Esimest liiki joonintegraal 1) AB f ( x; y ) ds f (t ), (t ) ( ' (t )) 2 ( ' (t )) 2 dt b 2) f ( x; y ) ds f x ( y ), y 1 ( x ' ( y ))2 dy AB a b 3) AB f ( x; y )ds f x, y ( x ) a 1 ( y ' ( x )) 2 dx Näidis. Leida x 2 AB ds , kus AB on funktsiooni y=ln x graafiku osa, A(1;0) ja B(e;1). 2...
32. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 33. Silinderkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse (tuletada vastav valem). 34. Sfäärkoordinaadid. Tuletada ristkoordinaatide valemid sfäärkoordinaatide kaudu. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse (tuletada vastav valem). 35. Joone kaare pikkuse diferentsiaal tasandil ja ruumis. Funktsiooni integraalsumma joonel. Esimest liiki joonintegraali definitsioon. Joone pikkuse ja joone massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 36. Esimest liiki joonintegraali omadused (sh omadus 3 koos põhjendusega). 37. Esimest liiki joonintegraali arvutamine parameetrilise joone korral (kahemõõtmelisel juhul tuletada vastav valem ja kolmemõõtmelisel juhul esitada vastav valem ilma tuletamata). 38. Teist liiki joonintegraali definitsioonid tasandil ja ruumis. Integraal üle kinnise kontuuri. 39
Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse (esitada vastav valem ilma tuletamata). 10.Sfäärkoordinaadid. Esitada ristkoordinaatide valemid sfäärkoordinaatide kaudu (tuletada ei ole vaja). Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse (esitada vastav valem ilma tuletamata). 11.Joone kaare pikkuse diferentsiaal tasandil ja ruumis. Funktsiooni integraalsumma joonel. Esimest liiki joonintegraali definitsioon. 12.Esimest liiki joonintegraali arvutamine parameetrilise joone korral (esitada vastavad valemid ilma tuletamata). 13.Teist liiki joonintegraali definitsioonid tasandil ja ruumis. Integraal üle kinnise kontuuri. 14.Esimest liiki pindintegraali definitsioon.
Kui int.piirk. on sfäär või tema osa, siis minnakse üle sfäärilistele koordinaatidele ( , , ) .r- punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist. Üleminekuvalemid: x = r sin cos , y = r sin sin , z = cos , J = r 2 sin f ( x, y, z )dxdydz = f (r sin sos , r sin sin , r cos )r sin drdd 2 D Esimest liiki joonintegraali mõiste, omadusi, tema arvutamine ja rakendusi I liiki joonintegraal vaatame int.-i kaare pikkuse järgi. Eeldused: sileda joone kaar, otspunktidega A ja B. Sellel määratud pidev funktsioon f(P), P AB (kaar võib olla nii tasandil kui ka ruumis). Konstr: jaotame kaare AB punktidega Ai n osadeks (i=0 A=A0, i=n An=B) n n = f ( Pi )S i - int. summa, S i - kaare pikkus i =1 Def: Kui int.summal leidub protsessis, kus n piirväärtus, mis ei sõltu kaare osadeks jaotamise
Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse. Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse. 18. Sfäärkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse. 19. Defineerida esimest liiki joonintegraal. 20. Esimest liiki joonintegraali rakendusi. 1. Saab arvutada joone L pikkuse: ehk 2. Kui L on materiaalne joon pideva joontihedusega (P), siis selle joone mass avaldub esimest liiki joonintegraaliga. 21. Esimest liiki joonintegraali omadusi. 1) [F1 (P) + F2(P)]dL= F1(P)dL + F2(P)dL L L L 2) C F (P)dL = C F(P) kus C on konstant L L 3) Olgu joone otspunktid M ja N
