a b = a b a a = b b Ruutfunktsioon ja 12. 18. 09. 06 ruutvõrrand. Ruutjuurte teisendusi k 2a = k a Selgitus. 2) ül 4 (103-125) Ruutvõrrand. Ruutvõrrandi kordajad. Ruutliige, lineaarliige, vabaliige. Normaalkujuline
Piirdenurk on pool temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. 1Mis on korrapärane hulknurk? Korrapäraseks hulknurgaks nimetatakse hulknurka, mille kõik küljed ja nurgad on võrdsed. 1Mis on korrapärase hulknurga apoteem? Tee selgitav joonis. Korrapärase hulknurga apoteem on selle hulknurga siseringjoone raadius. 1Mis on arvu ruutjuur? Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. 1Mis on ruutvõrrand? Ruutvõrrand on võrrand ax2+bx+c=0, kus a on antud arvuna ja ei võrdu 0. 1Kirjuta ruutvõrrnadi lahendivalem. X1;2=-b+-... 1Mis on ruutvõrrandi diskriminant? Diskriminandiks nimetatakse ruutjuure alust avaldist b2-4ac. 1Mis on normaalkujuline ruutvõrrand? Normaalkujuline ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille vasakul poolel esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige, teisel kohal lineaarliige ja kolmandal kohal vabaliige ning paremal pool 0. 1Mis on täielik ruutvõrrand?
ühe ja sama positiivse arvuga. 5x > 15 5 : → ׀x > 3 Võrratusmärk muutub vastupidiseks, kui võrratuse mõlemaid pooli korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse arvuga. –5x > 15 (5–) : → ׀x < –3 Võrratusmärk muutub vastupidiseks, kui vahetada võrratuse pooli. 2x + 3 < 6x → 6x > 2x + 3 Lineaarvõrratuse lahendamine Ühe tundmatuga lineaarvõrratus üldkujul on ax > b või ax < b. RUUTVÕRRAND JA VÕRRATUS Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand. Ühe tundmatuga ruutvõrrand on teisendatav kujule kus a ≠ 0 Ruutvõrrandi lahendid on antud valemiga Ruutvõrrandi liikmed - ruutliige (tundmatu teise astme liige); bx - lineaarliige (tundmatu esimese astme liige); c - vabaliige (ei sisalda tundmatut). Ruutvõrrand, mille vasakul poolel on esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige,
lineaarliige, b vabaliige; graafik on sirge. 46. Lineaarvõrrand võrrand, milles tundmatud on ainult esimeses astmes. 47. Lõpmatu kümnendmurd kümnendmurd, mille ükski numbrikoht pole viimane. 48. Lähisküljed ühest ja samast tipust lähtuvad hulknurga küljed. 49. Mediaan kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga ühendav lõik. 50. Minut ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 51. Mittetäielik ruutvõrrand ruutvõrrand, mis esitub kas kujul ax2+c=0 või kujul ax2+bx=0 või hoopis kujul ax2=0. 52. Murdvõrrand võrrand, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas. 53. Naturaalarvud loendamise teel saadud arvud 1, 2, 3, ... 54. Nullkoht argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on null. 55. Ordinaattelg y telg 56. Paarisarv kahega jaguv täisarv. 57. Paaritu arv täisarv, mis ei jagu kahega . 58. Parabool ruutfunktsiooni graafik. 59
3) Koondame sarnased liikmed 4) Võrratuse mõlemaid pooli jagame tundmatu kordajaga 5) Teeme joonise, kirjutame vastuse 14. Mis on võrre? Võrde põhiomadus. Kuidas lahendada võrdekujulist võrrandit? Tõest võrdust, mille mõlemad pooled on jagatised, nimetatakse võrdeks. Põhiomadus: Võrde välisliikmete korrutis võrdub tema siseliikmete korrutisega. Lahendamine: Võrdekujulist võrrandit lahendatakse ristvõrrandi abil. 15. Mis on ruutvõrrand? Mida nimetatakse normaalkujuliseks ruutvõrrandiks? Mida nimetatakse täielikuks ruutvõrrandiks? Mida nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks? Mis on taandatud ruutvõrrand? Võrrandit ax + bx + c = 0, milles a, b ja c on antud arvud (a ei võrdu nulliga) ja x on tundmatu, nimetatakse ruutvõrrandiks. Võrrand, mille vasakul poolel on esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige, teisel kohal
Selles võrrandis a = 1, b = - 2 ja c = -3. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame 2 ± 4 - 4 1 ( -3) 2 ± 4 + 12 2 ± 16 2 ± 4 x= = = = . 2 1 2 2 2 2+4 6 2-4 -2 Siit x1 = = =3 ja x2 = = = -1. 2 2 2 2 Kuna a = 1, siis x2 - 2x - 3 = 0 on taandatud ruutvõrrand, mida on otstarbekam lahendada taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi abil. 2 p p Taandatud ruutvõrrandi x2 + px + q = 0 lahendivalem on x=- ± -q 2 2 Näide 7. Lahendame ruutvõrrandi x2 - 2x - 3 = 0 taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi abil.
