVTUNNUS
PIDEV
DISKREETNE
JÄRJESTUS-
NOMINAAL-
Väärtused võivad
Üksteisest eralda-
TUNNUS
TUNNUS
olla reaalarvud
tud väärtused:
mingist piirkon -
vanus täisaastates,
Väärtusi saab
Väärtusi pole
nast, näiteks
pereliikmete arv,
sisu põhjal
mõtet järjes-
kasv,
õpilaste arv klassis
järjestada:
tada,
kaal,
Meeldib väga,
rahvus,
aeg
meeldib,
elukutse ,
ükskõikne,
parteilisus
talutav,
ei kõlba kuhugi
Binaarsed tunnused - kaks teineteist välistavat väärtust:
sugu, elus-eluta
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
31
MÕNINGAID STATISTIKAS KASUTATAVAID MÕISTEID
Variatsioonirida – katse korduval sooritamisel saadud tulemuste esitamine mittekahaneva
või mittekasvava järjendina.
Näide: hinnete 4, 4, 5, 2, 1, 2, 4, 5, 5, 3 variatsioonirida on
1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5 või vastupidi 5, 5, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 1.
Sagedustabel – tabel, kuhu iga võimaliku sündmuse jaoks on toodud tema esinemiste arv
vaadeldavates katsetes.
Hinnete sagedustabel oleks selline
Hinne
5
4
3
2
1
Arv
3
3
1
1
1
Aritmeetiline keskmine – antud arvude summa jagatis nende koguarvuga.
Hinnete aritmeetiline keskmine on (5 + 5 + 5 + 4 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1) : 9 3,67
Mood – variatsioonireas kõige sagedamini esinev suurus
Variatsioonirea 1, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7 puhul on mood Mo = 4
Võib olla ka kaks moodi, näiteks variatsioonireas 3, 5, 5, 6, 6, 7 on Mo = 5 kui ka Mo = 6
Mediaan – variatsioonirea keskmine element
Variatsioonireas 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9 on mediaaniks Me = 7
NB! Kui variatsioonireas on paarisarv elemente, siis loetakse mediaaniks arv
n
järjekorranumbriga
1
, kus nurksulud tähendavad arvu täisosa.
2
Variatsioonirea 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6 mediaan Me = 4
Hälve – juhusliku suuruse x ja selle suuruse keskväärtuse (aritmeetilise keskmise) a
vahe, s.t. x – a
Dispersioon – hälvete ruutude keskväärtus
Standardhälve – ruutjuur dispersioonist
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
32
STATISTILISED FUNKTSIOONID Excelis
Funktsioon
Funktsioon Excelis
Näide
Aritmeetiline keskmine
AVERAGE
AVERAGE(A1: B100 )
Geomeetriline keskmine GEOMEAN
GEOMEAN(A1:B100)
Harmooniline keskmine
HARMEAN
HARMEAN(A1:B100)
Valimi maht
COUNT
COUNT(A1:B100)
Maksimaalne element
MAX
MAX(A1:B100)
Minimaalne element
MIN
MIN(A1:B100)
Mediaan
MEDIAN
MED(A1:A100)
Mood
MODE
MODE(A1:A100)
Dispersioon
VAR
VAR(A1:A100)
Standardhälve
STDEV ,
STDEV(A1:A100)
STDEVP
STDEVP(A1:A100)
Lineaarne korrelatsiooni- CORREL
CORREL( PLOKK1 ; PLOKK2 )
Kordaja
Regressioonisirge tõus
SLOPE
SLOPE(PLOKK1;PLOKK2)
Regr.sirge vabaliige
INTERCEPT
INTERCEPT(PL1;PL2)
Kell 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 ja 20 tänaval jalutanud 7 inimese pikkused
167 169 178 145 165 144 177 168 176
178 189 149 189 145 165 178 173 128
176 190 148 177 189 129 134 145 156
178 188 146 169 156 127 174 178 144
165 167 144 200 177 168 128 154 190
166 168 178 178 179 178 189 178 206
167 159 155 149 149 148 123 155 167
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Keskväärtus 164,6
Mood 178
Geomeetriline keskmine 163,5
Dispersioon 363,6
Harmooniline keskmine 162,3
Standardhälve I 19,1
Valimi maht 63
Standardhälve II 18,9
Maksimaalne element 206
Korrelatsioonikordaja 1,2 0,94
Minimaalne element 123
Regressioonisirge tõus 0,493
Mediaan 167
Regr. sirge vabaliige 93,9
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
33
PERMUTATSIOONID, VARIATSIOONID JA KOMBINATSIOONID
N-elemendilist hulka saab ümber järjestada n! = 1 · 2 · 3 · … · n
erineval viisil. Näiteks 20 õpilasega klassis saab lapsi erineval moel ritta panna
2432902008176640000 erineval viisil (vähemalt 2 last on vahetanud koha).
n
Kombinatsioonid n-elemendist m-kaupa Cm
n
m (n
m)!
