MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü...
-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfu...
19). Arvutame eraldi selle avaldise vasaku poole. Kuna d(uv)=uv+C integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis Newton-Leibnitzi valemi tõttu abd(uv)=uv ab Asendame selle v~orduse seose (5.19) vasakusse poolde. Saame: uv ab = abvdu+abudv. Viies abvdu võrduse teisele poolele tuletame ositi integreerimise valemi määratud integraali jaoks: abudv= uv ab - abvdu. 48. Paaris- ja paaritufunktsioonide integreerimine sümmeetrilisel lõigul: Kui paarisf-n f(x) on integreeruv lõigul [-a,a], siis -aa f(x)dx = 20a f(x)dx. Kui paarituf-n f(x) on integreeruv lõigul [a,-a], siis aa f(x)dx =0. 49. Kujundi pindala arvutamine määratud integraali abil: Kui f(x) ja g(x) on integreeruvad f-nid lõigul [a,b] ning f(x) <=g(x) (x [a,b]), siis joontega y= f(x), y=g(x), x=a ja x=b piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala S avaldub kujul S= ab(g(x)-f(x))dx. Olgu lõigul [a,b] pidev f-n y=f(x)>=0 antud parameetriliste...
DEF 2 n lim Kui funktsiooni f(x) korral eksisteerib piirväärtus max xi 0 i =1 f(i)xi , siis nimetatakse funktsiooni f(x) integreeruvaks lõigul [a, b] Nüüd on oluline mõista, et integraalne alamsumma ja integraalne ülemsumma on integraalsumma erijuhtumid; kui funktsioon on integreeruv, siis nii ülem- kui alamsumma lähenevad samuti täpselt ühesugusele piirväärtusele, seega võime kirjutada võrdused: n b max xi 0 i =1 mixi = a f(x) dx lim n b max xi 0 i =1 Mixi = a f(x) dx lim 1.3 MÄÄRATUD INTEGRAALI OMADUSI...
4.7 Päratud integraalid b Määratud integraali a f (x)dx definitsioonis eeldatakse, et funktsioon f on pidev ja lõik [a, b] on lõplik. Integraali mõistet on võimalik üldistada ka juhule, kui integreerimispiirkond on lõpmatu. Olgu funktsioon y = f (x) määratud poollõigus [a, +) ja integreeruv suvalisel lõigul [a, b], kus b > a. Kui leidub piirväärtus b lim f (x)dx, b+ a siis seda nimetatakse funktsiooni y = f (x) päratuks integraaliks ja tähistatakse sümboliga + b...
1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n sn = f (k )xk , k=1 mida nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks l~oigul [a; b]. Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on...
Määratud (Newtoni- Leibnizi) integraal (definitsioon; omadused: aditiivsus *, lineaarsus, monotoonsus, keskväärtusteoreem*). Määratud integraal ülemise raja funktsioonina, selle funktsiooni tuletis.* Näiteid. Newton-Leibnizi integraal: kui f on pidev lõigus [a;b], siis kehtib Newton-Leibnizi integraal b f ( x ) dx = F ( b ) - F ( a ) kus funktsioon F on funktsiooni f mingi algfunktsioon. a Omadused: · Aditiivsus : Olgu funktsioon f integreeruv lõigus L. Iga a,b,c korral lõigust L kehtib seos: b c b f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx a a c TÕESTUS: Olgu F funktsiooni f algfunktsioon. Newtoni-Leibnizi integraali definitsiooni põhjal b f ( x)dx = F (b) - F (a) = F (b) - F (c) + F (c) - F (a) = a c b...
Kahekordse integraali mõiste Kui integraalsummal eksisteerib piirväärtus protsessis n läheneb lõpmatusse, mis ei sõltu piirkonna D osadeks jaotamise viisist ja punkti Pi valikust neis osades, siis nim funktsiooni w=f(x,y) integreeruvaks piirkonnas D ja integraalsumma piirväärtust nim selle funktsiooni kahekordseks integraaliks üle piirkonna D. lim=f(x,y)dxdy n> D Lause: Kui funk. on tõkestatud piirkonnas D, siis ta on integreeruv . Kahekordse integraali omadusi Lineaarsus: [f ( x, y ) + g ( x, y )]dxdy = f ( x, y )dxdy + g ( x, y )dxdy D D D Adatiivsus: kui D = D1 D2 ; D1 , D2 ei oma ühiseid sisepunkte, siis f ( x, y)dxdy = f ( x, y)dxdy + f ( x, y)dxdy D D1 D2 Monotoonsus: kui f(x,y) g(x,y) igas piirkonna D punktis, siis f ( x, y)dxdy g ( x, y)dxdy...
