3).(Ositi integreerimine määramata integraalis. Valemi tuletamine.) Lebesgue’i teoreem Funktsioon f on lõigul [a;b] Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis, Määratud integraali rakendused. kui ta on tõkestatud lõigul [a;b] ja pidev peaaegu kõikjal st katkev hulgal, mille Lebesgue mõõt on null. Hulga D c R Lebesgue mõõt on null siis, kui iga ε>0 korral saame leida hulka D katva vahemike süsteemi, mille pikkuste summa on väiksem kui ε. See peab näiteks paika lõpliku arvu punktide korral, st kui D= {xk є R| k=1,2,…..n} (xk
Def6. Piirväärtust lim0 nimetatakse funktsiooni y=f(x) määratud integraaliks rajades a-st b -ni ja tähistatakse sümboliga abf(x)dx. Def7. Arvu I nimetatakse järjestatud suuruse piirväärtuseks protsessis 0, kui iga > 0 korral leidub selline , et |-I| < , niipea kui < (sõltumata punktide x i valikust lõigus [a, b] ja punktide i valikust osalõikudes [ x i- 1 , x i ] ). T13. Kui funktsioon y = f (x) on integreeruv lõikudes [a,c] ja [c,b], siis on see funktsioon integreeruv ka lõigus [a, b], kusjuures kehtib võrdus abf (x)dx = acf(x)dx +cbf(x)dx. T14. Kui funktsioonid y=f(x) ja y=g(x) on integreeruvad lõigus [a, b] ,siis mistahes konstantide ja korral on ka funk tsioon y=f(x) + g(x) integreeruv lõigus [a, b] , kusjuures kehtib võrdus ab[ f(x) + g(x)]dx = abf (x )dx + abg (x )dx. T15. Kui funktsioonid y=f(x) ja y=g(x) on integreeruvad lõigus [a,b] , siis on selles lõigus integreeruv ka nende funktsioonide korrutis y=f(x)g(x). T16
..; n ), kusjuures
a = x0 < x1 < x2 < ...
ühesel viisil lahutatav osamurdudeks 7. Lihtsamate osamurdude integreerimine. Valemite tuletamine. 8. Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = . Kui eksisteerib piirväärtus = , mis ei sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse . 9.Darboux ülem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux' summade seos. Definitsioon Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a; b]. Siis tükelduse n igal osalõigul [xi-1; xi ] leiduvad lõplikud ülemine ja alumine raja Mi := sup f (x) ja mi := inf f (x) ning me saame defineerida
i i Määramata integraal on lineaarne operaator, st ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide ξi valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud b ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ja/või ∫ cf ( x ) dx =c
Teooria 3 1.Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = ∑ . Kui eksisteerib piirväärtus = ∑ , mis ei sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse ∫ . 2. Darboux ülem-ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos. Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a,b]. Siis tükelduse igal osalõigul [ ] leiduvad
[a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et =1 ( ) + ()( - -1 ) + ( ()( - ) + =+1 ( ) ) + (( ) - *Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F ja t = (x) on diferentseeruv, siis kehtib funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust ()) = 1 () + 2 () + (( ) - ()) kus 1 on lõigu [, ] tükeldus muutujate vahetuse valem nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul punktidega x0,x1, ..., xk-1 , c ja 2 on lõigu [, ] tükeldus punktidega c, xk, ..., xn-1, xn.
Järelikult '(x)= Et x, kui x0, siis ja funktsiooni f(x) pidevuse tõttu Sellega on teoreem tõestatud. 24. NEWTON-LEIBNIZI VALEM Kui F(x) on pideva funktsiooni y=f(x) algfunktsioon lõigul [a,b] siis kehtib valem =F(b)-F(a) TÕESTUS Olgu f(x) lõigus [a,b] integreeruv Funktsioon, millel on olemas algfunktsioon F(x) selles lõigus, s.t. F´(x)=f(x) iga x puhul lõigus [a,b]. x G ( x ) =f (t )dt Juhul, kui f(x) on pidev lõigus [a,b], siis funktsioon a on teoreemi (Kui lõigus [a,b] integreeruv funktsioon f(t) on pidev kohal x, siis G(x) on diferentseeruv kohal x, kusjuures G
algfunktsioon selles lõigus Näited: 25. Kõvertrapetsi pindala leidmise ülesanne. Määratud integraali mõiste. Tähistused. Teoreemid integreeruva funktsiooni kohta. Geomeetriline tähendus. Ülesanne: Mõiste: funktsiooni f(x) määratud integraaliks nimetakse piirväärtust rajades a-st b-ni Tähistused: a= integraali alumine rada b= integraali ülemine rada Teoreemid: TEOREEM: Lõigus {a,b} pidev funktsioon f(x) on integreeruv selles lõigus TEOREEM: Lõigus {a,b} monotoone funktsioon f(x) on integreeruv selles lõigus TEOREEM: Lõigus {a,b} integreeruv funktsioon f(x) on tõkestatud selles lõigus Geomeetriline tähendus: kui funktsioon f(x) on lõigus {a,b} integreeruv ja mittenegatiivne (f(x)>0), siis integraal kõvertrapetsi pindala 26. Määratud integraali arvutamine Newton-Leibnizi valemi abil (valem). b ∫ f ( x ) dx=F ( b )−F (a) a 27
2) af(x)dx=a f (x)dx 3) ( f (x)dx)'= f (x) 4) dF(x) =F(x)+c 9. Määratud integraal ja tema omadused Piirväärtust nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks (ehk Riemanni integraaliks) lõigus [a; b] ja kirjutatakse Arve a ja b nimetatakse radadeks. 10. Piisavad ja tarvilikud tingimused funktsiooni integreeruvuseks. x a kus a ei tohi võrduda ühega, ehk a 1 Määratud integraali jaoks on vaja teada Newton Leibnisi valemit. Lõigus pidev funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud monotonne funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud funktsioon, millel on lõplik arv katkevuspunkte, on integreeruv selles lõigus. Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad mingis lõigus, siis ka nende korrutis fg on integreeruv selles lõigus. Funktsiooni integreeruvuseks mingis lõigus on tarvilik, et ta oleks tõkestatud selles lõigus. 11. Tuletada ristkülikvalem n = 2 (n = 3) korral. 12 Tuletada trapetsvalem n = 2 (n = 3) korral.
