Matemaatiline analüüs II (4)

Q: Millistel tingimustel on joonintegraal sõltumatu integreerimisteest?

Vastus leiad õppematerjalist: Matemaatiline analüüs II

Q: Millist rida nimetatakse trigonomeetriliseks reaks?

Vastus leiad õppematerjalist: Matemaatiline analüüs II

Q: Millist rida nimetatakse Fourier reaks?

Vastus leiad õppematerjalist: Matemaatiline analüüs II

Tallinna Tehnikaülikool - Matemaatika - Matemaatiline analüüs

5 VÄGA HEA

Esitatud küsimused

Millistel tingimustel on joonintegraal sõltumatu integreerimisteest?
Millist rida nimetatakse trigonomeetriliseks reaks?
Millist rida nimetatakse Fourier reaks?

Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma mõiste ja geomeetriline sisu.

Olgu D kinnine tõkestatud piirkond ruumis R2. Olgu z = ƒ (x,y) piirkonnas D määratud pidev funktsioon. Jaotame piirkonna D n tükiks ∆S1,∆S2,…,∆Sn.Tähistagu ∆Si samaaegselt nii i-ndat tükki kui ka i-nda tüki pindala.Valime igalt tükilt ühe punkti P ja moodustame järgmise summa: Vn= ƒ (P1) ∆S1 + ƒ (P2) ∆S2+…+ ƒ (Pn) ∆Sn

Seda summat Vn nim funktsiooni ƒ integraalsummaks piirkonnas D

Olgu ƒ (x,y) ≥ 0. siis saab integraalsummas olevat korrutist ƒ (Pi) ∆Si tõlgendada kui silindri ruumala, mille põhi on ∆Si ja kõrgus ƒ (Pi) Selline silinder tähistatakse Zi-ga. IntegraalsummaVn on järelikult silindrite ühendi Z=Z1 U Z2 U…U Zn ruumala. Silindrite ühend Z on treppkeha, mille ülemine pind on tükiti tasapinnalineomades hüppeid erinevate kõrgustega naaber silindrite liitekohtades.

Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline sisu.

Kui ƒ on pidev piirkonnas D, siiis on integraalsummal Vn taolises piirprotsessis lõplik väärtus. Seda piirväärtust nim funktsiooni ƒ kahekordseks integraaliks piirkonnas D ja tähistatakse ∫∫ ƒ(x,y)dxdy
Olgu ƒ(x,y)≥0. Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z = (x,y) alt tasandiga z = 0 ja küljelt silindriga, mille moodustajad on paralleelsed z- teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Saadud treppkeha Z ruumala läheneb keha Q ruumalale, kui piirkonna D tükeldus muutub järjest peenemaks, st єn →0. Eelnevalt nägime, et treppkeha Z ruumala on võrdne ƒ integraalsummaga Vn. Järelikult kahekordse integraali defnitsiooni põhja

Q ruumala= Lim Vn = ∫∫ ƒ(x,y)dxdy
єn →0 D

Kahekordse integraali omadusi.

∫∫ [ƒ (P) + g(P)] dS = ∫∫ ƒ(P)dS + ∫∫ g(P)dS
D D D

∫∫ C ƒ(P)dS = C ∫∫ƒ(P)dS , kus C on konstant
D D

Kui D= D1+D2, kusjuures D1 ja D2 ei oma ühiseid sisepunkte, siis
∫∫ ƒ(P)dS = ∫∫ ƒ(P)dS +∫∫ ƒ(P)dS
D D1 D2
4) Olgu piirkonna D pindala S. Siis kehtib võrdlus ∫∫ dS = S
D
5) Olgu m ja M vastavalt ƒ(x,y), vähim ja suurim väärtus piirkonnas D.Siis kehtivad seosed mS = m ∫∫ dS ≤ ∫∫ƒ(P)dS ≤ M ∫∫ dS = MS
D D D
6) Keskväärtusteoreem: Piirkonnas D leidub vähemalt üks punkt A nii, ett kehtib võrdlus
∫∫ ƒ(P)dS= ƒ (A) ∫∫dS = ƒ (A)S
D D

