Arvuhulgad Arvuhulgad Naturaalarvud N 0, 1, 2, 3, ... , n , ... Negatiivsed täisarvud Positiivsed murrud -4, -100, ... 1/2, 7/9, 18/33, ... Täisarvud Z Negatiivsed murrud -3/4, -17/9, ... Ratsionaalarvud Q Irratsionaalarvud 2, , Reaalarvud R Imaginaararvud - 1, - 5, Kompleksarvud C
Matemaatika Naturaalarvud loendamise teel saadud arvud /positiivsed täisarvud (1,2 ... ) Null ei ole naturaalarv. Tähistatakse : N Algarvudeks nimetatakse naturaalarve, millel on 2 tegurit 1 ja tema ise nt 3 : jagub 1'ga ja 3'ga Kordarvudeks nimetatakse naturaalarve, millel on rohkem kui kaks tegurit. Nt 8 : jagub 1'ga, 2'ga, 4'ga, 8'ga Naturaalarvude hulgast saame täisarvude hulga kui lisan nulli ja naturaalarvude vastandarvud Täisarvud koosnevad naturaalarvudes, nende vastandarvudest ja nullist. Tähistatakse : Z Paarisarve tähistatakse 2n kus 'n' kuulub naturaalarvude hulka. Paarituid arve tähistatakse 2n+1 / 2n1 Ratsionaalarvud = täisarvud (Z) ja positiivsed ja negatiivsed murdarvud Tähistatakse : Q Kümnendmurrud jaotatakse lõpmatuteks ja lõplikeks Irratsionaalarvud = lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud (I) Reaalarvud = N Z Q I hulkasid Tähistatakse : R
1. Kõik positiivsed täisarvud kaasa arvatud 0. Tähis on N.
2. Pöördarvudeks nim kahte arvu, mille korrutis on 1. Vastandarvud- kaks arvu mille
summa on 0.
3. Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z.
4. Positiivsete täisarvude hulka tähistatakse sümboliga Z. Negatiivsete täisarvude
hulka tähistatakse sümboliga Z.
5. Täisarvu, mis jagub 2-ga, nimetatakse paarisarvuks. Ta esitatakse kujul 2n+1, kus n
kuulub hulka Z. Paaritu, mittejaguvad täisarvud, esitatakse kujul 2n+1, kus n kuulub
hulka Z.
6. Murdarvud tekivad täisarvude jagamisel a/b, kus jagaja b ei tohi olla 0.
7. Ratsionaalarvud on kõik täisarvud ja murdarvud.
8. Ratsionaalrvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena a/b, kus a kuulub hulka Z,
b kuulub hulka Z ja b ei võrdu 0-ga.
9. Harilikmurd on murd, mis avaldub kujul a/b, kus a kuulub hulka N, b kuulub hulka N ja
b ei võrdu 0-ga. Kümnendmurd on murd, mis kirjutatakse koma abiga.
10. Lihtmurrus a/b on a
ÜLESANNE 3 Lähtun jaguvuse definitsioonist: I | I, kui leidub selline täisarv , et I = I Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 3 Olga Dalton 104493 IAPB21 Kui I | I, siis I = I# ja kui I | I, siis I = I$ , kus # ja $ on mingid täisarvud. Siis I + I = I# + I$ = I(# + $ ) ja I - I = I# - I$ = I(# - $ ) Jagades a-ga, saan: I+I I(# + $ ) = = # + $ I I I-I I(# - $ ) = = # - $ I I Et # ja $ on mingid täisarvud, siis ka # + $ ja # - $ on täisarvud, oleme jagamise tulemusena saanud täisarvu ja seega | + ja | - . ÜLESANNE 4 Lähtun jaguvuse definitsioonist: I | I, kui leidub selline täisarv , et I = I
mida esimeses arvus ei ole. VÜK (30;84) = 2×3×5×2×7 = 420 NÄIDE: Arvutame: 7 11 30 84 Nende murdude ühine nimetaja on VÜK (30; 84) = 420. Laiendaja saame, kui jagame ühise nimetaja antud murru nimetajaga: 714 115 7×14 + 11×5 98 + 55 153 51 30 84 420 420 420 140 Murd 153 on taandatud arvuga SÜT (153; 420) = 3. 420 TÄISARVUD Täisarvudeks nimetatakse kõiki naturaalarve 1, 2, ...(positiivsed täisarvud), nende vastandarve -1, -2, ...(negatiivsed täisarvud) ning arvu 0. Täisarvude hulka tähistatakse Z, positiivseid täisarve Z+, negatiivseid täisarve Z-. Täisarve kujutatakse arvteljel punktidena, kusjuures positiivne täisarv n ja negatiivne täisarv n kujutatakse sümmeetrilistena 0-punkti suhtes. Arve n ja n nim. teineteise vastandarvudeks. -n -1 0 1 n Negatiivsed täisarvud. Null. Positiivsed täisarvud.
Kahe naturaalarvu lahutamisel võib olla tulemuseks naturaalarv ehk positiivne täisarv (10-2=2) aga ka negatiivne täisarv (10-100=-90). Kahe naturaalarvu jagamisel võib olla tulemuseks naturaalarv (52:2=26) või kümmnendmurd (1:3=0,333...; 9:6=1,5). 2. Täisarvudeks nimetatakse positiivseid täisarve ja negatiivseid täisarve. Täisarvude hulga tähiseks on Z. Positiivseteks täisarvudeks on Z=(0; 1; 2; 3;...) ning negatiivseteks täisarvudeks on Z=(-1; -2; -3;...). Täisarvud jagunevad paarisarvudeks (-2; 2; -4; 4, -6; 6;...) ja paarituteks arvudeks (-1; 1; -3; 3; -5; 5;...). Tehes tehteid positiivsete ja/või negatiivsete täisarvudega on tulemuseks positiivne täisarv, negatiivne täisarv, positiivne kümnendmurd või negatiivne kümnendmurd. 3. Ratsionaalarvudeks nimetatakse murde a/b kus a ja b on täisarvud ning b¹0. Ratsionaalarvude hulga tähiseks on Q. Ratsionaalarvud on näiteks (1/4=0,25 ehk lõplik kümnendmurd; 1/3=0,333..