Valemid a1 = a (ab)n = an bn a0 = 1 a n =an (an)m = anm an . am = an+m a-n = an an an-m am 1) ax2+bx=0 = x(ax+b) = x1=0 ja x2= -b Taandamata Ruutvõrrand 2) ax +bx+c=0 = x1,2= -b + b2-4ac = a(x-x1)(x-x2) 2 Taandatud Ruutvõrrand 3) x +px+q = x1,2= -p + p2-q = (x-x1)(x-x2) 2 Viete i teoreem x1+x2=-p X1 . x2= q Tegurdamine 2 2 (a+b)(a-b) = a -b 2 Ax +bx = x(ax+b) (a+b)2 = (a+b) . (a+b) = a2+2ab+b2 Ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2) (a-b)2 = (a-b)
7 42 1 1 4 4 2 2 Vastus. Kuna kontrolli käigus selgus, et nii võrrandi vasaku kui ka 1 parema poole väärtuseks on 8 , siis on võrrandi lahendiks 2 7 3 x 1 . 4 4 algusesse eelmine slaid esitluse lõpp Ruutvõrrand Ruutvõrrandi üldkuju on ax 2 bx c 0 kus x on tundmatu ning a 0. Kui a 0, b 0, c 0, siis on tegu täieliku ruutvõrrandiga. Ruutvõrrandi ax 2 b c 0 lahendivalem on b b 2 4ac x1, 2 2a algusesse Ruutvõrrandi diskriminant Avaldist D = b2 - 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks.
1.5 RUUTVÕRRAND Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax2 + bx + c = 0, kus a 0. Kordajad a, b ja c on reaalarvud ning x tundmatu (otsitav). Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand. Ruutvõrrandi liikmeid nimetatakse järgmiselt: ax2 ruutliige, kus a on ruutliikme kordaja; bx lineaarliige, kus b on lineaarliikme kordaja; c vabaliige. Ruutvõrrandi lahendivalem on - b ± b 2 - 4ac x= () 2a Avaldist D = b2 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. · Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on 2 erinevat lahendit. · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit.
(Näide9) 10.(Näide 10) Lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus tundmatu esineb vaid esimeses astmes. Lineearvõrrandeid saab alati esitada kujul ax + b = 0, kus Ax2 on lineaarliige ja b on vabaliige, a on lineaarliikme kordaja. 11.Kui kahe avaldise vahel on võrratusmärk,siis sellist üleskirjutist nimetatakse võrratuseks. (Näide11) 12.Võrdust,mille mõlemal poolel on jagatis,nimetatakse võrdeks. Võrde välisliikmete korrutis võrdub tema siseliikmete korrutisega (Näide12) 13.ruutvõrrand on kus ax2 -ruutliige,bx-lineaarliige,c-vabaliige 2 Täielik ruutvõrrand on ax +bx+c=0 Mittetäielik ruutvõrrand on ax2+c=0 või ax2+bx=0 Taandatud ruutvõrrandi üldkuju on kus p ja q on konstandid. Taandatud ruutvõrrandi lahendid on Viète'i teoreemi järgi peavad lahendid rahuldama samasusi ja 14-23.(Näide 13-22) 24.Funktsiooni väärtus-y-väärtus Argument-x-väärtus Ordinaat-y-väärtus Abstsiss-x-väärtus 25-27.(Näide 23-25)
KORRUTAMISE ABIVALEMID (a+b)(a-b)=a²-b² - ruutude vahe valem (a+b)²=a²+2ab+b² - summa ruudu valem (a-b)²=a²-2ab+b² - vahe ruudu valem a³+b³=(a+b)(a² -ab+b²) - kuupide summa valem a³-b³=(a-b)(a² +ab+b²) - kuupide vahe valem (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ - summa kuubi valem (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ - vahe kuubi valem RUUTVÕRRAND x2 + px + q = 0 - taandatud ruutvõrand ; lahend ax2 + bx + c = 0 taandamata ruutvõrrand ; lahend x1 + x2 = -p ; x1 · x2 = q - viete valemid. Kus x1 ja x2 on taandatud ruutvõrrandi lahendid. ax2 + bx + c ( ruutkolmliikme lahutamine teguriteks) : ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2). x1 ja x2 ruutvõrrandi lahendid. DETERMINANDID = a ·d - c·b. = aei + cdh +bfg gec ahf dbi. TRIGONOMEETRIA PÕHISEOSED sin2 + cos2 = 1 1 + cot2 a = tan = tan a cot a =1 1+ tan2 a = TÄIENDUSNURGA VALEMID sin (90 - a) =cos a cos (90 - a) = sin a
a na 18. Jagatise juur n = n b b 19. Juure aste ( a ) = a n m n m 20. Juure juur m n a = mn a . 21. Astendaja 0 a 0 = 1 , kui a 0 -n 1 22. Negatiivne astendaja a = n a m 23. Murruline astendaja a n = n a m RUUTVÕRRAND 24. Taandatud ruutvõrrand x2 + px+q = 0. 2 p p 25. Võrrandi x2 + px + q = 0 lahend on valem x1; 2 = - ± -q . 2 2 26. Taandamata ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 , a 1 - b ± b 2 - 4ac 27
