Matemaatilise analüüsi 2.kollokviumi (0)

Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu.
Kui hulga Ω ⊂ Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u ∈ R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal Ω on defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon.
Hulka Uε(P) = {Q ∈ Rn|d(P,Q) Arvu c nimetatakse funktsiooni u = f(x1,...,xn) piirväätuseks punktis A(a1,...,an), kui iga ε > 0 korral leidub selline δ > 0, et iga P ∈ Uδ(A), kus P A, korral |f(P) − c| Funktsiooni u = f (x1 , . . . , xn ) nimetatakse pidevaks punktis A(a1,...,an), kui
lim f(P) = f(A), P→A, st on täidetud kolm tingimust:
1) ∃f (A); 2)∃ lim f(P); P→A 3)lim f(P) = f(A). P→A
Funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas Ω0 ⊆ Ω ⊆ Rn, kui see funktsioon on pidev piirkonna Ω0 igas punktis.
Kui igale (x;y) kuulub hulka D on vastavusse seatud muutuja z kindel väärtus, siis muutujat z nimetatakse kahe muutuja x ja y funktsiooniks ja tähistatakse z=f(x,y). Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) graafikule kuulub ruumiline punkt koordinaatidega (x,y,f(x,y)). Kõikide niisuguste punktide hulk moodustab ruumis pinna. Seega on kahe muutuja funktsiooni graafikuks pind ruumis.
Tähistades x = x0 + ∆x ay=y0 +∆y, saame, et x→x0 ja y→y0 parajasti siis, kui ∆x→0 ja ∆y→0. Pidevuse 3.Tingimuse saame nüüd
kirjutada lim f(x0 +∆x,y0 +∆y)=f(x0 ,y0)(∆x→0,∆y→0).Ehk lim [f(x0 +∆x,y0 +∆y)-f(x0 ,y0)]=0 (6.4)( ∆x→0,∆y → 0)
Tähistame ∆ρ = √∆x + ∆y Siis ∆ρ → 0 ↔ ∆x → 0 ja ∆y → 0.Tingimusest saame kahe muutuja pidevuseks
punktis P0(x0 , y0) tarviliku ja piisava tingimuse lim ∆z = 0.Vektorite ~u = (u1; u2; : : : ; um) ja ~v = (v1; v2; : : : ; vm) ∆ρ→0 skalaarkorrutiseks nimetatakse summat ~u * ~v = u1v1 + u2v2 + : : : + umvm :
Mitmemuutuja funktsiooni osatuletised ja nende tähistus.
Vaatame funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) punktis P(x1, . . . , xn). Anname argumendilexj(j∈1,...,n) muudu ∆xi. Tähistame muutu ∆(∆xj)u:=f(x1,...,xj−1,xj +∆xj,xj+1,...,xn)− f(x1,...,xj−1,xj,xj+1,...,xn) .
Kui eksisteerib piirväärtus lim (∆(xj)—>0) ∆(∆xj)u / ∆xj ,siis seda piirväärtust
nimetatakse funktsiooni u = f (x1 , . . . , xn ) osatuletiseks punktis P(x1,...,xn) muutuja xj (j ∈ 1,...,n) järgi ja tähistatakse fxj (P) ≡ ∂f(x1,...,xn) / ∂xj := lim (∆xj→0) ∆(∆xj u) / ∆xj .Osatuletise võtmisel mitme muutuja funktsioonist f muutuja xj järgi võetakse selle muutuja järgi tavaline tuletis , kusjuures selle funktsiooni teisi muutujaid käsitletakse kui konstante . Kui tegemist on kahe muutuja funktsiooniga z = f(x,y), siis