korpuse (ratsionaalarvude korpuse), mis on reaalarvude korpuse R alamkorpus ning on kõige kitsam arvukorpus. RATSIONAALARVUDE HULK Q 1. On järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2. On tihe arvuhulk, s.t. iga kahe ratsionaalarvu vahel paikneb alati veel ratsionaalarve. Ka need arvud ei kata kogu arvtelge; 3. On hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Täisarvud Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z Z={...-2; -1; 0; 1; 2; ...}. Eraldi räägitakse veel positiivsete täisarvude hulgast : ={1; 2; 3;...} ja negatiivsete täisarvude hulgast ={...-3; -2; -1}. Et igal täisarvul leidub vastandarv, siis on lahutamistehe täisarvude hulgas alati teostatav iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv. Täisarvud liigutavad veel paaris ja paarituteks täisarvudeks.Täisarvu, mis jagub kahega, nimetatakse paarisarvuks
millega mõlemad nimetajad jaguvad b) igale murrule laiendaja, selle saad kui ühise nimetaja jagad murru esialgse nimetajaga c) nüüd korrutad laiendajat ja lugejat ning saad sellised murrud, kus nimetajad on ühesugused arvud d) nüüd saad liita/lahutada murdude lugejad, aga nimetaja ei muutu e) vajadusel taandad murru või teisendad liigmurru segaarvuks Harilike murdude korrutamiseks ja jagamiseks tuleb: NB! Täisarvud ja segaarvud teisendada kõigepealt liigmurdudeks 1) korrutamisel kirjutad lugejad lugejasse ja nimetajad nimetajasse ning taandad, kui see on võimalik, seejärel korrutad lugejad omavahel ja nimetajad omavahel 2) jagamisel tuleb jagamine asendada pöördtehtega ehk korrutamisega ning jagaja (tagumine murd) asendada pöördarvuga. Seejärel teed täpselt nii nagu korrutamisel.
1. (a) Kuna A on positiivsete täisarvude hulk, mille viimane number on 3, siis sisaldab hulk A arve 1,2,3, nendest paarisarv on 2. Seega on hulkade A ja B ühisosa {2} VV { { (b) 5-ga jagub iga arv, mis lõpeb kas 5 või 0-ga. Nendest arvudest on 5-ga lõppevad paaritud ja 0-ga lõppevad paarisarvud. Seega kuuluvad hulkade A ja B ühisosasse 0-ga lõppevad ja 5-ga jaguvad täisarvud, st 10-ga jaguvad täisarvud(arvud, mis annavad 10-ga jagamisel jäägi 0): VV {YÉY X { 2. Kujutan Venni diagrammil C = A B Et A C = (AC) (CA), siis · (AC) kujutub järgmiselt: · (CA) järgmiselt: Nende ühendiks on hulk B: Sama tulemuseni on võimalik jõuda ka aritmeetiliste teisenduste teel: { { { {{ { { {{ { = { { { { { { { {
MÕISTED: Naturaalarv arve 0,1,2,.... nimetatakse naturaalarvudeks. Naturaalarvude hulga tähis on . Täisarv - arve ... -2; -1; 0; 1; 2... nimetatakse täisarvudeks. Täisarvude hulga tähis on Ratsionaalarv- on murdavaldis, mille lugeja ja nimetaja on täisarvud, kusjuures nimetaja ei ole 0. Ratsionaalarvude hulga tähis on . Irratsionaalarv on mitteperioodilised lõpmatud kümnendumurrud. Irratsionaalarvude hulga tähis on . Reaalarv lõpmatu kümnendmurd, mis ei lõpe 9-ga perioodis. Ratsionaalarvude hulga tähis on Ratsionaalarvude hulgas kehtivad järgmised tehete põhiomadused: Kommutatiivsus: a + b = b + a ab=ba Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) a(bc)=(ab)c Korrutamise distributiivsus: a(b + c)= ab + ac
1. Missugused järgmistest lausetest on tõesed ja missugused väärad? 1) Iga naturaalarv on täisarv. 2) Iga ratsionaalarv on täisarv. 3) Iga naturaalarv on esitatav hariliku murruna. 4) Leidub lihtmurd, mis on naturaalarv. 5) Ükski ratsionaalarv pole täisarv. 6) Kõik irratsionaalarvud on reaalarvud. 7) Ükski irratsionaalarv pole täisarv. 8) Mõni ratsionaalarv on täisarv. 9) Leidub naturaalarve, mis pole ratsionaalarvud. 10) Kõik täisarvud on naturaalarvud. 2. Kujuta ühel ja samal arvteljel hulgad A = [-3; 2] ja B = [-1; 4]. Leia hulgad AB ja AB. 3. Kujuta piirkonnad arvteljel ning kirjuta juurde nimetused. 1) 1 x 4 5) x < 3 2) 3 < x 2 6) x -2 3) x < 5 7) x 1 4) x > 0 8) -1 < x < 3 4. Teisenda harilikuks murruks. 1) 2,3(56) 2) 0,(201) 3) 1,(23) 5
üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki võrrelda, selleks aga tuli nende hulkade elemente loendada. Nii tekkis naturaalarvude hulk N. Esialgu ei kuulunud null arvude hulka. Alles 7. Sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks. Neli põhitehet naturaalarvudega on liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine. Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z. Kõik täisarvud ning positiivsed ja negatiivsed murdarvud kokku moodustavad ratsionaalarvude hulga Q. Murdudega seoses kasutatakse mõisteid harilik murd, liigmurd ja lihtmurd. On ka veel kümnendmurd. Kümnendmurd on murd, mis on kirjutatud koma abil, kus esimene koht pärast koma tähendab kümnendikke, teine sajandikke jne. Iga ratsionaalarvu saab esitada kümnendmurruna, kui jagada lugeja nimetajaga. Siin esineb kaks erinevat olukorda. Ühel juhul tekib lõplik
Ratsionaalarvud negatiivsed või positiivsed täisarvud, kümnendmurrud, harilikud murrud. Absoluutväärtus arvu kaugus nullpunktist arvkiirel, see on alati positiivne arv Vastandarv positiivse arvu vastandarv on sama arv miinusmärgiga ehk negatiivne arv ja negatiivse arvu vastandarv on sama arv plussmärgiga ehk positiivne arv Näide: 6 vastandarv on 6 ja vastupidi. Sümbolites 6 = - ( - 6) ja - 6 = - ( + 6) NB! Lahutamistehtemärk tuleb alati asendada liitmistehtemärgiga ja sellele järgnev arv oma vastandarvuga ja alles seejärel hinnata, kas arvud on samamärgilised või erimärgilised LIIDAN siis, kui arvud on samamärgilised ehk # kõik arvud on positiivsed, vastus ka positiivne arv 2+3=5 NB! 2 ( - 3) = 2 + 3 = 5 #kõik arvud on negatiivsed, vastus ka negatiivne arv - 2 + (- 3) = - 2 3 = - 5 NB! - 2 ( + 3) = - 2 + ( -3) = - 5 LAHUTAN siis, kui arvud on erimärgilised ehk üks on positiivne arv ja teine negatiivne arv, vas...
