Null perioodilise kümnendmurru perioodina Perioodi null võib jätta kirjutamata. Näited : 2 1) = 0,4000... = 0,4(0) = 0,4; 5 48 2) = 0,0768000... = 0,0768(0) = 0,0768; 625 Järeldus : Ei ole õige kirjutada = 3,14, kuna 3,14 = 3,14(0) 3,14159... Õige on: 3,14, või = 3,14... . Perioodilise kümnendmurru teisendamine harilikuks murruks geomeetrilise rea abil Iga perioodiline kümnendmurd on vaadeldav perioodi ees seisva lõpliku kümnendmurru ja lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summana. See asjaolu võimaldab teisendada perioodilist kümnendmurdu harilikuks murruks. 7 7 7 Näide: 0, (7) = 0,777... = + + + ... = 10 100 1000 7 1 1 2 1
Ülesanded harilike ja kümnendmurdude kohta I Leidke avaldiste täpsed väärtused hariliku murruna 7 1. 7 20 13 2. 8 14 7 3. 7 12 15 4. 1 26 7 5. 3 16 5 6. 5 8 79 7. 1 144 II Teisenda kümnendmurd harilikuks murruks 1 1. 2 1 2. 4 1 3. 8 3 4. 4 33 5. 1 50 27 6. 40 1 7. 2 125 III Teisenda harilik murd kümnendmurruks. 1. 2,5 2. 0,32 3. 0,(1) 4. -2,(923076) IV Teisenda perioodiline kümnendmurd harilikuks murruks 1 1. 9 134 2. 5
Osa leidmine tervikust I võimalus: Terviku leidmiseks antud protsendi järgi leiame 1% sellest tervikust ja tulemuse korrutame 100-ga. II võimalus: Terviku leidmiseks antud protsendi järgi tuleb protsendid teisenda murruks ja seejärel jagada antud osa suurus selle murruga. Terve leidmine osa järgi Lattu veeti sügisel 420 tonni kartuleid ja neist oli kevadeks mädanenud 33%. Ülejäänud kartulid õnnetus omanikul maha müüa. Mitu kilogrammi kartuleid müüdi? 420= 100% X= 33% X= 420*33/100=138,6t V; 138,6tonni kartuleid müüdi. Mitu protsenti moodustab üks arv teisest Leiame arvu, millest 34% on 77. Kui tervik jagada sajaks võrdseks osaks, siis iga osa on üks protsent tervikust.
Selleks, et leida protsenti protsendimäära järgi, tuleb Selleks, et leida mitu protsenti arvust, tuleb: 1. teisendada protsent moodustab üks arv teisest, tuleb: Selleks, et leida muutumine protsentides, 1. teisendada protsent kümnendmurruks või harilikuks 1. jagada esimene arv teisega tuleb: kümnendmurruks või murruks 2. saadud jagatis korrutada 1. leida kui palju arv muutus harilikuks murruks 2. jagada antud osa arvust saadud 100-ga ja järele kirjutada (lahutada) 2. korruta antud arv murruga protsendimärk 2. jagada arvu muut esialgse arvuga
2. 2 7 2 2 1 7 3 1 7 1 2 3. 4 19 7 3 7 3 19 11 1 1 1 4. 12 20 26 26 5 1 1 5 5 7 5. 4 4 3 6 4 3 15 3 6. 1 3 1 3 8 2 2 4 : 21 4 2 7 3 2 1 5 7. 6 : 6 2 3 4 5 12 24 II Teisenda kümnendmurd harilikuks murruks 1) 0,5 2) 0,25 3) 0,125 4) 0,75 5) 1,66 6) 0,675 7) 2,008 III Teisenda harilik murd või segaarv kümnendmurruks. 5 1) 2 8 2) 25 1 3) 9 12 4) 2 13 IV Teisenda perioodiline kümnendmurd harilikuks murruks 1) 0,(1) 2) -5,8(12) 3) 2,(3) 4) 4,0(125) V Leia avaldise täpne väärtus 13 8 4 1 3 53 1
9) Leidub naturaalarve, mis pole ratsionaalarvud. 10) Kõik täisarvud on naturaalarvud. 2. Kujuta ühel ja samal arvteljel hulgad A = [-3; 2] ja B = [-1; 4]. Leia hulgad AB ja AB. 3. Kujuta piirkonnad arvteljel ning kirjuta juurde nimetused. 1) 1 x 4 5) x < 3 2) 3 < x 2 6) x -2 3) x < 5 7) x 1 4) x > 0 8) -1 < x < 3 4. Teisenda harilikuks murruks. 1) 2,3(56) 2) 0,(201) 3) 1,(23) 5. Missugused järgmistest lausetest on tõesed ja missugused väärad? 1) 0,8 Q; 4) Z I; 2) 1,7 I; 5) Q I = Z; 3) 4 Z; 6) Z I = R. 6. Soorita tehted. 2 + 3i 2 - 3i 1) (2 + 3i)2 (2 3i)2; 3) + ; 5) (1 i)4;