• fx(x,y)≡∂z/∂x:= lim(∆x→0) f(x+∆x,y)−f(x,y), / ∆x
  
• fy(x,y)≡∂z/∂y:= lim (∆y→0) f(x,y+∆y)−f(x,y) / ∆y
  

Kui hulgal Ω määratud funktsioonil u = f(P) eksisteerib osatuletis uxi hulga Ω0 ⊆ Ω igas punktis, siis see osatuletis uxi kujutab endast hulgal Ω0 määratud funktsiooni.
Seega n-muutuja funktsiooni osatuletised on n-muutuja funktsioonid millest võime võtta osatuletisi muutuja xk(k∈1,...,n) järgi:
fxj xk (P) ≡ ∂2f(P) / ∂xj ∂xk := (∂ / ∂xk ) ( ∂f(P) / ∂xj)
Saadud tulemust nimetame teist järku osatuletiseks. Nii saame defineerida ka kõrgemat järku osatuletised.
Kahemuutuja funktsiooni tingliku ekstreemumi mõiste. Lagrange ’ funktsioon. Kahemuutuja funktsiooni tinglike ekstreemumite seos Lagrenge’i funktsiooni statsionaarsete punktidega. Globaalsed ekstreemumid.
Tingliku ekstreemumi ülesandeks ehk lisatingimustega esktreemumülesandeks nimetame ülesannet kujul “Leida funktsiooni u=f(x1, …, xn) ekstreemumpunktid piirkonnas, mis on määratud tingimustega (r Olgu funktsioon f määratud punkti A mingis ümbruses Ue(A) ning olgu antud lisatingimused F1(x1,…,xn) = 0, F2(x1,…,xn) = 0, …, Fn(x1,…,xn) = 0”. Kui iga punkti P C Ue(A) (PA) korral f(P) = f(A)) ning F1(A) = F2(A) = … = Fr(A) = 0, siis on funktsioonil f punktis A tinglik lokaalne maksimum (miinimum).
Funktsiooni f(x,y) tinglik ekstreemum lisatingimusel F(x,y) = 0 võib olla abifunktsiooni Φ(x , y ; λ) = f (x , y ) + λF (x , y ) statsionaarsetes punktides.
Funktsiooni f(x1, …, xn) tinglik ekstreemum lisatingimusel F1(x1,…,xn) = 0, F2(x1,…,xn), …, Fn(x1,….,xn) = 0 võib olla abifunktsiooni r Φ(x1,...,xn;λ1,...,λr) = f(x1,...,xn) + Sum λiFi(x1,...,xn)
statsionaarsetes punktides.
Globaalse ekstreemumi ülesande korral on vaja leida funktsiooni f(x,y) suurim ja vähim väärtus antud piirkonnas Ω. Seda tüüpi ülesannete lahenduskäik koosneb reeglina kolmest osast:
1.Leiame esialgse funktsiooni f(x,y) statsionaarsed punktid. 

2. Lahendame tingliku ekstreemumi ülesande(d) piirkonna Ω rajajoonel ∂Ω: st leiame vastavate Lagrange’i funktsiooni(de) Φ(x , y , λ) := f (x , y ) + λF (x , y ) statsionaarsed punktid. 

3.Arvutame funktsiooni z = f(x,y) väärtused f(x,y) statsionaarsetes punktides, mis jäävad piirkonda Ω ning rajajoontel saadud Lagrange’ funktsiooni(de) statsionaarsetes punktides, mitmest osast koosneva rajajoone korral ka vastavate osade otspunktides.
Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid . Võrrelda diferentseeruvuse ja tuletiste seost ühe- ning mitmemuutuja funktsiooni korral.
Funktsiooni z=f(x,y) nimetatakse diferentseeruvaks kohal (x,y), kui argumendi muudule (Δx, Δy) vastav funktsiooni muut Δz=f(x + Δx,y + Δy)-f(x,y) on esitatav kujul Δz=fx(x,y) Δx + fy(x,y) Δy + ɣ
Kus ɣ on kõrgemat järku lõpmata väike suurus võrreldes vektori (Δx, Δy) pikkusega ║(Δx, Δy)║2 piirprotsessis (Δx, Δy)  (0,0).
Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal.
Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y).
Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y).
Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= Δx ja dy:= Δy, nimetatakse funktsiooni f(x,y) täisdiferentsiaaliks.
Suurust d2f := d(df) nimetatakse funktsiooni f teist järku täisdiferentsiaaliks.
Funktsiooni f r-järku täisdiferentsiaaliks nimetatakse täisdiferentsiaali funktsiooni (r-1)-järku täisdiferentsiaalist ja tähistatakse drf := d(dr-1f).
Ühemuutuja funktsioon:

• Pidevus kohal x c X c R f(x+Δx) = f(x) + o((Δx)o)
  
• Diferentseeruvus kohal  eksisteerib f’x f(x+Δx) = f(x) + f’(x) Δx + o(Δx)
  
• Lagrange’ keskväärtusteoreem: Kui f pidev [x,x + Δx] ja diferentseeruv (x,x + Δx), siis leidub θ c (0,1) nii, et f(x+Δx) = f(x) + f’(x+ θ Δx) Δx.
  

Mitme muutuja funktsioon:

• Pidevus kohal x=(x1, x2, ...., xn) c Ω c Rn f(x+Δx) = f(x) + o((║Δx║2)o)
  
• Diferentseeruvus kohal x  eksisteerivad fxj(x). Eksisteerivad pidevad fxj(x)  diferentseeruvus kohal x. f(x+Δx) = f(x) + ∑fxj(x) Δxj + o(║Δx║2)
  
• Lagrange’ keskväärtusteoreem: Kui f diferentseeruv x ümbruses Uδ(x) ja x + Δx c Uδ(x), siis leidub θ c (0,1), nii et f(x+ Δx) = f(x) + ∑fxj(x+ θΔx) Δxj
  

Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Gradient . Telgedesuunalised tuletised . Suunatuletise tõlgendus.
Leiame funktsiooni f(x) tuletise punktis a vektori s suunas. Vektori s suunaline ühikvektor on kujul n := s / ║s║2 = (cos α, ... , cos αn), kus αk on nurgad vastavate koordinaattelgedega. Et kasutada eelnevat tulemust, defineerime ühe muutuja funktsiooni kujul u(t) := f(x(t)), kus xk(t) := ak + tcos αk ja x’k(t) := sk / ║s║2 = cos αk. Seega suunatuletis on esitatav kujul df/ds(a) = lim (t->0) (f(a + t(s/║s║2)-f(a))/t = du/dt(0) = Σ(k=1, n) fxk(a) Sk/║s║2 = Σ(k=1, n)fxk (a)cosαk.
Funktsiooni u=f(x1, ..., xn) gradiendiks punktis P(x1, ..., xn) nimetatakse selle funktsiooni osatuletistest koosnevad vektorit ( grad f)(P) = (ꝺf/ꝺx1(P), ꝺf/ꝺx2(P), ..., ꝺf/ꝺxn(P)). Hamiltoni operaatoriks ehk nablaoperaatoriks nimetatakse operaatorit ▼ := (ꝺ/ꝺx1, ꝺ/ꝺx2, ...., ꝺ/ꝺxn). Seega grad f = ▼ f.
Kasutades gradienti saame suunatuletise esitada skalaarkorrutisea df/ds(a) = Σ(k=1, n)fxk(a)sk/║s║2 = ▼f(a), s / ║s║2.
Ilmselt on suunatuletis df/ds(a) = ║▼f(a)║2. Seega näitab gradiendi suund funktsiooni kiireima kasvu suunda ja gradiendi pikkus näitab kasvu suunda.
Taylori valem kahe- või mitmemuutuja funktsiooni jaoks. Jääkliikme Lagrange’ kuju.
Funktsiooni z=f(x,y) nimetatakse n korda diferentseeruvaks punktis P(x,y), kui selle funktsiooni kõik (n-1)-järku osatuletised on diferentseeruvad punktis P.
Kui funktsioon f(x,y) on (n+1) korda diferentseeruv punktis P(x,y) siis kehtib n-järku Taylori valem f(x + Δx,y + Δy) = Σ(j=0, n) 1/j!( (ꝺ/ꝺx) Δx + (ꝺ/ꝺy) Δy)j f(x,y) + Rn(x,y), mille jääkliige Rn(x,y) avaldub (Lagrange’) kujul (0