Vesiniku aatomi spekter Vesinikuaatomi spektrijooned on rühmitunud seeriatesse. Igas seerias olevad jooned 1 1 1 = R( 2 - 2 ), kus n1 n2 moodustavad koonduvaid jadasid. Seeriaid kirjeldab valem: - joonelaine pikkus - Balmer Rydbergi valem. n1 ja n2 on täisarvud, n1 on konstantne täisarv ja n2=n1+1, n1+2. Statsionaarne olek - olek, milles aatom ei kiirga. Ergastatud olek - olek, mille energia on suurem kui aatomi põhiolekus.A) ergastatud olekusse läheb aatom peale energia neeldumist. B) Ergastatud olek on ebastabiilne( ei ole püsiv) C) Ergastatud olekust läheb aatom iseenesest põhiolekusse.D) Ergastatud olekus püsib aatom 10 astmel -9 sekundit. Aatomi põhiolek ehk normaalolek - Väikseima võimaliku energiaga olek, selles olekus võib
on üksikud mustad jooned värvilisel taustal. Neeldumisspektreid saadakse, kui pideva spektriga valgusallika valgus läbib nt. gaasi või auru. 2.Milline seaduspärasus ilmneb vesiniku spektris? Jooned on rühmitunud spektraalseeriatesse, igas seerias moodustavad jooned koonduvaid jadasid. Täppisanalüüs näitab, et kõiki seeriajadasid kirjeldab valem kus on joone lainepikkus, R = 1,0974×107 m-1 on Rydbergi konstant, ning n1 ja n2 on täisarvud: n1 on igas seerias konstantne täisarv ja n2 = n1 + 1, n1 + 2, n1 + 3... 3.Kuidas tekib lainete interferentspilt? Interferentsi tekkimiseks peavad lained olema sama sagedusega ning võnkumisfaaside erinevus ei tohi muutuda. Teisitiöeldult -- erinevate lainete allikad peavad võnkuma muutumatult ühtmoodi. Sagedused peavad olema võrdsed ja ühe allika võnkumine ei tohi teise suhtes muutuda. 4.Mis ,,lainetab" elektronlaines? Vastuse annab teisendatud kaksikpilukatse.
Reeglid seitsmendale klassile Koostanud : Crazychil Tehted ratsionaalarvudega Ratsionaalarvude hulka kuuluvad positiivsed ja negatiivsed täisarvud ja murdarvud Kahe negatiivse arvu liitmine Arvu absoluutväärtus näitab kui kaugel on deda arvu kujutav punkt arvteljel 0 punktist Kahe erimärgilise arvu liitmine Vastandarvude summa on alati 0 Erumärgiliste arvude summa saamiseks lahutame suuremast absoluutväärtusest võiksema ja märgi võtame samasuguse nagu on suurema absoluutväärtuse ees Ratsionaalarvude lahutamine Lahutamine on vastandarvu liitmine Ratsionaalarvude liitmine lahutamine on vastandarvude liitmine.
b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või – märke) 2 – a = ( 2 – a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisarvud, üksikud tähed, sulgavaldised. Taandada saab ainult siis, kui hulkliige on tegurdatud st. kõik liitmised ja lahutamised on „peidetud” sulgude sisse ja siis läheb maha terve sulg korraga, mitte sealt seest üksikute liikmete haaval KORRUTAMINE- JAGAMINE 1) tegurda lugejad ja nimetajad 2) jagamiseks pööra tagumine murd ringi 3) kirjuta kõik ühele murrujoonele 4) taanda LIITMINE – LAHUTAMINE 1) tegurda nimetaja 2) leia ühine nimetaja
b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või märke) 2 a = ( 2 a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisarvud, üksikud tähed, sulgavaldised. Taandada saab ainult siis, kui hulkliige on tegurdatud st. kõik liitmised ja lahutamised on ,,peidetud" sulgude sisse ja siis läheb maha terve sulg korraga, mitte sealt seest üksikute liikmete haaval KORRUTAMINE- JAGAMINE 1) tegurda lugejad ja nimetajad 2) jagamiseks pööra tagumine murd ringi 3) kirjuta kõik ühele murrujoonele 4) taanda LIITMINE LAHUTAMINE 1) tegurda nimetaja 2) leia ühine nimetaja
Küsimus 9 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Mida näitab koma ? Vali üks: .... et arvul on olemas nullist erinev murdosa .... et esitatud arv on täisarv .... kus lähevad täisarvulised järgukaalud üle murdarvulisteks järgukaaludeks .... kus lähevad täisarvulised järguväärtused üle murdarvulisteks järguväärtusteks .... kus arv lõppeb Küsimus 10 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Mis on oktaalarvud ? Vali üks: kaheksandarvud kahendarvud kümnendarvud täisarvud kuueteistkümnendarvud Küsimus 11 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kuidas avaldub (arvutatakse) arvu väärtus suvalises arvusüsteemis? Vali üks: järguväärtuste ja järgukaalude korrutiste summa arvu numbrite korrutis aluse astmete summa järguväärtuste ja järgukaalude summade korrutis Küsimus 12 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Mida näitab arvu järel olev indeks? Vali üks: järgu kaalu arvu väärtust arvusüsteemi alust Küsimus 13 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00
Matemaatika: Arvuhulgad ja
arvuhulkade omadused
Mairo Tammepõld
10ü
Arvuhulgad
● Arvuhulgad jagunevad reaalarvudeks.