N: 10 elemendilisest hulgast saab moodustada 4-elemendilisi osahulki
4
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C
210
10
4 !
6
1 2 3 4 1 2 3 4 5 6
NB! Siin pole elementide järjekord hulgas oluline.
n
Variatsioonid n-elemendist m kaupa Am
n
(n m)!
Moodustatakse osahulgad, kus oluline on ka elementide järjestus, näiteks < {Mary; Jüri}.
N: 6 võistlejast saab moodustada 4-liikmelisi teatemeeskondi (arvestades nüüd
etappide läbimise järjekorda)
4
6
1 2 3 4 5 6
A
360
6
2
1 2
Kui etappide läbimise järjekord pole oluline, siis selliseid võistkondi on
4
6
C
.
15
6
4 !
2
Firma kuulutab konkursi 3 vakantsele katlaoperaatori kohale. Kohale tuli 20 soovijat.
3
17
20
18 19 20
Erinevaid võimalusi töölevõtmiseks on nüüd C C
1140
20
20
17 !
3
1 2 3
Firma võtab tööle asjaajaja , koristaja ja müügimehe. Konkursile saabus 20 soovijat.
Erinevaid võimalusi ametikohtade jaotuseks on nüüd
3
20
A
18 19 20
6840
20
17
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
34
KLASSIKALINE TÕENÄOSUS
soodsate võimaluste arv
Tõenäosus p = kõikide võimaluste arv . Seega 0 p 1.
Veeretatakse korraga kahte täringut. Kui suur on tõenäosus, et ühel täringul saadud
silmade arv jagub teisel täringul saadud silmade arvuga ?
Märgime täringuviskel saadavad tulemused tabelisse (J-jagub),
S/P 1
2
3
4
5
6
1
J
J
J
J
J
J
2
J
J
----- J
----- J
3
J
----- J
----- ----- J
4
J
J
----- J
----- -----
5
J
----- ----- ----- J
-----
6
J
J
J
----- ----- J
Näeme, et soodsaid võimalusi on 22, kokku kõiki võimalusi on aga 36,seega
22
11
p =
=
= 0,611.
36
18
Heidetakse korraga kahte täringut. Kui suur on tõenäosus, et silmade korrutis pole
suurem 12-st või on 20-st suurem ?
Teeme jällegi tabeli. Mittesobivad võimalused on märgitud musta värviga.
1/2 1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
Mittesobivaid võimalusi on kokku 7, sobivaid seega 36 – 7 = 29.
29
Vastus: tõenäosus on = 0,8056.
36
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
35
SÜNDMUSTE KORRUTIS JA SUMMA. TÕENÄOSUSTE LIITMISE LAUSE
Sündmust, mille korral toimub sündmus A kui ka sündmus B, nimetatakse sündmuste A
ja B korrutiseks.
Näide: olgu sündmus A täringuviskel vähemalt 3 silma saamine ja sündmuseks B
paarisarvuline tulemus, siis mõlemat tingimust rahuldavad vaid 4 ja 6 silma. Tõenäosus,
2
1
et mõlemad sündmused leiavad aset on p =
.
6
3
Sündmust, mille korral toimub sündmus A või sündmus B, nimetatakse sündmuste A ja B
summaks .
Näide: olgu sündmus A, et Juku saab eksamil hindeks 5 ja sündmuseks B, et ta saab
2
hinde 1. Tõenäosus, et vähemalt üks nendest sündmustest leiab aset on p
.
5
Kahte sündmust, mis ei saa esineda üheaegselt, nimetatakse teineteist välistavateks
sündmusteks.
Näide: kaardipakist ühe kaardi võtmisel ei saa see üheaegselt olla punane kaart ja must
kaart.
Tõenäosuste liitmise lause
P A )
B (
P )
A (
P )
B (
P
AB , ehk sõnades
kahe sündmuse summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga,
millest on lahutatud samade sündmuste korrutise tõenäosus.
Näide: olgu sündmuseks A ruutumasti kaardi tulek ning sündmuseks B pildikaardi tulek,
13
12
3
siis P( )
A
, P( )
B
ning P(
AB
,
52
52
52
13 12
3
22
seega P(A )
B
.
