1 e 1 (1 x 2 )3 / 2 1 (1 e 2 )3 8 1 x 2 d (1 x 2 ) (1 x 2 )3 21 2 3/ 2 1 3 1 3 3 Teist liiki joonintegraal AB f ( x; y ) dx g ( x; y ) dy f (t ), (t ) ' (t ) g (t ), (t ) ' (t ) dt x cos t Näidis 1. Leida ydx xdy , kui AB on ringjoone kaar, kusjuures
z z z r 0 - r sin cos integraal näeb välja kujul f ( x; y; z )dxdydz = f (r cos sin ; r sin sin ; r cos )r sin dddr 2 V Esimest liiki joonintegraal Olgu antud tasandiline joon AB (joon)... A=Po; P1; P2;...;Pk-1; Pk;...;Pn=B [ja QkPk-1Pk; |Pk-1Pk|=sk; AB z=(x; y); (Qk)sk ja n n f (Qk )sk k =1 ning = max sk 1 k n Def: lim f (Qk ) sk 0
4)Keha inertsmomendid: Kui keha jaotustihedus piirkonnas V on antud funktsiooniga f(x,y,z) suuremvõrdne 0, siis saab leida xy-, yz- ja xz- tasandi suhtes inertsmomendid järgnevalt: VALEM Keha V inertsmomendid x-, y- või z-telje suhtes leitakse vastavalt Ix=Ixy+Ixz Iy=Ixy+Iyz Iz=Ixz+Iyz Keha inertsmoment mingi telje suhtes leitakse integraalist: VALEM, kus r on punkti kaugus teljest l. Keha inertsmoment koordinaatide alguse 0 suhtes määratakse valemiga: Io=Ixz+Iyz+Ixy 11. I liiki joonintegraal, selle omadused ja arvutamine, näide Olgu xyz-ruumis R3 antud joon AB parameetriliste võrranditega x=x(t) y=y(t) z=z(t) tЄ[α;β], kus funktsioonid x, y ja z on sellel lõigul pidevalt diferentseeruvad. Selline joon on sirgestuv. Siledaks jooneks nimetatakse seda siis, kui need pidevad tuletised ei ole korraga nullid. Kui summal VALEM on maxΔsi korral olemas piirväärtus, sõltumata tema joone osadeks jaotamise viisist ja Qi valikust, siis nimetatakse seda
Üleminek, kui tegemist on silindri ruumala leidmisega x=ρ∗cosφ , y=ρ∗sinφ, z=z 20.Üleminek sfäärikoordinaatidele (millal kasutada, üleminekuvalemid) Kui tegemist on sfääri(kera) ruumala leidmisega x=r∗cosφ∗sinθ , y=r∗sinφ∗sinθ , z=r∗cosθ 21.Kolmekordse integraali rakendusi Kujundi ruumala leidmine Piirkonna ruumala massi 22.Joonintegraalid(tasandiline ja ruumiline joonintegraal, geomeetriline tähendus). Esimest ja teist liiki joonintegraalide omadused ning erinevused. Kuidas arvutada joonintegraale? Geomeetriline tähendus: Olgu joone AB punktides f(x,y) suurem või võrdne 0-ga, siis integraal fds on „aia“ või „kardina“ pindala, mille aluseks on joon AB ja kõrguseks funktsiooni vastav väärtus Tasandiline joonintegraal on kui joon AB asetseb xy-tasandil (või yx- tasandil või zx-tasandil)
..............1 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi..................................................................................................................... 1 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid.....................................2 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides..................3 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem.................................................................................4 6.Diferentsiaalvõrrandi mõiste...................................................................................................5 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne................................................................................ 5 8.Eksaktne diferentsiaalvõrrand..................................................................................................6 9