a na 18. Jagatise juur n = n b b 19. Juure aste ( a ) = a n m n m 20. Juure juur m n a = mn a . 21. Astendaja 0 a 0 = 1 , kui a 0 -n 1 22. Negatiivne astendaja a = n a m 23. Murruline astendaja a n = n a m RUUTVÕRRAND 24. Taandatud ruutvõrrand x2 + px+q = 0. 2 p p 25. Võrrandi x2 + px + q = 0 lahend on valem x1; 2 = - ± -q . 2 2 26. Taandamata ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 , a 1 - b ± b 2 - 4ac 27
Täisnurkne kolmnurk Püstprisma Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Korrapärane püramiid Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Silinder Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Koonus Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Kera Ruumala: Pindala: Korrutamise valemid (a+b)² = a² +2ab +b² (a-b)² = a² -2ab +b² (a+b)(a-b) = a² -b² (a+b)³ = a³ +3a²b +3ab² +b² (a-b)³ = a³ -3a²b +3ab² -b² (a-b)(a² +ab +b²) =a³ -b³ (a+b)(a² -ab +b²) =a³ +b³ Ruutvõrrand Intress
Ruutvõrrandid. Ruutvõrrandid esituvad kujul ax2 + bx + c = 0. Ruutvõrrandid jagunevad taandamata ja taandatud ruutvõrranditeks: Taandamata ruutvõrrand Taandatud ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0 x2 + px + q = 0 - b ± b 2 - 4ac 2 x1;2 = p p 2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud
Arvutuslikult: pH= -log[H+]= -log[HCl]= 0,05 2. lisan vette 1 cm3 2M CH3COOH, mille pH≈6 indikaatoriga määrates. −¿ CH 3 COO ¿ ¿ +¿ Arvutuslikult: H¿ , kuna tegu on nõrga elektrolüüdiga. Eelmisest võrrandist tuleb ¿ ¿ K CH COOH =¿ 3 lahendada ruutvõrrand, mida lahendades saan, et +¿ K 2 (¿ ¿ CH 3 COOH ) +0,04∗K CH COOH =8,45∗10−4 M 4 3 , järelikult ¿ K CH COOH H = 3 +√ ¿ 2 ¿ +¿¿ H pH=-log ¿ ¿ 3
Joonis 1. Sigrid Piiri sugupuu (autori koostatud). Kirjalike tööde vormistamise juures on eriti oluline, et ükski peatükk ei algaks ega lõppeks loetelude, viite, tabeli ega joonisega kõik peatükid algavad ja lõpevad autori enda sõnadega. Joonised ja tabelid joondatakse lehe keskele. 8 Tabel 2. Pereliikmete vanus (aasta) Allikas: Tartu MV Perekonnaseisuamet. 2011 2.2. Valemi koostamine Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand. Ühe tundmatuga ruutvõrrand on teisendatav kujule kus Ruutvõrrandi lahendid x1,2 on antud valemiga 1,2 = . Ruutvõrrand koosneb ruut, lineaar-ja vabaliikmest. 9 3. TÄNASE PRAKTIKUMI KASULIKKUS Autoril on üsna kesised teadmised tabelite, jooniste, valemite koostamiseks. Seega oli kirjaliku töö vormistamine kui ,,jalgratta leiutamine"
· kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist koosnevate võrrandisüsteemide ja lihtsamate ruutvõrrandisüsteemide lahendamine; · ühe tundmatuga lineaarvõrratuste süsteemide lahendamine; · tekstülesannete lahendamine võrrandi ja võrrandisüsteemi abil. Valemid b · Lineaarvõrrand ax + b = 0 x=- a · Ruutvõrrand 2 p p x + px + q = 0 x 1;2 = - ± - q 2 2 2 x 1 + x 2 = -p ja x 1 x 2 = q ( Viete´i valemid) - b ± b 2 - 4ac ax 2 + bx + c = 0 x 1;2 = 2a ax + bx + c = a ( x - x 1 )( x - x 2 ) ( ruutkolmliikme tegureiks lahutamine) 2
Matemaatika valemid VÕRRANDID JA VÕRRATUSED ruutvõrrand murdvõrrand nimetaja ei võrdu nulliga! vajadusel leian ühise nimetaja kontroll! juurvõrrand võtan mõlemad pooled ruutu trigonomeetriline võrrand - logaritm eksponentfunktsioon ja eksponentvõrrandid 1. eksponentvõrrand 2. eksponentvõrrand 3. kolmeliikmeline eksponentvõrrand ehk logaritmfunktsioon ja logaritmvõrrand logaritmfunktsioon: logaritmvõrrandite lahendusvõtted: 1. potentseerimine 2
nullkohtadeks. Pöördvõrdelise seose graafik on hüperbool. Sõltuvuse y = 3 : x graafiku harud paiknevad esimeses ja kolmandas koordinaatveerandis. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = a : x graafik ei läbi y-telge. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = 5 : x graafiku harud paiknevad teises ja neljandas koordinaatveerandis. Funktsiooni y = ax² + bx + c graafik on parabool. Ruurfunktsiooni y = 2x² + 3x 5 nullkohtade leidmiseks lahendatakse ruutvõrrand 2x² + 3x 5 = 0. Kui ruutvõrrandil pole lahendeid, siis graafik ei läbi ega puuduta x - telge. Kui ruutvõrrandil on kaks võrdset lahendit, siis paraboolil ja x-teljel on ühiseid punkte ainult üks.