● Reaalarvud on
naturaalarvud N=(1;2;3;4;...)
täisarvud Z=(...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...)
ratsionaalarvud Q=(...;-12;...;3;...;-4;...;-½;0)
irratsionaalarvud J=(...;π;...;erinevad ruutjuured)
Arvuhulgad
● Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi
mõisteid :
harilik murd - ½ (a-lugeja, b-nimetaja)
lihtmurd - (a
Planetaarmudel ei selgita aatomite püsivust. Kuidas (ainult nii) võib muutuda aatomi energia? Ergastamise teel. 1) kiiritada aatomeid valgusega 2) lastes kiiresti liikuvatel elektronidel põrkuda aatomitega 3) ainet kuumutades Millise valemiga leida valguse võnkesagedus, kui elektron langeb kõrgemalt energiatasemelt madalamale? hf= E2 E1 , kus E1 ja E2 on vastavate tasemete energiad. Millised arvud määravad Balmer-Rydbergi valemis spektrijoonte lainepikkuse? Täisarvud n1 ja n2 (n1 on igas seerias konstantne täisarv). Millistes lainetes on makrolainetes paisude/sõlmede hulk täisarvuline? Seisulainetes. Millise füüsikalise suuruse ühik on elektronvolt? 1 elektronvolt on energia, mille omandab elektron, läbides elektriväljas potentsiaalide vahet 1 volt. Millised nähtused näitavad elementaarosakeste laineloomust? Interferentsi- ja difraktsiooninähtused. Kuidas on omavahel seotud osakese mass ja de Broglie` lainepikkus? De Broglie tegi seose
Kristallvesi 0,1471 18 0,00817 0,00817 ≈2 0,00419 Saadud valem: CuCl2 ∙ 2H2O KOKKUVÕTE Vaskkloriidkristallhüdraadi keemiliseks valemiks sain peale arvutusi CuCl2 ∙ 2H2O. See on küll õige valem, kuid minu saadud moolide suhted polnud täpsed täisarvud nagu ideaalselt olema peaks. Väiksed ebatäpsused võisid tulla näiteks kaalumisest ja katsenõudele jäänud proovist, kuid kõige tõenäolisem on, et ma ei suutnud kogu alumiiniumi soolhappe lahusega lahustada. Seetõttu sisaldab vase mass mingil määral ka alumiiniumi massi. Sellega muutuks nii vase kui ka kloriidiooni mass. Katset korrates lisaksin proovile vähem alumiiniumi (lisasin seda liiaga) ja seeläbi saaksin ilmselt ka kogu alumiiniumi HCl-ga korrektselt lahustatud.
Küsimus 16 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 vali õige: on iga hulga osahulgaks. tühi hulk Küsimus 17 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kaks hulka on võrdsed siis, kui . . . Vali üks või enam: . . . neis mõlemas on samapalju elemente . . . nad mõlemad on mitteloenduvad hulgad . . . nad mõlemad on tähistatud mingi suurtähega . . . nad mõlemad on loenduvad hulgad . . . nad koosnevad täpselt samadest hulgaelementidest . . . nende mõlema elementideks on täisarvud . . . nad mõlemad on lõplikud hulgad . . . nad mõlemad on lõpmatud hulgad Küsimus 18 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Vali kõik viisid / vahendid, mida kasutatakse hulkade esitamiseks: Vali üks või enam: Hasse diagramm tõeväärtust omava lause kaudu, mis on tõene iga hulgaelemendi korral hulgaelementide täielik loetelu loogikaavaldis numbriline kümnendesitus hulgaelementide osaline loetelu, millest nähtub mingi regulaarne seaduspärasus tõeväärtustabel
13 14 15 Lõpeta ülevaatus Küsimus 1 Mis on oktaalarvud ? Õige Mark 1 out of 1 Vali üks: kümnendarvud täisarvud kahendarvud kuueteistkümnendarvud kaheksandarvud Küsimus 2 Kuidas avaldub (arvutatakse) arvu väärtus Õige suvalises arvusüsteemis?
