f(x); x[a;[ DEF. kui iga N[a;[ leidub integraal rajades a'st N'ini f(x)dx ja sellest piirväärtus N, siis seda nim lõpmatu ülemise rajaga päratuks integraaliks f(x)dx (rajad a ja ). Kui see piirväärtus on lõplik, siis öeldakse et päratu integraal koondub, kui lõpmatu või puudub, siis hajub. Kui tegemist on ]-;[ siis võetakse konstant c ja kirjutatakse kahe integraalina (aditiivsus) 7. Päratud integralid tõkestamata funktsioonidest. 1) kui tegu on integraaliga f(x) rajades [a;b[. DEF. >0; kui leidub integraal rajades a'st b-'ni ja sellest piirväärtus, siis seda nim päratuks integraaliks tõkestamata funktsiooni ülemise raja ümbruses. 2) kui tegu on integraaliga f(x) rajades ]a;b]. DEF. >0; kui leidub integraal rajades a+'st b'ni ja sellest piirväärtus, siis seda nim päratuks integraaliks tõkestamata funktsiooni alumise raja ümbruses.
Kui funktsioonil f(x) leidub hulgal X algfunktsioon, siis eksisteerib sellel funktsioonil ka määramata integraal hulgal X. (hulk X on funktsioonide argumentide hulk). Määramata integraal on seega siis terve suur funktsioonideparv, kogum, ühisnimega F(x)+C 3) MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED · TEOREEM 1: Kahe või enama funktsiooni määramata integraalide summa on võrdne liidetavate funktsioonide summa integraaliga: On antud kaks määramata integraali f(x) dx ja g(x) dx . Nende integraalide summa: f(x) dx + g(x) dx = [f(x) + g(x)] dx TÕESTUSEKS LEIAME TULETISE MÕLEMAST POOLEST, NII VASAKUST KUI KA PAREMAST ja tuletised peavad andma sama tulemuse, teeme tagurpidise tehte, kontrollime, kas mõlemad funktsioonid on ühe sama funktsiooni algfunktsiooniks: ([f(x) + g(x)] dx)' = f(x) + g(x) ( f(x) dx + g(x) dx )' = (f(x) dx)' + ( g(x) dx )' = f(x) + g(x)
x + y dt x +y · · y dt y · ·2 · 2 sin = = y = sin x + y ·2 · 2 ·2 · 2 x + y dt x +y Joonintegraal üle kontuuri ja tema seos kahekordse integraaliga A B Kui piirkond jääb vasakule, siis on see joone läbimise suund positiivne. Kui piirkond jääb paremale, negatiivne. Xdx + Ydy = Xdx + Ydy L IL int .üle.kontuuri Green'i valem: seos 2x integraali ja kinnise piirkonna integraali vahel (Yx - X y )dxdy = Xdx + Ydy D L pos. suunas! Esimest liiki pindintegraali mõiste, omadusi, tema arvutamine ja rakendusi
na. 4.5 Kõvertrapetsi pindala Olgu funktsioon y = f (x) määratud, pidev ja mittenegatiivne lõigus [a, b]. Kujundit, mis on ülalt piiratud funktsiooni f graafikuga, alt x-teljega ning külgedelt sirgetega x = a ja x = b, nimetatakse kõvertrapetsiks. Määratud integraali mõisteni jõutigi selliste kujundite pindala leidmise ülesannet lahendades (vt näiteks [3], lk 209-214). Osutub, et kirjeldatud kõvertrapetsi pindala S on võrdne määratud integraaliga b S= f (x)dx. a Näide 4.3 Leida joontega y = x2 , y = 0, x = 0 ja x = 2 piiratud kõvertrapetsi pindala. Kuna vaadeldava funktsiooni graafikuks on ülespoole avanev parabool, mis puutub x-teljega
I d = f ( P1 )s1 + f ( P2 )s 2 + ... + f ( Pn )s n = f ( Pi )s i , (3) kus Pi i =1 on osapiirkonna si mingi punkt. Võrduse parem pool on funktsiooni f(x,y) integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui n ja osapiirkondade si suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse integraaliga üle piirkonna D. 3. Muutujate vahetus kahekordses integraalis (koordinaatide teisendamise valem, funktsionaaldeterminant, ülemineku valem ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele). Valem koordinaatide teisendamiseks: f ( x, d )dxdy = F (u, v) I dudv . Selles D D' valemis determinant I on funktsioonide (u, v) ja (u, v) nn.
