DEF. Olgu joonel AB määratud kolm funktsiooni, siis VALEM nimetatakse üldiseks II liiki joonintegraaliks e joonintegraaliks koordinaatide järgi. Joont AB nimetatakse integreerimisteeks ning pt-e A ja B vastavalt integreerimistee alg- ja lõpp-pt-ks. Tasandiline joonintegraal on sellisel juhul, kui joon AB asub x-, y-, z- tasandil ning siis võib olla funktsioon kahe muutuja funktsioon. Omadused 1) Kui integreerimistee AB suund muutub BA-ks, siis II liiki joonintegraalid muudavad märki. VALEM 2) Kui joon AB on risti x-teljega, siis ʃABfdx=0. Samuti toimib teiste telgedega. 3) II liiki joonintegraalid on aditiivsed ʃABfdx+gdy+qdz=ʃACfdx+gdy+qdz + ʃCBfdx+gdy+qdz 4) II liiki joonintegraalid on lineaarsed, s.t. suvaliste konstantide k ja l jaoks. VALEM Arvutamine Kui on antud parameetrilised võrrandid, siis J=ʃABfdx+gdy+qdz = ʃαß{f[x(t);y(t);g(t)]x’+g[...]y’+q[...]z’}dt Kui tasandiline joon on antud võrrandiga y=y(x) xЄ[a;b], siis
19.Üleminek silinderkoordinaatidele(millal kasutada, üleminekuvalemid) Üleminek, kui tegemist on silindri ruumala leidmisega x=ρ∗cosφ , y=ρ∗sinφ, z=z 20.Üleminek sfäärikoordinaatidele (millal kasutada, üleminekuvalemid) Kui tegemist on sfääri(kera) ruumala leidmisega x=r∗cosφ∗sinθ , y=r∗sinφ∗sinθ , z=r∗cosθ 21.Kolmekordse integraali rakendusi Kujundi ruumala leidmine Piirkonna ruumala massi 22.Joonintegraalid(tasandiline ja ruumiline joonintegraal, geomeetriline tähendus). Esimest ja teist liiki joonintegraalide omadused ning erinevused. Kuidas arvutada joonintegraale? Geomeetriline tähendus: Olgu joone AB punktides f(x,y) suurem või võrdne 0-ga, siis integraal fds on „aia“ või „kardina“ pindala, mille aluseks on joon AB ja kõrguseks funktsiooni vastav väärtus Tasandiline joonintegraal on kui joon AB asetseb xy-tasandil (või yx-
2h 2 R 2 2hR 4 2 2h 2 R2 0 6 2 4 0 hR 3 2 . 2. JOONINTEGRAALID 2.1 Esimest liiki joonintegraal Olgu xyz-ruumis R 3 antud joon AB parameetriliste võrranditega x xt y yt t , , z zt kus funktsioonid x, y ja z on sellel lõigul pidevalt diferentseeruvad . Sellist joont nimetatakse ka sirgestuvaks. Kui need pidevad tuletised ei ole korraga nullid, siis nimetatakse joont siledaks. Märkus
Saame : 4. Leiame summa 5. Olgu 0 ning leiame (30.1.) Kui eksisteerib piirväärtus (30.1.) ja see ei sõltu joone AB osakaarte jaotamise viisist ega punktide valikust osakaartel , siis seda piirväärtust nim. funktsiooni z=f(x,y,z) teist liiki joonintegraaliks mööda joont AB ehk joonintegraaliks kaare projektsioonide järgi x-teljele ja tähistatakse Analoogiliselt võime defineerida teist liiki joonintegraalid projektsioonide järgi y-teljele ja z-teljele: Olgu joonisel AB määratud kolm funktsiooni P(x,y,z), Q(x,y,z) ja R(x,y,z). Üldiseks teist järku joonintegraaliks nim. järgmist joonintegraalide summat: Teist liiki joonintegraali definitsioonist järeldub vahetult kaks omadust: 1. Kui muuta teist liiki joonintegraalis joone läbimise suunda, siis märk integraali ees muutub vastupidiseks, s.t. 2. Kui C on suvaline joonel AB asuv punkt, siis 10. Rida
E 4. Kolmekordse integraali rakendusi 1. Keha ruumala dxdydz = V (E ) E ( f ( x, y , z ) = 1 ) 2. Keha mass (x, y, z )dxdydz = m(E ) , kus (x, y, z ) on keha tihedus punktis (x, y, z ) E . E 16 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §4. JOONINTEGRAALID 1. Esimest ja teist liiki joonintegraalide definitsioonid ja omadused Olgu xy-tasandil antud joon AB ja sellel joonel määratud funktsioon z = f ( x, y ) (x, y ) AB . Jagame joone AB n osakaareks punktidega A = P0 , P1 , P2 ,..., Pn = B , kus Pi = ( xi , y i ) AB i = 1,..., n . Valime punktid Qi Pi -1 Pi i = 1,..., n . Olgu s i = s (Pi -1 , Pi ) i -nda osakese pikkus. xi = xi - xi -1 y i = y i - y i -1 Def
ja ekstreemumpunktid leiame v~orrandis¨ usteemist Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0 (6.35) F =0 Fµ = 0 34 7 Joonintegraalid 7.1 Esimest liiki joonintegraali definitsioon ja omadu- sed Olgu antud tasandiline k~overjoon otspunktidega A ja B ja olgu sellel joonel defineeritud kahe muutuja funktsioon f (x, y), st igale joone punktile (x, y) on vastavusse seatud v¨a¨artus f (x, y). Jaotame joone AB suvalisel viisil punk- tidega A = P0 , P1 , P2 , . . . , Pk-1 , Pk , . . . , Pn = B osakaarteks Pk-1 Pk , k = 1, 2, . . . , n. Valime igal osakaarel juhusliku punkti Qk (k , k ) Pk-1 Pk .
annaabi.ee 