Positiivsed ja negatiivsed arvud By:Paldiski Pohikool Definitsioon · Positiivne arv on arv, mis on suurem kui null. 0 1 2 3 4 5 6 Definitsioon · Negatiivne arv on arv, mis on väiksem kui null. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Definitsioon · Vastandarvud on kaks arvu, mis asuvad samal kaugusel nullist, kuid erinevas suunas. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Definitsioon · Täisarvud on kõik naturaalarvud ning nende vastandarvud pluss arv null. 7 vastandarv -7 Negatiivseid arve kasutatakse temperatuuri mõõtmisel Negatiivseid arve kasutatakse, et määrata asukoha kõrgus või sügavus. 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40
Kaks hulka on võrdsed siis, kui . . . Valige üks või mitu: . . . nad mõlemad on tähistatud mingi suurtähega . . . nad mõlemad on lõplikud hulgad . . . nad mõlemad on mitteloenduvad hulgad . . . nad mõlemad on lõpmatud hulgad . . . nad koosnevad täpselt samadest hulgaelementidest . . . nende mõlema elementideks on täisarvud . . . neis mõlemas on samapalju elemente . . . nad mõlemad on loenduvad hulgad Küsimus 17 Õige Hindepunkte 2,00/2,00 vali õiged: hulkade ühisosa on hulkade korrutamine ja selle tehte tulemuseks olev hulk on (üldjuhul) väiksem kui operandideks olnud hulgad Küsimus 18 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Kas väide on õige või vale ? Kui hulk on loenduv, siis on ta ka lõplik Valige üks: Tõene
paare, mida ei saa samaaegselt sama täpselt määrata ning ühe määramise täpsust suurendades, väheneb teise täpsus. See ei ole kõrvaldatav ei riistade ega meetodite täiendusega. Nt. asukoht ja impulss. Tunnelefekt Nähtus, kus mikroosake on võimeline läbima potensiaalibarjääri, mille mõõtmed on väiksemad osakese lainepikkusest. Nt. alfalaguminine või nt. samal põhimõttel töötab tunnelmikroskoop. Kvantarvud Enamasti täisarvud, mis kirjeldavad elektronide asukohta aatomis.1)Peakvantarv n = 1,2 ... (elektronkihid) (kaugus tuumast).2)Orbitaalkvantarv l = 0,1,2...n-1 (orbiidi kuju).3)Magnetkvantarv m = 0, +-1; väärtused l ja l vahel (orbiidi asend ruumis).3)spinn = ½ ja ½ (elektroni pöörlemine kas päri või vastupäeva) Radioaktiivsus ebastabiilse (suure massiga) aatomituuma iseeneselik lagunemine. Selle protsessiga kaasneb radioaktiivne kiirgus. Radioaktiivsuseks nimetatakse ka ebastabiilsete
tekstülesannete põhjal II osa © T. Lepikult, 2003 Kahekohalised arvud Ülesanne 1 Kahekohalise arvu numbrite summa on 12. Selle arvu numbrite ümberpaigutamisel saame arvu, mis on esialgsest 18 võrra väiksem. Leida esialgne arv Lahendus Seda tüüpi ülesannetes tuleb otsitavat arvu vaadelda kujul z = 10x + y , kus x näitab kümneliste arvu ja y üheliste arvu. Tasub tähele panna, et otsitavad x ja y peavad olema täisarvud ning rahuldama võrratusi 0 < x < 10, 0 y < 10. Ülesanne 1 (2) Lahendus jätkub ... Kui ülesannet lahendades peaksime saama otsitavatele niisugused väärtused, mis neid võrratusi ja/või täisarvulisuse nõuet rikuvad, tuleb hakata lahenduskäigust vigu otsima. Kuna ülesande püstituse kohaselt peab otsitava arvu numbrite summa olema 12, saame esimeseks võrrandiks x + y = 12.
Question 17 Mitu tükki saab igat elementi hulgas sisalduda? (sisesta arv) Correct Mark 1 out of 1 Answer: 1 Question 18 Kaks hulka on võrdsed siis, kui . . . Correct Mark 1 out of 1 Select one or more: . . . nende mõlema elementideks on täisarvud . . . nad mõlemad on lõpmatud hulgad . . . nad mõlemad on mitteloenduvad hulgad . . . neis mõlemas on samapalju elemente . . . nad koosnevad täpselt samadest hulgaelementidest . . . nad mõlemad on lõplikud hulgad
osakese asukoht ja kiirus, moodustavad komplementaarse paari Kvantmehaanikas kirjeldatakse osakese käitumist lainefunktsiooniga. Lainefunktsiooni tähistatakse psiiga Ψ. Elektronpilv – elektroni leidumise tõenäosus Lainefunktsioon leitakse enamasti Schrödingeri võrrandi lahendamise käigus � Ψ = �Ψ (siin � on hamiltoniaan (energiaoperaator); � on süsteemi energia) Kvantarvud – lainefunktsioonides esinevad täisarvud, millest võib sõltuda ka lainefunktsiooni matemaatiline kuju 1)peakvantarv n (positiivne täisarv) – määrab elektronkihi (määrab orbitaali mõõtmed ja energia) 2)orbitaalkvantarv l (0 või positiivne täisarv) – määrab alakihi; tähistatakse töhtedega s,p,d,f (määrab orbitaali tuuma ümber ringlemise kiiruse ja selle kaudu orbitaali kuju) 3)magnetkvantarv ml (täisarv vahemikus –l....l) – määrab konkreetse orbitaali alakihis (kirjeldab orbitaalse liikumise orientatsiooni)