y = g1(x) ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindala. Kuna valemi Tultada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x . põhjal võrdub y = g2(x) ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindala integraaliga Kui x , siis eemaldub punkt M = (x, f(x)) lõpmatusse mööda joont y = f(x). Kuna y = kx+b on joone y = f(x) ning y = g1(x) ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindala integraaliga , siis Lõpuks asümptoot, siis punkti M kaugus sirgest y = kx + b läheneb nullile. Tähistame punkti M ristprojektsiooni sirgel y = kx +
pinged, mille suurus on suurem väsimustugevuse R 21. Ristlõike peateljed ja peainertsimomendid. 19. Staatiline pinnamoment. 22. Konstruktsioonile mõjuvate väliskoormuste liigitus. Põikpinna (kujundi) staatiliseks momendiks Sx telje x suhtes nimetatakse 1) Rotoorsed jõud Fm 2) kasuliku koormuse jõud Fk 3) Raskusjõud Fg geomeetrilist karakteristikut, mis on määratud integraaliga 4) Deformatsioonijõud Fd 5) keskkonnatakistuse jõud Fkt 1-5 on aktiivsed välisjõud Veel tegelikult inertsjõud Fi Sõltuvad ajast: stabiilne, dünaamiline 23. Kuidas määratakse konstruktsioonielemendis tekkivad sisejõud?
Elastse joone universaalvõrrand: Elastse joone pöörete universaalvõrrand: (asjaolud: plussmärgiga need koormused mille suund ühtib joonisel kujytatud suundadega, nad põhjustavad kõik talas negatiivseid paindemomente ja seega posit siirdeid; Arvestada ainult koormisi mis jäävad koordinaatide alguse ja selle punkti vahele; algparameetrid rajatigimustest; lauskoormus esitatakse koormuse algusest tala lõpuni ehk lauskoormuste summana) Siirete määramine Mohri integraaliga Suvalise varraskonstruktsiooni siirte arvutamise metoodika mis põhineb Mohri integraalil. Tarindi deformeerimiseks kulutatud tööd nimetatakse deformatsioonitööks. (Tähis W, ühik J) Tarindis laekub tehtud tööga võrdne deformatsioonienergia U. Clapeyroni teoreemdeformatsioonitöö võrdub jõu ja sellele vastava siirde poolkorrutisega. // W=F* Siire peab olema võimalik, sellisel juhul räägitakse jõu virtuaalsiirdest ja virtuaaltööst.(kui jõud
Teepikkus on kõigi antud vahemikus läbitud trajektoorlõikude summa.
2. Kiirus. Ühtlane ja ühtlaselt muutuv liikumine.
Kiirus on vektor/vektoriaalne suurus, mis iseloomustab punktmassi asukoha muutumist
ajavahemikus.
Keskmine kiirus -
c. integreerimisradade vahetamisel muutub integraali märk vastupidiseks d. määratud integraal mittenegatiivsest funktsioonist on mittenegatiivne e. iga arvu c korral lõigust (a, b) saab määratud integraali radades a-st b-ni esitada kahe sellise määratud integraali summana, millest üks on radades a-st c-ni ja teine c-st b-ni. Newton-Leibnizi valem: 36. Kõvertrapetsi pindala arvutamine määratud integraaliga: (a) kujund piiratud x-teljega ja funktsiooni y = f(x) graafikuga; (b) kujund piiratud funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikutega. Olgu funktsioon y = f(x) määratud, pidev ja mittenegatiinve lõigus [a, b]. Kujundit, mis on ülalt piiratud funtsiooni f graafikuga, alt x-teljega ning külgedelt sirgetega x = a ja x = b, nimetatakse kõvertrapetsiks. Selle kõvertrapetsi pindlala on võrdne määratud integraaliga:
funktsiooni f määramata integraaliks. Funktsiooni f määramata integraal tähistatakse sümboliga f ( x ) dx. Seega f ( x)dx = F ( x) + C F ( x) = f ( x). Integraal on funktsiooni piirväärtuste summa. 2. Esitada ja tõestada määramata integraali f ( x ) dx. omadused. · TEOREEM 1: Kahe või enama funktsiooni määramata integraalide summa on võrdne liidetavate funktsioonide summa integraaliga: On antud kaks määramata integraali f(x) dx ja g(x) dx . Nende integraalide summa: f(x) dx + g(x) dx = [f(x) + g(x)] dx TÕESTUSEKS LEIAME TULETISE MÕLEMAST POOLEST, NII VASAKUST KUI KA PAREMAST ja tuletised peavad andma sama tulemuse, teeme tagurpidise tehte, kontrollime, kas mõlemad funktsioonid on ühe sama funktsiooni algfunktsiooniks: ([f(x) + g(x)] dx)' = f(x) + g(x) ( f(x) dx + g(x) dx )' = (f(x) dx)' + ( g(x) dx )' = f(x) + g(x)
summaga. 3) Määratud integraal funktsioonide vahest võrdub integraalide vahega. 4) Kontstantse teguri C võib tuua määratud integraali märgi ette. 5) Integreerimisradade asukohtade vahetamisel muutub määratud integraali märk vastupidiseks. 6) Määratud integraal mittenegatiivsest funktsioonist on mittenegatiivne 7) Newton-Leibnizi valem: 39. Kõvertrapetsi pindala arvutamine määratud integraaliga: (a) kujund piiratud x-teljega ja funktsiooni y = f(x) graafikuga; (b) kujund piiratud funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikutega. Olgu funktsioon y=f(x) määratud, pidev ja mittenegatiinve lõigus [a,b]. Kujundit mis on ülalt piiratud funtsiooni f graafikuga, alt x-teljega ning külgedelt sirgetega x=a ja x=b, nim kõvertrapetsiks. Selle kõvertrapetsi pindlala on võrdne määratud integraaliga: 40
x+ x x = f(t)dt , mis on sisuliselt integraali muut... Pole raske taibata, et see võrdus tähistab trapetsi aAXx pindala muutu. Igal juhul kui funktsiooni muut on avaldatud, saab peagi avaldada ka TULETIS... Rakendame nüüd keskväärtusteoreemi: kuna funktsioon f(x) on eelduse kohaselt pidev lõigul [a,b], siis kusagil lõigul [x, x+x] leidub selline argumendi väärtus , mille puhul on integraaliga arvuliselt võrdne selline avaldis: f()(x+x x) lõigu lõpppunkt lõigu algpunkt Ehk siis: = f()(x+x x) =f() x =f()x keskväärtusteoreem Avaldame siit f(), selle keskse väärtuse ja selgub, et see argumendi väärtus on võrdne funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhtega =f()x : x = f ( ) x Meie eesmärk on aga kuidagi avaldada nüüd TULETIS. See pole aga midagi muud, kui funktsiooni
AB . Omadused: (1) (joon) AB Xdx + Ydy = Zdx + Ydy + Xdx + Ydy (2) AB CB Xdx + Ydy = - Xdx + Ydy AB BA Greeni valem Valem mis seob II liiki joonintegr üle kinnise kontuuri kahekordse integraaliga üle selle kontuuri poolt piiratud piirkonna (joon) Joone L läbimisel pos suunas nim suunda mille suhtes kont poolt piiratud piirkond vasakule. Olgu defineeritud joone L ja tema Y X poolt piiratud piirk D kaks II muutuja f-ni X(x; y); Y(x; y) ja oletame et nendel on olemas pidevad osatuletised ,
Nt . ix on selle punkti kaugus x teljest. Tsentrifugaalmoment- pinnakarakteristik, mis näitab kujundi pinnaelementide laotust kahe telje suhtes. Tähis Ixy, arvutatakse integraali abil Ixy=xydA integraal üle A, ühik on cm 4. Võib olla nii positiivne kui ka negatiivne, võib võrduda ka nulliga. Polaarinertsimoment- kirjeldab pinnaelementide laotust ristlõike varda telje suhte. Samuti on ta pinnakarakteristik, mis näitab kujundi pinnaelementide laotuvust pooluste suhtes. Arvutatav integraaliga Ip=r2dA üle piirkonna A. R on pinnaelemendi dA polaarraadius. Alati positiivne ja ühik on cm4. Polaarinertsmomendi seos telginertsmomendiga- Ip=Ix+Iy , sest r2=x2+y2 Lihtkujundite inertsimomendid-1) ristkülik Ix=bh3/12, Iy=bh3/3, kus b on laius ja h kõrgus; 2)kolmnurk Ix=bh3/36 , Iy=(h(b/2)3)/6 , Ixy=±(b2h2)/72 ; 3)ring Ip=d4/32, ringil Ix=Iy ning kuna Ip=Ix+Iy=2Ix=2Iy, siis Ix=Iy=Ip/2= d4/64.