Samuti toimib teiste telgedega. 3) II liiki joonintegraalid on aditiivsed ʃABfdx+gdy+qdz=ʃACfdx+gdy+qdz + ʃCBfdx+gdy+qdz 4) II liiki joonintegraalid on lineaarsed, s.t. suvaliste konstantide k ja l jaoks. VALEM Arvutamine Kui on antud parameetrilised võrrandid, siis J=ʃABfdx+gdy+qdz = ʃαß{f[x(t);y(t);g(t)]x’+g[...]y’+q[...]z’}dt Kui tasandiline joon on antud võrrandiga y=y(x) xЄ[a;b], siis ʃABf(x,y)dx=ʃabf[x,y(x)]dx 13. II liiki joonintegraali sõltumatus integreerimisteest, näide II liiki joonel on üks omadus veel - olgu üks tasandiline joonintegraal J=ʃLfdx + gdy, mis ühendab punkte M ja N, siis joonintegraal ei sõltu integreerimisteest, kui J = ʃLfdx + gdy = ʃMQNfdx + gdy = ʃMPNfdx + gdy Täisdiferentsiaal: dz = ux(x,y)dx + uy(x,y)dy ning selleks, et fdx+gdy oleks mingi funktsiooni täisdiferentsiaal, on vajalik ja piisav, et fy=gx. Seetõttu kehtib väide, et joonintegraal J = ʃLfdx + gdy on sõltumatu
Geomeetriline tähendus: Olgu joone AB punktides f(x,y) suurem või võrdne 0-ga, siis integraal fds on „aia“ või „kardina“ pindala, mille aluseks on joon AB ja kõrguseks funktsiooni vastav väärtus Tasandiline joonintegraal on kui joon AB asetseb xy-tasandil (või yx- tasandil või zx-tasandil). Sel juhul funktsioon f võib olla kahe muutuja funktsioon. Ruumilineb joonintegraal- Kui joon AB on ruumiline joon. I liiki joonintegraali omadused: Joonintegraal ei sõltu integreerimise AB läbimise suunast. Lineaarsus. Aditiivsus. II liiki joonintegraali omadused: Lineaarsus ja aditiivsus. Teist liiki joonintegraal sõltub integreerimise AB läbimise suunast. ❑ ❑ ∫ fds=∫ f ( x , y ) ds I liiki joonintegraal AB AB β
Tükeldame piirkonna V osapiirkondadeks V1, V2,... , Vn. Suhteliselt väikese Vi z u z v zw 19. Tuletada valem töö arvutamiseks joonintegraali abil i i i i Liikugu materiaalne punkt P tasandil sirgjooneliselt asendist M xcn = ycn =
Joont AB integraalis (6) nimetatakse integreerimisteeks, punkti A nimetatakse integreerimistee alguspunktiks ja punkti B tema lõpp-punktiks. Integreerimisteed AB märgitakse ka ühe tähega L, s.o. J f x, y, z ds f x, y, z ds. AB L Kui joon on kinnine, s.t. A B, siis kasutatkse sageli ka sümbolit J f x, y, z ds L 2.1.1 I liiki joonintegraali arvutamine Kehtib Teoreem 8. Kui funktsioon f on pidev joonel AB, siis on tal olemas I liiki jooninegraal 6 , kusjuures kehtib valem dx 2 dy 2 dz 2 J f x, y, z ds f x t ,y t ,z t dt dt dt dt 7
selle kooriku mass m on leitav valemi (3.4.9) abil, staatilised momendid Mx ja My valemite (3.4.10) ja (3.4.11) abil, massikeskme koordinaadid xc ja yc kas valemite (3.4.12) või valemite (3.4.13) ja (3.4.14) abil ning inertsmomendid Ix ja Iy valemite (3.4.15) ja (3.4.16) abil ning I0 valemi (3.4.17) või valemi (3.4.18) abil. Massi arvutamine M=lllf(x,y,z)dxdydz T Inertsmoment I0=lll(x +y2+z2)dxdydz 2 25. Joonintegraali koordinaatide järgi mõiste ja omadusi xy-tasandil antud lõpliku pikkusega joonel L otspunktidega M ja N määratud funktsioonide F ja G joonintegraaliks üle joone L nimetatakse funktsioonide F ja G integraalsumma n An = ( F ( Pi )xi + G ( Pi )yi ) , i =1 kus xi=xi-xi-1 ja yi=yi-yi-1 on joone L punktidega M=M0, M1, M2, ..., Mn=N nii, et Mi(xi,yi), n osakaareks jaotamisel saadud muudud ja Pi punkt, kusjuures Pi[Mi-1,Mi], piirväärtust protsessis n0, kus n=max{d1, d2,..