= / Heisenbergi määramatuse printsiip teatavad füüsikalised suurused, näiteks osakese asukoht ja kiirus, moodustavad komplementaarse paari Kvantmehaanikas kirjeldatakse osakese käitumist lainefunktsiooniga. Lainefunktsiooni tähistatakse psiiga . Elektronpilv elektroni leidumise tõenäosus Lainefunktsioon leitakse enamasti Schrödingeri võrrandi lahendamise käigus = (siin on hamiltoniaan (energiaoperaator); on süsteemi energia) Kvantarvud lainefunktsioonides esinevad täisarvud, millest võib sõltuda ka lainefunktsiooni matemaatiline kuju 1)peakvantarv n (positiivne täisarv) määrab elektronkihi (määrab orbitaali mõõtmed ja energia) 2)orbitaalkvantarv l (0 või positiivne täisarv) määrab alakihi; tähistatakse töhtedega s,p,d,f (määrab orbitaali tuuma ümber ringlemise kiiruse ja selle kaudu orbitaali kuju) 3)magnetkvantarv ml (täisarv vahemikus l....l) määrab konkreetse orbitaali alakihis (kirjeldab orbitaalse liikumise orientatsiooni)
55. + = ( x - 2)( x + 3) x + 3 x - 2 x+ y = 5 46. x + y = 13 2 2 56. Lahenda võrratus 57. 3 x - 2( 2 x + 5) > 2( 3 x +1) - 40 58. 2( x - 3) - 3( 2 x +1) > x -19 59. 5( 2 x + 6 ) - 3( 4 - 3 x ) < 15 x + 28 kujuta selle lahendihulk arvteljel. Leia lahendihulgast kõik täisarvud, mis on suuremad kui -2. 60. 4( 5 - 2 x ) - 2( 3 x + 4 ) > 6 -18 x kujuta selle lahendihulk arvteljel. Leia lahendihulgast kõik täisarvud, mis on väiksemad kui 3. 61. Leia võrratuse 2 x - 3 < 5 kõik positiivsed täisarvulised lahendid. Esita vastus arvuhulgana. 62. Leia võrratuse 5( x + 3) 4 x +12 kõik negatiivsed täisarvulised lahendid. Esita vastus arvuhulgana. 63. Leia võrratuse 12 x - 4( x - 3) < 13 x - 8 selleised täisarvulised lahendid, mis on väiksemad kui 6. Esita
Väärtused paigutage keskele. Võib kasutada ka muid vormindamise elemente: värvid, rasvane kiri jmt. e) Pange lehele nimeks oma eesnimi. Leht 2 a) Tehke eelmisest lehest koopia ja pange selle nimeks oma perenimi. b) Lisage tabeli sisuosa lõppu kaks tulpa. Sisestage nende- sse valemid juhuslike täisar- vude genereerimiseks vahe- mikus 0 kuni 9. c) Kui valemid on valmis ja juhuslikud täisarvud genereeritud, asendage valemid nende poolt genereeritud väärtustega. d) Lisage tabeli sisuosa lõppu kuus rida. Esimesse viide ritta tehke valem juhuarvude genereerimiseks vahemikus -10 kuni 10. e) NB! Valemid jätta alles! Korrigeerige valemeid summade ja keskmiste leidmiseks. f) Vormindage tabel. Värvige tabeli sisu read üle ühe rea. Esimeses ja teises osas võiks kasutada erinevaid värve.
15 3 25 5 5 5 5 5 30 = 2 · 3 · 5; 1 75 = 3 · 5 · 5; 1 Vähima ühiskordse leidmiseks korrutame esimese arvu kõik algtegurid teise arvu nende algteguritega, mida esimeses arvus ei ole: VÜK (30;75) = 2 · 3 · 5 · 5 = 150 Täisarvude hulk Iga nullist erineva täisarvu korral nimetatakse arve a ja a teineteise vastandarvudeks: a = -a ja a + (-a) = 0 Täisarvud on arvud ..., -(n+1), -n, -(n-1),...,-3,-2, -1, 0, 1, 2,..., n-1, n, n+1,... Täisarvude hulka tähistatakse tähega Z Täisarvude hulga omadused Täisarvude hulk on lõpmatu Iga täisarvu saame kujutada punktidena arvteljel -2 Täisarvude hulk-1 0 hulk iga on järjestatud 1 kahe erineva 2 täisarvu korral saame öelda, milline nendest on suurem
eriline koht. Teiste muusikaliste intervallide puhul on ülemtoonide kokkulangevus osaline. Järelikult ei ole konsonantsi ja dissonantsi määr absoluutne, see tähendab ei saa mingite suvaliselt valitud helide kooskõla liigitada ajaprotsendiliselt kas konsonantiks või dissonantsiks. Üleminek konsonantsilt dissonantsile on sujuv. Üldjuhul loetakse muusikas konsoneerivateks neid intervalle, mida moodustavate helide põhisagedused suhtuvad omavahel kui täisarvud n ja m. Mida väiksemad on arvud m ja n, seda parem. Nii on nn perfektsed konsonantsid priim, oktav, kvint ja kvart. Sisuliselt tähendab see, et põhitooni f1 ülemtoon järjekorranumbriga m on sagedusega , mis langeb kokku põhitooni f2 ülemtooni järjekorranumbriga n sagedusel ehk mida väiksemad on m ja n, seda lähemal on põhitoonile asuvad need ülemtoonid, mille sagedused omavahel kokku langevad ja seda suurem peaks olema konsonants
c Pythagorase teoreem Pythagoras Vana-Kreeka matemaatik ja filosoof sündis umbes 569 eKr Samoses (Kreekas) rajas Lõuna-Itaaliasse Krotonisse usulis- filosoofilise vennaskonna pütagoorlaste liidu arvasid, et iga asi on arv paarituid arve loeti halbadeks, paarisarve headeks teadsid, et hästi kõlavad kokku vaid need pillikeeled, mille pikkused suhtuvad nagu täisarvud suri umbes 475 eKr. Teoreem: Täisnurkses kolmnurgas võrdub kaatetite ruutude summa hüpotenuusi ruuduga C a b a b c 2 2 2 c B A Võtame 4 võrdset täisnurkset kolmnurka ja Iga sellise täisnurkse need järgmiselt: paigutame kolmnurga pindala on ½ ab Suure ruudu pindala ühelt poolt avaldub
osakest, mis on sama palju kui aatomeid 12 grammis süsiniku isotoobis massiarvuga 12. aine hulk aine kogus Aine kogust mõõdetakse massi- või ruumalaühikutes, aine hulka aga moolides. MOLAARRUUMALA Vm - ühe mooli gaasilise aine ruumala. Kõikide gaaside molaarruumalad on normaaltingimustel (0°C=273 K ja rühk 101 325 Pa) Vm=22,4 dm3/mol = 22,4 l/mol GAY-LUSSACI SEADUS reageerivate ja reaktsioonil tekkivate gaaside ruumalad suhtuvad üksteisesse nagu lihtsad täisarvud. 2H2 + O2 = 2H2O 2 : 1 : 2 (ruumalade vahekord) AVAGADRO SEADUS kõikide gaaside võrdsed ruumalad sisaldavad võrdsel tempeartuuril ja võrdsel rõhul võrdse arvu gaasi molekule. · kõikide gaaside molaarruumalad normaaltingimustel on 22,4 l/mol · üks mool gaasi sisaldab NA gaasi molekuli 6,02*1023 = 1 mol = 22,4 l/mol gaasi molekuli GAASIDE SEADUSTE RAKENDUSI · tiheduse leidmine