keskväärtuse teoreemi . Võrdus (2) saab kuju , (3) Kus Pj on osapiirkonna sj mingi punkt. Võrduse parem pool on funktsiooni f(x,y) integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui n -> lõpmatus ja osapiirkondade sj suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse integraaliga ülre piirkonna D. Minnes võrduses piirile, saame ehk . Kaksikintegraali avaldise väljakirjutamisel saame lõpuks . 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t x Rn, nimetatakse regulaarseks , kui · Ta on üksühene · osatuletised xk(t), k=1,.....,n on pidevad piirkonnas · teiseduse jakobiaan Kui funktsioon f on pidev piirkonnas Rn ja teisendus t x on regulaarne piirkonnas
keskväärtuse teoreemi . Võrdus (2) saab kuju , (3) Kus Pj on osapiirkonna ∆sj mingi punkt. Võrduse parem pool on funktsiooni f(x,y) integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui n -> lõpmatus ja osapiirkondade ∆sj suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse integraaliga ülre piirkonna D. Minnes võrduses piirile, saame ehk . Kaksikintegraali avaldise väljakirjutamisel saame lõpuks . 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t →x ϵ Rn, nimetatakse regulaarseks , kui Ta on üksühene osatuletised xk(t), k=1,…..,n on pidevad piirkonnas Ω teiseduse jakobiaan n
piirväärtust funktsiooni f esimest liiki pindintegraaliks e pindint. pindala järgi üle Ω ja tähistatakse: ʃʃΩfdS=ʃʃΩf(x,y,z)dS Kui pind asub xy-tasandil, siis I liiki pindintegraal kujutab endast kahekordset integraali. (sama yz- ja xz-tasandi korral). Kui pind Ω on sile ja funktsioon f on pidev sellel pinnal, siis eksisteerib sellel funktsioonil I liiki pindintegraal üle pinna Ω. OMADUSED: Omadused on kaekordse integraaliga samad - aditiivne, lineaarne ja monotoonne. ARVUTAMINE: Kui pind Ω on ilmutatud võrrandiga z=z(x,y), kus (x,y)ЄD, siis pindintegraal avaldub kahekordse integraalina ʃʃΩfdS=ʃʃDf[x,y,z(x,y)]sqrt(1+zx2+zy2)dxdy 16. I liiki pindintegraali rakendused: ruumilise pinnatüki pindala, mass, masskese ja inertsmomendid, näiteid 1)Pinnatüki pindala. Sileda pinna Ω pindala on arvutatav valemiga SΩ=ʃʃΩdS 2)Pinna mass. Olgu pinna Ω pindtihedus määratud funktsiooniga γ= γ(x,y,z)
C = 0 ja = D. Kujundite D ja pindalad on võrdsed. Järelikult tuleb S leidmiseks arvutada pindala. Kuna jooned y = g1(x) ja y = g2(x) asetsevad ülalpool x-telge, siis võib kujundi pindala arvutada selliselt, et lahutame joone y = g2(x) ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindalast joone y = g1(x) ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindala. Kuna valemi põhjal võrdub y = g2(x) ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindala integraaliga ning y = g1(x) ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindala integraaliga , siis Lõpuks arvutame Olemegi tõestanud valemi. 44. Tõestada keha ruumala valem ristlõigete pindalade kaudu ja tuletada sellest pöördkeha ruumala valem Olgu antud ruumiline keha V , mis paikneb tasandite x = a ja x = b vahel. Tähistame selle keha ruumala samuti V -ga. Tuletame valemi V arvutamiseks. Tekkiva ristlõike pindala sõltub lõiketasandi asukohast, seega on ta muutuja x funktsioon
Kahekordne integraal Funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D nimetatakse tema integraalsumma piirväärtust, kui suurim osapiirkondade diameeter läheneb nullile, kui see piirväärtus eksisteerib ja ei sõltu piirkonna D osadeks jaotamise viisist ega punktide (xi, yi) valikust Kõversilindri ruumala Kõverjoonelise silindri ruumala on võrdne kahekordse integraaliga funktsioonist f(x,y)>=0 üle piirkonna D, kui silinder on pealt piiratud pinnaga z=f(x,y) ja alt pinnaga D Tasandilise kujundi pindala Tasandilise kujundi D pindala SD= dxdy D
- Inertsimoment - massiga analoogne suurus pöördliikumise puhul fikseeritud telje ümber. Inertsimoment iseloomustab jäiga keha inertsi pöörlemiskiiruse muutmise suhtes. Tema roll pöörlemise dünaamika kirjeldamisel on sama, mis tavalisel massil kulgliikumise dünaamika kirjeldamisel. Punktmasside süsteemi inertsimoment avaldub kujul , kus ri on punktmassi mi kaugus pöörlemisteljest. Pideva massijaotusega keha puhul asendub summa integraaliga , kus on keha tihedus, dV on ruumalaelement ja integreerimine toimub üle kogu keha ruumala. - Keha Inertsimomendi avaldis Õõnes silinder või peenike rõngas (raadius R), I=mR2 sümmeetriatelje suhtes Täis silinder või ketas, sümmeetriatelje suhtes
