Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID (0)

Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
§1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks.
Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1
m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1 i m ) punkti P koordinaatideks .
Fikseerime punkti A = ( x1 ,..., x m ) R m ja reaalarvu r > 0 .< Def. Hulka B( A, r ) = P R m : d (P, A) Def. Hulka B ( A, r ) nimetatakse kinniseks keraks ruumis R m . Punkti A nimetatakse kera keskpunktiks ning reaalarvu r kera raadiuseks .
R 1 = R - arvsirge d (P, Q ) = x - y B( A, r ) = (a - r , a + r ) - vahemik
R 2 - koordinaattasand d (P , Q ) = (x1 - y1 )2 + (x 2 - y 2 )2 B( A, r ) D hulk D on kinnine 3) D = [a, b ) 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus Olgu antud funktsioon z = f (P ) = f (x1 ,..., x m ) P D ja punkt A D D .
Def. Arvu nimetatakse funktsiooni z = f (P ) piirväärtuseks punktis A , kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv ( ) > 0 nii, et kehtib võrratus
f (P ) - Kirjutame: lim f (P ) = või lim f (x1 ,..., x m ) = või f (P ) kui P A P A x1 ,..., xm a1 ,..., am
4. Mitme muutuja funktsiooni pidevus Olgu antud funktsioon z = f (P ) P D R m ja punkt A D D . Def. Funktsiooni z = f (P ) nimetatakse pidevaks punktis A , kui lim f (P ) = f ( A) ning P A
pidevaks hulgas D , kui ta on pidev selles hulga igas punktis P D . Funktsiooni z = f (P ) nimetatakse pidevaks kõikjal, kui ta on pidev hulgas R m .
Def. Mitme muutuja funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest rakendades lõpliku arvu aritmeetilisi tehteid ja liitfunktsiooni moodustamisi, nimetatakse mitme muutuja elementaarfunktsiooniks.
Väide. Kõik mitme muutuja elementaarfunktsioonid on oma määramispiirkonnas pidevad .
Def. Punkti A D D nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks, kui funktsioon pole pidev selles punktis. Punkt A on funktsiooni z = f (P ) katkevuspunkt, kui kehtib üks järgmistest: 1. punkt A ei kuulu funktsiooni määramispiirkonda; 2. ei eksisteeri piirväärtust lim f (P ) ; P A
3. ei kehti võrdus lim f (P ) = f ( A) . P A
2 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 5. Mitme muutuja funktsiooni osatuletis Olgu antud funktsioon z = f ( x1 ,..., x m ) . Olgu argumendi xi (1 i m ) muut xi .
Def. Funktsiooni z = f ( x1 ,..., x m ) osatuletiseks muutuja xi (1 i m ) järgi punktis P( x1 ,..., x m ) nimetatakse piirväärtust
f ( x1 ,..., xi -1 , xi + xi , xi +1 ,..., x m ) - f ( x1 ,..., x m ) f xi := lim . xi 0 x i
f z Tähistus: f xi = f xi (P ) = z xi = = xi xi
Osatuletise leidmine: Funktsiooni z = f ( x1 ,..., x m ) osatuletiste leidmisel muutuja xi (1 i m ) järgi kasutatakse ühe muutuja funktsiooni tuletise leidmise eeskirju, lugedes need muutujad, mille järgi parajasti osatuletist ei leita, konstantideks.
Osatuletise geomeetriline tähendus z = f(x, y) z x z = f ( x, y ) f x (a, b ) on joone x := punktis A võetud c y = b A´ puutuja tõus tasandil y = b . f x (a, b ) = tan
y=b b Analoogselt: y z = f ( x, y ) f y (a, b ) on joone y := punktis A võetud a A x = a x puutuja tõus tasandil x = a . f y (a, b ) = tan
Tõestus. Funktsiooni z = f ( x, y ) graafik on pind z = f (x, y ) ( x, y ) D . Fikseerime punkti A = (a, b ) D . Vastav punkt pinnal z = f ( x, y ) on A = (a, b, f (a, b )) .
z = f ( x, y ) Pinna z = f ( x, y ) ja tasandi y = b lõikejoon on x := . y = b Joon x ja tema puutuja asuvad tasandil y = b ja punktis A võetud puutuja tõus on funktsiooni f ( x, b ) - f (a, b ) z = f ( x, b ) tuletis punktis a , kuid seejuures f ( x, b ) = f x (a, b ) = lim . x =a x 0 x Seega f x (a, b ) on joone x punktis A võetud puutuja tõus tasandil y = b .
3 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
6. Pinna z = f (x, y ) puutujatasand ja normaal Def. Pinna z = f ( x, y ) puutujaks punktis A = (a, b, f (a, b )) nimetatakse sellel pinnal asuva ja punkti A läbiva joone puutujat.
Väide. Kui punktis A = (a, b ) leiduvad pidevad osatuletised f x ja f y , siis pinna z = f ( x, y ) puutujad punktis A = (a, b, f (a, b )) asuvad kõik samal tasandil. Seda tasandit nimetatakse pinna z = f ( x, y ) puutujatasandiks punktis A .
Puutujatasandi võrrand: Pinna z = f ( x, y ) puutujatasandi võrrand punktis A = (a, b, c ) c = f (a, b ) on (z - c ) = f x (a, b )( x - a ) + f y (a, b )( y - b ) .
Tõestus. Olgu antud tasand, mis läbib punkti A = (a, b, c ) c = f (a, b ) ja mille normaal on ( r ~ ~ ~ ) ~ ~ ~ ~ n = A, B , C , siis A( x - a ) + B ( y - b ) + C ( z - c ) = 0 . Olgu C 0 . ~ ~ ~ ~ Tähistame k := - A C , l := - B C , siis (z - c ) = k ( x - a ) + l ( y - b ) . Vastavalt osatuletiste f x (x, y ) ja f y ( x, y ) geomeetrilisele tähendusele on joonte x ja y z - c = f x (a, b )( x - a ) z - c = f y (a, b )( y - b ) puutujavõrrandid vastavalt ja . y = b x = a Kuna need puutujad asuvad samuti puutujatasandil, siis võttes puutujatasandi võrrandis y = b , saame esimese puutujavõrrandi abil k = f x (a, b ) ning võttes puutujatasandi võrrandis x = a , saame teise puutujavõrrandi abil vastavalt l = f y (a, b ) . Seega on punktis A = (a, b, c ) c = f (a, b ) pinna z = f ( x, y ) puutujatasandi võrrand (z - c ) = f x (a, b )( x - a ) + f y (a, b )( y - b ) .
Def. Pinna z = f ( x, y ) normaaliks punktis A = (a, b ) nimetatakse punktis A = (a, b, f (a, b )) võetud puutujatasandi normaali . Puutujatasandi võrrandist saame normaali (normaalivektori) n = (- f x ( A),- f y ( A),1) . r
x-a y -b z-c Normaali kui sirge võrrand on seega = = . - f x (a, b ) - f y (a, b ) 1
7. Kõrgemat järku osatuletised Vaatleme funktsiooni z = f ( x, y ) . Vastavused P = (x, y ) f x (P ) , P = (x, y ) f y (P ) määravad taas kahe muutuja funktsioonid. Võime leida nendest osatuletised (teist järku osatuletised): ( f x ) = 2f ( f y ) = 2f ( fx ) = f (fy )= f 2 2 2 2 f xx = f yy = f xy = f yx = x x y y y xy x yx Viimaseid kahte teist järku osatuletist nimetatakse segatuletisteks. Teoreem 1 (Schwarzi teoreem). Kui funktsiooni f ( x, y ) osatuletised f xy ja f yx on pidevad punktis P = ( x, y ) , siis f xy (P ) = f yx (P ) .