17. Üleminek silinderkoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 18. Üleminek sfäärikoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 19. Kolmekordse integraali rakendusi. 20. Joonintergaalid (tasandiline ja ruumiline joonintegraal, geomeetriline tähendus). Esimest ja teist liiki joonintegraalide omadused ning erinevused. Kuidas arvutada joonintegraale? 21. Green’i valem (mis seose annab Green’i valem?). 22. Joonintegraali rakendusi. 23. Pindintegraalid (Ostrogradski ja Stokes’i valem – mis seosed need valemid annavad?). Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali? 24. Rajade määramine integraalidel. 25. Arvread (definitsioon, lisaks definitsioonid: rea liige, rea üldliige, rea osasumma, rea hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused). 26. Rea koonduvuseks tarvilik tingimus. 27. Geomeetriline ja harmooniline rida. 28
(joonintegraalideks koordinaatide järgi) üle joone AB . Tähistus vastavalt: fdx , f (P )dx AB AB või fdy , f (P )dy AB AB Aditiivsuse, lineaarsuse ja monotoonsuse omadused ning keskväärtusteoreem on joonintegraali puhul analoogsed kahe- ja kolmekordse integraali vastavate omadustega. Esimest liiki joonintegraali spetsiifilised omadused Omadus. Esimest liiki joonintegraal ei sõltu joonel liikumise suunast, st fds = fds . AB BA Omadus. AB ds = s( AB ) , kus s( AB ) on joone AB pikkus. Teist liiki joonintegraali spetsiifilised omadused Omadus. AB fdx = - fdx , fdy = - fdy .
..,n). 4. Leiame summa 5. Olgu 0 ning leiame Kui eksisteerib piirväärtus ja see ei sõltu joone AB osakaarte jaotamise viisist ega punktide siis seda piirväärtust nim. funktsiooni z=f(z,y,z) esimest liiki joonintegraaliks mööda joont AB ehk joonintegraaliks kaare pikkuse järgi ja tähistatakse: (28.2.). Kui l on tasandiline joon, siis (28.2.) asemel saame integraali: Esimest liiki joonintegraali omadused: 1. Esimest liiki joonintegraal ei sõltu joone läbimise suunast, s.t. 2. Kui c on konstant, siis 3. 4. (aditiivsuse omadus) Kui C on mingi joon AB punkt, siis 5. Võttes esimest liiki joonintegraali definitsioonis f(x,y)1 saame Silinderpinna pindala. Olgu funktsioon z=f(x,y)0 pidev xy-tasandil asetseval joonel AB. Vertikaalse silinderpinna pindala avaldub valemiga . Joone mass.
Võtame , siis , seega . Asendame (7.2), saame lineaarse võrrandi z suhtes: (8.3) . Praktiliselt lahendatakse Bernouille nii nagu lineaarne võttes . 8. Eksaktne võrrand Def 8.1 Esimest järku dif-võr (8.1) On eksaktne kui on täidetud tingimus: (8.2) Teoreem 8.1 Tingimus (8.2) on piisav ja tarvilik, et leiduks selline funktsioon , et (8.3) . Võrrandi (8.1) vasak pool omandab kuju: (8.4) du=0, mille üldlahendiks on (8.5) . Tuletame meelde joonintegraali potentsiaali mõiste. Vaatleme joonintegraali: (8.6) , kus vektorväli Teoreem 8.2 Joonintegraal (8.6) ei sõltu integreerimisteest L, siis ja ainult siis, kui on täidetud tingimus: (8.7) . Tingimus (8.7) on piisav ja tarvilik, et väli oleks potnetsiaalne, kusjuures ehk ja , u(x,y) on potentsiaal. Kui väli on potentsiaalne, siis Kui P(x0,y0) ja Q(x,y), seega eksaktse võrrandi lahendi ja välja potnetsiaali leidmine toimub sama valemi abil. (8.8) .