- Inertsimoment - massiga analoogne suurus pöördliikumise puhul fikseeritud telje ümber. Inertsimoment iseloomustab jäiga keha inertsi pöörlemiskiiruse muutmise suhtes. Tema roll pöörlemise dünaamika kirjeldamisel on sama, mis tavalisel massil kulgliikumise dünaamika kirjeldamisel. Punktmasside süsteemi inertsimoment avaldub kujul , kus ri on punktmassi mi kaugus pöörlemisteljest. Pideva massijaotusega keha puhul asendub summa integraaliga , kus on keha tihedus, dV on ruumalaelement ja integreerimine toimub üle kogu keha ruumala. - Keha Inertsimomendi avaldis Õõnes silinder või peenike rõngas (raadius R), sümmeetriatelje suhtes I=mR2 Täis silinder või ketas, sümmeetriatelje suhtes Õhuke ketas, telg ketta tasandis läbi masskeskme
3. Pindala ja ruumala arvutamine kahekordse integraali abil: ruumala arvutamine (+märkus 20.1 ja 20.2); tasandilise piirkonna pindala arvutamine (selgitustega: et olgu f(x, y) 1 jne). Ruumala. Kui keha on piiratud pinnaga z=f(x,y), kus funktsioon f(x,y) on mittenegatiivne, tasandiga z=0 ja silindrilise pinnaga, mille juhtjoonteks on piirkonna D rajajoon ning moodustajad on paralleelsed z-teljega, siis keha ruumala V võrdub funktsiooni d(x,y) kahekordse integraaliga üle piirkonna D: Märkus 20.1. Kui keha, mille ruumala otsitakse, on ülalt piiratud pinnaga z=2(x,y)0, alt aga pinnaga z= z=1(x,y)0, kusjuures nende pindade projektsiooniks xy-tasandil on piirkond D, siis selle keha ruumala võrdub kahe silindrilise keha ruumalade vahega; neist silindrilistest kehadest esimese alumiseks põhjaks on piirkond D ja ülemiseks põhjaks pind z= 1(x,y). Ruumala V võrdub seetõttu kahe kahekordse integraali vahega:
5. ʃ c a f(x)dx = R b a f(x)dx + R c b f(x)dx. Põhjendus. Jõu F(x) poolt tehtud tööd liikumisel punktist a punkti b ning punktist b punkti c on vastavalt ʃ b a F(x)dx ning R c b F(x)dx. Seega, kui objekt liigub punktist a üle punkti b punkti c, on jõu poolt tehtud kogutöö võrdne summaga ʃ b a F(x)dx + ʃ c b F(x)dx. Kuid teisest küljest on jõuvälja poolt tehtud töö liikumisel punktist a punkti c võrdne ka integraaliga R c a F(x)dx. Seega saamegi valemi ʃ c a F(x)dx = ʃ b a F(x)dx + ʃ c b F(x)dx. Võrratus, mida rahuldavad kaks funktsiooni, laieneb ka nende funktsioonide integraalidele: 6. Kui a ≤ b ja f1(x) ≤ f2(x) iga x ∈ [a, b] korral, siis ʃ b a f1(x)dx ≤ R b a f2(x)dx. Põhjendus. Jõufunktsioonide F1(x) ja F2(x) poolt tehtud tööd liikumisel punktist a punkti b on vastavalt R b a F1(x)dx ja R b a F2(x)dx. Kui F1(x) ≤ F2(x) ja läbitud teepikkus on positiivne, st b > a, siis on
3) Korrutame saadud valemit keha massiga. Impulsi definitsiooni (5.1) arvestades saame p = p 0 + Fres t . (5.4) Seega keha impulss muutub temale mõjuvate jõudude toimel. Impulsi muut on seda suurem, mida suurem resultantjõud mõjub kehale ja mida kauem aega see mõjub. Kui kehale mõjuv resultantjõud pole konstantne, s.t. muutub ajas mingi seaduse Fres = Fres (t ) järgi, siis lõppimpulssi valemi (5.4) viimases liidetavas asendub korrutis integraaliga. t p = p 0 + Fres (t )dt . 0 (5.5) Saadud valemis paremal pool olevat integraali nimetatakse kehale mõjuvaks jõuimpulsiks. Jõuimpulss kehale mõjuva resultantjõu kui aja funktsiooni integraal üle tema mõjumisaja. Jõuimpulss võrdub keha impulsi muuduga. Konstantse jõu korral võrdub jõuimpulss lihtsalt kehale mõjuva resultantjõu ja mõjumisaja korrutisega. Saadud valemid (5.4) ja (5
Eelnevast avaldisest järeldub, et v . Antud võrdus on seda täpsem mida väiksem on t. t N Kiirus on aja funktsioon v=v(t). Avaldis lim x 0 f ( x)x . Järelikult on punkt ajavahemikus t1 t2 kuni t2 läbinud tee, mille pikkus avaldub integraaliga s = v (t ) dt . t1 Ühtlane liikumine Liikumist, mille kiiruse suurus ei muutu, ehkki suund võib muutuda, nimetatakse ühtlaseks. Ühtlase liikumise puhul kehtib valem v=s/t. Selle alusel võib öelda, et ühtlasel liikumisel on kiirus suuruse poolest võrdne ajaühikus läbitud teepikkusega. Kiirendus