Järelikult '(x)= Et x, kui x0, siis ja funktsiooni f(x) pidevuse tõttu Sellega on teoreem tõestatud. 24. NEWTON-LEIBNIZI VALEM Kui F(x) on pideva funktsiooni y=f(x) algfunktsioon lõigul [a,b] siis kehtib valem =F(b)-F(a) TÕESTUS Olgu f(x) lõigus [a,b] integreeruv Funktsioon, millel on olemas algfunktsioon F(x) selles lõigus, s.t. F´(x)=f(x) iga x puhul lõigus [a,b]. x G ( x ) =f (t )dt Juhul, kui f(x) on pidev lõigus [a,b], siis funktsioon a on teoreemi (Kui lõigus [a,b] integreeruv funktsioon f(t) on pidev kohal x, siis G(x) on diferentseeruv kohal x, kusjuures G...
; n ), kusjuures
a = x0 < x1 < x2 < ...
INEGRAAL n Reimanni summa: Sn(f)= f (i)xi i =1 n Kui eksisteerib piirväärtus limn;maxxi0 f (i)xi , mis ei sõltu lõigu [a; b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide i valikust, siis i =1 öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul[a; b] ning seda piirväärtust nim f-i f(x) määaratud integraaliks ehk Riemanni b a integraaliks lõigul [a; b] ja tähistatakse f ( x)dx ; kui ab, siis =- f ( x)dx ; kui a=b, siis kogu a b...
Saab näidata, et kehtib järgnev lause: Lause: Kui f L1(R) on lokaalselt tükiti sile, siis kehtib Fourier' integraalvalem: ning igas punktis, kus f' on pidev, kehtib võrdus: 13. Fourier' integraalvalem. Olgu funktsioon f(x) lokaalselt tükiti sile vahemikus ja absoluutselt integreeruv selles vahemikus. Neil eeldustel on funktsiooni f(x) jaoks leitavad Fourier' kordajad ja Fourier' rea komplekskuju. Asendades need kordajad reaksarendusse, saame lõigul Kui tähistada , siis Ja Käsitleme seda rida kui integraalsummat. Minnes piirile , saame teatud tingimustel Seega Saadud seost nimetataksse Fourer' integraalvalemiks. 14. Fourier' teisendus. Fourier' siinus- ja koosinusteisendus....
7 1.Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused. Kui eksisteerib , mis ei sõltu osapiirkondadeks Dj jaotamise viisist ega punktide Pj Dj valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Kahekordse integraali omadusi 1. Kui funktsioon f(x,y) on pidev piirkonnas D, siis ta on ka integreeruv piirkonnas D 2. Piirkonnas D konstantne funktsioon 1 on selles piirkonnas integreeruv, kusjuures 3. Kui eksisteerib integraal ja c R, siis eksisteerib ka integraal , kusjuures 4. Kui eksisteerivad integraalid , siis eksisteerib ka integral , kusjuures 5. Kui eksisteerivad integraalid ning iga P D korral kehtib f(P)<=g(P), siis 6. Kui eksisteerib integraal ja piirkonnas D kehtib võrratus m<=f(P)<=M, siis . 2...
m M Kuna lõigul pidev funktsioon omab kõiki oma väärtusi [a, b], siis leidub punkt c nii, et 23. Muutuva ülemise rajaga integraal. Teoreemi 5.3 tõestus. 24. Newton-Leibnitzi valem. Tõestusega Teoreem. Kui F(x) on pideva funktsiooni y = f(x) algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem 25. Päratud integraalid. Mõisted ja geomeetriline tõlgendus. Teoreem. Kui pidev funktsioon y = f(x) on integreeruv igal lõigul [a, b] ( > a) ja eksisteerib lõplik piirväärtus Siis seda piirväärtust y = f(x) I liiki päratuks integraaliks rajades a-st +-ni ja kirjutatakse Geomeetriline tõlgendus: Geomeetrilises mõttes f(x) > 0 korral I liiki päratu integraal avaldab joonte y = f(x), x = a ja x telje vahele jääva tõkestamata (lõpmatu) piirkonna pindala...