Jaotan lõigu osalõikudeks [xi-1,xi], kusjuures
a=x0
korral. Niisiis, I∗ (f) on hulga {S (T) | T ∈ } alumine tõke. Seega on see hulk alt tõkestatud, mistõttu tal leidub alumine raja I∗ (f) := inf {S (T) | T ∈ }, seda nimetatakse funktsiooni f Darboux' ülemintegraaliks. Alumine raja kui suurim alumine tõke ei saa olla väiksem alumisest tõkkest I∗ (f), j¨arelikult I∗ (f) ≤ I∗ (f) . Öeldakse, et lõigus [a, b] tõkestatud funktsioon f on selles lõigus integreeruv, kui tema Darboux’ alam- ja ülemintegraal on võrdsed, s.t. I ∗ (f) = I∗ (f) . 48. Tarvilik ja piisav tingimus tõkestatud funktsiooni integreeruvuseks (*) Defineerida Darboux ülem- ja alamintegraal ja integreeruvad funktsioonid. Iga ülemsumma S (T) on kõigi alamsummade hulga {s (T) | T ∈ } ülemine tõke. Pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib sup {s (T) | T ∈ } =: I∗ (f) , arvu I∗ (f) nimetatakse funktsiooni f Darboux' alamintegraaliks
............................................... 7 1.Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused. Kui eksisteerib , mis ei sõltu osapiirkondadeks Dj jaotamise viisist ega punktide Pj Dj valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Kahekordse integraali omadusi 1. Kui funktsioon f(x,y) on pidev piirkonnas D, siis ta on ka integreeruv piirkonnas D 2. Piirkonnas D konstantne funktsioon 1 on selles piirkonnas integreeruv, kusjuures 3. Kui eksisteerib integraal ja c R, siis eksisteerib ka integraal , kusjuures 4. Kui eksisteerivad integraalid , siis eksisteerib ka integral , kusjuures 5. Kui eksisteerivad integraalid ning iga P D korral kehtib f(P)<=g(P), siis 6. Kui eksisteerib integraal ja piirkonnas D kehtib võrratus m<=f(P)<=M, siis . 2
nimetame funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks. Kui eksisteerib piirväärtus, mis ei sõltu piirkonna D osadeks jagamise viisist ega punktide Pi valikust osapiirkonnas, siis seda nimetatakse funktsiooni z=f(x,y) kahekordseks int-ks ja tähistatakse: ʃʃDf(P)dS=ʃʃDf(x,y)dxdy Omadused: Aditiivsus: Kui D=D1UD2, siis ʃʃDf(x,y)dxdy=ʃʃD1f(x,y)dxdy+ʃʃD2f(x,y)dxdy Lineaarsus: Kui funktsioonid z=f(x,y) ja z=g(x,y) on integreeruvad, siis ka funktsioon z=af(x,y)+bg(x,y) on integreeruv ja kehtib võrdus ʃʃD[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy = aʃʃDf(x,y)dxdy + bʃʃDg(x,y)dxdy Monotoonsus: Kui funktsioonid z=f(x,y) ja z=g(x,y) on integreeruvad ja f(x,y) on suurem kui g(x,y) iga (x,y)ЄD korral, siis on ka f(x,y) integraal väiksem kui g(x,y) Absoluutne integreeruvus: Kui funktsioon z=f(x,y) on integreeruv, siis ka | z=f(x,y)| on integreeruv ja kehtib võrratus | ʃʃDf(x,y)dxdy | ≤ | f(x,y) |dxdy Keskväärtusteoreem: Kui fn z=f(x,y) on integreeruv, siis leidub selline arv
Saadud treppkeha Z ruumala läheneb keha Q ruumalale, kui piirkonna D tükeldus muutub järjest peenemaks, st єn →0. Eelnevalt nägime, et treppkeha Z ruumala on võrdne ƒ integraalsummaga Vn. Järelikult kahekordse integraali defnitsiooni põhja Q ruumala= Lim Vn = ∫∫ ƒ(x,y)dxdy єn →0 D Kahekordse integraali omadusi 1. Kui funktsioon f(x,y) on pidev piirkonnas D, siis ta on ka integreeruv piirkonnas D 2. Piirkonnas D konstantne funktsioon 1 on selles piirkonnas integreeruv, kusjuures 3. Kui eksisteerib integraal ja c ϵ R, siis eksisteerib ka integraal , kusjuures 4. Kui eksisteerivad integraalid , siis eksisteerib ka integral , kusjuures 5. Kui eksisteerivad integraalid ning iga P ϵ D korral kehtib f(P)<=g(P), siis 6