3 +25= -25+25=0Vasak pool on võrdne parema poolega. Vastus: x= 5 ja x= 53 Lahendus b: x,= -2 ± 2² + 5 = -2 ± 9 = -2 ± 3 x= -2+3= 1 x= -2-3= -5 Kontroll: x, = 1 Vasak pool: 12 + 4 . 1 5 = 1 + 4 5 = 0. Parem pool on võrdne vasaku poolega. x, = 5 Vasak pool: ( 5)2 + 4 . ( 5) 5 = 25 20 5 = 0. Parem pool on võrdne vasaku poolega. Vastus: x= 1 ja x = 5 2. Lahenda parameetrit sisaldav ruutvõrrand. a) x2 8ax + 12 = 0 b) ax² b = ax
(a-b)2 = a2-2ab+b2 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) a2-b2 = (a+b)(a-b) a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (a+b)3 = a3+a2b+ab2+b3 (b-a) = -(a-b) 3. Võrrandid ja võrrandisüsteemid Lineaarvõrrand Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole. Näide: 2(x+2) + 3 = 5x -2 -> 2x + 4 + 3 = 5x 1 -> -3x = -9|:(-3) -> x=3 Ruutvõrrand Erinevad lahendusvõtted: ax2 +bx+c=0 1) Klassikaline lahendivalem 2) Taandatud võrrandi lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem (ruutliikme kordaja peab olema a=1) Ruutkolmliikme tegurdamine -> a(x-x1)(x-x2)=0 Näide: 2x2+5x-7=0 x1=1 x2=-3.5 2(x-1)(x+3,5)=0
ruutjuure märgi ees olevad mitu arvu tuleb omavahel korrutada (mitte liita); kui on liita-lahutada mitu ruutjuurt samast arvust, siis toimub see nagu sarnaste liidetavate koondamine ehk mitu neid kokku saab 10.Teguri viimine ruutjuure märgi alla - Ül.1315 positiivset arvu, mis seisab tegurina juuremärgi ees, võib viia ruutu tõstetult tegurina juuremärgi alla NB juuremärgi all tuleb saadud arvud omavahel korrutada või jagada 2 11.Ruutvõrrand - võrrand ax +bx+c=0, Ül.1321,1324 milles antud arvud a,b,c (a 0), tundmatu Määrata kordajad ja liikmed. 2 2 1)2x +5x+7=0 x; kordajad a,b,c; ruutliige ax ; lineaarliige kordajad a=2 b=5 c=7 bx; vabaliige c 2
tõusu ja punktiga y-y1=k(x-x1) Kahe sirge vastastikused asendid: paralleelsed A||B k1=k2 risti AB k1k2 = -1 s1+s2 = 0 nurk kahe sirge vahel tan Tõus: k=f'(x0)= tan k= Ringjoonevõrrand: (x-x0)+(y-y0)2= r2 A(x0y0)- keskpunkt Bernoull`i valem: Pn(x=k)=Cnk pk qn-k k-sobivad katsed n-katsete arv p-sündmuse esiletuleku tõenäosus q-vastand sündmuse tõenäosus Koonus: V= St= Sk= Ruutvõrrand x1,2= Silinder: V=Sp St=2 D0 2 erinevat lahendit Püramiid: V= S= Sk +Sp Sk=n D0 lahendid puuduvad Prisma: V=Sp S=PpõhiH D=0 2 sama lahendit Kera: V= S=4 D= x1 f xi- (xi-)2 (xi-)f Paarisfunktsioon: f(-x)=f(x) Paaritufunktsioon: f(-x)=-f(x) Tuletis: ()´= (logax)´= (lnx)`= (sinx)´=cosx (cosx)`=-sinx (tanx)`= Hajuvuskarakteristik:
5. Trapetsi kesklõik, ümbermõõt ja pindala. · Lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks. · Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alusega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega (poolsummaga). · Trapetsi pindala võrdub kesklõigu ja trapetsi kõrguse korrutisega. S=kh P= a+b+c+d (ümbermõõt) S=k×h (pindala) 6. Ruutvõrrand · · · · · Täielik Mittetäielik -puudub lineaarliige -puudub vabaliige -puudub lineaar ja vabaliige Taandatud Normaalkujul
Üldkuju: x2 + px + q = 0 Lahendivalem: 2 p p x=- ± -q 2 2 Lahendamine: Teisendada normaalkujule 2 x + 8x + 7 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit 2 8 8 x = - ± - 7 = -4 ± 9 = -4 ± 3 2 2 x1 = -1 x2 = -7 Lahendite õigsust saab kontrollida Viete'i teoreemiga Viete'i teoreem: x1 + x2 = -p x1 · x2 = q b) täielik taandamata ruutvõrrand Üldkuju: ax2 + bx + c = 0 Lahendivalem: - b ± b 2 - 4ac x= 2a Lahendamine: Teisendada normaalkujule 3x2 8x 3 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit - 8 ± 8 2 - 4 3 ( - 3) - 8 ± 100 - 8 ± 10 x= = = 23 6 6 1 x1 = x2 = -3 3
