Matanalüüs II (0)

1.      Kahe muutuja funktsioon ja selle osatuletise rakendused : ekstreemumi leidmine, pinna puutuvtasapind ja normaal , näiteid
Kahe muutuja funktsioon esitab pinda xyz-ruumis R3. Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks.
P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0.
2.   Määratud integraal ja selle geomeetrilised  rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid
Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton -Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit
Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2) Joone kaare pikkus VALEM 3)Pöördpinna ruumala VALEM 4) Pöördpinna pindala
                                                                                                     
3.      Kahekordse integraali definitsioon ja omadused: aditiivsus, lineaarsus , monotoonsus , absoluutne integreeruvus, keskväärtusteoreem, näide
Vaatleme tasapinnal xy joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu selles piirkonnas antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jagame piirkonna D n osapiirkannaks, mille pindalad tähistame ΔS1, ΔS2 … ΔSn. Võtame igas piirkonnas punkti PiЄ ΔSi. Siis summat Vn=Σni=1f(Pi)ΔSi
nimetame funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks. Kui eksisteerib piirväärtus , mis ei sõltu piirkonna D osadeks jagamise viisist ega punktide Pi valikust osapiirkonnas, siis seda nimetatakse funktsiooni z=f(x,y) kahekordseks int-ks ja tähistatakse: ʃʃDf(P)dS=ʃʃDf(x,y)dxdy
Omadused:
Aditiivsus: Kui D=D1UD2, siis ʃʃDf(x,y)dxdy=ʃʃD1f(x,y)dxdy+ʃʃD2f(x,y)dxdy
Lineaarsus: Kui funktsioonid z=f(x,y) ja z=g(x,y) on integreeruvad, siis ka funktsioon z=af(x,y)+bg(x,y) on integreeruv ja kehtib võrdus
ʃʃD[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy = aʃʃDf(x,y)dxdy + bʃʃDg(x,y)dxdy
Monotoonsus: Kui funktsioonid z=f(x,y) ja z=g(x,y) on integreeruvad ja f(x,y) on suurem kui g(x,y) iga (x,y)ЄD korral, siis on ka f(x,y) integraal väiksem kui g(x,y)
Absoluutne integreeruvus: Kui funktsioon z=f(x,y) on integreeruv, siis ka |z=f(x,y)| on integreeruv ja kehtib võrratus
| ʃʃDf(x,y)dxdy | ≤ | f(x,y) |dxdy
Keskväärtusteoreem: Kui fn z=f(x,y) on integreeruv, siis leidub selline arv µЄ[minf(x,y);maxf(x,y)], et ʃʃDf(x,y)dxdy=µSD
4.       Kaksikintegraal , kahekordse integraali arvutamine, näide
def. Olgu piirkond D joontrapets, mis on piiratud joontega x=a; x=b, y=φ1(x), y= φ2(x). φ1 ja φ2 on lõigul [a,b] pidevad funktsioonid. VALEM Kaksikintegraal arvutatakse kahe määratud integraali arvutamise teel. Kahekordne int. arv kaksikint järgi.
5.      Kahekordse integraali geomeetrilised rakendused: ruumala, tasapinnalise ja ruumilise kujundi pindala, näiteid
1) Ruumala
Kui Kahekordse integraali definitsioonist nägime, et kui integreeruvuspiirkonnas D unktsioon f suuremvõrdne 0, siis kahekordne integraal üle piirkonna D võrdub keha ruumalaga, mis on piiratud pinnaga z=f(x,y), xy-tasandiga(z=0) ja silindrilise pinnaga, mille moodustajad  on paralleelsed z- teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon: V=ʃʃDf(x,y)dxdy
2)Tasandilise kujundi pindala: S=ʃʃDdxdy
3)Ruumilise kujundi pindala: Kui pinna z=f(x,y) proj. xy-tasandil on D, kusjuures fn koos oma osatul. on pidev selles piirkonnas D, on selle pinnatüki pindala: S=ʃʃDsqrt(1+z’x2+z’y2)