Harilikud murrud Eveli Sarap 12a Tallinna Laagna Gümnaasium 2013 Mõiste Harilikuks murruks nimetatakse arvu, kus a on murru lugeja ja b on murru nimetaja ning neid eraldav horisontaallõik on murrujoon. a b Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu osa sellest on võetud. lugeja (näitab mitu osa on võetud) osaks on tervik jaotatud) 3 murrujoon (võib vaadata jagamismärgina) nimetaja (näitab mitmeks võrdseks
Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse.
am·an=am+n
37·311=37+11=318
(-4)5·(-4)7=(-4)5+7=(-4)12=412
Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse.
Murrujoonel on jagamismärgi tähendus.
am:an=am-n ehk. = am-n
75:72=75-2=73
Astme astendamine
Astme astendamisel astendajad korrutatakse.
(am)n=am·n
(23)4=23·4=212
-82= -64
(2x3)4= 24·(x3)4=16x12
(-32·x3·y4)6=312·x18·y24
Negatiivne astendaja
Kui arv ei ole murruna, siis tehakse see murruks ja vahetatakse lugeja ja nimetaja
ning arv läheb positiivseks.
Üksliikme korrutamine ja jagamine
Üksliikme korrutamisel arvutatakse enne numbrid ja seejärel tähed.
4xy2·(-3x2y4z)=4·(-3)·(x·x2)·(y2·y4)·z= -12x3
Üksliikmed
Üksliikme jagamisel arvutatakse enne numbrid ja seejärel tähed.
Arvu standardkuju
x=a·10n 1
ja mida tuleb leida. 2) Parema ülevaate saamiseks oleks hea teha ülesande andmete põhjal joonis ning meeles tuleks pidada, et 1 tervik on 100% ! 3) Seejärel tuleb koostada lahendusplaan ning ülesanne lahendada. Osa leidmine tervikust I võimalus: Terviku leidmiseks antud protsendi järgi leiame 1% sellest tervikust ja tulemuse korrutame 100-ga. II võimalus: Terviku leidmiseks antud protsendi järgi tuleb protsendid teisenda murruks ja seejärel jagada antud osa suurus selle murruga. Ülesanne 1 Kümnenendal klassil toimus õppeekskursioon Tallinna elektrijaama. Klassis on 35 õpilast, neist kohal oli ainult 40%. Õpetaja oli maru vihane ning otsustas kokku lugeda mitu õpilast kohal oli. = 14 Vastus: Õppeekskursioonil viibis kohal ainlt 14 õpilast . Terviku leidmine osa järgi Terviku leidmist tema protsentides antud osa järgi saab arvutada kahel moel: 1) arvutan esiteks 1% väärtuse
, kes kasutab Charlie't tema kurjaks meisterplaaniks. Roosa peatamiseks on vaja, et Jack ja Charlie ühendavad oma jõud Esme, tüdruk supervõimetega, kes treenis end ise, koolitatud sünnist saati, et võidelda Roosaga. Aeg kipub neil otsa saama, sest Charlie langeb aina sügavamale roosa pime nimekirja. Roosk haihtub koos Charlie'ga, kuhu järgnevad Jack ja Esme Londoni tänavatelt põrgusse päris ise. Põrgusse saab vanast baarist ja seda kohta kus toimub põrgusse minek nimetatakse murruks, mis on nagu sädelev punane lõik. Lõpuks on Charlie täiesti Roosa mõju all ja ei taha enam päris maailma tagasi minna. Nad mõlemad tapavad imperaatori põrgu valitseja ja siis hakkab põrgut valitsema Charlie. Roosk üritab lahti päästa draakonit. Ta saab selle tehtud, kuid ta tapetakse Charlie, Jack'i ja Esme poolt. Lõpuks tuleb ka Charlie maale tagasi, aga enne seda tehti talle ettepanek, et kas mõned deemonid võiksid käia maapeal ka