4 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 8. Mitme muutuja funktsiooni diferentseeruvus , täisdiferentsiaal Olgu antud funktsioon z = f (P ) , kus P D R m . Olgu argumendi xi (1 i m ) muut xi .
Valime punkti Q = ( x1 + x1 ,..., x m + x m ) . Siis funktsiooni muut f = f (Q ) - f (P ) .
Def. Funktsiooni z = f (P ) nimetatakse punktis P diferentseeruvaks, kui tema muut avaldub kujul f = f x1 (P )x1 + ... + f xm (P ). Seejuures avaldist df (P ) = f x1 (P )x1 + ... + f xm (P )xm nimetatakse funktsiooni f (esimest järku e. esimeseks) täisdiferentsiaaliks punktis P .
Siin = 1 x1 + ... + m x m = o( ) , kus = d (P, Q ) ehk lim = 0. 0 Olgu z = f ( x1 ,..., x m ) = xi 1 i m . Siis df = dxi = ( xi ) xi xi = 1 xi = xi .
Järelikult dxi = xi ehk argumendi diferentsiaal on võrdne argumendi muuduga.
Täisdiferentsiaali sagedasem kuju: df = f x1 (P )dx1 + ... + f xm (P )dxm .
Liidetavaid f xi (P )dxi i = 1, ..., m nimetatakse funktsiooni f osadiferentsiaalideks punktis P .
Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali geomeetriline tähendus Geomeetriliselt tähendab funktsiooni f täisdiferentsiaal funktsiooni f graafiku puutujatasandi aplikaadi (e. z-koordinaadi) muutu. Tõestus. Funktsiooni z = f (P ) diferentseeruvus kohal P = ( x0 , y 0 ) tähendab geomeetriliselt, et pinnal z = f (P ) on punktis P = (x0 , y 0 , z 0 ) z 0 = f (x0 , y 0 ) olemas z- teljega mitteparalleelne puutujatasand (z - z 0 ) = f x (P )( x - x0 ) + f y (P )( y - y 0 ) .
Et leida täisdiferentsiaali df geomeetrilist tähendust, vaatleme puutujatasandil punkti S = ( x, y, z ) , mille abtsiss on x = x0 + h ja ordinaat y = y 0 + k . Asendades need kaks koordinaati puutujatasandi võrrandisse, saame punkti S aplikaadi z jaoks: (z - z 0 ) = f x (P )h + f y (P )k = df , kus vahe z - z 0 kujutab puutujatasandi aplikaadi muutu RS . Siin R = ( x, y , z 0 ) . Niisiis , geomeetriliselt tähendab funktsiooni f täisdiferentsiaal funktsiooni f graafiku puutujatasandi aplikaadi muutu.
5 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
9. Kõrgemat järku täisdiferentsiaalid Olgu antud funktsioon z = f (P ) , kus P D R m . Olgu argumendi xi (1 i m ) muut xi .
Täisdiferentsiaal df on fikseeritud x1 ,..., x m korral funktsioon.
Def. Kui funktsioon df on diferentseeruv , siis täisdiferentsiaali d (df ) nimetatakse funktsiooni f teist järku (teiseks) täisdiferentsiaaliks.
Tähistame: d 2 f = d (df )
Üldiselt: Funktsiooni f n-järku täisdiferentsiaal avaldub kujul d n f = d d n -1 f . ( ) 2-muutuja funktsiooni 2. täisdiferentsiaal: d 2 f = f xx dx 2 + 2 f xy dxdy + f yy dy 2 n n n z 2-muutuja funktsiooni n-is täisdiferentsiaal: d n z = n - k k dx n - k dy k k = 0 k x y
10. Tuletis antud suunas Olgu antud funktsioon z = f ( x, y ) . Fikseerime punkti P = ( x, y ) . Rakendame punktist P r vektori s = PR . Võtame vektoriga määratud kiirel punkti Q = ( x + x, y + y ) . Tähistame = PQ = d (P, Q ) .
f (P ) f (Q ) - f (P ) r Def. Piirväärtust r = lim nimetatakse funktsiooni f tuletiseks vektori s s 0 suunas punktis P .
Teoreem 2: Kui funktsioon f ( x, y ) on diferentseeruv punktis P , siis leidub f (P ) r r = f x (P ) cos + f y (P ) cos , kus s e = (cos , cos ) on vektori s suunaline ühikvektor. s Tõestus. Kuna f on diferentseeruv, siis (p. 8 põhjal).
f (Q ) - f (P ) f x (P )x + f y (P )y + 1 x + 2 y 1 x 2 y = = f x (P ) cos + f y (P ) cos + + x y Tegime asenduse = cos , = cos ( cos = sin , seega cos 2 + cos 2 = 1 ).
x x y = (x )2 + (y )2 , seega x, y 0 0 ning = 1, 1. (x ) 2 + (y ) 2
Funktsiooni f diferentseeruvuse tõttu 1 , 2 0 kui x, y 0 . x y f (Q ) - f (P ) Seega 1 +2 0 , kui 0 ning lim = f x (P ) cos + f y (P ) cos . 0
6 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
Def. Funktsiooni z = f ( x, y ) gradiendiks punktis P = ( x, y ) nimetatakse vektorit f (P ) = grad f (P ) = ( f x (P ), f y (P )) . r Seega võime funktsiooni f tuletise vektori s suunas punktis P arvutada skalaarkorrutise abil: r f (P ) s r = grad f (P ) s e , kus s e = r . s s
Analoogiliselt f ( x, y, z ) korral: s e = (cos , cos , cos ) , grad f (P ) = ( f x (P ), f y (P ), f z (P )) .
Teoreem 3: Kehtivad järgmised väited: df r 1. Tuletis r võrdub vektori grad f projektsiooniga vektori s sihile; ds df 2. Tuletis r on maksimaalne (minimaalne) kui tuletis on võetud grad f suunas ds (vastavalt vastassuunas ). Tõestus. r Olgu nurk vektorite grad f ja s vahel. 1. Skalaarkorrutise definitsiooni põhjal: f r = grad f (P ) s e =| grad f || se | cos =| grad f | cos = pr sr grad f s f f 2. r = pr sr grad f on maksimaalne kui = 0 (cos = 1) r =| grad f | s s f f r = pr sr grad f on minimaalne kui = (cos = -1) r = - | grad f | s s f r Tuletis r on seega funktsiooni f muutumise kiirus vektori s suunas: f kasvab (kahaneb) kõige s kiiremini grad f (vastavalt ­grad f ) suunas.
7 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
Ilmutamata kujul antud funktsioonid Teoreem. Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon F ( x, y ) = 0 ning punkt P0 = ( x, y ) .
1. F, Fy on pidevad punkti P0 ümbruses;
2. F (P0 ) = 0 ;
3. Fy (P0 ) 0 ;
4. leidub Fx , mis on pidev punkti P0 ümbruses.
Kui kehtivad väited 1 ­ 3, siis funktsioon F ( x, y ) = 0 määrab punkti P0 ümbruses pideva funktsiooni y = y ( x ) . Kui kehtivad väited 1 ­ 4, siis leidub punkti P0 ümbruses pidev funktsioon y :
Fx y = - . Fy
Teoreem. Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon F ( x, y, z ) = 0 ning punkt P0 = ( x, y, z ) .
1. F, Fz on pidevad punkti P0 ümbruses;
2. F (P0 ) = 0 ;
3. Fz (P0 ) 0 ;
4. leiduvad Fx ja Fy , mis on pidevad punkti P0 ümbruses.