52 52 52
52
Kui sündmused A ja B on üksteist välistavad, siis
P A )
B (
P )
A (
P )
B
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
36
TÄISTÕENÄOSUS
On antud 3 urni. Neist ühes on 4 punast ja 3 sinist kuuli, teises 3 punast ja 8 sinist kuuli ja
kolmandas 2 punast ja 6 sinist kuuli. Kui suur on tõenäosus, et kuul võeti teisest urnist ja
see on punane; suvalisest urnist huupi võetud kuul on sinine ?
1. urn
2. urn
3. urn
1. pool ülesandest.
1
Kui urn valitakse juhuslikult, siis p(U2) = .
3
3
2. urnis on 3 punast ja 8 sinist kuuli. Punase võtmise tõenäosus on p(P) = .
11
Et kuul võetakse 2. urnist ja see on punane
1
3
1
p (U
2
P) = ·
=
.
3 11
11
2. pool ülesandest.
Hüpoteesid:
A - võetakse sinine kuul
H1 - võetakse 1. urnist
H2 - võetakse 2. urnist
H3 - võetakse 3. urnist
A = (A H1) (A H2) (A H3)
3 1
1
p(A H1) = · =
7 3
7
8
1
8
p(A H2) =
· =
11 3
33
6 1
1
p(A H3) = · =
8 3
4
1
8
1
587
p(A) = +
+ =
= 0,64.
7
33
4
924
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
37
BERNOULLI VALEM
Vaatleme sündmust, mille esinemise tõenäosus on kogu aeg ühesugune. Olgu see p.
Selle sündmuse mittetoimumise tõenäosus on q = 1 – p.
Bernoulli valem:
k
k
n k
P
C p q
n,k
n
Tõenäosus, et madu-uss nõelab metsas jalutavat marjulist on 0,005. Kui suur on
tõenäosus, et 100 korda metsas käinut pole kordagi nõelatud; on nõelatud 2 korda;
nõelati iga kord ?
1. P
0
100
0
C
,
,
,
100,0 =
0 995
0 005
0 606
100
2. P
2
98
2
C
,
,
,
100,2 =
0 995
0 005
0 076
100
3. P
100
0
100
231
C
,
,
,
100,100 =
0 995
0 005
7 9 10
100
Kui sündmuse toimumise tõenäosus on igal katsel p, siis tõenäoseim sündmuse
esinemiste arv n katse korral rahuldab võrratust
np – q n* np + p p
Valem !
Jussike hilineb igasse matemaatika tundi tõenäosusega 0,15. Leiame tõenäoseima
hilinemiste arvu õppeaasta jooksul (matemaatikat on 4 tundi nädalas).
Õppeaastas on 35 õppenädalat, seega tunde n = 140.
140·0,15 – 0,85 n* 140·0,15 + 0,15
21 – 0,85 n* 21 + 0,15
Tõenäoseim hilinemiste arv on 21.
Igasse füüsika tundi hilineb Jussike tõenäosusega 0,33. Mitu füüsika tundi peab olema
toimunud, et Jussike suudaks 21 korda hiljaks jääda ?
Otsitav tundide arv on siin n, p = 0,33, q = 0,67 ja n* = 21.
Asendades teadaolevad suurused valemisse saame võrratuste süsteemi
033
, n 0 67
21
033
, n 0 33
21
mille lahendamisel saame, et vähim n väärtus on 63.
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
38
KOLMNURKNE PÜRAMIID
a – põhiserv
b – külgserv
m – külgtahu apoteem
b
H – püramiidi kõrgus
b
- nurk külgtahu ja põhja vahel
m
- nurk külgserva ja põhiserva
b
H
vahel
a
N1. Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhiserv on 3 cm
a
a
ning külgpindala on kaks korda suurem põhja pindalast.
Leida püramiidi ruumala.
Lahendus:
1
a2 3H
Sk = 1,5am ja V = S
.
3 p H = 12
a 3
a2 3
Põhja kõrgus h =
. Et S
ehk
2
k = 2V, siis 1,5am =
2
a 3
m =
. Avaldame h ja m abil suuruse H.
3
9 3
H = 0,5a ja seega V =
.
8
N2. Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhiserv on a ja kõik külgtahud moodustavad
põhjaga nurga 45º. Leida püramiidi sisse kujundatud kera ruumala.
B
B
h
D
r r
C
l
r
r
A
m
2m
O
A
a
a 6
a( 6- 3)
4
a( 6- 3)
l =
r =
V = [
]3
a
6
6
3
6
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
39
NELINURKNE PÜRAMIID
N1. Korrapärase nelinurkse püramiidi kõrgus on 6 ja külgtahk moodustab
põhitahuga nurga 30º. Leida täispindala, ruumala ja püramiidi sisse
kujundatud kera pindala.