usteemist Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0 (6.35) F =0 Fµ = 0 34 7 Joonintegraalid 7.1 Esimest liiki joonintegraali definitsioon ja omadu- sed Olgu antud tasandiline k~overjoon otspunktidega A ja B ja olgu sellel joonel defineeritud kahe muutuja funktsioon f (x, y), st igale joone punktile (x, y) on vastavusse seatud v¨a¨artus f (x, y). Jaotame joone AB suvalisel viisil punk- tidega A = P0 , P1 , P2 , . . . , Pk-1 , Pk , . . . , Pn = B osakaarteks Pk-1 Pk , k = 1, 2, . . . , n. Valime igal osakaarel juhusliku punkti Qk (k , k ) Pk-1 Pk . y
magnetiline induktsioon mingis ruumipunktis võrdub üksikute vooluelementide poolt tekitatud magnetiliste induktsioonide vektoriaalse summaga. 54. Koguvoolu seadus Koguvoolu seadus. Magnetilise induktsiooni vektori tsirkulatsioon piki mistahes suletud kõverat vaakumis võrdub selle kõvera poolt ümbritsetud voolude algebralise summaga, mis on korrutatud konstandiga 0. Vektorvälja B tsirkulatsiooniks mööda suletud kõverat L nimetatakse joonintegraali: Suletud kõverat läbiv vool leotakse positiivseks, kui tema poolt tekitatud magnetvälja tsirkulatsiooni suund (määratakse kruvi reegliga) ühtib meie poolt valitud ringkäigu suunaga piki kõverat. Vastasel juhul loetakse vool negatiivseks. 55. Magnetväli keskkonnas Magnetväli keskkonnas erineb magnetväljast vaakumis. Kui elektriväli keskkonnas on alati nõrgem elektriväljast vaakumis, siis magnetväli keskkonnas võib teatavate ainete korral olla
Lühidalt f(x,y)dS = f(P)dS = fdS, st f(P)dS := lim(max dj0) f(Pj)Sj, kus f(Pj) = f(xj,yj). Kui eksisteerib fdS, siis öeldakse, f(x,y,z)dxdydz = ' f(cos sin , sin sin , cos ) 2sin dddz. et funktsiooni on integreeruv piirkonnas D ja tähistatakse f C I(D). F c C(D) f c I(D). Teist liiki joonintegraal. Teist liiki joonintegraali ja kahekordse integraali seos. Greeni valem. 1dS := SD Kui eksisteerib piirväärtus lim(max sj 0) (j=0, n) X(Qj) xj + Y(Qj) yj + Z(Qj) zj, mis ei sõltu joone osakaarteks Kui f(P) >= 0 iga P c D korral ja f c C(D) ning := {(x,y,z) c R3 | ((x,y) c D), (0 <= z <= f(x,y))}, siis piirkonna ruumalaks V jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-1Pj(j=1,..
tavaliseks ühemõõtmeliseks (määratud) integraaliks. Sellekks tuleb iga ajahetke jaoks leida keha asukoht (liikumisvõrrandist) ja jõu valemist jõu kolm komponenti ning korrutada neid vastavate koordinaatide muutudega . Alles siis võib integraali anda kolme eraldi integraali summana - kusjuures nad kõik on integraalid aja, mitte koordinaatide järgi. Sellist teguviisi nimetatakse joonintegraali viimiseks parameetrilisele kujule. · Kineetiline energia kulgliikumisel (tuletusega). Vaatleme lihtsaimat juhtu, kus kehale massiga m mõjub konstantne jõud . Et asi lihtsam oleks, võtame taustsüsteemi, kus keha hetkel t=0 on paigal . Selline keha hakkab liikuma sirgjooneliselt (jõusuunalise kiirendusega) ja hetkeks t on tema kiirus: .
Kui m f (P) g(P) M, siis ms f (P)ds g(P)ds Ms ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 5 / 10 Joone pikkuse arvutamine Esimest liiki joonintegraali arvutamine Esimest liiki joonintegraali arvutamine Definitsioon Joont nimetatakse tukiti ¨ ~ siledaks kui ta koosneb loplikust arvust siledatest osadest Lause Kui tukiti ¨ sile joon : [a, b] R3 on antud parameetrilste vorranditega ~ x = x(t) y = y(t) t [a, b]
kõveral L ühte joonelemendi vektorit ja niisugust magnetilise induktsiooni vektorit B , mis on määratud joonelemendi vektori alguspunktis. Arvutame iga joonelemendi vektori jaoks skalaarkorrutise B dl Bdl cos B, dl . Vektorvälja B tsirkulatsiooniks mööda suletud kõverat L nimetatakse joonintegraali C B ( L ) B dl . (14.15) L Näitena arvutame magnetilise induktsiooni vektori tsirkulatsiooni mööda lõpmata pikka ja sirget vooluga juhet ümbritseva ringjoone, mille keskpunkt asub juhtme teljel ja mille tasand on risti juhtmega. B
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