14. Kahekordse integraali rakendusi. 15. Üleminek polaarkoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 16. Kolmekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kolmekordset integraali? 17. Üleminek silinderkoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 18. Üleminek sfäärikoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 19. Kolmekordse integraali rakendusi. 20. Joonintergaalid (tasandiline ja ruumiline joonintegraal, geomeetriline tähendus). Esimest ja teist liiki joonintegraalide omadused ning erinevused. Kuidas arvutada joonintegraale? 21. Green’i valem (mis seose annab Green’i valem?). 22. Joonintegraali rakendusi. 23. Pindintegraalid (Ostrogradski ja Stokes’i valem – mis seosed need valemid annavad?). Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali? 24. Rajade määramine integraalidel. 25
Normaalseks piirkonnaks (xy- tasandi ja x-telje suhtes) Lause Kui f € I(Ω), kus Ω={(x,y,z)€R3 | (a ≤ x ≤ b) ˄ (φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)) ˄ (ψ1 (x, y) ≤ z ≤ ψ2 (x, y))} Siis Vaatleme üleminekut silinderkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt € [0, +lõpmatus) φ € [0, 2π). Vaatleme üleminekut sfäärkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt ρϵ[0 , +lõpmatus), φ ϵ [0,2Π) ψ ϵ [0, Π]. 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem. Teist liiki joonintegraal Kui eksisteerib piirväärtus Mis ei sõltu joone Г osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont Г ja tähistatakse GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad
2h 2 R 2 2hR 4 2 2h 2 R2 0 6 2 4 0 hR 3 2 . 2. JOONINTEGRAALID 2.1 Esimest liiki joonintegraal Olgu xyz-ruumis R 3 antud joon AB parameetriliste võrranditega x xt y yt t , , z zt kus funktsioonid x, y ja z on sellel lõigul pidevalt diferentseeruvad . Sellist joont nimetatakse ka sirgestuvaks. Kui need pidevad tuletised ei ole korraga nullid, siis nimetatakse joont siledaks. Märkus. Me vaatleme edaspidi nn
kaudu: Muutuja vahetuse valemist (25.3.) saame kolmekordse integraali teisendamise valemi sfäärkoordinaatidesse: Sfäärkoordinaate kasutatakse kolmekordse integraali arvutamiseks eelkõige juhul, kui integreerimispiirkond on piiratud sfääri või selle osaga, s.t. integreerimispiirkonnaks on kera või mingi kera osa. 8. Esimest liiki joonintegraal: põhjalik selgitus joonisega (vastava joone jaotus, integraalsumma jne); joone pikkus; silinderpinna pindala; joone mass. Olgu antud ruumiline kõverjoon l otspunktidega A ja B ja olgu sellel joonel defineeritud kolme muutuja funktsioon z=f(x,y,z). Käitume järgmiselt: 1. Jaotame joone l suvalisel viisil punktidega A= A0,A1,A2,..., An=B osakaarteks . Olgu sk
Kasutades magnetvälja tugevust H, mis on otseselt seotud magnetvälja allikaga (st vool) saame 2-le Maxwelli võrrandile kuju: III võrrand integraalsel kujul: Faraday induktsiooni seadus Kolmas Maxwell`i võrrand on tuntud kui Faraday seadus.Faraday seaduse järgi elektrivälja E joonintegraal mööda kinnist kontuuri L võrdub magnetvoo negatiivse muutusega ajas läbi kontuuri poolt ümbritsetud pinna S. Nagu varem mainitud, see joonintegraal on võrdne genereeritud pingega või emf`iga kontuuris. Kasutades magnetvälja induktsiooni B saab 3. Maxwell`i võrrand kuju: IV Võrrand integraalsel kujul: Ampere'i vooluringi seadus Neljas Faraday võrrand on tuntud, kui Ampere'i vooluringi seadus. Seadus erineb mõnevõrra Ampere'i seadusest, mida on kirjeldatud osas Ampere'i seadus.Ampere'i vooluringi seadus väidab, et joonintegraal üle magnetvälja tugevuse H mööda kinnist kontuuri L, suvalisel ajahetkel t on võrdne
17. Silinderkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse. Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse. 18. Sfäärkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse. 19. Defineerida esimest liiki joonintegraal. 20. Esimest liiki joonintegraali rakendusi. 1. Saab arvutada joone L pikkuse: ehk 2. Kui L on materiaalne joon pideva joontihedusega (P), siis selle joone mass avaldub esimest liiki joonintegraaliga. 21. Esimest liiki joonintegraali omadusi. 1) [F1 (P) + F2(P)]dL= F1(P)dL + F2(P)dL L L L 2) C F (P)dL = C F(P) kus C on konstant L L 3) Olgu joone otspunktid M ja N
Impilss ehk liikumishulk p= mv Kulgliikumise diferentsiaalvõrrand a=1/m *F r= d²r/dt²=1/m *F Kulg diferentsvõrr lahendamine jõu puudumisel ning konstantse jõu korral (tuletusega) a) kui jõud on null, x=0 d/dt (dx/dt)=0 dx/dt=v0x=const, dx=voxdt voxdt=voxt+x0 , kus vox ja x0 on koordinadi väärtusega ajahetkel t=0. b) kui j]ud on konstantne (raskujõud: F=mg, hõõrdejõud: F=P), on võrrandi lahendiks polünoom x= x0 + vox*t + ax/2 *t²; ax=1/m *Fx Töö: skalaarkorrutis ja joonintegraal A=Fs=Fscos((Fs)), kus s=r=r2-r1 ning ((Fs)) tähistab vektorite vahelist nurka. Sirgliikumise ninh muutumatu jõu korral saab tööd arvutada vektorite skalaarkorrutisena: A=F*s= Fxdx + Fydy + Fzdz Pikema liikumise korral tuleb töö leidmiseks võtta integraal A=F(t,r)dr=(Fxdx+Fydy+Fzdz) Kineetiline energia kulgliikumisel v=at=1/m *F*t s=1/2 *at²= 1/2m *Ft² ja töö A=1/2m *Ft² *F=1/2m *F²t² suuruse Ft leiame kiiruse valemist: v=1/m *Ft Ft=mv ja asendame töö valemisse: A=1/2m
välisjõud. Masskeskme teoreem: kui mingile kehade süsteemile ei mõju väliseid jõudusid või nad on tasakaalus, siis selle süsteemi masskese liigub konstantse kiirusega või seisab paigal. 26. Milliseid jõudusid nimetatakse konservatiivseteks, milliseid dissipatiivseteks jõududeks? Tuua näiteid. Konservatiivsed jõud on jõud, mille töö ei sõltu jõu rakenduspunkti poolt läbitud trajektoori kujust ega pikkusest. Seega tuleb välja, et konservatiivse jõu korral joonintegraal ei tohigi sõltuda joone kujust. Konservatiivsete jõudude korral on töö üle kinnise trajektoori. (nt. Raskusjõud, staatiline elektriväli, elastusjõud) Dissipatiivseteks jõududeks nimetatakse jõudusid, mille töö oleneb jõu rakenduspunkti poolt läbitud trajektoori kujust ja pikkusest.(nt. Hõõrdejõud, takistusjõud) 27. Kui suur on raskusjõu töö horisontaalsel pinnal sõitva auto korral, mille mass on m? (Põhjendada) 28. Keha massiga m langeb vabalt kõrguselt h
r- punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist. Üleminekuvalemid: x = r sin cos , y = r sin sin , z = cos , J = r 2 sin f ( x, y, z )dxdydz = f (r sin sos , r sin sin , r cos )r sin drdd 2 D Esimest liiki joonintegraali mõiste, omadusi, tema arvutamine ja rakendusi I liiki joonintegraal vaatame int.-i kaare pikkuse järgi. Eeldused: sileda joone kaar, otspunktidega A ja B. Sellel määratud pidev funktsioon f(P), P AB (kaar võib olla nii tasandil kui ka ruumis). Konstr: jaotame kaare AB punktidega Ai n osadeks (i=0 A=A0, i=n An=B) n n = f ( Pi )S i - int. summa, S i - kaare pikkus i =1 Def: Kui int.summal leidub protsessis, kus n piirväärtus, mis ei sõltu kaare osadeks jaotamise viisist ja Pi valikust osades, öeldakse, et funk. on int
Tavaliselt c [0, ), c [0, 2pi) ja c [0, pi). Lühidalt f(x,y)dS = f(P)dS = fdS, st f(P)dS := lim(max dj0) f(Pj)Sj, kus f(Pj) = f(xj,yj). Kui eksisteerib fdS, siis öeldakse, f(x,y,z)dxdydz = ' f(cos sin , sin sin , cos ) 2sin dddz. et funktsiooni on integreeruv piirkonnas D ja tähistatakse f C I(D). F c C(D) f c I(D). Teist liiki joonintegraal. Teist liiki joonintegraali ja kahekordse integraali seos. Greeni valem. 1dS := SD Kui eksisteerib piirväärtus lim(max sj 0) (j=0, n) X(Qj) xj + Y(Qj) yj + Z(Qj) zj, mis ei sõltu joone osakaarteks