Kahekordse integraali teisendamine kaksikintegraaliks ristkülikukujulise piirkonna korral. Tuletada vastav valem. (lk 4-7)

Telgede suhtes regulaarsed piirkonnad.
Piirkond D on koordinaattelje suhtes regulaarne kui ta on regulaarne nii x-telje kui ka y-telje suhtes. (NB! kirjutan ainult y- telje suhtes sest, x-telje suhtes on regulaarsus analoogne )
Piirkonda D nim. regulaarseks y-telje suhtes, kui iga sirge, mis on paraleelne y-teljega, lõikab piirkonna D rajajoont maksimaalselt kahes punktis. Kui D on kinnine y-telje suhtes regulaarne piirkond , siis leiduvad arvud a ja b ning funktsioonid φ1(x) ja φ2(x) nii, et kehtivad seosed a≤b ja φ1(x) ≤ φ2(x) ning piirkond D on antud võrratusega D: a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)

Kahekordse integraali teisendamine kaksikintegraaliks koordinaattelje suhtes regulaarse piirkonna korral. Tuletada vastav valem. (lk 8-9)

Ruumala arvutamine kahekordse integraali abil.
Olgu antud funktsioon ƒ (x,y) ≥ 0. Vaatleme pinna z = ƒ (x,y) ja tasandi z=0 vahel paiknevat keha Q ruumalaga V. Üks võimalus on eelnevates teadmistest saadud valem V = ∫∫ ƒ(x,y)dxdy
Järgnevalt käsitleme pisut teistsugust juhtu. Vaatleme keha Q, mis on alt pinnaga z= ƒ1(x,y) ja ülalt pinnaga z= ƒ2(x,y). Olgu Q projektsioon xy-tasandil tähistatud D-ga. Meid huvitab Q ruumala. Näitame, et V saab esitada ƒ1 ja ƒ2 vahe integraalina, st
V= ∫∫ [ ƒ2(x,y) – ƒ2(x,y)] dxdy
D

Muutujate vahetus kahekordse integraali all.
Kahekordne integraal ∫∫ ƒ(x,y)dxdy ja kaks funktsiooni u= u(x,y) ja v=v(x,y), mis on määratud piirkonnas D. Eesmärgiks on sooritada muutuja vahetus, mille tulemusl asendatakse x ja y u ja v-ga. Kuna funktsioonid u ja v on ühesed kujutsied, siis seavad nad igale punktile P=(x,y) hulgastt D vastavusse ühe kindla punkti P’=(u,v) uv-tasandil. Kui P jookseb läbi kogu piirkonna D siis, siis kujutuspilt P’ kujundav uv-tasandi teatud piirkonna D’. Et kehiks järgmine vahetuse valem peab olema täidetud kaks tingimust:

x=x(u,v) ja y=y(u,v)

Olgu nim. pöördasendust määravatel funktsioonidel x(u,v) ja y(u,v) olemas osatuletised xu’,xv’,yu’,yv’ terves piirkonnas D
siis kehtib valem ∫∫ ƒ(x,y)dxdy= ∫∫ ƒ[x(u,v), y(u,v)] || J(u,v)dudv
D D

Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse.
Olgu A=(a;b) fikseeritud punkt xy-tasandil. Punkti P=(x;y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nim arvupaari δ ja φ, kus δ on P ja A vaheline kaugus ja φ on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. δ–polaarkaugus ja φ-polaarnurk. Ristkoordinaadid avalduvad polaarkoordinaatide kaudu järgmiste seostega:
x=a + δcos φ, y=b + δsin φ
Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse: Vaatleme ristkoordinaatides x ja y antud kahekordse integraali ∫∫D ƒ (x,y)dxdy teisendamist polaarkoordinaatidesse δ ja φ. Olgu hulgas D paiknevatele punktidele (x,y) vastavate polaarkoodniaatide (δ,φ) hulk D`. Muutuja vahetuse teostamiseks peame arvutama jakobiaani J(δ, φ). Kasutades ülaltooduid avaldisi x ja y jaoks saame: J(δ,φ)= x δ’(δ, φ) x φ’(δ, φ) = cos φ - δ sin φ = δ cos2 φ + δ sin2 φ = δ
y δ’(δ, φ) y φ’(δ, φ) sin φ δ cos φ
Muutuja vahetuse esimeses valemis esineb jakobiaani (J) absoluutväärtus. Kuna polaarkaugus δ on mittenegatiivne , siis │J(δ, φ)│=│δ│= δ. Järelikult
∫∫ ƒ (x,y)dxdy= ∫∫ ƒ (a + δcos φ, b + δ sin φ) δ dδ dφ
D D

Tuletada valem tasandilise kujundi massi arvutamiseks aine pindtiheduse kaudu.
Olgu antud aine pindtihedus γ (P) kogupiirkonnas D. Jaotame piirkonna D osapiirkondadeks ∆S1, ∆S2, …, ∆Sn ja valime igas osapiirkonnas ∆Si ühe punkti Pi. Tähistagu ∆Si samaaegselt nii I-ndta tükki kui i-nda tüki pindala. Olgu ∆Si mass ∆mi. Kui osapiirkond ∆Si on väike, siis võib aine pindtiheduse ∆Si peal lugeda ligikaudselt konstatntseks ja võrdseks arvuga γ(Pi)∆Si saame funktsiooni γ integraalsumma
n
mn=∑ γ(Pi)∆S, mis võrdub ligikaudselt piirkonna D massiga
i=1

Tuletada valem tasandilise kujundi masskeskme koordinaatide arvutamiseks aine pindtiheduse kaudu.
Olgu antud tasandiline materiaalne kujund D pindtihedusega γ (P). Määrata tuleb kujundi D masskeskme Pc=(xc,yc) koordinaadid. Ülesande lahendamiseks jaotame piirkonna D osapiirkondadeks ∆S1,∆S2,…∆Sn ja valime igas osapiirkonnas ∆Si ühe punkti Pi=(xi,yi) Tähistagu ∆Si jälle samaaegselt nii i-ndat tükki kui i-nda tüki pindala ning tüki ∆Si mass olgu ∆mi. Eelnevalt nägime, et väikese osapiirkonna ∆Si korral: ∆mi≈ γ(Pi) ∆Si
Asendame materiaalse pinnatüki ∆Si punkti Pi kontsentreeritud masspunktiga,
mille mass on ∆mi. (Piltlikult väljendudes, lükkame pinnatükil ∆Si paikneva aine kokku punkti Pi.) Tehes sellise asendusoperatsiooni kõigi osapiirkondadega ∆S1, ∆S2, …,∆Sn, saame n masspunktist P1, P2, …, Pn koosneva süsteemi massidega ∆m1, ∆m2, …, ∆mn. Valemite põhjal avalduvad selle süsteemi masskeskme Pcn = (xcn; ycn) koordinaadid järgmiselt:
n n
∑ xi∆mi ∑ yi∆mi
xcn= i=1 Ycn= i=1
n n
∑ ∆mi ∑ ∆mi
i=1 i=1
Kui osapiirkonnad ∆S1,∆S2,…∆Sn väiksed langeb D massikese P ligikaudselt kokku massipunktide süsteemi P1, P2, …, Pn massikeskmega Pcn. Siis saab leida kaudsed xc ja Yc
Asendades kaudsetesse koordinaatidessevalemi ∆mi ning saame koordinaadid:
n n
∑ xi γ(Pi) ∆Si ∑ yi γ(Pi) ∆Si
xc≈ i=1 yc≈ i=1
n n
∑ γ(Pi) ∆Si ∑ γ(Pi) ∆Si
i=1 i=1