a A 1− A 2 b 25. Newton- Leibnizi valem: ∫ f ( x ) dx=F ( b )−F (a) a 26. Määratud integraali omadused: a. 1. Lõigus (a;b) pidev funktsioon f(x) on integreeruv selles lõigus b. 2. Lõigus(a;b) monotoonne funktsioon f(x) on integreeruv selles loogus(kasvav või kahanev) c. 3. Lõigus (a;b) integreeruv funktsioon f(x) on tõkestatud selles lõigus(funk. Saab ette panna piirid) 27. Ositi integreerimine: ∫ udv=uv −∫ vdu 28. Määratud integraal rakendused: Tasandilise kujundi pindala leidmisel, ruumilise kujundi ruumala leidmisel, pöördkeha ruumala leidmisel, töö arvutamisel. 29
jooksul;kiirus on muutuv suurus. Diferentsiaal-korrutist f'(x)x ja tähis sümboliga dy. L'Hospital-. Algfunkt-F(x) hulgas X, kui F'(x)=f(x) hulgas X. Määramata integraal-F(x) +C(suvaline konstant), tähistat . Omadused:, 2 funkt summa määramata integr=nende funkt määra. Integ summaga; kui a on konstant, saab selle integr märgi ette tuua;2 funkt vahe määramata integr=f määram integr vahega. Asendusvõte(määratud)-muutujavahetuse võte, on pidev ja integreeruv . Ositi-kasut, kus intregeeritavaks on . Määratud integ-lõigul , mis vastab argumendi muudule . Newton-Leibniz-vahelüli määratud ja määramata integr vahel. . Määratud om: sama määramataga, kui vahetada rajad, siis muutub märk vastupidiseks. Kujundi S-f(x)0 lõik, siiis trapets on ülalt piiratud joonega y=f(x), alt x-telg, vasak ja parem sirgega x=a,x=b, S= . Ruumala-vaja h, ristlõike S(x) lõikekoha x funkt.na V=. DV-võrrand, mis seob f-ne, tuletisi ja argumente
a Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a, b] nimetatakse integreerimislõiguks. Kõigi Riemanni mõttes integreeruvate funktsioonide hulka märgime L[a, b]. 29 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Integreeruva funktsiooni tõkestatus Teoreem: Lõigus integreeruv funktsioon on tõkestatud selles lõigus. Tõestus: Oletame, et funktsioon pole lõigus [a, b] tõkestatud. Näitame, et funktsioon pole integreeruv. a < x0 < x1 < ... < x n = b Kuna f pole lõigus [a, b] tõkestatud, siis [xi -1 , xi ] , kus f pole tõkestatud. Selles lõigus M f ( i ) > M n n n n = f ( k )x k = f ( i )xi + f ( k )x k f ( i )xi - f ( k )x k f ( )xk k =m
. . , n} . Suurust λ(T ) nimetatakse mõnikord ka alajaotuse T normiks või diameetriks (mesh, шаг). Definitsioon. Kui leidub reaalarv I nii, et iga ε > 0 puhul saab leida sellise δ > 0, et kui λ (T ) < δ, siis n X f (ξk ) ∆xk − I < ε suvaliste ξk ∈ [xk−1 , xk ] korral, (5.2) k=1 siis öeldakse, et funktsioon f on lõigus [a, b] (Riemanni mõttes) integreeruv (Riemann in- tegrable, интегрируемая по Риману). Piirväärtust (5.3) nimetatakse funktsiooni f Riemanni Rb integraaliks lõigus [a, b] ja tähistatakse a f (x) dx. Märkus 1. Definitsiooni nõuet pannakse sageli lühemalt kirja järgmiselt: n X
lim Sn (f ) = lim f (i )xi , n n max xi 0 max xi 0 i=1 i i ~ loigu mis ei soltu ~ ~ [a, b] osaloikudeks jaotamise viisist ega punktide i ¨ valikust, siis oeldakse, et funktsioon f (x) on integreeruv (Riemanni ~ mottes) ~ loigul [a, b] ning seda piirva¨ artust ¨ nimetatakse funktsiooni f (x) ma¨ aratud ¨ integraaliks ehk Riemanni integraaliks loigul~ [a, b] ja ¨ tahistatakse b f (x)dx. a ¨ G
Tähistame Minnes piirile l saame Fourier' integraalvalemi: Seega oleme saanud pooldiskreetsest Fourier' reast pideva Fourier' integraalvalemi. Saab näidata, et kehtib järgnev lause: Lause: Kui f L1(R) on lokaalselt tükiti sile, siis kehtib Fourier' integraalvalem: ning igas punktis, kus f' on pidev, kehtib võrdus: 13. Fourier' integraalvalem. Olgu funktsioon f(x) lokaalselt tükiti sile vahemikus ja absoluutselt integreeruv selles vahemikus. Neil eeldustel on funktsiooni f(x) jaoks leitavad Fourier' kordajad ja Fourier' rea komplekskuju. Asendades need kordajad reaksarendusse, saame lõigul Kui tähistada , siis Ja Käsitleme seda rida kui integraalsummat. Minnes piirile , saame teatud tingimustel Seega Saadud seost nimetataksse Fourer' integraalvalemiks. 14. Fourier' teisendus. Fourier' siinus- ja koosinusteisendus.