Kui kehtivad väited 1 ­ 3, siis funktsioon F ( x, y, z ) = 0 määrab punkti P0 ümbruses pideva funktsiooni z = z ( x, y ) . Kui kehtivad väited 1 ­ 4, siis leiduvad punkti P0 ümbruses pidevad funktsioonid z x ja z y :
Fx Fy zx = - , zy = - . Fz Fz
Ilmutamata funktsiooniga F ( x, y, z ) = 0 määratud pinna puutujatasand punktis P0 = ( x0 , y 0 , z 0 ) ning normaal punktis P0 avalduvad vastavalt kujul: Fx (P0 )(x - x 0 ) + Fy (P0 )( y - y 0 ) + Fz (P0 )( z - z 0 ) = 0 , r ( n = Fx (P0 ), Fy (P0 ), Fz (P0 ) . )
8 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
11. Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid Olgu antud funktsioon z = f (P ) P D . Def. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis A D lokaalne maksimum (miinimum), kui leidub punkti A ümbrus U ( A) nii, et f (P ) f ( A) (vastavalt f (P ) f ( A) ) iga P U ( A) korral. Tähistus: locmax f = f ( A) (vastavalt locmin f = f ( A) )
Analoogselt defineeritakse range lokaalne miinimum ja range lokaalne maksimum ­ võrdus realiseerub ainult punktis A . Lokaalse miinimumi ja maksimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum . Teoreem 4. Olgu funktsioon f ( x1 ,..., x m ) diferentseeruv punktis A ning olgu punktis A funktsioonil f lokaalne ekstreemum.
f x1 ( A) = 0 Siis kehtib ... . f ( A) = 0 xm Funktsioonil f eksisteerivad lõplikud osatuletised, kuna ta on diferentseeruv antud punktis. r Lisaks: df ( A) = 0 grad f ( A) = o Tõestus. Vaatleme ühe muutuja funktsiooni F ( x1 ) = f ( x1 , a 2 , a3 ,..., a m ) , siis on funktsioonil F punktis a1 lokaalne ekstreemum, mistõttu F (a1 ) = 0 . Saame kirjutada F (a1 + x ) - F (a1 ) f (a1 + x1 , a 2 ,..., a m ) - f (a1 , a 2 ,..., a m ) F (a1 ) = lim = lim = f x1 ( A) = 0 x 0 x x1 0 x1
Analoogselt iga 1 i m korral f xi ( A) = 0 .
Lokaalne ekstreemum punktis, kus funktsioon pole diferentseeruv Funktsioonil f võib olla lokaalne ekstreemum ka punktis, kus f pole diferentseeruv, kui ei leidu lõplikku osatuletist f xi mingi i korral.
Näide: z = x 2 + y 2 ( koonus ). Selge, et locmin z = z (0,0 ) = 0 .
Samas ei leidu osatuletisi z x (0,0 ) ega z y (0,0) :
z (0 + x ) - z (0) (x )2 x 1 x > 0 z x (0,0) = lim = lim = lim = = sgn x x 0 x x 0 x x 0 x - 1 x kahepoolne piirväärtus puudub. Järelikult ei leidu z x (0,0) . Analoogselt z y (0,0) korral.
9 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
Olgu antud funktsioon z = f (P ) P D R m .
Def. Punkti A D nimetatakse funktsiooni f statsionaarseks punktiks, kui f xi = 0 iga i = 1,..., m korral. Def. Punkti A D nimetatakse funktsiooni f kriitiliseks punktiks, kui ta on kas funktsiooni f statsionaarne punkt või funktsioon f pole diferentseeruv selles punktis (mingi i korral ei
leidu lõplikku osatuletist f xi ). Seega funktsiooni f lokaalsed ekstreemumid saavad realiseeruda ainult kriitilistes punktides.
12. Mitme muutuja funktsiooni globaalsed ekstreemumid Def. Funktsiooni z = f (P ) globaalseks maksimumiks (miinimumiks) hulgas D nimetatakse funktsiooni f suurimat (vastavalt vähimat) väärtust piirkonnas D . Tähistus: max f (P ) = M (vastavalt min f (P ) = m ) PD PD
Def. Piirkonda D nimetatakse tõkestatud piirkonnaks , kui leidub niisugune kera S ( A, r ) ruumala. Tõestus. Olgu z = f ( x, y ) f ( x, y ) 0 , P = ( x, y ) . K on kõversilinder, mis on piiratud pindadega z = 0 (xy-tasand), z = f ( x, y ) ja püstsilinder- pinnaga, mille juhtjooned on piirkonna D rajajoon. Jagame piirkonna D teatavate joontega osapiirkondadeks D1 ,..., Dn nii, et nad paarikaupa ei omaks ühiseid sisepunkte. Siis jaotub K n-iks kõversilindriks K i i = 1,..., n . Olgu = max d (Di ) . 1i n
Valime punktid Pi Di i = 1,..., n . Kõversilindri K i ruumala V (K i ) = f (Pi )S (Di ) . n n Kõversilindri ruumala V (K ) = V (K i ) = f (Pi )S (Di ) on seda täpsem, mida väiksem on . i =1 i =1
n Ruumala täpseks määratluseks loome integraali lim f (Pi )S (Di ) = f ( x, y )dxdy . 0 i =1 D
Kui f ( x, y ) 0 , siis f (x, y )dxdy = V (K ) . D
11 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
2. Kahekordse integraali omadused Eeldame, et kõik selles osas vaadeldavad integraalid eksisteerivad. Omadus 1 ( aditiivsus ). Kui D = D1 D2 , kusjuures D1 ja D2 ei oma ühiseid sisepunkte, siis
f (P )dS = f (P )dS + f (P )dS . D D1 D2
Omadus 2 ( lineaarsus ). Iga , R korral
(f (P ) + g (P ))dS = f (P )dS + g (P )dS . D D D
Omadus 3 ( monotoonsus ). Kui f (P ) g (P ) iga P D korral, siis
f (P )dS g (P )dS . D D
Def. Piirkonda D nimetatakse sidusaks piirkonnaks, kui selle piirkonna igat kahte punkti saab ühendada sellesse piirkonda kuuluva pideva joonega.
Sidus piirkond koosneb ühest ,,tükist". Omadus 4 (keskväärtusteoreem). Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas D , siis leidub punkt Q D nii, et
f (P )dS = f (Q )S (D ) . D
b Analoogia: Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b] , siis [a, b] nii, et f (x )dx = f ( )(b - a ) . a
Kahekordse integraali olemasolu Piisav tingimus: Kui f on pidev piirkonnas D , siis on ta ka integreeruv selles piirkonnas. Tarvilik tingimus: Funktsiooni f integreeruvuseks piirkonnas D on tarvilik funktsiooni f tõkestatus selles piirkonnas ( M > 0 : f (P ) M P D ).