Kui periood algab kohe peale koma, on see puhtperioodiline murd, nt. = 0,(2) 9 5 Kui periood ei alga kohe peale koma, on see segaperioodiline murd, nt. = 12 0,41(6) Perioodilise kümnendmurru saab teisendada harilikuks murruks. Puhtperioodilise murru korral paneme perioodis oleva arvu lugejasse ning nimetajasse paneme nii mitu üheksat kui mitu arvu on perioodis. Üks kõik millise murru korral paneme koma taga oleva arvu lugejasse ja lahutame sellest mitteperioodis oleva arvu. Nimetajasse paneme üheksa ja nii mitu nulli kui on mitteperioodis olevaid numbreid, -1 null. Ratsionaalarvude hulk Q Täisarvude hulga ja murdarvude hulga ühend on ratsionaalarvude hulk (v.a. mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud).
Algebraliste murrud © T. Lepikult, 2010 Algebraliste murdude korrutamine Kahe algebralise avaldise jagatist nimetatakse algebraliseks murruks. Tehteid algebraliste murdudega sooritatakse nagu harilike murdudega: Kahe murru korrutiseks on murd, mille lugejaks on teguriteks olevate murdude lugejate korrutis, ja nimetajaks on teguriteks olevate murdude nimetajate korrutis: a c ac b d bd Näide x y 3x z ( x y ) (3x z ) . 3a y 5 x 5 x (3a y )
selle avaldise täpse väärtuse arvutamist, siis tuleb reeglina teisendada kümnendmurrud harilikeks murdudeks. Kui tehte mõlemad liikmed on kümnendmurrud, siis võib selle tehte sooritada ka kümnendmurdudega. Näide 1 3 Arvutame avaldise 1 + 0,45 täpse väärtuse. 8 9 Lahendus 45 9 1) teisendame kümnendmurru 0,45 harilikuks murruks: 0,45 = = . 100 20 2) teostame liitmistehte 20 3 5 9 2 15 + 18 33 1 + 0,45 = 1 + = 1 + + = 1 + 3 3 9 3 9 + =1 =1 8 8 20 8 20 8 5 20 2 40 40
, , 100 1000 10000 Mõned tähtsamad teisendused jäta meelde. 1 0,1 = 10 1 0,2 = 5 1 0,25 = 4 1 0,5 = 2 3 0,75 = 4 Kui kümnendmurd on 1-st suurem, siis saab seda teisendada segaarvuks. Seda saab teha kahte moodi. Näide: 79 79 4,79 = 4 + 0,79 = 4 + =4 100 100 479 79 4,79 = =4 100 100 Ülesanne · Teisenda harilikuks murruks: 1) 4,21 2) 4,75 3) 0,125 · Teisenda kümnendmurrud harilikeks murdudeks ja seejärel liida või lahuta: 429 2 1) - 0,129 2) 2,6 + 1000 15 10. Harilike murdude teisendamine kümnendmurdudeks Kuna harilik murd on jagatis, tuleb selle murru teisendamisel kümnendmurruks jagada lugeja nimetajaga. 7 Näide: = 7 : 5 = 1,4 5
Tehted harilike murdudega © T. Lepikult, 2010 Hariliku murru mõiste Harilikuks murruks nimetatakse kahe naturaalarvu a ja b jagatist kujul a , b kus b 0. murru lugeja a Harilik murd: murrujoon b murru nimetaja Murrujoonel on jagamismärgi tähendus. Horisontaaljoone asemel kasutatakse murrujoonena ka kaldkriipsu. 1