Tähistame Minnes piirile l saame Fourier' integraalvalemi: Seega oleme saanud pooldiskreetsest Fourier' reast pideva Fourier' integraalvalemi. Saab näidata, et kehtib järgnev lause: Lause: Kui f L1(R) on lokaalselt tükiti sile, siis kehtib Fourier' integraalvalem: ning igas punktis, kus f' on pidev, kehtib võrdus: 13. Fourier' integraalvalem. Olgu funktsioon f(x) lokaalselt tükiti sile vahemikus ja absoluutselt integreeruv selles vahemikus. Neil eeldustel on funktsiooni f(x) jaoks leitavad Fourier' kordajad ja Fourier' rea komplekskuju. Asendades need kordajad reaksarendusse, saame lõigul Kui tähistada , siis Ja Käsitleme seda rida kui integraalsummat. Minnes piirile , saame teatud tingimustel Seega Saadud seost nimetataksse Fourer' integraalvalemiks. 14. Fourier' teisendus. Fourier' siinus- ja koosinusteisendus.
asuvad sellel sirgel või selle läheduses. Kahekordse integraali mõiste Kui integraalsummal eksisteerib piirväärtus protsessis n läheneb lõpmatusse, mis ei sõltu piirkonna D osadeks jaotamise viisist ja punkti Pi valikust neis osades, siis nim funktsiooni w=f(x,y) integreeruvaks piirkonnas D ja integraalsumma piirväärtust nim selle funktsiooni kahekordseks integraaliks üle piirkonna D. lim=f(x,y)dxdy n> D Lause: Kui funk. on tõkestatud piirkonnas D, siis ta on integreeruv. Kahekordse integraali omadusi Lineaarsus: [f ( x, y ) + g ( x, y )]dxdy = f ( x, y )dxdy + g ( x, y )dxdy D D D Adatiivsus: kui D = D1 D2 ; D1 , D2 ei oma ühiseid sisepunkte, siis f ( x, y)dxdy = f ( x, y)dxdy + f ( x, y)dxdy D D1 D2 Monotoonsus: kui f(x,y) g(x,y) igas piirkonna D punktis, siis f ( x, y)dxdy g ( x, y)dxdy
f ( x ) dx = f ( x ) dx b b Juhul kui a = b, siis f ( x)dx =0 a Teoreem: Funktsiooni integreeruvuseks mingis lõigus on tarvilik, et ta oleks tõkestatud selles lõigus. Iga tõkestatud funktsioon ei ole integreeruv. Piisavad tingimused funktsiooni integreeruvuseks Lõigus pidev funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud monotonne funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud funktsioon, millel on lõplik arv katkevuspunkte, on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud funktsioon, millel on loenduv hulk katkevuspunkte, s. t. mille katkevuspunktid moodustavad jada, on integreeruv selles lõigus.
F''(a) < 0 kumer punktis a,f''(a) > 0 nõgus punktis a. INEGRAAL n Reimanni summa: Sn(f)= f (i)xi i =1 n Kui eksisteerib piirväärtus limn;maxxi0 f (i)xi , mis ei sõltu lõigu [a; b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide i valikust, siis i =1 öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul[a; b] ning seda piirväärtust nim f-i f(x) määaratud integraaliks ehk Riemanni b a integraaliks lõigul [a; b] ja tähistatakse f ( x)dx ; kui ab, siis =- f ( x)dx ; kui a=b, siis kogu a b
λ=max ∆ x k . 1≤ k ≤n (L. Pallas) 5 Mida väiksem on ∆ x k , seda vähem muutub funktsioon f osalõigul [x k−1 ; x k ] , sellest tulenevalt seda täpsem on eeltoodud valem. Samuti mida peenem on [ a ; b ] tükeldus, seda täpsem on pindala valem. Definitsioon 1. lim S Funktsioon f ( x ) on integreeruv lõigul [ a ; b ] ning seda piirväärtust λ→ 0 abBA nimetatakse funktsiooni f ( x ) määratud integraaliks rajades a -st b -ni, kui piirväärtus ei ole sõltuvuses sellest, kuidas funktsiooni lõik [a ; b] on jagatud osalõikudeks [x k−1 ; x k ] , ega sellest, kuidas on valitud punktid ξ k nendel osalõikudel. Sellise piirväärtuse tähistuseks kasutatakse b ∫ f ( x ) dx , siis definitsiooni kohaselt on ta võrdne a