12 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
3. Kahekordse integraali arvutamine Kahekordse integraali arvutamiseks on valemid, kui D on kõ . (x) Teoreem 5. Kui eksisteerivad integraalid f ( x, y )dxdy , f (x, y )dy iga x [a, b] korral, siis D (x )
b (x )
f (x, y )dxdy = dx( )f (x, y )dy . D a x
Põhjendus. Olgu f ( x, y ) 0 piirkonnas D ja pidev selles piirkonnas. Siis f (x, y )dxdy = V (K ) . D
b Teiselt poolt V (K ) = S ( x )dx , kus S (x ) on punktis x võetud ristlõike pindala. a
See ristlõige on kõ ( x on fikseeritud). (x) b (x ) (x ) b b S (x ) = f ( x, y )dy . Seega f ( x, y )dxdy = V (K ) = S ( x )dx = f ( x, y )dy dx = dx f ( x, y )dy . (x) D a a ( x ) a (x)
Märkus: Kui f ( x, y ) 0 , siis leiame funktsiooni - f ( x, y ) integraali vastandväärtuse.< . (y) Teoreem 6. Kui eksisteerivad integraalid f (x, y )dxdy , ( )f (x, y )dx iga y [c, d ] korral, siis D y
d (y)
f (x, y )dxdy = dy f (x, y )dx . D c (y)
13 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
4. Muutujavahetus kahekordses integraalis Def. Teisendust x = x(u , v ) , y = y (u , v ) (u, v ) nimetatakse regulaarseks, kui 1. see teisendus on üks-ühene; 2. piirkonnas eksisteerivad pidevad osatuletised xu , xv , y u , y v ;
xu xv 3. jakobiaan I (u , v ) = 0 piirkonnas . yu yv
Regulaarne teisendus teisendab kinnise piirkonna kinniseks piirkonnaks, sisepunkti sisepunktiks ning rajapunkti rajapunktiks. Väide. Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud piirkonnas D ning teisendus x = x(u , v ) , y = y (u , v ) on regulaarne ja teisendab piirkonna D piirkonnaks , siis
f (x, y )dxdy = f [x(u, v ), y(u, v )]I (u, v )dudv . D
Üleminek polaarkoordinaatidele Olgu r 0 ja punkti P = ( x, y ) polaarkoordinaadid . Seega x = r cos y = r sin (r , ) . cos - r sin Jakobiaan I (r , ) = sin r cos ( = cos r cos - sin (- r sin ) = r cos 2 + sin 2 = r . ) Seega f (x, y )dxdy = f (r cos , r sin ) r dr d . D
5. Kahekordse integraali rakendusi 1. Tasandilise kujundi pindala
dxdy = S (D ) ( f ( x, y ) = 1 ) D
2. Kõversilindri ruumala Olgu kõ . pr xy f 1 ( x, y ) = pr xy f 2 (x, y ) = D
Siis kõversilindri K ruumala V (K ) = [ f 2 ( x, y ) - f 1 ( x, y )]dxdy . D
3. Ruumilise pinnatüki pindala Olgu pind antud võrrandiga z = z ( x, y ) (x, y ) D = pr xy z ( x, y ) .
Siis pinna pindala avaldub kujul S ( ) = 1 + z x2 + z y2 dxdy ( z x ja z y peavad olema pidevad). D
14 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
§3. KOLMEKORDSED INTEGRAALID 1. Kolmekordse integraali definitsioon ja omadused Olgu antud funktsioon u = f ( x, y, z ) , mis on määratud kinnises tõkestatud piirkonnas E R 3 . Jagame piirkonna E osapiirkondadeks E1 ,..., E n nii, et nad paarikaupa ei omaks ühiseid sisepunkte. Valime punktid Pi Ei i = 1,..., n .
Def. Kui sõltumata piirkonna E alajaotusest ja punktide Pi valikust eksisteerib lõplik piirväärtus n lim f (Pi )V (Ei ) = I , kus = max d (Ei ) , 0 1i n i =1
siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f kolmekordseks integraaliks üle piirkonna E .
Tähistus: fdV , f (P )dV , f (x, y, z )dxdydz E E E
Piirkonna E ruumala arvutamine: n
dxdydz = lim V (Ei ) = V (E ) , kus V (E ) on piirkonna E ruumala. ( f (x, y, z ) = 1 ) E 0 i =1
Kolmekordsel integraalil kehtivad aditiivsuse , lineaarsuse ja monotoonsuse omadused, mis on analoogsed kahekordse integraali vastavate omadustega. Omadus (keskväärtusteoreem): Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas E , siis leidub punkt Q E nii, et
f (P )dV = f (Q )V (E ) . E
2. Kolmekordse integraali arvutamine Olgu ruumiline pind antud parameetrilisel kujul x = x(u , v ) y = y (u , v ) z = z (u , v ) (u , v ) , (*) kus on mingi piirkond uv-tasandil. Def. Pinda nimetatakse siledaks, kui 1. funktsioonid (*) ja nende osatuletised on pidevad piirkonnas ; 2. piirkonna igas punktis A 2 + B 2 + C 2 0 ( A, B, C pole korraga nullid ),
yu zu x zu x yu kus A = , B= u , C= u . yv zv xv zv xv yv
Siledal pinnal on igas punktis puutujatasand ja normaal.
15 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) Kolmekordse integraali arvutamiseks on valem, kui E on kõversilinder. Olgu E kõversilinder, mis on piiratud ülalt sileda pinnaga = ( x, y ) , alt sileda pinnaga = ( x, y ) ja külgedelt püstsilindrilise pinnaga, mis läbib piirkonna D rajajoont. D = pr xy (x, y ) = pr xy ( x, y ) . ( x, y ) Teoreem. Kui eksisteerivad integraalid f (x, y, z )dxdydz , ( f) (x, y, z )dz E x, y iga ( x, y ) D korral, siis ( x, y )
f (x, y, z )dxdydz = dxdy ( f) (x, y, z )dz . E D x, y
Tekkiva kahekordse integraali arvutamiseks püüame kasutada kahekordse integraali arvutusvalemeid.
3. Muutujavahetus kolmekordses integraalis Üleminek silinderkoordinaatidele Olgu r 0 , , h punkti P = ( x, y, z ) silinderkoordinaadid . Seega x = r cos , y = r sin , z = h (r , , h ) .
f (x, y, z )dxdydz = f (r cos , r sin , h ) r dr d dh . E
Üleminek sfäärikoordinaatidele Olgu r 0 , , punkti P = ( x, y, z ) silinderkoordinaadid. Seega x = r cos sin , y = r sin sin , z = r cos (r , , ) .
f (x, y, z )dxdydz = f (r cos sin , r sin sin , r cos ) r sin dr d d . 2
E
4. Kolmekordse integraali rakendusi 1. Keha ruumala
dxdydz = V (E ) E ( f ( x, y , z ) = 1 )
2. Keha mass
(x, y, z )dxdydz = m(E ) , kus (x, y, z ) on keha tihedus punktis (x, y, z ) E . E
16 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
§4. JOONINTEGRAALID 1. Esimest ja teist liiki joonintegraalide definitsioonid ja omadused Olgu xy-tasandil antud joon AB ja sellel joonel määratud funktsioon z = f ( x, y ) (x, y ) AB . Jagame joone AB n osakaareks punktidega A = P0 , P1 , P2 ,..., Pn = B , kus Pi = ( xi , y i ) AB i = 1,..., n . Valime punktid Qi Pi -1 Pi i = 1,..., n .
Olgu s i = s (Pi -1 , Pi ) i -nda osakese pikkus. xi = xi - xi -1 y i = y i - y i -1
Def. Kui sõltumata joone AB alajaotusest ja punktide Qi valikust eksisteerib lõplik piirväärtus n lim f (Qi )si = I , kus = max si , 0 1i n i =1
siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f esimest liiki joonintegraaliks (joonintegraaliks kaare pikkuse järgi) üle joone AB . Tähistus: fds , f (P )ds AB AB
Def. Kui sõltumata joone AB alajaotusest ja punktide Qi valikust eksisteerivad lõplikud piirväärtused n n lim f (Qi )xi , kus = max xi , ning lim f (Qi )y i , kus = max y i , 0 1i n 0 1i n i =1 i =1
siis neid piirväärtusi nimetatakse funktsiooni f teist liiki joonintegraalideks (joonintegraalideks koordinaatide järgi) üle joone AB . Tähistus vastavalt: fdx , f (P )dx AB AB või fdy , f (P )dy AB AB
Aditiivsuse, lineaarsuse ja monotoonsuse omadused ning keskväärtusteoreem on joonintegraali puhul analoogsed kahe- ja kolmekordse integraali vastavate omadustega. Esimest liiki joonintegraali spetsiifilised omadused Omadus. Esimest liiki joonintegraal ei sõltu joonel liikumise suunast , st fds = fds . AB BA
Omadus. AB ds = s( AB ) , kus s( AB ) on joone AB pikkus.