Näide: 6. Ratsionaalavaldise lihtsustamine - Tehete järjekord 6. Murdvõrrandi lahendamine 1. Viiakse kõik liikmed vasakule poole ja võrdsustatakse nulliga. 2. Tegurdatakse nimetajad. 3. Leitakse ühise nimetaja ja korrutatakse mõlemad võrrandi pooled läbi ühise nimetajaga. 4. Selgitatakse välja mis kindlasti lahendiks ei sobi. (Nimetaja ei saa võrduda nulliga.) 5. Leitakse laiendajad. 6. Lahendatakse saadud ruutvõrrand või lineaarvõrrand. 7. Võrreldakse saaduid ruutvõrrandi lahendeid ühise nimetajaga. 8. Kontroll esialgse võrrandi järgi. 9. Vormistatakse vastus.
· ( a )2 = a · b2 a = b a ja c a = c 2 a Kõik need reeglid on rakendatavad ka vastupidises suunas. Ruutvõrrand Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit ax2 + bx + c = 0, milles a, b ja c on mingid arvud (a 0) ja x on muutuja. ax2 + bx + c = 0 ruutliige
· ( a )2 = a · b 2 a = b a ja c a = c 2 a Kõik need reeglid on rakendatavad ka vastupidises suunas. Ruutvõrrand Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit ax2 + bx + c = 0, milles a, b ja c on mingid arvud (a 0) ja x on muutuja. ax2 + bx + c = 0 ruutliige
Eksponentvõrrandid järgmine slaid esitluse lõpp Eksponentvõrrandi definitsioon Eksponentvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb astendajas. Näiteks võrrand 4 3 + 8 0,1 - 4 = 0 on eksponentvõrrand. x x Võrrand 2 x 2 - 4 = 0 ei ole eksponentvõrrand (on ruutvõrrand). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Eksponentvõrrandi lahendamine Eksponentvõrrandi lahendamiseks puuduvad üldised võtted, seetõttu vaatleme mõningaid erivõtteid. 1. Võrrandi viimine ühe ja sama alusega astmete võrdusele. Lahendamiseks kasutatakse järgnevate võrrandite samaväärsust: a f ( x) = a g ( x) f ( x) = g ( x), a > 0, a 0. Näide
TEHTED ALGEBRALISTE MURDUDEGA TEGURDAMINE - esita hulkliige korrutisena I ühise teguri sulu ette toomine 2a + 6abc = 2a(1 + 3bc) NB! „ -1” ette: a -1 = - (-a + 1)= -(1 – a); -a – 1= - (a + 1); a + 1= - (-a – 1) II valemid: 1. a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) 2. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (-a - b) 2 3. a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 = (b - a) 2 III rühmitamine IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või – märke) 2 – a = ( 2 – a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla
TEHTED ALGEBRALISTE MURDUDEGA TEGURDAMINE - esita hulkliige korrutisena I ühise teguri sulu ette toomine 2a + 6abc = 2a(1 + 3bc) NB! ,, -1" ette: a -1 = - (-a + 1)= -(1 a); -a 1= - (a + 1); a + 1= - (-a 1) II valemid: 1. a 2 b 2 = (a b)(a + b) 2. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (-a - b) 2 3. a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 = (b - a) 2 III rühmitamine IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või märke) 2 a = ( 2 a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla
x = - , kui a 0 ; a murru lugeja on null ja nimetaja ei ole null. lahend puudub, kui a = 0 ja b 0 ; lahendeid on lõpmata palju, kui a = 0 ja b = 0 . L L= 0 = 0 N N 0 Ruutvõrrand Juurvõrrand - võrrand, milles tundmatu esineb juuritavas. Taandamata ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 , a 0 Võrrandi mõlemaid pooli tuleb astendada - b ± b 2 - 4ac (sobivalt valitud) ühe ja sama x1, 2 = naturaalarvulise astendajaga.