Piirkonda D nimetatakse integreeruvuspiirkonnaks. Kui integreeruvuspiirkonnas f 0 , siis f x, y dxdy võrdub keha ruumalaga, kus keha D on piiratud pinnaga z f x, y , xy-tasandiga z 0 ja silindrilise pinnaga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks on piirkonna D rajajoon (vt. allpool olevat joonist) Ketib järgmine Teoreem 4. Kinnises piirkonnas pidev funktsioon on integreeruv selles piirkonnas. 1.3.1 Kahekordse integraali omadused. Kahekordsel integraalil on järgmised omadused 1. Aditiivsus. Kui D D 1 D 2 , siis f x, y dxdy f x, y dxdy f x, y dxd D D1 D2 2. Lineaarsus. Kui funktsioonid z f x, y ja z g x, y on integreeruvad, siis ka funktsioon z af x, y bf x, y on integreeruv ja kehtib võrdus
Saame: abd(uv) = ab vdu+abudv (5.19). Arvutame eraldi selle avaldise vasaku poole. Kuna d(uv)=uv+C integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis Newton-Leibnitzi valemi tõttu abd(uv)=uv ab Asendame selle v~orduse seose (5.19) vasakusse poolde. Saame: uv ab = abvdu+abudv. Viies abvdu võrduse teisele poolele tuletame ositi integreerimise valemi määratud integraali jaoks: abudv= uv ab - abvdu. 48. Paaris- ja paaritufunktsioonide integreerimine sümmeetrilisel lõigul: Kui paarisf-n f(x) on integreeruv lõigul [-a,a], siis -aa f(x)dx = 20a f(x)dx. Kui paarituf-n f(x) on integreeruv lõigul [a,-a], siis aa f(x)dx =0. 49. Kujundi pindala arvutamine määratud integraali abil: Kui f(x) ja g(x) on integreeruvad f-nid lõigul [a,b] ning f(x) <=g(x) (x [a,b]), siis joontega y= f(x), y=g(x), x=a ja x=b piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala S avaldub kujul S= ab(g(x)-f(x))dx. Olgu lõigul [a,b] pidev f-n y=f(x)>=0 antud parameetriliste
f (P )dS = f (Q )S (D ) . D b Analoogia: Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b] , siis [a, b] nii, et f (x )dx = f ( )(b - a ) . a Kahekordse integraali olemasolu Piisav tingimus: Kui f on pidev piirkonnas D , siis on ta ka integreeruv selles piirkonnas. Tarvilik tingimus: Funktsiooni f integreeruvuseks piirkonnas D on tarvilik funktsiooni f tõkestatus selles piirkonnas ( M > 0 : f (P ) M P D ). 12 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 3. Kahekordse integraali arvutamine Kahekordse integraali arvutamiseks on valemid, kui D on kõvertrapets.
Tähistame Minnes piirile l → ∞ saame Fourier' integraalvalemi: Seega oleme saanud pooldiskreetsest Fourier' reast pideva Fourier' integraalvalemi. Saab näidata, et kehtib järgnev lause: Lause: Kui f ϵ L1(R) on lokaalselt tükiti sile, siis kehtib Fourier' integraalvalem: ning igas punktis, kus f' on pidev, kehtib võrdus: 13. Fourier’ teisendus. Fourier’ siinus- ja koosinusteisendus. Kui funktsioon on lokaalselt tükiti sile vahemikus ja absoluutselt integreeruv selles vahemikus, siis kehtib Fourier’ integraalvalem ja igas punktis , milles on diferentseeruv, kehtib võrdus Kujutist nimetatakse Fourier’ teisendiks ja tähistatakse sümboliga ning kujutist nimetatakse Fourier’ pöördteisendiks ja tähistatakse , kusjuures kujutust nimetatakse Fourier’ teisenduseks ja kujutist nimetatakse Fourier’ pöördteisenduseks. Seega
DEF 2 n lim Kui funktsiooni f(x) korral eksisteerib piirväärtus max xi 0 i =1 f(i)xi , siis nimetatakse funktsiooni f(x) integreeruvaks lõigul [a, b] Nüüd on oluline mõista, et integraalne alamsumma ja integraalne ülemsumma on integraalsumma erijuhtumid; kui funktsioon on integreeruv, siis nii ülem- kui alamsumma lähenevad samuti täpselt ühesugusele piirväärtusele, seega võime kirjutada võrdused: n b max xi 0 i =1 mixi = a f(x) dx lim n b max xi 0 i =1 Mixi = a f(x) dx lim 1.3 MÄÄRATUD INTEGRAALI OMADUSI
piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse f(x,y)dS. Tavaliselt c [0, ), c [0, 2pi) ja c [0, pi). Lühidalt f(x,y)dS = f(P)dS = fdS, st f(P)dS := lim(max dj0) f(Pj)Sj, kus f(Pj) = f(xj,yj). Kui eksisteerib fdS, siis öeldakse, f(x,y,z)dxdydz = ' f(cos sin , sin sin , cos ) 2sin dddz. et funktsiooni on integreeruv piirkonnas D ja tähistatakse f C I(D). F c C(D) f c I(D). Teist liiki joonintegraal. Teist liiki joonintegraali ja kahekordse integraali seos. Greeni valem.