Teist liiki joonintegraali spetsiifilised omadused Omadus. AB fdx = - fdx , fdy = - fdy . BA AB BA
Omadus. Kui joon AB on x-teljega risti, siis fdx = 0 , AB kui y-teljega risti, siis fdy = 0 . AB
17 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 2. Esimest liiki joonintegraali arvutamine Olgu joon AB antud parameetrilisel kujul x = x(t ) y = y (t ) t [ , ] . Def. Joont AB nimetatakse siledaks, kui funktsioonid x(t ) , y (t ) , x (t ) , y (t ) on pidevad lõigus [ , ] ja x(t ) , y (t ) pole korraga nullid selles lõigus ( [x(t )]2 + [ y (t )]2 0 ). Siledal joonel on igas punktis puutuja. Teoreem 7. Kui funktsioon f on pidev siledal joonel AB : x = x(t ) y = y (t ) t [ , ] , siis
f ( x, y )ds = f [x(t ), y (t )] [x (t )] + [ y (t )] dt 2 2
AB
NB! Teoreemi eeldus tagab antud joonintegraali olemasolu. Tõestus. Jagame joone AB n osakaareks punktidega A = P0 , P1 , P2 ,..., Pn = B , kus Pi = ( x(t i ), y (t i )) .
Eeldame, et parameeter t kasvab, kui liigume suunas AB , st. t 0 = (vastasel korral t 0 = ). ti
[x(t )] + [y (t )] dt . 2 2 Osakaare Pi -1 Pi pikkus si = ti -1
Kuna joon AB on sile, siis x (t ) ja y (t ) on pidevad. Seega [x(t )]2 + [ y(t )]2 on samuti pidev piirkonnas [t i -1 , t i ]. Seega saame integraalile rakendada integraalarvutuse I keskväärtusteoreemi igas osalõigus [t i -1 , t i ], mille kohaselt leiduvad punktid i [t i -1 , t i ] nii, et
si = [x( i )]2 + [ y( i )]2 (ti - ti-1 ) = [x( i )]2 + [ y( i )]2 ti . Valides esimest liiki joonintegraali integraalsummas punktid Qi = ( x( i ), y ( i )) i = 1,..., n saame n
f ( x, y )ds = lim f (Q )s i i = max si 0 AB i =1
n
f (x( ), y( )) [x( )] + [ y ( )] t = f (x(t ), y(t )) [x(t )] + [ y (t )] dt 2 2 2 2 = lim i i i i i max ti 0 i =1
Kuna si = x 2 + y 2 t i ning x 2 + y 2 0 , sest joon AB on sile, siis max si 0 max t i 0 i = 1,..., n . Erijuhud : b Kui AB : y = y ( x ) x [a, b] , siis t = x ning saame valemi f ( x, y )ds = f [x, y ( x )] 1 + [ y (x )] dx . 2
AB a
d Kui AB : x = x( y ) y [c, d ] , siis t = y ning saame valemi f ( x, y )ds = f [x( y ), y ] [x ( y )] + 1dy . 2
AB c
18 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
3. Teist liiki joonintegraali arvutamine Teoreem 8. Kui funktsioon f on pidev siledal joonel AB : x = x(t ) y = y (t ) t [ , ] ning A = ( x( ), y ( )) , B = ( x( ), y ( )) , siis kehtivad valemid
f (x, y )dx = f [x(t ), y(t )]x(t )dt , f (x, y )dy = f [x(t ), y(t )]y (t )dt . AB AB
NB! Teoreemi eeldus tagab antud joonintegraalide olemasolu. Tõestus (soovituslik). Olgu A = ( x( ), y ( )) , B = ( x( ), y ( )) (ei pea olema ). Pi = ( x(t i ), y (t i )) t i AB
Rakendame funktsioonile x = x(t ) lõikudel Pi -1 Pi Lagrange 'i keskväärtusteoreemi, millest saame, et leiduvad punktid i Pi -1 Pi i 1,..., n nii, et xi = xi - xi -1 = x ( i )(t i - t i -1 ) = x ( i )t i .
Valime integraali f (x, y )dx integraalsummast punktid Qi = ( x( i ), y ( i )) . Siis AB
n n
f ( x, y )dx = lim f (Qi )xi = lim f ( x( i ), y ( i ))x ( i )t i = f ( x(t ), y (t ))x (t )dt max xi 0 max t i 0 AB i =1 i =1
Kuna xi = x ( i )t i , siis max xi 0 max t i 0 i = 1,..., n . Teise valemi tõestus on analoogne. Erijuhud: b Kui AB : y = y ( x ) x [a, b] , siis t = x ning saame valemi f ( x, y )dx = f (x, y ( x )) dx . AB a
d Kui AB : x = x( y ) y [c, d ] , siis t = y ning saame valemi f ( x, y )dy = f (x( y ), y ) dy . AB c
19 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
4. Üldine teist liiki joonintegraal. Greeni valem Def. Funktsioonide X = X ( x, y ) ja Y = Y ( x, y ) (x, y ) D üldiseks teist liiki joonintegraaliks nimetatakse teist liiki joonintegraalide summat
Xdx + Ydy = Xdx + Ydy . AB AB AB
Def. Piirkonda D , mis on nii x-telje kui ka y-telje sihis kõvertrapets, nimetatakse lihtsaks piirkonnaks.
Teoreem 9 (Greeni valem). Kui funktsioonid X (x, y ) , Y ( x, y ) , X y , Yx on pidevad lihtsas piirkonnas D , mille rajajoon on L , siis kehtib valem
Xdx + Ydy = (Y L+ D x - X y )dxdy .
Sümbol L+ tähendab, et läbime D rajajoone L positiivses suunas, st. vastupäeva.
Tõestus. 1. Olgu piirkonna D rajajoon L : ABC : y = y 2 ( x ) AEC : y = y1 ( x ) x [a, b] b Kui AB : y = y ( x ) x [a, b] , siis f ( x, y )dx = f ( x, y ( x )) dx A a , B b. AB a
[ ] b y2 (x ) b b dy = X ( x, y ) y ( x ) dx = [X ( x, y2 (x )) - X ( x, y1 ( x ))]dx = y2 (x ) X D y dxdy = dx a X y1 ( x ) y a 1 a b a = X ( x, y2 ( x ))dx + X ( x, y1 ( x ))dx = X (x, y )dx + X (x, y )dx = Xdx = - Xdx a b ABC CEA L- L+
Seega X D y dxdy = - Xdx . L+
2. Analoogselt saame Y dxdy = Ydy . D x L+
Seega Xdx + Ydy = (Y L+ D x - X y )dxdy
Märkus: Greeni valem kehtib ka üldisematel eeldustel ­ D peab olema kinnine piirkond, mille rajajoone L tükid on siledad.
20 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
§5. PINDINTEGRAALID 1. Esimest liiki pindintegraalid Olgu pinnal määratud funktsioon f = f (x, y, z ) ( x, y, z ) . Jagame pinnatüki osadeks 1 , 2 ,..., n nii, et nad paarikaupa ei omaks ühiseid sisepunkte. Valime punktid Qi i i = 1,..., n .