Tugev valu. Jalg ei liigu normaalselt, või ei saa üldse liigutada. Paranemine võib võtta aega umbes 2 kuud kuni pool aastat. Kinnise luumurru korral ei ole trauma ilmselgelt nii tõsine kui lahtise korra. Nahk luumurru kohal on terve. Siiski on jäsemes tugev valu ning murru koht läheb paiste. Kinnise luumurru paranemisaeg jääb umbes kahe nädala kuni ühe kuu vahele. Luumurde võib liigitada ka veel stabiilseks ja ebastabiilseks murruks. Stabiilse murru korral ei liigu murdunud luu osad, kuna tegemist on osalise murruga või luuotsad on üksteise sisse surutud. Sellised vigastused esinevad tavaliselt randme-, õla-, hüppeliigestes või puusaliigestes. Tavaliselt võib neid õrnalt käsitleda ilma vigastust süvendamata. Ebastabiilse luumurru korral liiguvad murdunud luu otsad kergesti õigest asendist välja. Selle tulemusena tekib oht, et need võivad vigastada veresooni, närve ja elundeid.
Raba läänepoolses osas asuvas Reonda küla ümbruses on mitmeid murru-lõpulisi kohanimesid: Tagamurru, Mikumurru, Mesimurru, Matsimurru, Oinamurru jt. Nimed on seotud siinkandis kasutatud omapärase aletamisviisiga: “ ... oja kaldamail otsiti valgelepik, raiuti see karusekuus ( 15. juuli - 15. august ) rinnakõrguselt maha ja jäeti siis aastaks seisma. Selle ajaga mädanesid lepad niivõrd, et maharaiumisega sai algust teha. Sellist raadamisviisi nimetati murruks. Et valge lepp kasvab viljakal pinnasel ja raiumisaeg oli valitud selline, et puu ei annaks juurevõsusid, peegeldab see kohalike inimeste head loodusetundmist. ” ( Kristian jt, 2011, lk 42 ). Ka mitmed metsavahikohad raba ümbruses väärtustavad ja mäletavad möödunut: Rukkimäe, Aaso ja Tipassilla. 12 6. MUKRI OOTAB MATKAJAID Mukri õpperajale saab minna kolmest kohast: mõlemalt poolt raja otsast ja ka vaatetorni juurest
Segaarv on naturaalarvu ja lihtmurru summa. Iga segaarv saab väljendada liigmurruna. Kümnendmurd murd, mis on kirjutatud koma abil, kus esimene number pärast koma tähendab kümnendikke, teine sajandikke, jne. Iga ratsionaalarvu saab esitada kümnendmurruna, kui jagada lugeja nimetajaga. Siin esineb kaks erinevat olukorda. NÄIDE: Avaldame lõpmatu perioodilise kümnendmurru 1,2(43) kahe täisarvu jagatisena. Lõpmatu perioodilise kümnendmurru teisendamisel harilikuks murruks: 1. Tähistame arvu tähega x; 2. Korrutame arvu 10; 100; 1000 jne, et koma läheks perioodi lõppu; 3. Siis korrutame arvu 1; 10; 100; 1000 jne, et koma läheks perioodi ette; 4. Lahutame tulemused; 5. Jagame mõlemad pooled läbi x ees oleva arvuga. Lahendus: tähistame x= 1,2(43) 1000x=1243,4343... _ 10x= 12,4343... 990x= 1231 X= 1231 = 1 241
Tugev valu. Jalg ei liigu normaalselt, või ei saa üldse liigutada. Paranemine võib võtta aega umbes 2 kuud kuni pool aastat. Kinnise luumurru korral ei ole trauma ilmselgelt nii tõsine kui lahtise korra. Nahk luumurru kohal on terve. Siiski on jäsemes tugev valu ning murru koht läheb paiste. Kinnise luumurru paranemisaeg jääb umbes kahe nädala kuni ühe kuu vahele. Luumurde võib liigitada ka veel stabiilseks ja ebastabiilseks murruks. Stabiilse murru korral ei liigu murdunud luu osad, kuna tegemist on osalise murruga või luuotsad on üksteise sisse surutud. Sellised vigastused esinevad tavaliselt randme-, õla-, hüppeliigestes või puusaliigestes. Tavaliselt võib neid õrnalt käsitleda ilma vigastust süvendamata. Ebastabiilse luumurru korral liiguvad murdunud luu otsad kergesti õigest asendist välja. Selle tulemusena tekib oht, et need võivad vigastada veresooni, närve ja elundeid.