arvutada teatud masspunktide süsteemide inertsmomente jne (vt [5], lk 462-483). 4.7 Päratud integraalid b Määratud integraali a f (x)dx definitsioonis eeldatakse, et funktsioon f on pidev ja lõik [a, b] on lõplik. Integraali mõistet on võimalik üldistada ka juhule, kui integreerimispiirkond on lõpmatu. Olgu funktsioon y = f (x) määratud poollõigus [a, +) ja integreeruv suvalisel lõigul [a, b], kus b > a. Kui leidub piirväärtus b lim f (x)dx, b+ a siis seda nimetatakse funktsiooni y = f (x) päratuks integraaliks ja tähistatakse sümboliga + b
ristküliku pindala on f(x∗i) ∆x Kogu joonealust pindala saame seega lähendada järgmise ristkülikute pindalade summaga: 𝑓(𝑥1∗ )∆𝑥1 + 𝑓(𝑥2∗ )∆𝑥2 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛∗ )∆𝑥𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑓( (𝑥𝑖∗ )∆𝑥𝑖 Funktsiooni f(x) määratud integraaliks rajades a-st b-ni nimetatakse piirväärtust Geomeetriline tähendus: Kui funktsioon f(x) on lõigus [a, b] integreeruv ja mittenegatiivne (f(x) ≥ 0), siis integraal kõvertrapetsi pindala. Kui f(x) omab ka negatiivseid väärtusi, siis iga vastav f(x)∆x on negatiivne ja seega ka pindala läheb arvesse negatiivsena. Sellisel juhul kujutab R b a f(x)dx geomeetriliselt positiivselt ja negatiivselt 𝑎 loetud pindala vahe: ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐴1 − 𝐴2 , kus A1 – x-teljest ülalpool olev pindala, A2- x-teljest allpool olev pindala 32. Määratud integraali omadused.
rajaks? Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a;b] nimetatakse integreerimislõiguks Seejuures integereerimislõigu alguspunkti a nimetatakse alumiseks rajaks ja lõigu lõpp - punkti b ülemiseks rajaks. 88.Kuidas defineeritakse määratud integraal juhul, kui alumine raja on suurem ülemisest rajast? Juhul, kui rajad on võrdsed? 89.Tarvilik tingimus selleks, et funktsioon oleks antud lõigus integreeruv. 90.Piisavad tingimused funktsiooni integreeruvuseks 91.Määratud integraali aditiivsuse omadus. 92.Määratud integraali lineaarsuse omadus. 93.Määratud integraali monotoonsuse omadus. 94.Lõigus alt ja ülalt tõkestatud funktsiooni integraali omadus. 95.Lõigus pideva funktsiooni integraali omadus. 96.Newton-Leibnizi valem. 97.Ositi integreerimise valem määratud integraali leidmisel 98.Muutujate vahetus määratud integraali leidmisel
28. Määratud (Newtoni- Leibnizi) integraal (definitsioon; omadused: aditiivsus *, lineaarsus, monotoonsus, keskväärtusteoreem*). Määratud integraal ülemise raja funktsioonina, selle funktsiooni tuletis.* Näiteid. Newton-Leibnizi integraal: kui f on pidev lõigus [a;b], siis kehtib Newton-Leibnizi integraal b f ( x ) dx = F ( b ) - F ( a ) kus funktsioon F on funktsiooni f mingi algfunktsioon. a Omadused: · Aditiivsus : Olgu funktsioon f integreeruv lõigus L. Iga a,b,c korral lõigust L kehtib seos: b c b f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx a a c TÕESTUS: Olgu F funktsiooni f algfunktsioon. Newtoni-Leibnizi integraali definitsiooni põhjal b f ( x)dx = F (b) - F (a) = F (b) - F (c) + F (c) - F (a) = a c b
funktsiooni määratud integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse: 5. Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus? Geomeetriliselt kujutab määratud integraal kõvertrapetsi abBA pindala juhul, kui y=f(x) on pidev ja mittenegatiivne lõigul [a;b] 6. Nimetada integraali omadusi. 1) 2) 3) 4) 5) kui f(x)g(x) iga x korral 7. Newton-Leibnizi valem? Olgu f(x) lõigul [a;b] integreeruv ja leidugu tal sellel lõigul algfunktsioon F(x), siis: TEOORIAKÜSIMUSED nr 7 1. Defineerida päratu integraal. Funktsiooni päratuks integraaliks rajades a-st lõpmatuseni (rajades miinus lõpmatusest a-ni) nimetatakse piirväärtust 2. Kirjeldada, mida geomeetriliselt näitab päratu integraal , kui f (x) > 0 piirkonnas [(a,). Päratu integraal on arvuliselt võrdne lõiguga OD, joonega f(x)=Re-ix ja x-teljega piiratud lahtise kujundi pindalaga
Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] 35. Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus? Geomeetriliselt kujutab määratud integraal kõvertrapetsi abBA pindala juhul, kui y=f(x) on pidev ja mittenegatiivne lõigul {a,b}. S= f(x)dx, f(x)>=0. 36. Nimetada määratud integraali omadusi. 1) Aditiivsus: kui 2) Lineaarsus: kui 3) Monotoonsus: kui funktsioonid f ja g on integreeruvad lõigus {a,b} ja f(x)<= g(x) iga 37. Newton-Leibnizi valem. Olgu f(x) lõigul integreeruv ja leidugu tal sellel lõigul algfunktsioon F(x). Siis Sageli kasutatakse ka tähistust: 38. Defineerida päratu integraal. Funktsiooni päratuks integraaliks rajades a-st lõpmatuseni (rajades miinus lõpmatusest a-ni) nimetatakse piirväärtus : Kui mõlemad rajad on lõpmatud, siis võtame suvalise punkti ja saame kirjutada: 2)Kirjeldada, mida geomeetriliselt näitab päratu integraal _a^?f (x)dx? , kui f (x) > 0 piirkonnas [(a,).