Def. Kui sõltumata pinna alajaotusest ja punktide Qi valikust eksisteerib lõplik piirväärtus n lim f (Qi )S ( i ) = I , kus = max d ( i ) , 0 1 i n i =1
siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f esimest liiki pindintegraaliks (pindintegraaliks pindala järgi) üle pinna .
Tähistus: fdS , f (P )dS , f (x, y, z )dS
Aditiivsuse, lineaarsuse ja monotoonsuse omadused ning keskväärtusteoreem on esimest liiki pindintegraali puhul analoogsed kahe- ja kolmekordse integraali vastavate omadustega. Teoreem 10. Kui funktsioon f on pidev siledal pinnal : z = z ( x, y ) (x, y ) D = pr xy , siis
f (x, y, z )dS = f (x, y, z (x, y )) D 1 + z x2 (x, y ) + z y2 ( x, y )dxdy
NB! Teoreemi eeldus tagab antud pindintegraali olemasolu. Analoogselt: Kui funktsioon f on pidev siledal pinnal : y = y ( z , x ) ( z , x ) D = pr zx , siis
f (x, y, z )dS = f (x, y(z, x ), z ) D 1 + y z2 ( z , x ) + y x2 ( z , x )dzdx .
Kui funktsioon f on pidev siledal pinnal : x = x( y, z ) ( y, z ) D = pr yz , siis
f (x, y, z )dS = f (x( y, z ), y, z ) D 1 + x y2 ( y, z ) + x z2 ( y, z )dydz .
21 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
2. Teist liiki pindintegraal 2.1. Kahe poolega pind Def. Pinda nimetatakse kahe poolega (orienteeritud) pinnaks, kui iga sellel pinnal asuva kinnise kõvera läbimisel pinna normaali suund lähtepunkti tagasi jõudes ei muutu, ning ühe poolega pinnaks, kui sellel pinnal leidub kinnisi kõveraid, mille läbimisel lähtepunkti tagasi jõudes on pinna normaali suund vastupidine .
Väide. Iga võrrandiga z = z ( x, y ) , x = x( z , x ) või y = y ( x, z ) antud pind on kahe poolega pind.
Pinna poole määramine
Olgu ne pinna normaali suvaline ühikvektor punktis P , siis ne = (cos , cos , cos ) , kus , , on nurgad ne ja vastavalt x-, y- ja z- telgede positiivsete suundade vahel. Def. Pinna : z = z ( x, y ) (x, y ) D = pr xy positiivseks (negatiivseks) pooleks e. küljeks nimetatakse pinna seda poolt, kus normaal moodustab z-teljega teravnurga, st. cos > 0 (vastavalt nürinurga, st cos 0 (vastavalt nürinurga, st cos 0 (vastavalt nürinurga, st cos 22 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 2.2. Teist liiki pindintegraali definitsioon ja omadused Olgu pinnal : z = z ( x, y ) (x, y ) D = pr xy määratud funktsioon f = f ( x, y, z ) ( x, y, z ) .
Jagame pinnatüki osadeks 1 , 2 ,..., n nii, et nad paarikaupa ei omaks ühiseid sisepunkte. Valime punktid Qi i i = 1,..., n .
S (Di ) kui cos > 0 Olgu Di = pr xy i ning olgu S i = pinnaosa projektsioon koos märgiga. - S (Di ) kui cos siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f teist liiki pindintegraaliks (pindintegraaliks projektsiooni järgi) üle pinna .
Tähistus: fdxdy , f (P )dxdy , f (x, y, z )dxdy
Analoogselt defineeritakse zx- tasandile ja yz-tasandile projektsioonidega vastavalt teist liiki pindintegraalid:
fdzdx , kus : y = y(z, x ) ,
fdydz , kus : x = x( y, z ) .
Aditiivsuse, lineaarsuse ja monotoonsuse omadused ning keskväärtusteoreem on teist liiki pindintegraali puhul analoogsed kahe- ja kolmekordse integraali vastavate omadustega.
Omadus. Kui pind on risti xy-tasandiga (yz-tasandiga, zx-tasandiga), siis fdxdy = 0
(vastavalt fdydz = 0 , fdzdx = 0 ).
23 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 2.3. Teist liiki pindintegraali arvutamine Teoreem 11. Olgu funktsioon f pidev siledal pinnal : z = z ( x, y ) (x, y ) D = pr xy , siis
f (x, y, z )dxdy = ± f (x, y, z (x, y ))dxdy , D
valides ,,+", kui cos > 0 (pinna positiivne külg) ja ,,-" kui cos Tehtud eeldused tagavad vastava pindintegraali olemasolu. Analoogselt: Kui funktsioon f on pidev siledal pinnal : y = y ( z , x ) ( z , x ) D = pr zx , siis
f (x, y, z )dzdx = ± f (x, y(z, x ), z )dzdx . D
Kui funktsioon f on pidev siledal pinnal : x = x( y, z ) ( y, z ) D = pr yz , siis
f (x, y, z )dydz = ± f (x( y, z ), y, z )dydz . D
Üldine teist liiki pindintegraal Def. Funktsioonide P = P( x, y, z ) , Q = Q( x, y, z ) ja R = R( x, y, z ) (x, y, z ) E üldiseks teist liiki pindintegraaliks nimetatakse teist liiki pindintegraalide summat
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy .
NB! Pinna positiivse (negatiivse) poole määrame projekteerimisel igale koordinaattasandile eraldi. 2.4. Gaussi-Ostrogradski valem
Def. Funktsiooni f nimetatakse tükiti siledaks lõigus [a, b] , kui funktsioonil f ja tema tuletisfunktsioonil f on selles lõigus ülimalt lõplik arv katkevuspunkte , mis kõik on esimest liiki katkevuspunktid (neis punktides leiduvad lõplikud ühepoolsed piirväärtused).
Teoreem (Gaussi-Ostrogradski valem). Kui funktsioonid P = P( x, y, z ) , Q = Q( x, y, z ) , R = R( x, y, z ) , Px , Q y , R z on pidevad piirkonnas E , mille rajapind on kinnine ja tükiti sile, siis kehtib valem
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = (P E x + Q y + R z )dxdydz .
kus pindintegraal on võetud üle pinna väliskülje.
24 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
§6. FUNKTSIONAALREAD 1. Funktsionaalrea mõiste, koonduvuspiirkond, omadusi Def. Funktsionaalreaks nimetatakse rida
u (x ) = u (x ) + u (x ) + ... + u (x ) + ... , n =0 n 0 1 n
mille liikmed u n (x ) n = 0,1,... on mingil hulgal X määratud funktsioonid u n = u n (x ) .
Fikseerides argumendi väärtuse kujutab funktsionaalrida endast arvrida. n Funktsionaalrea u n (x ) osasummaks nimetatakse summat S n (x ) = u k (x ) . n =0 k =0
Funktsionaalrea osasumma on samuti argumendi x funktsioon. Def. Kui punktis x X leidub lõplik piirväärtus lim S n ( x ) = S ( x ) , siis öeldakse, et n funktsionaalrida u (x ) koondub punktis n =0 n x summaks S (x ) .