1. lõik -3-st 8-ni 4. x 6,1 või x > 10 2. 2 < x < 10 5. x 7 3. - 3 x < 4,5 6. lõpmatu poolvahemik: 4-st suuremad arvud. 2. Leia joonise abil hulkade A =]2;7[ ja B =[3;9] ühisosa. 3. Leia joonise abil hulkade A =]-7;-2] ja B = [ - 5;5] ühend. 4. Kanna arvteljele hulk A = R [ - 3;6[ ja esita märgi abil. 5. Teisenda kümnendmurd harilikuks murruks: 1. 0, ( 9 ) 2. 3,1(31) 2 6. Talu maast 20% on metsa all ja metsavabast maast on põllumaa. Kogu ülejäänud maa (32 ha) on 3 heinamaa. Kui palju on talul maad ja mitu hektarit sellest on metsa all? 7. Leiva hind oli 6 krooni, seda tõsteti enne jõule 20% ja uuel aastal veel 50% võrra. Kui suur oli leiva hind uuel aastal (peale teistkordset hinnatõusu)
1.14 Astme mõiste üldistamine 1.15 Tehted astmete ja juurtega Avaldised 2.1 Ratsionaalavaldised · Ratsionaal on avaldis, milles võivad esineda muutujate ja/või arvude +, -, korrutamine, jagamine ning astendamine · Kui avaldis ei sisalda muutujaid jagajas, siis nimetatakse seda täisavaldiseks, vastasel juhul on tegemist murdavaldisega · Avaldist kujul a/b, kus a ja b on täisavaldised, nimetatakse algebraliseks murruks · Ratsionaalavaldiste teisendamine taandub tehetele algebraliste murdudega · Erinimeliste algebraliste murdude liitmisel (lahutamisel) laiendatakse need esmalt ühenimelisteks. Ühiseks nimetajaks valitakse korrutis, mille tegureiks on üksikute murdude nimetajate kõigi erinevate tegurite kõrgeimad astmed. 2.2 Irratsionaalavaldised e juuravaldised
Kui periood algab kohe peale koma, on see puhtperioodiline murd, nt. = 0,(2) 9 5 Kui periood ei alga kohe peale koma, on see segaperioodiline murd, nt. = 0,41(6) 12 Perioodilise kümnendmurru saab teisendada harilikuks murruks. Puhtperioodilise murru korral paneme perioodis oleva arvu lugejasse ning nimetajasse paneme nii mitu üheksat kui mitu arvu on perioodis. Üks kõik millise murru korral paneme koma taga oleva arvu lugejasse ja lahutame sellest mitteperioodis oleva arvu. Nimetajasse paneme üheksa ja nii mitu nulli kui on mitteperioodis olevaid numbreid, -1 null. Ratsionaalarvude hulk Q 5
annaabi.ee 