Muutuja tüüpi otseselt ette ei anta; selle teeb interpretaator kindlaks esimest korda omistatava väärtuse järgi Eritüübiliste muutujate korral kasutatakse tüübimuunduse reegleid üldiselt võetakse tüüp selle järgi millele omistatakse; või esimese muutuja tüübi järgi Uuemates versioonides stringi arvule omistada ei saa (2 + "10") selle asemel tuleb kasutada parseInt() ja parseFloat() funktsioone LITERAALID. · Literaal on lihtne väärtuse definitsioon Täisarvud · 8-nd süsteemis: 045, 02 · 10-nd süsteemis: 123, 8873 · 16-nd süsteemis: 0x01, 0x5F, 0XAC Ujukomaarvud: 7.2134, 2E3 Stringid: "test", '124', "" Boolean: true, false NULL NaN OMISTAMINE. Lihtne omistamine. Tehtega omistamine. Omistamine Lihtne omistamine (=) Tehetega omistamine · Liida/lahuta ja omista: +=, -= · Korruta/jaga ja omista: *=, /= · Mooduli võtmine ja omistamine: %=
muutuja x väärtuse ruut ja korrutada see viiega jne. 4) 32 - lihtsaimaks matemaatiliseks avaldiseks on konstant (arv). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Algebraline avaldis Matemaatilist avaldist, milles on vaid lõplik arv kordi kasutatud aritmeetikatehteid ning astendamist ja/või juurimist, kus astendajad ja juurijad on täisarvud, nimetatakse algebraliseks avaldiseks. Näiteks : algebralised avaldised on: 1) 4ax 2 5bx 6 ; 2) 3 2a 2 3 y ; 7x2 2 3) 4x 5 Algebralised avaldised ei ole: 1) 2 sin x cos2 x (avaldis sisaldab trigonomeetrilisi funktsioone); 2) 2 2 (avaldises esineb astendamine irratsionaalarvuga).
Muutuja tüüpi otseselt ette ei anta; selle teeb interpretaator kindlaks esimest korda omistatava väärtuse järgi Eritüübiliste muutujate korral kasutatakse tüübimuunduse reegleid üldiselt võetakse tüüp selle järgi millele omistatakse; või esimese muutuja tüübi järgi Uuemates versioonides stringi arvule omistada ei saa (2 + "10") selle asemel tuleb kasutada parseInt() ja parseFloat() funktsioone LITERAALID Literaal on lihtne väärtuse definitsioon Täisarvud · 8-nd süsteemis: 045, 02 · 10-nd süsteemis: 123, 8873 · 16-nd süsteemis: 0x01, 0x5F, 0XAC Ujukomaarvud: 7.2134, 2E3 Stringid: "test", '124', "" Boolean: true, false NULL NaN OMISTAMINE Omistamine Meelis Jander A-08 Lihtne omistamine (=) Tehetega omistamine · Liida/lahuta ja omista: +=, -= · Korruta/jaga ja omista: *=, /= · Mooduli võtmine ja omistamine: %= x = 5; x saab väärtuseks 5 x += 15; x saab väärtuseks 5 + 15 = 20
Const k_nimi [as
Matemaatika eksami teooria Reaalarvud 1.1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud · Naturaalarvude hulk N (ainult positiivsed täisarvud) · Naturaalarvu n vastandarv -n defineeritakse selliselt, et n+(-n)=0 · Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z (jaguneb pos ja neg) · Iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv · Kui arv a ei jagu arv b-ga, siis on tegemist murdarvuga. Kõik täisarvud ja positiivsed ning negatiivsed murdarvud moodustavad kokku ratsionaalarvude hulga Q. Ratsionaalarv on arv, mis avaldub jagatisena a/b, kus a Z, b Z ja b 0. · Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1.2 Irratsionaal- ja reaalarvud · Arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, on irratsionaalarv. · Arvutamisel piirdutakse ligikaudsete väärtustega e lähenditega, nt pii=3,14
Kui f x=(t) on rangelt monotoonne hulgal T, kus (T)=X ja (t)D(T), siis f(x)dx=f((t))'(t)dt * Diferentsiaali märgi alla viimine. f(x)dx=F(x)+C f((x))d(x)=F((x))+C * Ositi integreerimine. Kui u(x) ja v(x) on diferentseeruvad f'id hulgal X ja eksisteerib määramata integraal uv'dx, siis eksisteerib ka määramata integraal udv=uv-vdu * Iga nullist erinev täisarv n on esitatav algarvude p astmete korrutisena n=(-1) (n)p1v1pkvk * Iga kahe täisarvu a ja b>0 korral leiduvad täisarvud q ja r, et a=qb+r, kus 0<=r
Keemia konspekt 2. loeng Aine (ka: mateeria) all mõistetakse loodusteadustes (füüsikas ja keemias) tavaliselt stabiilseid seisumassiga elementaarosakesi (tavaliselt prootoneid, neutroneid ja elektrone) ning nende kombinatsioone (millest tuntuim on aatom). Selliselt mõistetuna vastandatakse sageli ainet väljale. Ainet saab iseloomustada massiga (ainet saab kaaluda), mass aga on rangelt võrdeline energiaga (E = m×c2). Päikeses (ja tähtedes) nii toimubki, mass muutub ilma massita energiaks (mis toimub ju ka vesinikupommi lõhkamisel) ikka 5 miljonit tonni igas sekundis vesinikku heeliumiks "põletades". (Päike ja vesinikupomm toimivad samade füüsikaliste põhimõtete alusel). Keemia, selle klassikalises mõistes, on teadus ainetest ainete ehitusest, aine omadustest, aineainete reaktsioonidest, mille tulemusel ained lagunevad ja moodustuvad uued. Kiirgus (väli) on aine energia ...