5 39. Reaalvedeliku voolamise põhivõrrand Navier-Stokes'i võrrand 40. Keerisvoolamise põhimõisted Trajektoor, Euleri meeetod, voolujooned, täistuletis, lokaalne tuletis, adektiivne tuletis. 41. Keerise tsirkulatsioon . Kehade uhtumine vedelikega (voolamine ümber kehade). Mis on piirikiht? Hõõrdetakistus piirikihis? Keerise tsirkulatsioon on joonintegraal mööda suvalist kinnist kontuuri kiirusvektori v ja kontuurielemendi raadiusvektori r difrensiaali dr skalaarkorrutisest. Kui tahked kehad on ümbritsed teda uhtuvate gaaside või vedelikega, siis sellist voolamist nim välisuhtumiseks. Kuna reaalsed vedelikud gaasid-vedelikud on viskoossed vedelikud, siis vedelike ja kehade vahel toimivad jõud, mida me tinglikult saame jagada kaheks komponendiks : · takistusjõud, jõud, mis on kehade liikumisesuunaline
i =1 Fdx +Gdy = - Fdx +Gdy Kaks viimast võrdust kokku liites saame Funktsioonide F ja G joonintegraal kahe punkti M ja N vahel ei sõltu Leibnitzi tunnus b neid punkte ühendavast integreerimisteest, vaid ainult nende punktide Kui vahelduvate märkidega reas a1a2+a3a4, ..., liikmed on sellised, et
Tähistus vastavalt: fdx , f (P )dx AB AB või fdy , f (P )dy AB AB Aditiivsuse, lineaarsuse ja monotoonsuse omadused ning keskväärtusteoreem on joonintegraali puhul analoogsed kahe- ja kolmekordse integraali vastavate omadustega. Esimest liiki joonintegraali spetsiifilised omadused Omadus. Esimest liiki joonintegraal ei sõltu joonel liikumise suunast, st fds = fds . AB BA Omadus. AB ds = s( AB ) , kus s( AB ) on joone AB pikkus. Teist liiki joonintegraali spetsiifilised omadused Omadus. AB fdx = - fdx , fdy = - fdy . BA AB BA Omadus
L a 27. Kahekordse- ja joonintegraali vaheline seos. Greeni valem Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D mille rajajoon on tükiti sile, siis kehtib Greeni valem lXdx+Ydy=ll(Yx-Xy)dxdy=ll(dY/dX-dX/dY)dxdy D D kusjuures piirkonna D rajajoont läbitakse positiivses suunas, st liikudes mööda rajajoont jääb piirkond D vasakule. Joonintegraal tuleb võtta positiivses suunas. Olgu xy-tasandil antud regulaarne piirkond D, mis on piiratud kinnise kontuuriga L. Olgu piirkonnas D antud funktsioonid F ja G. Leiduvad arvud ab, ja funktsioonid f1(x)f2(x), nii et piirkond D on antud võrratustega axb ja f1(x)yf2(x). b f 2 ( x) b Fy ( x, y )dxdy = dx Fy ( x, y )dy = dxF ( x, y ) | f12 ( x ) =
(8.3) . Praktiliselt lahendatakse Bernouille nii nagu lineaarne võttes . 8. Eksaktne võrrand Def 8.1 Esimest järku dif-võr (8.1) On eksaktne kui on täidetud tingimus: (8.2) Teoreem 8.1 Tingimus (8.2) on piisav ja tarvilik, et leiduks selline funktsioon , et (8.3) . Võrrandi (8.1) vasak pool omandab kuju: (8.4) du=0, mille üldlahendiks on (8.5) . Tuletame meelde joonintegraali potentsiaali mõiste. Vaatleme joonintegraali: (8.6) , kus vektorväli Teoreem 8.2 Joonintegraal (8.6) ei sõltu integreerimisteest L, siis ja ainult siis, kui on täidetud tingimus: (8.7) . Tingimus (8.7) on piisav ja tarvilik, et väli oleks potnetsiaalne, kusjuures ehk ja , u(x,y) on potentsiaal. Kui väli on potentsiaalne, siis Kui P(x0,y0) ja Q(x,y), seega eksaktse võrrandi lahendi ja välja potnetsiaali leidmine toimub sama valemi abil. (8.8) . Algpunktiks P(x0,y0) võib valida suvalise punkti, milles A(x,y) ja B(x,y) on määratud punkti ümbrusega.