Muudel juhtudel öeldakse, et ta hajub punktis x . Funktsionaalrea summa on samuti argumendi x funktsioon. Def. Funktsionaalrea u (x ) n =0 n koonduvuspiirkonnaks ning absoluutse koonduvuse
piirkonnaks nimetatakse vastavalt hulki X = u n ( x ) koondub ning A = u n ( x ) koondub . n =0 n =0 Iga funktsionaalrida esitab oma koonduvuspiirkonnas X funktsiooni S = S ( x ) : u (x ) = S (x ) . n =0 n
Seepärast loetakse koonduvuspiirkonda samas ka rea S (x ) määramispiirkonnaks. Def. Öeldakse, et funktsionaalrida u (x ) koondub punktiviisi piirkonnas n =0 n X funktsiooniks
S (x ) = lim S n ( x ) , kui iga x X korral lim S n ( x ) - S ( x ) = 0 . n n
Def. Öeldakse, et funktsionaalrida u (x ) n =0 n koondub ühtlaselt piirkonnas X funktsiooniks
S (x ) = lim S n ( x ) , kui lim sup S n ( x ) - S (x ) = 0 . n n x X
Kui funktsionaalrida koondub ühtlaselt, siis koondub ta ka punktiviisi. Vastupidine ei kehti.
25 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
2. Funktsionaalrea summa pidevus, liikmeti integreerimine ja diferentseerimine Funktsionaalrea summa S (x ) ei tarvitse olla pidev funktsioon isegi siis, kui rea liikmed on pidevad.
Teoreem 12. Kui funktsioonid u n = u n (x ) on piirkonnas X pidevad ning funktsionaalrida
u (x ) koondub selles piirkonnas ühtlaselt funktsiooniks n =0 n S = S ( x ) , siis funktsioon S (x ) on
pidev piirkonnas X .
Teoreem. Kui vahemikus ( , ) funktsionaalrida u (x ) n =0 n koondub ühtlaselt ja on olemas
lõplikud piirväärtused lim u n ( x ) = u n a ( , ) , xa
siis see funktsionaalrida koondub ning kehtib võrdus lim u n ( x ) = lim u n ( x ) . xa xa n =0 n =0
Teoreem 13 (liikmeti integreerimine). Kui funktsioonid u n = u n (x ) on integreeruvad lõigus [a, b] ja funktsionaalrida u n (x ) koondub ühtlaselt selles lõigus funktsiooniks S = S ( x ) , siis n =0
b b
u (x )dx = u (x )dx . a n =0 n n =0 a n
Teoreem 14 (liikmeti diferentseerimine). Kui funktsioonidel u n = u n (x ) leiduvad lõigus [a, b] pidevad tuletised ja funktsionaalrida u (x )n koondub ühtlaselt lõigus [a, b] funktsiooniks n =0
S = S ( x ) , siis iga x [a, b] korral kehtib võrdus u n (x ) = u n ( x ) . n =0 n =0
26 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
Astmerida Def. Funktsionaalrida a n =0 n x n = a0 + a1 x + ... + a n x n + ... (1)
a (x - a ) = a 0 + a1 ( x - a ) + ... + a n ( x - a ) + ... , (2) n n ehk üldisemalt n n =0
kus a on mingi arv, nimetatakse astmereaks . Arve a n nimetatakse astmerea kordajaiks.
Muutujavahetusega x - a = t võib alati realt (2) üle minna reale (1). Iga astmerea korral leidub selline R , kus 0 R , et astmerida (1) (või (2)) koondub absoluutselt, kui x R (vastavalt x - a > R ).
Vahemikke (- R; R ) ja (a - R; a + R ) nimetatakse vastavalt astmeridade (1) ja (2) koonduvus- vahemikeks ja suurust R koonduvusraadiuseks. Koonduvusvahemike otspunktides võib astmerida koonduda ( tingimisi , absoluutselt) või hajuda. Astmerea koonduvusraadiuse R leidmiseks võib kasutada järgmisi valemeid:
1 a 1 = lim n +1 ja = lim a n , R n a n R n kui a n 0 ja need piirväärtused eksisteerivad.
Omadus 1. Astmerida (1) koondub ühtlaselt igas lõigus [- r ; r ] (- R; R ) ja tema summa S (x ) on pidev funktsioon koonduvusvahemikus (- R; R ) .
Omadus 2. Astmerida (1) võib igas lõigus [0, x ] , kus x (- R; R ) liikmeti integreerida, kusjuures x a n n +1 S (x )dx = 0 n =0 n + 1 x .
Omadus 3. Astmerida (1) võib igas punktis x (- R; R ) liikmeti diferentseerida, kusjuures S ( x ) = na n x n -1 . n =0
Astmerea (1) liikmeti integreerimisel või diferentseerimisel tema koonduvusraadius ei muutu. Samad omadused kehtivad ka astmerea (2) kohta tema koonduvusvahemikus (a - R; a + R ) .
Teoreem (Abeli lemma ). Kui astmerida (1) koondub koonduvusvahemiku (- R; R ) parem- poolses otspunktis R , siis selle astmerea summa S (x ) on vasakult pidev punktis R , st. S (R - ) = S ( R ) .
Samasugune lemma kehtib ka koonduvusvahemiku vasakpoolse otspunkti - R kohta.
27 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 3. Funktsioonide arendamine astmeritta Def. Kui iga x (a - R; a + R ) = X korral kehtib võrdus f ( x ) = a n ( x - a ) , siis öeldakse, et n
n =0
funktsioon f on vahemikus X arendatud astmereaks ehk on esitatud astmereana.
Osutub, et kui funktsioon f on arendatav astmereaks (2), siis rea kordajad a n avalduvad kujul
f (n ) (x ) an = , n = 0,1, ... , (3) n! kus loetakse 0!= 1 . Seega saab astmereaks arendada ainult piiramata diferentseeruvaid funktsioone. Def. Astmerida (2), mille kordajad avalduvad kujul (3), s.o astmerida f (n ) ( x ) (x - a )n = f (a ) + f (a ) (x - a ) + f (a ) (x - a )2 + ... (4) n =0 n! 1! 2! nimetatakse funktsiooni f Taylori reaks ja tema kordajaid (3) Taylori kordajateks. Kui a = 0 , siis reast (4) saame rea f (n ) ( x ) n f (0 ) f (0 ) 2 x = f (0 ) + x+ x + ... , n =0 n! 1! 2! mida nimetatakse Maclaurini reaks.
Teoreem. Vahemikus X = (a - R; a + R ) piiramata diferentseeruv funktsioon f on arendatav Taylori reaks (4) selles vahemikus parajasti siis, kui funktsiooni f Taylori valemi jääkliige a n rahuldab vahemikus X tingimust lim a n = 0 . n
Kokkuvõttes, kui funktsioon f on arendatav astmereaks (2) (või (1)) vahemikus X , siis see astmerida on funktsiooni f Taylori rida (vastavalt Maclaurini rida). Paljude funktsioonide arendised astmereaks saame tuntud astmeridadest aritmeetiliste tehete, rea liikmeti integreerimise ja liikmeti diferentseerimise teel.
4. Astmeridade rakendusi: ligikaudne arvutamine Def. Rea u k jääkliikmeks nimetatakse summat Rn = k =0 u k = n +1 k .
Kui astmerida koondub, siis Maclaurini rea jääkliige rahuldab võrratust Rm Kui vahelduvate märkidega rida koondub, siis Leibnizi tunnuse põhjal Rm Rm Määratud integraali puhul tuleb tema alune avaldis kõigepealt arendada astmeritta. 28 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
5. Fourier ' read Def. Funktsionaalrida a0 a + a n cos nx + bn sin nx = 0 + a1 cos x + b1 sin x + a 2 cos 2 x + b2 sin 2 x + ... (5) 2 n =1 2 nimetatakse trigonomeetriliseks reaks. Kui trigonomeetrilise rea summa S (x ) eksisteerib, siis on ta perioodiline funktsioon perioodiga 2 piirkonnas (- , ) .