2 2 Näide 11 x2 + 8x + 7 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit 2 8 8 x 7 4 9 4 3 2 2 x1 = -1 x2 = -7 Lahendite õigsust saab kontrollida Viete’i teoreemiga Viete`i teoreem: Võrrandi x px q 0 korral x1 x 2 p ja x1 x 2 q . 2 b) täielik taandamata ruutvõrrand Üldkuju: ax2 + bx + c = 0 Lahendivalem: b b 2 4ac x 2a Avaldist D b 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. 2 Kui D 0, siis võrrandil on kaks erinevat lahendit. Kui D 0, siis võrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui D = 0, siis võrrandil on kaks võrdset lahendit. Näide 12 Lahendamine:
Kulufunktsioon = fikseeritud kulud + muutuvkulud: C(q)=Cf+Cvq, Tulufunktsioon=nõutav kogus*hind: R(q)=q*p, Kasumifunktsioon=tulufunktsioon-kulufunktsioon: P(q)=R(q)-C(q), Lineaarne nõudlusfunktsioon: P(qastmel d)=b+aq astmel d Lineaarne pakkumisfunktsioon: P(q astmel S)=b+aq astmel S, Tasakaalu tingimus: nõudlusf=pakkumisf, Tulufunktsioon: R=aq ruudus+p0q, Tulufunktsiooni graafiku tipp: q=-p0/2a, Kasumifunktsioon: P=aq ruudus+(p0-cv)q-Cf, Kasumi maksimum: q=cv-p0/2a Ruutvõrrand: Kaupluse hinnakujundus: Sisseostuhind Sh +soetamiskulud (trantsport+rent) Sk =Omahind(soetamishind) OH=Sh+Sk +kasum(nt 15%omahinnast) P =jaehind (netohind, hind ilma käibemaksuta) Jh=Oh+P +käibemaks (eestis 20%) Km =müügihind(lõpphind, brutohind) Mh=Jh+Km Palgaarvestus: Neto=bruto-tulumaks-pensionikindlustus-töötukindlustus NT=Bt-TM-Pk-Tk Tulumaks=(Bruto-maksuvaba-pensionikindlustus-töötuskindlustus)xTm määr TM=(Bt-Mv-Pk-Tk)xTm määr
ühikmaatriksiks. Tähis E. Ruutmaatriksit nimetatakse diagonaalmaatriksiks, kui selle maatriksi kõik väljaspool peadiagonaali paiknevad elemandeid on võrdsed nulliga. Sellist diagonaalmaatriksit, mille kõik peadiagonaali piknevad elemendid on võrdsed nimetatakse skalaarmaatriksiks. Ruutmaatriksit nimetatakse involutiivseks maatriksiks, kui on rahuldatud tingimus, et pöördmaatriks võrdub algmaatriksiga. Ruutmaatriks on idempotentne, kui A^2=A, see on ruutvõrrand millel on lõpmata palju lahendeid. Ruutmaatsiksit nimetakase sümmeetriliseks, kui on rahuldatud tingimus, et transponeeritud maatriks on võrdne algmaatriksiga... st on peadiagonaali suhtes sümmeetriline. Ruutmaatriksit nimetatakse kaldsümmeetriliseks, kui on täidetud tingimus, et pöördmaatriks võrdub transponeeritud maatriksiga. Ruutmaatriksit nimetatakse nilpotentseks, kui on täidetud tingimus, et maatriks astmel n võrdub nullmaatriksiga. Arv n on
6 3 6 1 7 5 7 3 8 2 8 2 9 1 9 4 NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. moodul ruutvõrrand Ruutvõrrandi lahendamine a 9 b 1 c 0 VBA x1 -0,9583333 -0,1111111 lahenda ruutvõrrand x2 -0,2916667 0 d -57,9375 1 graafik x y -5 5,25 -4,5 5,25
Sirglõiku tähistatakse kas otspunktide märkimisega AB või ühe tähega a. Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. Mediaan on variatsioonirea keskmine liige. On ka kolmnurga. tippu vastasküljega keskpunktiga ühendav lõik. Naturaalarv on sõltuvalt kontekstist kas üks arvudest 1, 2, 3, ... ( ) või üks arvudest 0, 1, 2, 3, ... ( ). Kõikide naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga . Normaalkujuline ruutvõrrand on võrrand, kus on lineaarliige, ruutliige ja vabaliige. Nt. 2x² + 5x 6 = 0 Nullkoht on argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on 0. (ehk siis x väärtus, mille korral y=0) Nurk on geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt koos tasandi osaga, mis jääb nende kiirte vahele. Paarisarv on täisarv, mis jagub kahega. Nt. (0), 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