Kolmekordse integraali mõiste.
Olgu di osapiirkonna ∆Vi läbimõõt. Olgu εn suurim arvudest d1, d2,…, dn, st osapiirkondade ∆V1, ∆V2,…, ∆Vn suurim läbimõõt. Muudame piirkonna V tükeldust järjest peenemaks selliselt , et osapiirkondade suurim läbimõõt εn läheneb nullile. Kui ƒ on pidev piirkonnas V, siis on integraalsummal σn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni ƒ kolmekordseks integraaliks piirkonnas V ja tähistatakse:
∫∫∫ ƒ (P)dV või ∫∫∫ ƒ (x, y, z)dxdydz.
D D

Tuletada valem ruumilise kujundi massi arvutamiseks aine ruumtiheduse kaudu.
V – osapiirkond, ruumala.
m – mass.
v – (ruum) tihedus.
(P) – aine tihedus punktis P.
Vi – i-nda tüki ruumala.
mi – mass
funktsiooni  integralsumma - mis võrdub ligikaudselt kega V massiga
n – osapiirkondade suurim läbimõõt.

Kolmekordse integraali omadusi.

Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina
1. Kui D(proj. xy-tasandil) on regul y-telje suhtes.
D: a ≤ x ≤ b, 1(x) ≤ y ≤ 2(x)
V: a ≤ x ≤ b, 1(x) ≤ y ≤ 2(x), 1(x,y) ≤ z ≤ 2(x,y)
2. Kui D(proj. xy-tasandil) on regul x-telje suhtes.
D: c ≤ x ≤ d, 1(x) ≤ y ≤ 2(x)
V: c ≤ x ≤ d, 1(x) ≤ y ≤ 2(x), 1(x,y) ≤ z ≤ 2(x,y)

Muutujate vahetus kolmekordse integraali all.
1)Eeldame et P on üheselt taasatav P’ põhjal
2) Olgu fun.-del x = x(u,v,w), y = y(u,v,w) ja z = z(u,v,w) olemas osatuletised xu’, xv’, xw’, yu’, yv’, yw’, zu’, zv’ ja zw’ terves piirkonnas V’.
Kui 1 ja 2 on täidetud siis kehtib järgmine muutuja vahetuse valem.
J(u,v,w) = jakobiaan

Silinderkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse.
Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse.

Sfäärkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse.
Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse.

Defineerida esimest liiki joonintegraal .

Esimest liiki joonintegraali rakendusi.
1. Saab arvutada joone L pikkuse: ehk
2. Kui L on materiaalne joon pideva joontihedusega (P), siis selle joone mass avaldub esimest liiki joonintegraaliga.

Esimest liiki joonintegraali omadusi.

∫[F1 (P) + F2(P)]dL= ∫ F1(P)dL + ∫F2(P)dL
L L L

∫ C F (P)dL = C ∫F(P) kus C on konstant
L L

Olgu joone otspunktid M ja N. Peale selle olgu Q mingi kolmas punkt sellel joonel . Tähistame L1-ga on joone osa, mis jääb punktide M ja Q vahele ning L2-ga on joone osa, mis jääb punktide Q ja N vahele. Siis kehtib valem
∫F(P)dL=∫F(P) dL + ∫ F (P)dL
L L1 L2

Tuletada valem esimest liiki joonintegraali arvutamiseks mööda parameetriliselt antud joont. (Lk. 27-30 )

Defineerida teist liiki joonintegraal tasandil ja kolmemõõtmelises ruumis.