a.5. Põhjendus: Jõu poolt tehtud tööd liikumisel punktist a punkti b ning punktist b punkti c on vastavalt ning . Seega, kui objekt liigub punktist a üle punkti b punkti c, on jõu poolt tekitatud kogutöö võrdne summaga Kuid teisest küljest on jõuvälja poolt tehtud töö liikumisel punktist a punkti c võrdne ka integraaliga . Seega saame valemi a.6. Kui ja iga korral, siis Põhjendus: Jõufunktsioonide poolt tehtud tööd liikumisel punktist a punkti b on vastavalt . Kui ja läbitud teepikkus on positiivne, st , siis on jõu poolt tehtud töö suurem või võrdne jõu poolt tehtud tööst, st b. Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega
x,y dxdy D Siin me lähtusime teadmisest, et ellipsi pindala on ab. 1.9 Kolmekordne integraal. Olgu nüüd xyz-ruumis R 3 antud mingi kinnise pinnaga piiratud piirkond V. Olgu piirkonnas V defineeritud pidev kolme muutuja funktsioon u f x, y, z . Näiteks võime oletada, et f x, y, z 0 korral esitab see funktsioon mingi aine jaotustihedust piirkonnas V. Sarnaselt kahekordse integraaliga, jaotame piirkonna V mingil viisil osapiirkondadeks V i ja valime igas osapiirkonnas punkti P i V i . Moodustame integraalsumma n i 1 f Pi Vi ja suurendame osapiirkondade V i (see on ka osa V i ruumala) arvu piiramatult nii, et V i suurim läbimõõt läheneks nullille. Definitsioon. Kolmekordseks integraaliks piirkonnas V nimetatakse piirväärtust
Samal põhjusel väike temperatuuri -langus põhjistab temperatuuri edasise FA0 suhe võrdub integraaliga -reaktsioonikiiruse pöördväärtusest (-1/rA) -konversiooni järgi rajades 0-st -suhteline muutus reaktsioonil on = y A0 -16.
ning Olgu joonte ja vahel paiknev kujund. Tänu C sobivale valikule asetseb kujund x- telje peal st ja . Järelikult tuleb S-i leidmiseks arvutada pindala. Kuna jooned ja asetsevad ülalpool x-telge võib kujundi pindala arvutada selliselt, et lahutame joone ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindalast joone ja x telje vahele jääva kõvertrapetsi pindala. Valemi põhjal võrdub esimese kõrvertrapetsi pindala integraaliga ning teine . Lõpuks arvutame 22. Tõestada keha ruumala valem ristlõigete pindalade kaudu ja tuletada sellest pöördkeha ruumala valem. a. Olgu antud ruumiline keha V, mis paikneb tasandite x=a ja x=b vahel. Tähistame selle keha ruumala samuti V-ga. Tuletame valemi V arvutamiseks. b. Eeldame, et ristlõike S(x) pindala on pidev. c. Tükeldame lõigu [a,b] osalõikudeks punktidega: d. Valime osalõigul punkti pi tähistame: xi= e
Siire avaldub summana, kus liidetavateks on algsiire u(0) (mis võib olla b. Pööre ümber varda telje c. Pööre ümber ristlõike peatelje - Pöördeid ümber varda telje põhjustab ainult väändemoment. Kinnistoega varda korral suvalise ristlõike pöörde võrdub toe ja vaadeldava lõike vahelise varda lõigu väändenurgaga. d. Siire risti varda teljele e. Elastse joone võrrandid 10. Siirete määramine Mohr’i integraaliga. 1. Leitakse konstruktsioonile rakendatud koormusest tekkivad sisejõud 2. Sellesse punkti mille siiret otsitakse rakendatakse otsitavale siirdele vastav ühikjõud, ühikmoment või nende grupp. Joonsiirde leidmiseks rakendatakse ühikjõud, pöörde leidmiseks ühikmoment. Telje kahe punkti vastastikuse pöörde leidmiseks rakendatakse nendesse punktidesse kaks vastupidist jõupaari momendiga 1 ja kahe punkti omavahelise eemaldumise või
valemile (9.15) gaasi töö selle protsessi käigus võrdub nulliga ja siseenergia muutub ainult tänu gaasi soojusvahetusele ümbritseva keskkonnaga: Aine erisoojuseks nimetatakse soojushulka, kulub ühe kilogrammi aine temperatuuri tõstmiseks ühe kraadi võrra. Aine moolsoojuseks nimetatakse soojushulka, mis kulub ühe mooli aine temperatuuri tõstmiseks ühe kraadi võrra. 2. Isobaariline protsess. Gaasi poolt tehtav töö arvutatakse integraaliga: 3. Isotermiline protsess. Gaasi temperatuur ei muutu, seega ei muutu ka tema siseenergia. Järelikult termodünaamika esimesest seadusest Q A. 31.Adiapaatiline protsess.Termodünaamika teine seadus. Adiabaatiliseks protsessiks nimetatakse niisugust protsessi, mille käigus ei toimu vaadeldava termodünaamilise süsteemi soojusvahetust keskkonnaga, Q 0 . Järelikult teeb gaas tööd ainuüksi oma siseenergia arvel.