Kompleksarvud · Kui vaatleme ruutvõrrandit x2+1=0 siis selline ruutvõrrand ei ole lahendatav. Kui aga eeldame, et arvu i olemasolu, mille korral i2 =-1 x2=1 x=+- 1. · olgu hulk C kõigi selliste (2*2) ruutmaatriksite hulk, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ja kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud. · Def1: Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja kui selle hulga mistahes kahe elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub uuesti selle sama hulga elemendiks, siis
Võrrandid Võrrandi mõiste Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Näited Ruutvõrrand: x2 2x 1 0 Trigonomeetriline võrrand: sin t cos 2t 1 Eksponentvõrrand x suhtes: e 2 x e 2 x 2a 1 lineaarne võrrand a suhtes: Juurvõrrand x ja y suhtes: x y x 2 2 xy Logaritmvõrrand: log u (2u u 2 ) 3 Võrrandi lahend Tundmatu (muutuja, otsitava) väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks, nimetatakse võrrandi lahendiks ehk juureks. Näide Võrrandi 2x 3 0 3
a>0 a<0 P=4a; S= a2 d =a 2 a a Ruutvõrrand Ruutkolmliikme tegurdamine Ristkülik 2 a ax 2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x1 = 0, x2 = - ba ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2) P = 2 (a + b)
(a-b)³ = a³ -3a²b +3ab² -b3 S = p ( p - a )( p - b)( p - c) sin( + ) = sin cos + cos sin (a-b)(a² +ab +b²) =a³ -b³ S = pr (a+b)(a² -ab +b²) =a³ +b³ sin( - ) = sin cos - cos sin abc Ruutvõrrand = cos( + ) = cos cos - sin sin S 4R ax 2 + bx + c = 0 cos( - ) = cos cos + sin sin d = ( x 2 - x1 ) + ( y 2 - y1 )
a>0 a<0 P=4a; S= a2 d =a 2 a a Ruutvõrrand Ruutkolmliikme tegurdamine Ristkülik 2 a ax 2 + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = − ba ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2) P = 2 (a + b)
3 3 3 3 3 2 3 3 2 a - b = ( a ) - ( b ) = ( a - b ) ( a + ab + b ) 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 2 a a + b b = ( a ) + ( b ) = ( a + b ) ( a - ab + b ) 3 3 a a - b b = ( a ) - ( b ) = ( a - b ) ( a + ab + b ) 3 3 2.5 Ruutvõrrand Mittetäielikud ruutvõrrandid c ax 2 + c = 0 x1, 2 = ± - ( a 0) a b ax 2 + bx = 0 x1 = 0, x2 = - ( a 0 ) a Täielikud ruutvõrrandid -b ± b 2 - 4ac ax 2 + bx + c = 0 x1,2 =
nullist erineva kordaja k korral. Vektorid on lineaarselt sõltuvad, kui vähemalt ühte neist on võimalik avaldada ülejäänute kaudu ( ülejäänute lineaarkombinatsiooni kaudu). Def2 Öeldakse, et vektorid E1, E2, ..., En on lineaarselt sõltumatud kui võrdus kehtib ainult sel juhul, kui kõik kordajad on samaaegselt nullid 1 = 2 = .... = n = 0 Vektorite lineaarne sõltumatus tähendab seda, et ükski vektoritest ei ole avaldatav ülejäänute kaudu. Ruutvõrrand b>0 : x, y = sama märgiga b<0 : x, y = erineva märgiga b=0 : x = ± a2 + b2 + a /2 y = ± a2 + b2 - a /2 KONTROLL!