Olgu funktsioon f määratud lõigus [- , ] või olgu perioodiline perioodiga 2 piirkonnas (- , ) . Def. Kui rea (5) kordajad on määratud valemitega (Euleri-Fourier' valemitega) 1 1 an = f ( x ) cos nxdx (n = 0,1, ...) , bn = f (x )sin nxdx (n = 1, 2, ...) , (6) - -
siis rida (5) nimetatakse funktsiooni f (trigonomeetriliseks) Fourier' reaks lõigus [- , ] ja kirjutatakse a0 f (x ) ~ + a n cos nx + bn sin nx. . (7) 2 n =1 Kordajaid (6) nimetatakse Fourier' kordajateks. Kahe paaris- või kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon . Ühe paaris- ja ühe paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon. Kui f on paarisfunktsioon lõigus [- , ] , siis bn = 0 ja tema Fourier' rida (5) avaldub kujul a0 2 f (x ) ~ + a n cos nx , a n = f ( x ) cos nxdx , (8) 2 n =1 0 mida nimetatakse funktsiooni f koosinusreaks. Kui f on paaritu funktsioon lõigus [- , ] , siis a n = 0 ja tema Fourier' rida (5) avaldub kujul 2 f ( x ) ~ bn sin nx , bn = f (x )sin nxdx , (9) n =1 0
mida nimetatakse funktsiooni f siinusreaks. Kui funktsioon f on antud vaid lõigul [0, ] , siis võime teda alati kujutada kas paaris- või paaritu funktsioonina lõigus [- , ] ja seetõttu valemite (8) või (9) abil arendada selle funktsiooni f kas koosinus - või siinusreaks või mõlemaks. Valemites (7), (8) ja (9) kirjutatakse tilde (~) asemele võrdusmärk (=) siis, kui on teada, et Fourier' rida koondub ja koondub just funktsiooniks f (x ) .
29 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) Teoreem 15. Kui funktsioon f on tükiti sile lõigus [- , ] , siis selle funktsiooni Fourier' rida koondub summaks S (x ) , kusjuures 1. S (x ) = f ( x ) funktsiooni f pidevuspunktides; f (x - ) + f (x + ) 2. S (x ) = funktsiooni f katkevuspunktides; 2 S (- + ) + S ( - ) 3. S (- ) = S ( ) = . 2
6. Funktsiooni lähendamine trigonomeetriliste polünoomidega Olgu antud funktsioon f , mis on määratud lõigus [- , ] . n Olgu n (x ) = n cos kx + n sin kx trigonomeetriline polünoom. k =0
Lähendame f ( x ) n ( x ) hinnates viga keskmise ruuthälbega n2 = f (x ) - (x ) 2 n dx . -
Osutub, et n2 on minimaalne, kui n ( x ) = S n ( x ) , kus S n ( x ) on funktsiooni f Fourier' rea a0 osasumma, st. kui 0 = , n = a n , n = bn . 2
30 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
§7. FOURIER' INTEGRAAL Def. Öeldakse, et funktsioon f on absoluutselt integreeruv kogu arvsirgel, kui päratu integraal f (x ) dx on koonduv . -
Def. Kui funktsioon f on absoluutselt integreeruv kogu arvsirgel, siis integraali
[a( y )cos yx + b( y )sin yx]dy , 0 (10)
kus 1 1 a( y ) = f (x )cos yxdx , b( y ) = f (x )sin yxdx . - -
nimetatakse funktsiooni f Fourier' integraaliks ja kirjutatakse f (x ) ~ [a( y )cos yx + b( y )sin yx]dy . 0 (11)
Fourier' integraal erineb Fourier' reast sellepoolest, et summa on asendatud integraaliga ja funktsiooni f vaadeldakse piirkonnas (- , ) . Kui f on paarisfunktsioon, siis b( y ) = 0 ja valem (11) esitub kujul 2 f ( x ) ~ a ( y ) cos yxdy , kus a ( y ) = f (x )cos yxdx , 0 0
mida nimetatakse funktsiooni f Fourier' koosinusintegraaliks. Kui f on paaritu funktsioon, siis a ( y ) = 0 ja valem (11) esitub kujul 2 f ( x ) ~ a ( y )sin yxdy , kus b( y ) = f (x )sin yxdx , 0 0
mida nimetatakse funktsiooni f Fourier' siinusintegraaliks. Avaldises (11) pannakse tilde (~) asemele võrdusmärk (=) vaid siis, kui on teada, et integraal (10) koondub väärtuseks f (x ) .
Teoreem 16. Kui funktsioon f on absoluutselt integreeruv kogu arvsirgel ja tükiti sile igas arvsirge lõplikus lõigus, siis funktsiooni f Fourier' integraal koondub punktis x summaks f (x - ) + f (x + ) S (x ) = . 2 Kui funktsioon f on pidev punktis x , siis S ( x ) = f ( x ) .
31 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
SISUKORD §1. Mitme muutuja funktsioonid..........................................................................................................1 1. Ruum Rm, hulgad selles ruumis....................................................................................................1 2. Mitme muutuja (m-muutuja) funktsiooni mõiste .........................................................................2 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus........................................................................................2 4. Mitme muutuja funktsiooni pidevus ............................................................................................2 5. Mitme muutuja funktsiooni osatuletis..........................................................................................3 6. Pinna z = f (x, y) puutujatasand ja normaal ..................................................................................4 7. Kõrgemat järku osatuletised.........................................................................................................4 8. Mitme muutuja funktsiooni diferentseeruvus, täisdiferentsiaal...................................................5 9. Kõrgemat järku täisdiferentsiaalid ...............................................................................................6 10. Tuletis antud suunas...................................................................................................................6 Ilmutamata kujul antud funktsioonid ...............................................................................................8 11. Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ................................................................9 12. Mitme muutuja funktsiooni globaalsed ekstreemumid............................................................10 §2. Kahekordsed integraalid ..............................................................................................................11 1. Kahekordse integraali definitsioon ja geomeetriline tõlgendus.................................................11 2. Kahekordse integraali omadused ...............................................................................................12 3. Kahekordse integraali arvutamine .............................................................................................13 4. Muutujavahetus kahekordses integraalis ...................................................................................14 5. Kahekordse integraali rakendusi................................................................................................14 §3. Kolmekordsed integraalid ............................................................................................................15 1. Kolmekordse integraali definitsioon ja omadused.....................................................................15 2. Kolmekordse integraali arvutamine ...........................................................................................15 3. Muutujavahetus kolmekordses integraalis .................................................................................16 4. Kolmekordse integraali rakendusi .............................................................................................16 §4. Joonintegraalid .............................................................................................................................17 1. Esimest ja teist liiki joonintegraalide definitsioonid ja omadused.............................................17 2. Esimest liiki joonintegraali arvutamine .....................................................................................18 3. Teist liiki joonintegraali arvutamine ..........................................................................................19 4. Üldine teist liiki joonintegraal. Greeni valem............................................................................20 §5. Pindintegraalid .............................................................................................................................21 1. Esimest liiki pindintegraalid ......................................................................................................21 2. Teist liiki pindintegraal ..............................................................................................................22 §6. Funktsionaalread ..........................................................................................................................25 1. Funktsionaalrea mõiste, koonduvuspiirkond, omadusi..............................................................25 2. Funktsionaalrea summa pidevus, liikmeti integreerimine ja diferentseerimine ........................26 Astmerida .......................................................................................................................................27 3. Funktsioonide arendamine astmeritta ........................................................................................28 4. Astmeridade rakendusi: ligikaudne arvutamine.........................................................................28 5. Fourier' read...............................................................................................................................29 6. Funktsiooni lähendamine trigonomeetriliste polünoomidega....................................................30 §7. Fourier' integraal..........................................................................................................................31 Sisukord .............................................................................................................................................32
32