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks kutsume sirget, millel on positiivne suund, määratud nullpunkt ja pikkusühik. Arvteljega on võimalik seada vastavusse kõik reaalarvud, kus ühele reaalarvule vastab ainult üks arvtelje punkt. · Reaalarvu absoluutväärtus · Absoluutväärtuse omadused · Reaalarvu lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku (a-,a+), kus >0 on ümbruse raadius · Reaalarvu vasakpoolseks lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku (a-,a], kus >0 · Reaalarvu parempoolseks lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku [a, a+), kus >0 · Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetame hulka (M,), kus M>0 · Suuruse miinus lõpmatus ümbruses nimetame hulka (-,-M), kus M>0 · Hulka A nimetame tõkestatud hulgaks, kui A on määratud lõplikus vahemikus (a,b) 2. · Jääv suurus on suurus mille väärtus ei muutu · Muutuv suurus on suurus, millele võib omastada erinevaid väärtuseid ...
1) arvestades saame r r r p = p 0 + Fres ∆t . (5.4) Seega – keha impulss muutub temale mõjuvate jõudude toimel. Impulsi muut on seda suurem, mida suurem resultantjõud mõjub kehale ja mida kauem aega see mõjub. Kui kehale mõjuv resultantjõud pole konstantne, s.t. muutub ajas mingi seaduse r r Fres = Fres (t ) järgi, siis lõppimpulssi valemi (5.4) viimases liidetavas asendub korrutis integraaliga. ∆t r r r p = p 0 + ∫ Fres (t )dt . (5.5) 0 Saadud valemis paremal pool olevat integraali nimetatakse kehale mõjuvaks jõuimpulsiks. Jõuimpulss – kehale mõjuva resultantjõu kui aja funktsiooni integraal üle tema mõjumisaja. Jõuimpulss võrdub keha impulsi muuduga. Konstantse jõu korral võrdub jõuimpulss lihtsalt kehale mõjuva resultantjõu ja mõjumisaja korrutisega.
ja me saame sin7 x cos3 x dx = sin7 x cos2 x cos xdx = sin7 x (1 - sin2 x) cos xdx = u8 u10 sin8 x sin10 x = u7 (1 - u2 )du = (u7 - u9 )du = - +C = - + C. 8 10 8 10 ( ) 3. Avaldame x x - 1 dx. Tegemist on integraaliga t¨uu¨pi R x, n x+ x+ dx, = 2, = 1, = -1, = 0 ja = 1. Seega teeme muutuja vahetuse kus n u = x - 1. Integraali all on vaja asendada ka suurused x ja dx. Arvutame x: u = x - 1 u2 = x - 1 x = u2 + 1. J¨ arelikult dx = 2udu. Teeme muutuja vahetuse ja avaldame integraali: x x - 1 dx = (u + 1)u · 2udu = 2 (u4 + u2 )du = 2
2. Avaldame sin7 x cos3 x dx kasutades asendust u = sin x. Siis du = cos x dx ja me saame sin7 x cos3 x dx = sin7 x cos2 x cos xdx = sin7 x (1 - sin2 x) cos xdx = u8 u10 sin8 x sin10 x = u7 (1 - u2 )du = (u7 - u9 )du = - +C = - + C. 8 10 8 10 3. Avaldame x x - 1 dx. Tegemist on integraaliga t¨uu¨pi R x, n x+x+ dx, kus n = 2, = 1, = -1, = 0 ja = 1. Seega teeme muutuja vahetuse u = x - 1. Integraali all on vaja asendada ka suurused x ja dx. Arvutame x: u = x - 1 u2 = x - 1 x = u2 + 1. J¨arelikult dx = 2udu. Teeme muutuja vahetuse ja avaldame integraali: (u2 + 1)u · 2udu = 2 (u4 + u2 )du = x x - 1 dx =
vastavalt F ( x ) dx ning F ( x ) dx . Seega, kui objekt liigub punktist a üle punkti b punkti c, a b on jõu poolt tekitatud kogutöö võrdne summaga b c F ( x ) dx+ F ( x ) dx Kuid teisest küljest on jõuvälja poolt tehtud töö liikumisel punktist a punkti a b c c võrdne ka integraaliga f ( x ) dx . Seega saame valemi a c b c f ( x ) dx= F ( x ) dx+ F ( x ) dx a a b 6. Kui a b ja f 1 (x ) f 2( x) iga x [a , b] korral, siis b b f 1 ( x)dx f 2( x )dx Põhjendus: Jõufunktsioonide F1 ( x ) ja F2 ( x ) poolt tehtud tööd