Graafika MS Office joonestusvahendid J usvahendid Kujude lisamine Võrgu määramine Põhitegevused kujunditega Grupeerimine ja degrupeerimine Kujundite paljundamine Jooned Vabakäejoon Baaskujundid Kihid Pööramine Peegeldamine Joondamine Jaotamine Tekstikastid Tekstikasti sidumine lahtriga Harjutus. Kujundite skeemid Joonistamine VBA abil Ülesanne omal valikul Konnektorid Inimene Harjutus. Word'i dokument Harjutus. Pangaautomat. PIN-koodi kontroll Tegevusskeemide näited. Ruutvõrrand, arvu arvamine Objektide lisamine, redigeerimine ja vormindamine Jooniste ja skeemide tegemiseks on peamisteks vahenditeks süsteemis olevad erinevate graafiliste kujundite (Shapes) malllid: sirgjoone lõik, kõverjoon, nooled, ristkülik, kaar, ovaal, hulknurk jm. ning failidest imporditavad pildid (Pictures) png, gif, jpeg jm vormingutes. Nendega saab täita mitmesuguseid tegevusi: mõõtmete muutmine, teisaldamine, kopeerimine, pööramine, grupeerimine, vormindamine (värvuste ja mustrite
1) ruutvõrrandi lahendamist käsitletakse enne ruutfunktsiooni tundmaõppimist; 2) ruutfunktsiooni graafiku konstrueerimine on seotud vastava ruutvõrrandi lahendamisega; 3) ruutfunktsiooni käsitletakse enne vastavat võrrandit. 10 Kuna olen juba aastaid kasutanud teist varianti, siis pakun välja võimaliku teemade käsitlemise järjekorra: 1. Funktsioon y = ax2. 2. Ruutfunktsioon y = ax2 + c. 3. Ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0. 4. Ruutfunktsioon y = ax2 + bx. 5. Ruutvõrrand ax2 + bx = 0. 6. Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c. 7. Ruutvõrrandi graafiline lahendamine. Teema ,,Funktsioon y = ax2" juurde soovitan minna praktiliste ülesannete kaudu. Leiame sõltuvuse kuubi külje pikkuse a ja kuubi pindala S vahel (kuubi serva pikkuse ja vastava pindala märgime tabelisse), ringi raadiuse r ja pindala S vahel vms. Need sõltuvused esituvad valemina S = 6a2 ja S = r2
Vaba käega saab juba parabooli joonistada, kuid täpsema joonise saamiseks võiksime veel ühe parabooli punkti arvutada. Selleks anname näiteks x-le väärtuse x = 1 ning võrrandist arvutades saame (1 - 2)2 = -4y - 12, y = -3,25. Seda punkti võib parabooli sümmetriatelje suhtes peegeldada ning nii saame joonele teisegi punkti. Samas võib anda ka y-le vabalt väärtuse ning võrrandist x-i avaldada, sel juhul saame kohe kätte kaks punkti (tekib ruutvõrrand), mis on parabooli sümmeetriatelje sühtes sümmeetrilised. 6 PARABOOL Näide 3 Skitseerime parabooli, mille haripunkt asub punktis (4; -2) ja fookus asub punktis (3; - 2). Lisaks haripunkti teadmisele tuleb teada, kuhu poole parabool avaneb. Antud juhul paneb selle paika fookus - parabool avaneb alati fookuse poole. Kui joonise täpsus pole kõige
67)Millise parameetri a korral on võrrandi 5(10 - a ) x 2 -10 x + 6 - a = 0 mõlemad lahendid suuremad , kui 1 ? 5 3 68)Millise t korral on võrrandi = lahendid negatiivsed ? 2 x - t 4 - tx 6 x -1 3 x 69)Millise n korral on võrrandi = - lahend x>-2. n -2 n+2 n+2 70)Koosta ruutvõrrand mille lahendid on a) (7; -5) b) (0,5; -0,25) c) (a + 3b; 3a + b) d) (2a; -2b) 71)Millisel tingimusel on kolmliige ( a - b ) x 2 - ( a + b ) x + a - b kaksliikme ruut ? ( 72) Lahenda võrrand 2 x 2 - 3 x + 2 ) -1 ( - x 2 - 4x + 3) -1 =0 (4)
17. Sirge s läbib punkte A(1; 2; -3) ja B(0; -1; 1). Sirge t läbib punkti C(-1; 0; 1) ning sihivektoriks on a = (1; 0; 4). Koosta sirgete s ja t võrrandid ning tee kindlaks sirgete vastastikune asedn. 18. Lihtsusta ( sin + cos - 1)( sin + cos + 1) 4( sin 30° - sin 45° sin )( cos 60° + cos 45° cos tan ) 19. Aritmeetilise jada neljanda, kaheksanda, kaheteistkümnenda ja kuueteistkümnenda liikme summa on 500. Leia esimese 19 liikme summa. 20. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid oleksid kolme võrra väiksemad ruutvõrrandi x 2 - 4 x - b 2 - 2b + 3 = 0 lahenditest. 21. Olgu r ringi raadius. Avalda ringi segmendi pindala, kui segmendi alus on r 3 ja kõrgus r/2. Tee joonis. 22. Tõesta võrratus cos2x + 2sinx < 1,5 23. Lahenda võrrand 10 log ( x ) =4 2 +x -8 24. Komplektis on 4 standardset ja 2 mittestandardset lampi. Võetakse juhuslikult 2 lampi.
annaabi.ee 