6.      Kahekordse integraali füüsikalised rakendused: aine mass, tasandilise kujundi masskese , tasandilise kujundi inertsmoment , näide
1)Aine mass: Olgu piirkonnas D antud mingi aine pindtihedus γ= γ(x,y), siis piirkonnas D leiduva aine mass: m=ʃʃDγ(x,y)dxdy
2) Tasandilise kujundi inertsimoment:
Masspunkti P inertsimomendiks mingi punkt 0 suhtes nimetatakse punkti P massi ja kauguse ruudu korrutist. I=m*r2
I vastavalt x- ja y-telje suhtes valemitega : Ix=ʃʃDy2dxdy    Iy=ʃʃDx2dxdy
I koordinaatide alguse suhtes valemiga: Io=Ix+Iy=ʃʃD(x2+y2)dxdy
3)Tasandilise kujundi masskese: Kui tasandilise kujundi D pindtihedus on mingi funktsioon γ=γ(x,y), siis tasandilise kujundi D masskeskme (xc,yc) koordinaadid saab arvutada: xc=[ʃʃDγ(x,y)xdxdy]/[ʃʃDγ(x,y)dxdy] ning yc=[ʃʃDγ(x,y)ydxdy]/[ʃʃDγ(x,y)dxdy]
7.      Kahekordne integraal polaarkoordinaatides, Poissoni integraal, näideπ
Kui piirkond D on ring või selle osa, on kahekordset integraali lihtsam arvutada polaarides. Polaaride def: valime punkti O. See on poolus . Sealt väljub kiir- p (polaartelg). Punkti M asukoht määratakse polaarkaugusega ρ ja polaarnurgaga φ. Nurga φ mõõtmisel loetakse positiivseks vastupäeva suunda. Polaarkoordinaadistik M(ρ,φ). x=ρcosφ ; y=ρsinφ ; ρ= sqrt (x2+y2) ; tanφ=y/x. Poisson integraali abil esitatakse Gaussi kõver.
8.       Kolmekordne integraal ja selle arvutamine kolmikintegraali abil, näide
Olgu xyz-ruumis R3 antud mingi kinnise pinnaga piiratud piirkond V. Olgu piirkonnas V defineeritud pidev fn. u=f(x,y,z).3kordseks int-ks piirkonnas V nim piirväärtust
kui see eksisteerib. Kui 3 muutujaga fn-l on olemas 3xint,nim f-ni integreeruvaks.
Kolmikintegraal üle pinna V:
9.      Kolmekordse integraali arvutamine silinder - ja sfäärikoordinaatides, näiteid
Kui integreerimispiirkond V on silinder, on kasulik kolmekordses integraalis üle minna silinderkoord. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z; φЄ[α;β].
V=ʃʃʃf(ρcosφ, ρsinφ, z)ρdρdφdz
Kui integeerimispiirkond on sfäär või selle osa, aitab üleminek sfäärikoordinaatidele
x=rcosφsinθ, y=rsinφsinθ, z=rcosθ  V=ʃʃʃf(rcosφsinθ, rsinφsinθ, rcosθ)r2sinθdrdφdθ

10.  Kolmekordse integraali rakendused: ruumilise kujundi ruumala, mass, masskese, inertsmomendid , näide
1)Keha ruumala: Kui f(x,y,z)=1, siis kolmekordne integraal üle piirkonna V väljendab keha ruumala: VALEM
2)Keha mass: Kui keha jaotustihedus piirkonnas V on antud funktsiooniga f(x,y,z) ≥ 0, siis VALEM
3)Keha masskese: Kui keha jaotustihedus piirkonnas V on antud funktsiooniga f(x,y,z) ≥ 0, siis masskeskme koord. saab: VALEM
4)Keha inertsmomendid: Kui keha jaotustihedus piirkonnas V on antud funktsiooniga f(x,y,z) suuremvõrdne 0, siis saab leida xy-, yz- ja xz-tasandi suhtes inertsmomendid järgnevalt: VALEM
Keha V inertsmomendid x-, y- või z-telje suhtes leitakse vastavalt Ix=Ixy+Ixz   Iy=Ixy+Iyz   Iz=Ixz+Iyz
Keha inertsmoment mingi telje suhtes leitakse integraalist: VALEM, kus r on punkti kaugus teljest l.
Keha inertsmoment koordinaatide alguse 0 suhtes määratakse valemiga: Io=Ixz+Iyz+Ixy

11.  I liiki joonintegraal , selle omadused  ja arvutamine, näide
Olgu xyz-ruumis R3 antud joon AB parameetriliste võrranditega
x=x(t)   y=y(t)           z=z(t)   tЄ[α;β], kus funktsioonid x, y ja z on sellel lõigul pidevalt diferentseeruvad.