Alan Turingi idee, milline võiks olla lihtne universaalne arvuti: suudaks arvutada/järeldada kõike!! Turingi tees: kõike, mida üldse saab mingi masinaga arvutada/järeldada, saab ka Turingi masinaga arvutada. Pidevad ehk analoog-asjad Komaga arvud, murrud jms Trigonomeetria Matemaatiline analüüs Klassikaline füüsika Mõõtmised, tugevus jms klassikaline insenerivärk Katkevad ehk diskreetsed asjad Täisarvud Loogika Hulkade struktuurid Tekstid Programmid Informaalne loogika: teatud vaidlusmeetodite analüüs. Formaalne loogika: reeglisüsteemid ja algoritmid nö mehaaniliseks järelduste tegemiseks reeglisüsteemide kui matemaatiliste objektide uurimine. Induktsioon on filosoofias arutlemise viis, mille puhul sellest, et ühtedel asjadel on teatav omadus, järeldatakse, et see
koosinusega. 3 cos x + 5 sin x = 0 : cos x Näide: 3 cos x 5 sin x + =0 5 tan x = -3 : 5 arctan ( - 0,6) = -310 cos x cos x tan x = -0,6 Vastus : x = -310 + n 180 0 , n Z 3 + 5 tan x = 0 Näide: 4 sin x + 2 sin x cos x = 3 2 ( 4 sin 2 x + 2 sin x cos x = 3 sin 2 x + cos 2 x ) Võrrandis olevad täisarvud saab trigonomeetria 1.põhiseose abil 4 sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 sin 2 x - 3 cos 2 x = 0 vajalikule kujule teisendada. sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos 2 x = 0 : cos 2 x sin 2 x 2 sin x cos x 3 cos 2 x + - =0 cos 2 x cos 2 x cos 2 x Edasine lahenduskäik nagu
formaalsete reeglite abil tõestatav. Siinkohal toetub ``õigsuse'' mõiste Tarski, poolt rajatud teooriale semantikast ja mudelitest." Esmapilgul tundub teoreem täielikkusest olevat vastuolus järgmises lõigus vaadeldava teoreemiga formaalse aritmeetika mittetäielikkusest, kuid see vastuolu on ainult näiline: predikaatarvutuse keeles ei saa otseselt kirja panna matemaatilise induktsiooni printsiipi, mis n-ö loob ehk genereerib täisarvud koos kõigi nende omadustega. Kõike, mida üldse kirja panna saab, saab otseselt või kaudselt kirja panna predikaatarvutuse vahendite abil; täisarvude kõigi omaduste hulk ei ole aga üldse lõplikul viisil kirja pandav."' Mittetäielikkuse teoreem; http://cs.ttu.ee/kursused/itv0010/various/lrttyld.html : ,,Gödeli kõige kuulsam resultaat on varem mitmel korral mainitud teoreem mittetäielikkusest, avaldatud 1931. aastal:
Avogadro J.B.Richter, H.Hess, E. Mitscherlich jt. Koostise püsivuse seadus (Proust, Dalton) - Igal keemilisel ühendil on kindel kvalitatiivne ja kvantitatiivne koostis, see ei sõltu ühendi saamisviisist. Kordsete suhete seadus (J.Dalton, 1808) - Kui kaks keemilist elementi moodustavad teineteisega mitu ühendit, siis ühe elemendi ühe ja sama massiga seotud teise elemendi massid (nendes erinevates ühendites) suhtuvad üksteisesse nagu lihtsad täisarvud. Ruumalaliste suhete seadus (Gay-Lussac, 1808) - Püsivatel tingimustel suhtuvad reageerivate gaaside ruumalad üksteisesse ja reaktsioonis tekkivate gaaside ruumaladesse nagu lihtsad täisarvud. Avogadro seadus (A.Avogadro, 1811) - Samal rõhul ja temperatuuril sisaldavad erinevate gaaside võrdsed ruumalad ühesuguse arvu molekule. StanislaoCANNIZZARO-itaalia keemik. Esitas keemiliste põhimõistete süsteemi, aatommasside ratsionaalse süsteemi, määras ja põhjendas
valimit nõudev tunnus; · praktika seisukohalt eelkõige majanduslik või traditsiooni küsimus. Tõenäosuslike valimite alaliigid 1. Lihtne juhuväljavõtt - üldkogumi objektid reeglina nummerdatakse ja seejärel selekteeritakse juhuslikult teatav arv objekte. Valiku teostamine · loosimine (võib ka objektide nimede alusel); · juhuslike arvude tabeli abil (objektide numbrid peavad olema järjestikused täisarvud); · vastava arvutiprogrammi abil. Kõigil objektidel võrdne tõenäosus valimisse saamiseks Tõenäosuslike valimite alaliigid 2. Süstemaatiline juhuväljavõtt - objektide valimisse võtmine objektide loendist toimub fikseeritud sammu tagant kõigi üldkogumi objektide loendist, kusjuures esimene objekt valitakse juhuslikult. valimiintervall=populatsiooni suurus/valimi suurus valimisuhe=valimi suurus/populatsiooni suurus · lihtsam realiseerida;
.. k - kilo (10^3), M - mega (10^6), G - giga (10^9), T - tera (10^12), P - peta (10^15), E - eksa (10^18), Z - zeta (10^21), Y - jota (10^24) o siinid - andmesiin, aadress-siin, juhtsiin, ... o välisseadmed - välismälu, sisend/väljundseadmed, kontrollerid, ... · Programmi täitmine arvutis: o masinkäsud - protsessori käsustik o operandid, aadresside moodustamine o andmete kujutamine madaltasemel: täisarvud, ujupunktarvud, sümbolid ja stringid (sõned), ... o käskude täitmistsükkel juhtseadmes: käsuregister, käsuloendaja (PC), aadressregister, olekuregister (flags), ... o katkestused John von Neumann (1903 - 1957) - mällu salvestatud programmi idee. Annab võimaluse programme genereerida (programm on andmete eriliik). Neumanni arhitektuuri kriitika. Need kaks pilti siin on kopeeritud meie põhiõpikust
annaabi.ee 
