zC=(1/mAB)ʃABzp(x,y,z)ds Tasandilise kujundi pindala: Kui piirkond D on märgitud joonega L, mis antud võrrnditega x=x(t) ja y=y(t), tЄ[α;β], siis pindala saab valemitest: S=§xdy ; S=-§ydx ; S=1/2§xdy-ydx Muutuva jõu poolt kõverjoonel tehtud töö: Liikugu punkt P(x,y,z) massiga m mööda joont AB jõu F toimel, mis selle punkti liikumisel muutub nii suuruse kui sihi poolest. F=[X(x,y,z), Y(x,y,z), Z(x,y,z)] Jõu F poolt tehtud töö: W=mʃABXdx+Ydy+Zdz 15. I liiki pindintegraal, selle omadused ja arvutamine, näide Olgu R3 antud pind Ω(pind, kus igas pt-s on võimalik leida puutujatasand ja normaal) Jagame pinna Ω n siledaks osaks Δσ1, Δσ2, … Δσn, kus ΔSi tähistab tüki Δσi pindala. Olgu pinnal antud funktsioon f(P)=f(x,y,z). Moodustame integraalsumma: VALEM, kus PiЄΔσi. Olgu λi osapiirkonna Δσi diameeter. DEF. Kui sellel summal on olemas maxλi→0 korral piirväärtus sõltumata
W m Xdx Ydy Zdz m g dz mg a 3 b3 . AB a3 Antud juhul joonintegraal ei sõltu integreerimisteest, vaid ainult selle algus- ja lõpp-punktist. Veel täpsemini, raskusjõu poolt tehtav töö sõltub ainult tee alguspunkti ja lõpp-punkti kõrguste vahest. 3. PIDINTEGRAALID 3.1 Esimest liiki pindintegraal Olgu kolmemõõtmelises ruumis R 3 antud pind . Märkus. Me eeldame, et pind on normaalne, s.t. ta on sile: tema igas punktis saab leida puutujatasandi ja normaali. Samuti eeldame, et ta on kahekügne, s.t. tema mistahes joont pidi liikudes normaali suund lähtepunkti tagasijõudes jääb samaks. Jagame pinna mingil viisil n siledaks osaks 1, 2, ... n, kus S i tähistab tüki i pindala. Olgu pinnal antud funktsioon
Kui funktsioon f on pidev siledal pinnal : x = x( y, z ) ( y, z ) D = pr yz , siis f (x, y, z )dS = f (x( y, z ), y, z ) D 1 + x y2 ( y, z ) + x z2 ( y, z )dydz . 21 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 2. Teist liiki pindintegraal 2.1. Kahe poolega pind Def. Pinda nimetatakse kahe poolega (orienteeritud) pinnaks, kui iga sellel pinnal asuva kinnise kõvera läbimisel pinna normaali suund lähtepunkti tagasi jõudes ei muutu, ning ühe poolega pinnaks, kui sellel pinnal leidub kinnisi kõveraid, mille läbimisel lähtepunkti tagasi jõudes on pinna normaali suund vastupidine. Väide. Iga võrrandiga z = z ( x, y ) , x = x( z , x ) või y = y ( x, z ) antud pind on kahe poolega pind. Pinna poole määramine
(lk 35-37) 27. Tuletada Greeni valem. (Lk 38-40) 28. Millistel tingimustel on joonintegraal sõltumatu integreerimisteest? Põhjendada. Kui funktsioonid F ja G rahuldavad tingimusi F(P)=U x'(P), G=Uy'(P) ehk [F(P), G(P)]=gradU(P) siis nende funktsioonide teist liiki joonintegraal ei sõltu integreerimis teest, vaid alinult alinult integreerimis alg- ja lõpp-punktist. (Põhjendus lugeda lk 40-42) 29. Defineerida esimest liiki pindintegraal. Olgu kolmemõõtmelises ruumis antud lõpliku pindalaga pind S. Peale selle olgu antud pinnal S määratud funktsioon (P). Jaotame pinna S n tükiks S 1,S2,...,Sn. Tähistagu Si ühtaegu nii i- ndat tükki kui i-nda tüki pindala. Valime igal tükil Si ühe punkti Pi . Moodustame summa Olgu integraalsumma n = (P1) S1 + (P2) S2+...+ (Pn) Sn= (Pi) Si See funktsioon f(P) on integraalsumma pinnal S. Olgu di tüki diameeter
alfa on pinna (samuti pindalavektori) ja elektrivälja vaheline nurk. Valem otseselt mittehomogeenses väljas ega kõverapinna puhul ei kehti. Sellisel juhul on vaja esmalt arvutada voog läbi elementaarpinnalemendi dS d Φ=E(→) dS(→)=EdScos α ning seejärel summeerida kõiki pinnaelemente läbivad vood ehk integreerida üle pinna S: ❑ ❑ Φ=∫ E(→) dS(→)=∫ EdScos α See integraal on kahekordne, nn pindintegraal, mis tähendab, S S et integreerimine toimub üle 2 ruumikoordinaadi. Kui pind S on kinnine (nt sfääri pind), siis ❑ lisatakse integraali märgile ringjoon ∮ ❑. ❑ 4. Gaussi teoreem elektrivälja korral. 2
annaabi.ee 