𝑛→∞ 𝑛→∞ ühtlaselt hulgal XUC ⊂ XC summaks S(x), kui iga e > 0 leidub N(ε) ϵ N, et iga n> N(ε) ja iga XϵXUC korral kehtib |Sn(x)-S(x)|<ε Kui funktsioon 𝑓(𝑥) on lokaalselt tükiti sile vahemikus (−∞, +∞) ja absoluutselt integreeruv selles vahemikus, siis kehtib 𝑎𝑘+1 > (𝑞 − 𝜀)𝑎𝑘 (𝑘 ∈ 𝑁). Seega 𝑎𝑘 > (𝑞 − 𝜀)𝑎𝑘−1 > (𝑞 − 𝜀)2 𝑎𝑘−2 > ⋯ > (𝑞 − 𝜀)𝑘−1 𝑎1 (𝑘 ∈ 𝑁). Võrreldes positiivseid (n>N(ε))
a i=1 Paljude valemite tuletamiseks (kuid mitte tõestamiseks) on kasulik ra- kendada sellist lihtsamat lähenemist. 86 9.5. Riemann'i summad Näide 9.1 Näitame definitsiooni põhjal, et konstantne funktsioon f (x) = 10, on suvalises osalõigus [a, b] integreeruv Riemann'i mõttes (vt. [22]). Olgu f (x) = 10 iga x [a, b] korral. Vaatleme lõigu [a, b] suvalist jaotusviisi a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, n N. Sõltumata lõigu jaotusviisist ja punktide ci valikust osalõikudes [xi-1 , xi ], i = 1, . . . , n, saame n n n Sn = f (ci ) · xi = 10 · xi = 10 · (xi - xi-1 ).
Kasutades eksaktse DV lahedi valemit saame eraldatud muutujatega DV üldlahendi kujul piirkond D jaotatudosapiirkondadeks, ega sellest, kuidas on valitud punktid 𝑃𝑘 osapiirkondadeks, siis seda integreeruv piirkonnas Ω ja tähistatakse f € I(Ω) .Ristkoordinaadis: Piirkonda Ω € R3 nim. regulaarseks, kui Võrrandit kujul M1(x)M2(y)dx +N1(y)N2(x)dy=0 nimetame eralduvate piirväärtust nimetatakse kahe muutuja funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tema raja ┌ koosneb lõplikust arvust pidevatest pindadest tüüpi z=z(x, y) või y=y(x,z) või x=x(y, z).
suurima M väärtuse. m M Kuna lõigul pidev funktsioon omab kõiki oma väärtusi [a, b], siis leidub punkt c nii, et 23. Muutuva ülemise rajaga integraal. Teoreemi 5.3 tõestus. 24. Newton-Leibnitzi valem. Tõestusega Teoreem. Kui F(x) on pideva funktsiooni y = f(x) algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem 25. Päratud integraalid. Mõisted ja geomeetriline tõlgendus. Teoreem. Kui pidev funktsioon y = f(x) on integreeruv igal lõigul [a, b] ( > a) ja eksisteerib lõplik piirväärtus Siis seda piirväärtust y = f(x) I liiki päratuks integraaliks rajades a-st +-ni ja kirjutatakse Geomeetriline tõlgendus: Geomeetrilises mõttes f(x) > 0 korral I liiki päratu integraal avaldab joonte y = f(x), x = a ja x telje vahele jääva tõkestamata (lõpmatu) piirkonna pindala
𝑑𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 ↔ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑑𝑥 f(x) = ∑𝑛𝑘=0 𝑘! 𝑥 𝑘 + (𝑅𝑛 𝑓)(𝑥). *Diferentsiaali omadusi: Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga. 12)b) Kui n+1)-järku tuletis on integreeruv lõigul [a,x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga 𝑑𝑦 piirprotsessi ∆𝑥 → 0. ; 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑑𝑥 ; 𝑑(𝑓 + 𝑔) = 𝑑𝑓 + 𝑑𝑔 ; 𝑑(𝑓 ∙ 𝑔) = 𝑑𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑑𝑔 ;
Ristk¨ulikute pindalade summa sn hakkab osal~oiku- de arvu kasvades t¨apsemalt iseloomustama k~overtrapetsi pindala. Seega, kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis m¨a¨aratud integraal t¨ahendab geomeetriliselt k~overtrapetsi pindala. Definitsioon 2. Funktsioone, mis rahuldavad definitsioonis 1 esitatud tingimusi, nimetatakse l~oigul [a; b] integreeruvateks funktsioonideks. Kehtib teoreem. Teoreem 1. Kui funktsioon f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis on see ka integreeruv l~oigul [a; b]. M¨ arkus. L~oigul [a; b] katkevate funktsioonide hulgas leidub nii integree- ruvaid kui ka mitteintegreeruvaid. 5.2 M¨ a¨ aratud integraali p~ ohiomadused Omadus 1 Kahe funktsiooni summa m¨a¨aratud integraal on v~ordne nende funktsioonide m¨aa¨ratud integraalide summaga: b b b