Sellisel juhul punktis P0 kas 𝜕𝑥 = 0 esimene piirväärtus ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ja teine ∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 . Omadus 2. Kui c on konstant, siis 8. Teist liiki joonintegraal. Teist liiki joonitegraali ja kahekordse integraali seos. Greeni valem.Kui või puudub. Samuti on lokaalne ekstreemum tasandilõikel tasandiga x = x0, st ühe muutja funktsioonil z = ∬𝐷 𝑐𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑐 ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, st konstantse teguri saab tuua integraali märgi alt välja. Omadus 3
ja see ei s~oltu joone AB osakaarteks jaotamise viisit ega punktide Qk valikust osakaartel, siis seda piirv¨a¨artust nimetatakse funktsiooni f (x, y) esimest lii- ki joonintegraaliks u ¨le joone AB ehk joonintegraaliks kaare pikkuse j¨argi ja t¨ahistatakse f (x, y)ds AB Vahetult definitsioonist j¨arelduvad esimest liiki joonintegraali omadused. Omadus 1. Esimest liiki joonintegraal ei s~oltu joone l¨abimise suunast, st f (x, y)ds = f (x, y)ds AB BA Omadus 2. (Aditiivsuse omadus) Kui C on mingi joone AB punkt, siis f (x, y)ds = f (x, y)ds + f (x, y)ds AB AC CB Omadus 3. [f (x, y) ± g(x, y)]ds = f (x, y)ds ± g(x, y)ds
Jõudude puudumisel või nende summa võrdumisel nulliga liigub keha ühtlaselt (muutumatu kiirusega). b) Kui jõud on konstantne (raskusjõud: , hõõrdejõud: ), on võrrandi lahendiks polünoom . Konstantse jõu korral keha kiirus kasvab või kahaneb ühtlaselt (muutumatu kiirendusega). Loeng 4 · Töö valemid: skalaarkorrutis ja joonintegraal. , kus ning tähistab vektorite vahelist nurka. Sirgliikumise ning muutumatu jõu korral saab tööd arvutada vektorite skalaarkorrutisena: . Kõverjoonelisel liikumisel või muutuva jõu korral kehtib töö valem lõpmata väikesel nihkel . Pikema liikumise korral tuleb töö leidmiseks võtta integraal:
[a, b] osaloikudeks jaotamisest. Sirgestuva joone pikkus s avaldub kujul s := lim (xj )2 + (yj )2 + (zj )2 max tj 0 j ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 2 / 10 Joone pikkuse arvutamine Esimest liiki joonintegraal Esimest liiki joonintegraal Definitsioon Kui eksisteerib piirva¨ artus ¨ n lim f (Qj )sj , max sj 0 j=0 ~ joone osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust mis ei soltu osakaares Pj-1 Pj (j = 1,. . . , n), siis nimetatakse seda piirva¨ artust
cos B, dl 1 , mistõttu B dl Bdl . Lõpmata pikka sirgjuhet läbiv vool tekitab endast kaugusel r magnetilise induktsiooni I B 0 , 2 r vt. (14.4a). Siis vektori B tsirkulatsioon piki juhet ümbritsevat ringjoont avaldub I I I C B ( L) 0 dl 0 dl 0 dl . L 2 r 2 r L L L Joonelemendist võetud joonintegraal piki mingit kõverat võrdub selle kõvera pikkusega, s.t. antud juhul dl L . Järelikult saame magnetilise induktsiooni vektori tsirkulatsiooni L arvutamiseks mööda lõpmata pikka vooluga sirgjuhet ümbritseva ringjoont valemi C B ( L ) B dl 0 I , L võrdudes ringjoonega ümbritsetud voolu ja konstandi 0 korrutisega. Saadud tulemust on
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