Selline joon on sirgestuv. Siledaks jooneks nimetatakse seda siis, kui need pidevad tuletised ei ole korraga nullid .
Kui summal VALEM on maxΔsi korral olemas piirväärtus, sõltumata tema joone osadeks jaotamise viisist ja Qi valikust, siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni f joonintegraaliks kaare pikkuse järgi üle AB ehk I liiki joonintegraaliks. Seda tähistatakse: VALEM
Kui funktsioon f on pidev joonel AB, siis on tal olemas I liiki joonintegraal, kusjuures kehtib valem: VALEM
Kui joon AB asub z, x, y tasandil, siis  nimetatakse integraali tasandiliseks. Sellisel juhul võib olla ka funktsioon f kahe muutuja funktsioon f(x,y). See esitub kujul: VALEM
Parameetriline võrrand: x=x(t)   y=y(t)   tЄ[α;β]   , siis VALEM
Ristkoordinaadid: y=y(x), xЄ[a,b], siis VALEM
Polaarkoordinaadid : ρ=ρ(φ), φЄ[α;β], siis ʃABf(x,y,z)ds=ʃαß:f(ρcosφ;ρsinφ)sqrt[ρ2+(ρ’)2]dφ
OMADUSED:
1)Joonintegraal ei sõltu integreerimistee läbimise suunast . ʃABf(x,y,z)ds=ʃBAf(x,y,z)ds
2)Joonintegraal on aditiivne . ʃABf(x,y,z)ds=ʃACf(x,y,z)ds + ʃCBf(x,y,z)ds
3)Joonintegraal on lineaarne, iga arvu k ja l korral VALEM

12. II liiki joonintegraal, selle omadused ja arvutamine, näide
Olgu xyz-ruumis antud joon AB ning sellel joonel kolmemuutuja funktsioon f(x,y,z). Jaotame AB n osaks punktiga Pi(0; 1; …; n), kus A=P0 ja B=Pn. Valime igal osakaarel punkti QiЄ[Pi-1;Pi] ning moodustame summa: VALEM
DEF. Kui sellel summal on maxΔxi→0 korral olemas piirväärtus sõltumata joone osadeks jaotamise viisist ega punktide Qi valikust, siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni teist liiki jooneintegraaliks ehk joonintegraaliks koordinaadi x järgi üle joone AB ja tähistatakse VALEM!! Kui joon asub x- teljel , siis on see integraal määramatu
DEF. Olgu joonel AB määratud kolm funktsiooni, siis VALEM nimetatakse üldiseks II liiki joonintegraaliks e joonintegraaliks koordinaatide järgi. Joont AB nimetatakse integreerimisteeks ning pt-e A ja B vastavalt integreerimistee alg- ja lõpp-pt-ks.
Tasandiline joonintegraal on sellisel juhul, kui joon AB asub x-, y-, z-tasandil ning siis võib olla funktsioon kahe muutuja funktsioon.
Omadused
1) Kui integreerimistee AB suund muutub BA-ks, siis II liiki joonintegraalid muudavad märki. VALEM
2) Kui joon AB on risti x-teljega, siis ʃABfdx=0. Samuti toimib teiste telgedega.
3) II liiki joonintegraalid on aditiivsed ʃABfdx+gdy+qdz=ʃACfdx+gdy+qdz + ʃCBfdx+gdy+qdz
4) II liiki joonintegraalid on lineaarsed , s.t. suvaliste konstantide k ja l jaoks. VALEM
Arvutamine
Kui on antud parameetrilised võrrandid , siis J=ʃABfdx+gdy+qdz = ʃαß{f[x(t);y(t);g(t)]x’+g[...]y’+q[...]z’}dt
Kui tasandiline joon on antud võrrandiga y=y(x)   xЄ[a;b], siis ʃABf(x,y)dx=ʃabf[x,y(x)]dx
13. II liiki joonintegraali sõltumatus integreerimisteest, näide
II liiki joonel on üks omadus veel - olgu üks tasandiline joonintegraal J=ʃLfdx + gdy, mis ühendab punkte M ja N, siis joonintegraal ei sõltu integreerimisteest, kui J = ʃLfdx + gdy = ʃMQNfdx + gdy = ʃMPNfdx + gdy
Täisdiferentsiaal : dz = ux(x,y)dx + uy(x,y)dy ning selleks, et fdx+gdy oleks mingi funktsiooni täisdiferentsiaal, on vajalik ja piisav, et fy=gx. Seetõttu kehtib väide, et joonintegraal J = ʃLfdx + gdy on sõltumatu integreerimisteest siis, kui selles piirkonnas D integraalialune avaldis fdx+gdy on mingi funktsiooni täisdiferentsiaal. Praegu vaatlesime tasapinnalist kujundit , kuid sama kehtib ka ruumilise kujundi jaoks
14. I liiki ja II liiki joonintegraali rakendusi: joone pikkus, mass ja masskese, silinderpinna pindala, parameetrilisel kujul antud tasandilise kujundi pindala, muutuva jõu poolt tehtud töö näiteid
Joone pikkus: kui xyz-ruumis antud joon AB on sirgestuv, siis avaldub tema pikkus sAB valemiga  sAB =ʃABds.