Diferentsiaal-korrutist f'(x)x ja tähis sümboliga dy. L'Hospital-. Algfunkt-F(x) hulgas X, kui F'(x)=f(x) hulgas X. Määramata integraal-F(x) +C(suvaline konstant), tähistat . Omadused:, 2 funkt summa määramata integr=nende funkt määra. Integ summaga; kui a on konstant, saab selle integr märgi ette tuua;2 funkt vahe määramata integr=f määram integr vahega. Asendusvõte(määratud)-muutujavahetuse võte, on pidev ja integreeruv . Ositi-kasut, kus intregeeritavaks on . Määratud integ-lõigul , mis vastab argumendi muudule . Newton-Leibniz-vahelüli määratud ja määramata integr vahel. . Määratud om: sama määramataga, kui vahetada rajad, siis muutub märk vastupidiseks. Kujundi S-f(x)0 lõik, siiis trapets on ülalt piiratud joonega y=f(x), alt x-telg, vasak ja parem sirgega x=a,x=b, S= . Ruumala-vaja h, ristlõike S(x) lõikekoha x funkt.na V=. DV-võrrand, mis seob f-ne, tuletisi ja argumente...
Määratud integraal on arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni f(x) graafiku, x-telje ning vertikaalsete sirgetega x=a ja x=b piiratud pindalaga, kui f(x) reaalarvuline muutuja x on pidev ja funktsioon on tõkestatud lõigus [a, b] Newtoni-Leibnizi valem: Olgu funktsioon f(x) lõigus [a, b] integreeruv ja leidugu tal selles lõigus algfunktsioon F(x). Siis . Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a; b] nimetatakse integreerimislõiguks. Näide. Loeng 2 · Taustkeha ja kohavektor. taustkeha ,,keha", kust kohavektor lähtub. Kohavektori muutumine väljendab uuritava keha liikumist taustkeha suhtes. Taustkehas lähtub enamasti...
Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus? Geomeetriliselt kujutab määratud integraal kõvertrapetsi abBA pindala juhul, kui y=f(x) on pidev ja mittenegatiivne lõigul [a;b] 6. Nimetada integraali omadusi. 1) 2) 3) 4) 5) kui f(x)g(x) iga x korral 7. Newton-Leibnizi valem? Olgu f(x) lõigul [a;b] integreeruv ja leidugu tal sellel lõigul algfunktsioon F(x), siis: TEOORIAKÜSIMUSED nr 7 1. Defineerida päratu integraal. Funktsiooni päratuks integraaliks rajades a-st lõpmatuseni (rajades miinus lõpmatusest a-ni) nimetatakse piirväärtust 2. Kirjeldada, mida geomeetriliselt näitab päratu integraal , kui f (x) > 0 piirkonnas [(a,). Päratu integraal on arvuliselt võrdne lõiguga OD, joonega f(x)=Re-ix ja x-teljega piiratud lahtise kujundi pindalaga 3...
a I FUNKTSIOONID Tõkestatud hulgad Ülalt ja alt tõkestatud hulgad Olgu X mingi reaalarvude hulk. Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv M , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x M , siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Ülalt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poollõigus (- , M ] . Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv m , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x m , siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Alt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poolllõigus [m, ) . Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud. Tõkestatud hulga X elemend...
D b Analoogia: Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b] , siis [a, b] nii, et f (x )dx = f ( )(b - a ) . a Kahekordse integraali olemasolu Piisav tingimus: Kui f on pidev piirkonnas D , siis on ta ka integreeruv selles piirkonnas. Tarvilik tingimus: Funktsiooni f integreeruvuseks piirkonnas D on tarvilik funktsiooni f tõkestatus selles piirkonnas ( M > 0 : f (P ) M P D ). 12 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 3. Kahekordse integraali arvutamine Kahekordse integraali arvutamiseks on valemid, kui D on kõvertrapets....