S
S
C
h
l
h
l
r
h
O
O
r
r
a
m
A
A
a
B
m
B
Kontrolli, kas
l = 12, m = 6 3 , Sp = 432, Sk = 288 3 , St = 144(2 3 + 3), V = 864.
Kuna BA = BC, siis BO poolitab nurga . Siit r : m = tan 15º, millest r = 2,78
Skera = 4r2 = 97,44.
N2. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on a. Külgtahu ja põhja vahel
on nurk . Leida püramiidi ümber kujundatud kera raadius.
E
Kera raadius on R. Kolmnurk
EFG on täisnurkne , FG=0,5a.
FE = FO + OE = 0,5 a tan.
Kui FO = x, siis
R
x = 0,5atan – R,
x2 = 0,25a2tan2 – aRtan + R2
O
D
Kolmnurk OFB on täisnurkne,
C x2 = R2 – 0,5a2.
x
0,25a2tan2 – aRtan = –0,5a2
G
F
a (tan2 + 2)
R =
4 tan
A
B
a
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
40
PRISMA
Püstprisma põhjaks on võrdhaarne kolmnurk, mille alus on a ja alusnurk on .
Leida prisma ruumala, kui tema külgpindala on võrdne aluste pindalade summaga.
Ruumala V = SpH. Põhja pindala on
S
p = 0,5ah = 0,5a · 0,5atan = 0,25a2tan.
1
Külgpindala Sk = aH + 2bH = Ha(1 +
).
cos
Et Sk = 2S p , siis
1
Ha(1 +
) = 0,5a2 tan, millest
cos
b
b
H
h
H = 0,5a tan0,5.
a3 tan tan0.5
Prisma ruumala V =
8
a
Kuubi korrapärase kuusnurga kujulise lõike pindala on Q. Leida kuubi täispindala.
D
Olgu kuubi serva pikkus a,
E
siis täispindala on St = 6a2.
C
Olgu kuusnurga külg x, siis kuusnurga
pindala on
x2 3
Q = Skuusnurk = 6·
= 1,5 3 x2.
4
2Q 3
B
Järelikult x2 =
.
F
9
Kolmnurgast AGB saame, et
x
0,5a
a2 = 2x2.
Täispindala
2Q 3
8Q 3
S = 6·2x2 = 12 ·
=
.
A
0,5a
G
9
3
© Allar Veelmaa 2014
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
41
SILINDER JA KOONUS
Silindrisse on kujundatud korrapärane kolmnurkne püstprisma ABC … C
1 põhi-
3a
servaga a ja kõrgusega
. Leida silindri ruumala.
C
Võrdkülgse kolmnurga ümberringjoone
B
keskpunkt asub kõrguste lõikepunktis ja
O
kõrgus jaotub osadeks 2 : 1 alates kolm-
K
nurga tipust.
A
Kolmnurgast BKC leiame, et
a2
a
CK =
a2 – = 3 .
4
2
2
a
r = CO = CK = 3 .
3
3
a
3a
V = r2H = ( 3 )2
3
= a3.
C1
B1
O1
A1
Koonuse täispindala on kolm korda suurem koonuse sisse kujundatud kera pind-
Alast. Leiame nurga koonuse moodustaja ja põhja vahel.
Ülesande tingimuste kohaselt
r (r + m) = 3·4R2.
Kolmnurgad OO1B ja ODB on võrdsed, seega
OB poolitab nurga .
Avaldame R ja m:
r
R = r tan 0,5 ja m =cos . Asendame
D
need pindalade valemitesse, saame
R
r
O
r (r + cos ) = 12r2 tan2 0,5,
millest saame peale lihtsustamist ruutvõrrandi
R
cos suhtes:
13 cos2 – 10 cos + 1 = 0, millest
O
r
B
1
5 + 2 3
5 – 2 3
ja
© Allar Veelmaa
1 = arccos
2 = arccos
2014
13
13
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
42
VÕRRATUSED
Lineaarvõrratus on võrratus kujul ax > b või ax 7 lahendihulk on lõpmatu vahemik ;
3
Võrratuse –3x > 7 mõlema poole jagamisel arvuga (–3) muutub võrratuse märk
7
7
vastupidiseks, s.t. x 0 või ax2 + bx + c
50 punkti
Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
~ 123 lehte
Lehekülgede arv dokumendis
2015-09-22
Kuupäev, millal dokument üles laeti
94 laadimist
Kokku alla laetud
0 arvamust
Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Kellik22
Õppematerjali autor
annaabi.ee 
Kõik kommentaarid