TASANDIL: Olgu xy- tasandil antud lõpliku pikkusega joon L otspunktidega M ja N. Peale selle olgu antud kaks funktsiooni F(P) ja G(P), mis on määratud iga P L korral. Jaotame joone L n osakaareks punktidega M= M0, M1, M2, ....,Mn =N suunaga punkti M poolt N poole. Olgu punkti Mi koordinaadid xi ja yi .Tähistame ∆xi = xi - xi-1 , ∆yi = yi -yi-1 . Valime igal osakaarel Mi-1Mi ühe punkti Pi. Moodustame summa An= Σ [ F (Pi) ∆xi + G (Pi) ∆yi ]. Summat nim. Funktsioonide F ja G integraalsummaks koordinaatide järgi joonel L. Tähistame di=│Mi-1Mi│. Olgu єn maksimaalne arvudest d1 ,d2,..dn . Integraalsumma An piirväärtust protsessis єn →0 nim funktsioonide F ja G teist liiki e joonintegraaliks koordinaatide järgi üle joone L ja tähistatakse

∫ F(x,y)dx + G(x,y)dy.
L

RUUMIS :Olgu ruumis R3 antud lõpliku pikkusega joon L otspunktidega M ja N. Peale selle olgu antud kolm fünktsiooni F(P) ,G(P) ja H(P), mis on määratud iga P(x,y,z)  L korral. Jaotame joone L n osakaareks punktidega M= M0, M1, M2, ...,Mn =N suunaga punkti M poolt N poole. Olgu punkti Mi koordinaadid xi , yi, zi. Tähistame ∆xi =xi - xi-1 , ∆yi = yi -yi-1 , ∆zi = zi -zi-1 Valime igal osakaarel Mi-1Mi ühe punkti Pi. Moodustame summa

An= Σ [F(Pi)∆xi+G(Pi)∆yi+H(Pi)∆zi]. Summat nim. Funktsioonide F , G ja H integraalsummaks koordinaatide järgi joonel L.Tähistame di=│Mi-1Mi│.Olgu єn maksimaalne arvudest d1 ,d2,..dn. Funktsioonide F ja G teist liiki e joonintegraaliks koordinaatide järgi üle joone L ja tähistatakse
∫ F (x,y,z) dx + G (x,y,z) dy + H(x,y,z) dz = lim Σ [F(Pi)∆xi +G(Pi)∆yi+H(Pi) ∆zi].
L єn →0

Tuletada valem töö arvutamiseks joonintegraali abil tasandil. Esitada vastav valem ilma tuletamiseta ka kolmemõõtmelisel juhul.
Liikugu materiaalne punkt P xy- tasandil mööda joont punktist M punkti N. Sõltugu punktile P mõjuv jõud F punkti P asukohast . st. F(P)=(F1(P), F2(P)). Jaotame joone L n osakaareks punktidega M0,M1,M2,...Mn=N suunaga punkti M poolt punkti N poole. Tähistame ∆xi =xi - xi-1 , ∆yi = yi -yi-1 . Olgu osakaarel Mi-1Mi tehtav töö ∆Ai. Kogu joonel tehtav töö avaldub osakaartel tehtud tööde summaga A= Σ∆A. Valime punkti pi kaarelt Mi-1Mi. Kui di=│Mi-1Mi│ on väike siis on jõud kaarel ligikaudu konstantne ja võrdne jõuga punktis Pi. Valemi A=F*MN põhjal saame ∆Ai=F(Pi)*Mi-1Mi. Valemis esinevad vektorid saab esitada koordinaatide kaudu järgmiselt : F(Pi)=(F1(Pi),F2(Pi)) ja Mi-1Mi=(∆xi,∆yi). Siit ∆A =F1(Pi) ∆xi+F2(P2) ∆yi. Sumeerides seda A=Σ(F1(Pi) ∆xi+F2(Pi) ∆yi).Valemi paremal poolel on F1 ja F2 integraalsumma koordinaatide järgi. Olgu єn suurim arvudest d1,d2,....dn. Valem on seda täpsem mida peenem on joone L tükeldus .
A=lim (F1(Pi) ∆xi+F2(Pi) ∆yi)= ∫ F1(x,y)dx + F2(x,y)dy.
єn →0

Teist liiki joonintegraali omadusi.