Integraal määramata integraaliks nimetatakse funktsiooni algfunktsiooni leidmist ehk tuletise pöördfunktsiooni. Määratud integraal on arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni f(x) graafiku, x-telje ning vertikaalsete sirgetega x=a ja x=b piiratud pindalaga, kui f(x) reaalarvuline muutuja x on pidev ja funktsioon on tõkestatud lõigus [a, b] Newtoni-Leibnizi valem: Olgu funktsioon f(x) lõigus [a, b] integreeruv ja leidugu tal selles lõigus algfunktsioon F(x). Siis . Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a; b] nimetatakse integreerimislõiguks. Näide. Loeng 2 · Taustkeha ja kohavektor. taustkeha ,,keha", kust kohavektor lähtub. Kohavektori muutumine väljendab uuritava keha liikumist taustkeha suhtes. Taustkehas lähtub enamasti
n -1 Summat f ( ) x i i nimetatakse funktsiooni f ( x ) integraalsummaks lõigul [ a ; b ] . i =0 Funktsiooni, mille puhul ülaltoodud piirväärtus eksisteerib sõltumata jaotuspunktide xi ja osalõikudel argumendi väärtuste i valikust, nimetatakse lõigul [ a ; b ] integreeruvaks. Kui funktsioon on mingil lõigul pidev, siis on ta sellel lõigul integreeruv. Määratud integraali omadusi Olgu funktsioonid f ( x ) ja g ( x ) integreeruvad lõigul [ a ; b ] . b b b 1. f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx . a a a 2. Kui c on konstant, siis b b cf ( x ) dx = c f ( x ) dx . a a b a 3. f ( x ) dx = - f ( x ) dx . a b
Paralleelne tööde tegemine andis meile võimaluse lubada lühemaid tähtaegu aga integreerumine muutis määramatuse suuremaks. Ja seda sellepärast, et viimane töö ei saa enne alata, kui KÕIK eelnevad tööd on lõpetatud. Kui järjestikuliste töödega projekti puhul iga üksiku töö määramatus keskmistus välja, siis paralleelsete tööde ja integreerumise puhul määramatus kordistus. Sest tõepoolest kui iga viie töö lõpetamise tõenäosus on 50% ehk ½, siis tõenäosus, et integreeruv töö saab alata õigel ajal on ½*½*½*½*½=1/32 ehk 3,125% ehk olematu. See tähendab, et projekt läheb igal juhul üle tähtaja! Piiratud ressurssidega projekt (Simulatsioon 3 ja 4) Paraku on reaalsus selline, et meil ei ole võimalik palgata projektidesse täpselt nii palju inimesi, kui meil on seal töid. Sageli peavad inimesed tegema mitut tööd projektis. Vaatame projekti kus on kavandatud kaks paralleelset tööde ahelat, kumaski on vaja teha kolme tööd ja kui
n 1 Summat f x i i nimetatakse funktsiooni f x integraalsummaks lõigul a ; b . i 0 Funktsiooni, mille puhul ülaltoodud piirväärtus eksisteerib sõltumata jaotuspunktide xi ja osalõikudel argumendi väärtuste i valikust, nimetatakse lõigul a ; b integreeruvaks. Kui funktsioon on mingil lõigul pidev, siis on ta sellel lõigul integreeruv. Määratud integraali omadusi Olgu funktsioonid f x ja g x integreeruvad lõigul a ; b . b b b 1. f x g x dx f x dx g x dx . a a a 2. Kui c on konstant, siis b b cf x dx c f x dx . a a
Ristk¨ulikute pindalade summa sn hakkab osal~oiku- de arvu kasvades t¨apsemalt iseloomustama k~overtrapetsi pindala. Seega, kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis m¨a¨aratud integraal t¨ahendab geomeetriliselt k~overtrapetsi pindala. Definitsioon 2. Funktsioone, mis rahuldavad definitsioonis 1 esitatud tingimusi, nimetatakse l~oigul [a; b] integreeruvateks funktsioonideks. Kehtib teoreem. Teoreem 1. Kui funktsioon f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis on see ka integreeruv l~oigul [a; b]. M¨ arkus. L~oigul [a; b] katkevate funktsioonide hulgas leidub nii integree- ruvaid kui ka mitteintegreeruvaid. 5.2 M¨ a¨ aratud integraali p~ ohiomadused Omadus 1 Kahe funktsiooni summa m¨a¨aratud integraal on v~ordne nende funktsioonide m¨aa¨ratud integraalide summaga: b b b
annaabi.ee 