Silinderpinna pindala: I joonintegraali geomeetriline tõlgendus:  sABCD =ʃABf(x,y)ds
Joone mass:  Kui joone AB joontihedus p=p(x,y,z) on pidev funktsioon, siis joone mass mAB=ʃABp(x,y,z)ds
Joone masskese: C(xC,yC,zC) xC=(1/mAB)ʃABxp(x,y,z)ds     yC=(1/mAB)ʃAByp(x,y,z)ds
zC=(1/mAB)ʃABzp(x,y,z)ds
Tasandilise kujundi pindala: Kui piirkond D on märgitud joonega L, mis antud võrrnditega
x=x(t) ja y=y(t), tЄ[α;β], siis pindala saab valemitest: S=§xdy ; S=-§ydx ; S=1/2§xdy-ydx
Muutuva jõu poolt kõverjoonel tehtud töö: Liikugu punkt P(x,y,z) massiga m mööda joont AB jõu F toimel, mis selle punkti liikumisel muutub nii suuruse kui sihi poolest. F=[X(x,y,z), Y(x,y,z), Z(x,y,z)]
Jõu F poolt tehtud töö: W=mʃABXdx+Ydy+Zdz
15. I liiki pindintegraal , selle omadused ja arvutamine, näide
Olgu R3 antud pind Ω(pind, kus igas pt-s on võimalik leida puutujatasand ja normaal) Jagame pinna Ω n siledaks osaks Δσ1, Δσ2, … Δσn, kus ΔSi tähistab tüki Δσi pindala.
Olgu pinnal antud funktsioon f(P)=f(x,y,z). Moodustame integraalsumma : VALEM, kus PiЄΔσi. Olgu λi osapiirkonna Δσi diameeter .
DEF. Kui sellel summal on olemas maxλi→0 korral piirväärtus sõltumata pinna osadeks jaotamise viisist ning pt-de Pi valikust, siis nim seda piirväärtust funktsiooni f esimest liiki pindintegraaliks e pindint. pindala järgi üle Ω ja tähistatakse: ʃʃΩfdS=ʃʃΩf(x,y,z)dS
Kui pind asub xy-tasandil, siis I liiki pindintegraal kujutab endast kahekordset integraali. (sama yz- ja xz-tasandi korral).
Kui pind Ω on sile ja funktsioon f on pidev sellel pinnal, siis eksisteerib sellel funktsioonil I liiki pindintegraal üle pinna Ω.
OMADUSED: Omadused on kaekordse integraaliga samad - aditiivne, lineaarne ja monotoonne .