∫ ( F1 + F2)dx + (G1+G2)dy = ∫ F1dx +G1dy + ∫ F2dx +G2dy
L L L
2) ∫ C Fdx + C G dy = C ∫ Fdx + G dy , kus C on konstant
L L
3) Kui joone L ospunktid on M ja N ning Q on mingi kolmas punkt joonel L, siis
∫ Fdx +Gdy = ∫ Fdx + Gdy + ∫ Fdx + Gdy
MLN MLQ QLN
4) ∫ Fdx +Gdy = - ∫ Fdx + Gdy
MLN NLM

Tuletada valem teist liiki joonintegraali arvutamiseks mööda parameetriliselt antud joont.
(lk 35-37)

Tuletada Greeni valem. (Lk 38-40)

Millistel tingimustel on joonintegraal sõltumatu integreerimisteest? Põhjendada.
Kui funktsioonid F ja G rahuldavad tingimusi F(P)=Ux’(P), G=Uy’(P) ehk [F(P), G(P)]=gradU(P) siis nende funktsioonide teist liiki joonintegraal ei sõltu integreerimis teest, vaid alinult alinult integreerimis alg- ja lõpp-punktist. (Põhjendus lugeda lk 40-42)

Defineerida esimest liiki pindintegraal .
Olgu kolmemõõtmelises ruumis antud lõpliku pindalaga pind S. Peale selle olgu antud pinnal S määratud funktsioon ƒ(P). Jaotame pinna S n tükiks ∆S1,∆S2,…,∆Sn. Tähistagu ∆Si ühtaegu nii i-ndat tükki kui i-nda tüki pindala. Valime igal tükil ∆Si ühe punkti Pi . Moodustame summa
Olgu integraalsumma δn = ƒ(P1) ∆S1 + ƒ(P2) ∆S2+…+ ƒ(Pn) ∆Sn= ∑ ƒ(Pi) ∆Si See funktsioon f(P) on integraalsumma pinnal S.
Olgu di tüki diameeter . Tähistame єn -ga maksimaalselt arvudest d1, d2,…dn. Muudame pinna S tükeldust järjest peenemaks nee, et єn →0 . On integraalsumma δn piirväärtust taolises piirprotsessis nim funktsiooni ƒ esimest liiki pindintegraaliks üle pinna S ja tähistatakse
∫∫ ƒ (P)ds n
Seega definitsiooni kohaselt ∫∫ ƒ (P)ds = lim δn = lim ∑ ƒ(Pi) ∆Si
s єn →0 єn →0 i=1

Esimest liiki pindintegraali rakendusi.
1. Esimest liiki joonintegraali kasutades saab arvutada joone L pikkuse. Tõepoolest, kuna ∆Li on osakaare Mi-1Mi pikkus, siis kaarte pikkuste summa
võrdub joone L pikkusega.
2. Kui L on materiaalne joon pideva joontihedusega γ(P), siis selle joone mass avaldub esimest liiki joonintegraaliga:

Arvrea mõiste. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus.
Olgu antud reaalarvude jada a1, a2, a3,…….. Avaldist
a1+ a2+ a3+… nim. arvreaks Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Kui rida koondub, siis

Arvridade koonduvustunnused (majorant- d’Alamberti, integraal- ja Leibnitzi tunnused)
Olgu antud positiivsete liidetavatega read
ja kusjuures ai ≤ bi. Kui rida
koondub, siis koondub ka rida ja kehtib võrratus ≤. Sealjuures nim rida rea
majorandiks
D'Alamberti tunnus. Olgu s =
positiivsete liidetavatega rida. Eeldame, et piirvaaartus
eksisteerib ja on lõplik. Siis kehtivad järgmised vaited:
1. Kui l 2. Kui l > 1, siis rida s hajub.
2. Kui l = 1, siis jääb küsimus rea s koonduvusest lahtiseks.
Leibnitzi tunnus. Kui vahelduvate markidega rea a1- a2 +a3- a4 +a5 -… liidetavad on sellised, et kehtivad võrratus a1 > a2 > a3 > ja
siis see rida koondub ja tema summa on positiivne arv, mis ei ületa rea esimest liidetavat.
Integraaltunnus. Olgu s =
positiivsete liidetavatega rida, kusjuures a1 ≥ a2 ≥ a3≥ ….. Peale selle olgu f(x) mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi f(1) = a1 , f(2) = a2 , f(3) = a3 , : : : :
Siis kehtivad jargmised väited:
1. Kui paratu integraal f(x)dx koondub, siis koondub ka rida s.
2. Kui paratu integraal
f(x)dx hajub, siis hajub ka rida s.
Märgime, et funtsiooni f(x) nim. monotoonselt kahanevaks, kui iga x1 ja x2 korral, mis rahuldavad võrratust x1