ARVUTAMINE: Kui pind Ω on ilmutatud võrrandiga z=z(x,y), kus (x,y)ЄD, siis pindintegraal avaldub kahekordse integraalina ʃʃΩfdS=ʃʃDf[x,y,z(x,y)]sqrt(1+zx2+zy2)dxdy
16. I liiki pindintegraali rakendused: ruumilise pinnatüki pindala, mass, masskese ja inertsmomendid, näiteid
1)Pinnatüki pindala. Sileda pinna Ω pindala on arvutatav valemiga SΩ=ʃʃΩdS
2)Pinna mass. Olgu pinna Ω pindtihedus määratud funktsiooniga γ= γ(x,y,z). Pinna mass on sellisel juhul mΩ arvutatav mΩ=ʃʃΩγ(x,y,z)dS
3)Masskeskme koordinaadid. Materjaalse pinna pindtihedusega γ(x,y,z) masskeskme C(xc,yc,zc) koordinaadid saab arvutada valemitest: xc=1/mΩʃʃΩxγ(x,y,z)dS      yc=1/mΩʃʃΩyγ(x,y,z)dS            zc=1/mΩʃʃΩzγ(x,y,z)dS
4)Pinna inertsmomendid. Olgu pinna Ω pindtihedus määratud funktsiooniga γ=γ(x,y,z). Selle pinna inertsmomendid koordinaattelgede suhtes saab arvutada järgnevate valemitega: Ix=ʃʃΩ(y2+z2)γ(x,y,z)dS         Iy=ʃʃΩ(x2+z2)γ(x,y,z)dS        Iz=ʃʃΩ(x2+y2)γ(x,y,z)dS
17. II liiki pindintegraal, selle arvutamine ja omadused, näide
DEF. Olgu pinnal Ω määratud kolm funktsiooni f(x,y,z), g(x,y,z) ja q(x,y,z), siis üldiseks II liiki pindintegraaliks nimetatakse summat:
ʃʃΩfdxdy+gdxdz+qdydz= ʃʃΩfdxdy + ʃʃΩgdxdz + ʃʃΩqdydz
Avaldist fdxdy+gdxdz+qdydz nimetatakse integraalialuseks avaldiseks.
Kui pind Ω on sile ja funktsioon f on pidev sellel pinnal, siis eksisteerivad selle funktsiooni II pindintegraalid üle pinna Ω.
OMADUSED
II liiki pindintegraalide omadused on põhiliselt samad, mis I liiki pindintegraalidel(aditiivne, lineaarne, monotoonne)
Lisaks nendele on II liiki pindintegraalidel veel kaks omadust:
1)Kui pind Ω on risti xy-tasandiga, siis ʃʃΩf(x,y,z)dxdy=0. Analoogiline lahendus on ka xz- ja yz projektsioonidel
2)Pinna Ω poole muutumisel muutub II liiki pindintegraali märk vastupidiseks (I liiki pindintegraalil jäi samaks)
ARVUTAMINE
1)Kui pind Ω on antud parameetriliste võrranditega x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), (u,v)ЄΔ, siis
ʃʃΩfdxdy=±ʃʃΔf[x(u,v), y(u,v), z(u,v)]Cdudv
ʃʃΩfdxdz=±ʃʃΔf[x(u,v), y(u,v), z(u,v)]Bdudv
ʃʃΩfdydz=±ʃʃΔf[x(u,v), y(u,v), z(u,v)]Adudv,
kus A, B, C on antud valemitega.
2)Kui pind Ω on antud ilmutatud kujul võrrandiga z=z(x,y), xЄD, siis ʃʃΩfdxdy=±ʃʃDf[x, y, z(x,y)]
18. Greeni , Gauss -Ostrogradski ja Stokesi valemid, näiteid
Stokesi valem võimaldab arvutada II liiki joonintegraali II liiki pindintegraali abil. Olgu pind Ω ja tema rajajoon L siledad. Kui funktsioonid f, g ja q ning nende osatuletised fy,fz,gx,gz,qx ja qy
on pidevad pinnal Ω, siis kehtib Stokesi valem: ʃLfdx+gdy+qdz = ʃʃ(qy-gz)dydz + (fz-qx)dzdx + (gx-fy)dxdy, kus joonintegraal on võetud mööda joont L positiivses suunas pinna Ω külje suhtes, mida mööda integreeritakse.
Gauss-Ostrogradski valem võimaldab arvutada II liiki pindintegraali kolmekordse integraali abil. Olgu ruumiline pind V kinnine ja tema rajapind Ω sile. Kui funktsioonid f,g ja q ning nende osatuletised fx, gy ja qz on pidevalt piirkonnas V, siis kehtib Gauss-O:
ʃʃfdydz + gdxdz + qdxdy = ʃʃʃ(fx + gy + qz)dxdydz, kus pindintegraal vasakul on võetud mööda pinna Ω väliskülge.
Greeni valem annab seose üle mingi tasandilise piirkonna D võetud kahekordse integraali ja üle selle piirkonna rajajoone L võetud joonintegraali vahel. Olgu xy-tasandil antud kinnise kontuuriga L piiratud piirkond D ja olgu piirkonnas D antud pidevad funktsioonid f ja g, millel on pidevad osatuletised.
J=ʃʃ(gx-fy)dxdy= §fdx+gdy