Funktsionaalrida ja selle koonduvuspiirkond.
Olgu antud funktsioonide jada u1(x), u2(x),u3(x).
Avaldist s(x)= =u1(x)+ u2(x)+ u3(x)+…. Nim. funktsionaalreaks. Suurus s(x) s6ltub muutujast x ehk on x funktsioon. Kuna funktsioon ui(x) omandab iga x korral oma määramispiirkonnast ühe kindla reaalarvulise väärtuse, siis muutuja x fikseerimisel saame funktsionaalreast teatud arvrea. Üldiselt on see arvrida erinevate x-de korral erinev. Seega võib ta ühtede x väärtuste korral koonduda ja teiste x väärtuste korral hajuda. Muutuja x nende väärtuste hulka, mille korral funktsionaalrida koondub, nim. selle rea koonduvuspiirkonnaks.

Astmerida .
S(x)= Σ ai x i =a0+a1x+a2x+.... kus ai on reaalarv
i=0
Astmerea koonduvuspiirkond on vahemik, mille keskpunkt 0, st vahemik kujul(-R,R).Arvu R nim astmerea koonduvusraadiuseks.Koondusvusraadiuseks võib olla ükskõik missugune mitteneg arv, k.a. lõpmatus.Kui R=0, on koonduvuspiirkond tühi hulk, st astmerida hajub kõikjal.kui R=lõpmatus, on koonduvuspiirkond kogu reaalarvude hulk R. Nihutatud astmerida:
S(x)= Σ ai (x –a)i a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+.... kus ai=reaalarv, kus a,a1,a2,a3,....on reaalarvud .
i=0

Taylori ja McLaurini read.
f(x)= f(a) + f’(a)(x-a) + f’’(a)(x-a)2/2! + f’’’(a)(x-a)3/3! + ... = Σ f(i)(a)(x-a) i/ i!
i=0
Funktsiooni f(x) Taylori rida punktis a. Kui a=0 nim. Taylori rida McLaurini reaks .

Millist rida nimetatakse trigonomeetriliseks reaks? (lk 52)
a0/2+ Σ [ancos nx + bnsin nx]
n=1

Olgu 2p - perioodiline funktsioon esitatud trigonomeetrilise reana. Tuletada valemid selle rea kordajate jaoks. Millist rida nimetatakse Fourier reaks? (lk 53 ja 55)
a0=1/n
ak=
bk=
f(x)=a0/2+ Σ [ancos nx + bnsin nx] – Fourier rida.
n=1

.DOC Laadi alla originaalfail 10 lk · .doc · 525 allalaadimist

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 10 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2009-01-31 Kuupäev, millal dokument üles laeti

525 laadimist Kokku alla laetud

4 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

Janka Õppematerjali autor

Ülevaatlikud teemad ja lesanded nagu näiteks: Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma mõiste ja geomeetriline sisu; Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline sisu;Kahekordse integraali omadusi; Telgede suhtes regulaarsed piirkonnad; Ruumala arvutamine kahekordse integraali abil; Muutujate vahetus kahekordse integraali all; Kolmekordse integraali mõiste; Kolmekordse integraali omadusi; Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina jne kokku 37 küsimust-vastust

kahekordne integraal kolmekordne integraal trigonomeetrilinje rida matemaatiline analüüs ii taylori rida mclaurini rida funktsionaalrida astmerida

Sarnased õppematerjalid

doc

Spikker

f ( P)dS = f ( A) dS 1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma mõiste ja f * (P)dS = f * (P)dS + f * (P)dS = f (P)dS m d geomeetriline sisu Vn = f ( P)dS = lim Vn = lim f ( pi , y)dy xi + lim = Kahemõõtmelises hulgas DR2 määratud funktsiooni f(x,y) integraalsummaks antud piirkonnas D nimetatakse summat D D 4. Kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides

Matemaatiline analüüs

doc

Kordamisküsimused - vastused

MATEMAATILINE ANALÜÜS II Kood YMM0012 3,5 AP KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahulda

Matemaatiline analüüs 2

pdf

Matemaatiline analüüs II

Mitmemõõtmelise ruumi mõiste Def: On antud n reaalarvu x1...xn ja nende järjestatud jada (x1...xn)(-punkt) seda nim n- mõõtmelise ruumi punktiks. Rn={(x1,...,xn) | xi R, i=1,...,n}, P(x1,...,xn) punkt koordinaatidega xi n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarv?

Matemaatiline analüüs 2

pdf

Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID

Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m

Matemaatiline analüüs ii

docx

Matemaatiline analüüs II KT teooria

1. Kahekordne integraal: põhjalik selgitus (vastava piirkonna jaotus, integraalsumma definitsioon jne). Vaatleme xy-tasandil joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jaotame piirkonna D mingite joontega n osaks: s1, s2, s3,..., sn, mida nim. osapiirkondadeks. Uute sümbolite kasutuselevõtmise vältimiseks mõistame s1,... ,sn all mitte ainult vastavaid osapiirkondi, vaid ka nende pindasid. Võtame igas osapiirkonnas s1 (selle sees või rajajoonel) mingi punkti P1, saades nii n punkti: P1, P2, P3,..., Pn. Tähistame antud funktsiooni z=f(x,y) väärtusi valitud punktides sümbolitega f(P 1),...,f(Pn) ja moodustame korrutiste summa, mille liikmeteks on f(P1)s1: Summat nim. funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Kui piirkonna D igas punktis f0, siis saab iga liidetavat f(Pi)si

Matemaatiline analüüs 2

docx

Matanalüüs II

1. Kahe muutuja funktsioon ja selle osatuletise rakendused: ekstreemumi leidmine, pinna puutuvtasapind ja normaal, näiteid Kahe muutuja funktsioon esitab pinda xyz-ruumis R3. Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2) Joone kaare pikkus VALEM 3)Pö?

Matemaatiline analüüs ii

pdf

Matemaatiline analüüs II loengukonspekt

MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2. Funktsiooni z x2 y 2 graafikuks on pöördparaboloid (vaata allpool olevat joonist) Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni f x, y c Näide 3. Tüüpiline näide nivoojoo

Matemaatiline analüüs ii

pdf

Matemaatiline analüüs II, II teooriaküsimused 2013

Kordamisküsimused matemaatilise analüüsi (II) II osaeksamiks 2013 1. Kahekordne integraal (integraalsumma, kahekordse integraali definitsioon, kahekordse integraali omadused (vastavad teoreemid tõestuseta)). n Moodustame summa: Vn = f ( P1 )s1 + f ( P2 )s 2 + ... + f ( Pn )s n = f ( Pi )s i i =1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Teoreem 1. Kui funktsioon f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade si maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatul kasvamisel piirväärtus, mis on üks ja sama iga jada puhul, s.t. ta ei sõltu piirkonna D osapiirkondadeks si jaotamise viisist ega punkti Pi valikust piirkoonas si. Seda piirväärtust nimetatakse funktsioonif (x,y) kahekordseks integraaliks üle

Matemaatiline analüüs ii

Rohkem sarnaseid