b b b m g ( x) dx f ( x) g ( x) dx M g ( x) dx (1) a a a b Kui nüüd g ( x)dx = 0 a siis valem (0) tuleneb seosest (1). Kui aga b g ( x)dx > 0 , siis jagades selle integraaliga võrratuse (1) iga osa märkides a b f ( x) g ( x)dx µ= a b , saame võrduse (0) kus m µ M , st kehtib g ( x)dx a µ inf f ( x ), sup f ( x) x [ a ,b ] x [ a , b ]
5 Me nimetame kõvertrapetsiks funktsiooniga y = f (x), x-teljega ning püstsirgetega x = a ja x = b piiratud kujundit. 88 9.5. Kõvertrapetsi pindala Allikas: [33] Sellisel juhul x-teljest ülespoole jääva kõvertrapetsi pindala avaldub määratud integraaliga b S= f (x) dx. (9.11) a Kui kõvertrapets asub allpool x-telge, siis tuleb pindala miinusmärgi- ga. Kui meil on kaks funktsiooni f ja g, mille korral g(x) f (x), x [a, b], siis saab f ja g graafikutega piiratud kujundi pindala arvutada valemist b S= (f (x) - g(x)) dx
negatiivseks, saame Carnot' tsüklile Q1 Q2 + =0 . (44a) T1 T2 Vaadeldes vabalt valitud pööratavat tsüklit, mis kulgeb möö-da suletud siletat ovaali a b a, võib selle protsessi jao-tada suureks arvuks lõpmata kitsaks Carnot' tsükliks, nii et esimeses lähenduses võime lugeda T1 T2 = T. Võrduse (44a) vasak pool kujutab endast sel juhul kuitahes pikka summeeritavat rida, mille võib piirile minnes asendada ring-integraaliga dQ =0 , (45) T kus dQ tähistab lõpmata väikest (saadavat või antavat) soo-jushulka. Ringintegraali võtmist võib alustada suletud kon-tuuri mistahes punktist ning liikuda vabalt valitud suunas. Osade a b ja b a pööratavusest tuleneb, et kui neist esimesele vastab soojushulk + dQ (lõik I), siis teisele vastab - dQ (lõik II), ehk valemina antult b a b dQ (- dQ) dQ a T b T a T = =
ümber. Inertsimoment iseloomustab jäiga keha inertsi pöörlemiskiiruse muutmise suhtes. Tema roll pöörlemise dünaamika kirjeldamisel on sama, mis tavalisel massil kulgliikumise dünaamika kirjeldamisel. Punktmasside süsteemi inertsimoment avaldub kujul , kus ri on punktmassi mi kaugus pöörlemisteljest. Pideva massijaotusega keha puhul asendub summa integraaliga , kus on keha tihedus, dV on ruumalaelement ja integreerimine toimub üle kogu keha ruumala. · Inertsimomendi valem: rakendused. Keha Inertsimomendi avaldis Õõnes silinder või peenike rõngas (raadius R), I=mR2 sümmeetriatelje suhtes
x pinnamomentideks. 45 x O y Põikpinna (kujundi) staatiliseks momendiks Sx telje x suhtes nimetatakse geomeetrilist karakteristikut, mis on määratud integraaliga S x ydA . Analoogiliselt S y xdA . A A Staatilise momendi dimensiooniks on pikkuseühik kuubis, tavaliselt cm 3. Staatiline moment võib olla nii positiivne, negatiivne kui ka erijuhul võrduda nulliga. Staatilist momenti võib kirjeldada ka järgmiselt S x ydA y C A ja S y xdA xC A , A A
nimetatakse funktsiooni f Fourier' integraaliks ja kirjutatakse f (x ) ~ [a( y )cos yx + b( y )sin yx]dy . 0 (11) Fourier' integraal erineb Fourier' reast sellepoolest, et summa on asendatud integraaliga ja funktsiooni f vaadeldakse piirkonnas (- , ) . Kui f on paarisfunktsioon, siis b( y ) = 0 ja valem (11) esitub kujul 2 f ( x ) ~ a ( y ) cos yxdy , kus a ( y ) = f (x )cos yxdx , 0
3.3 Sirg- ja ringvoolu väli kogu juhtme välja, peame integreerima analoogiliselt "laetud sirge" elektriväljaga. sirgvool µ 0 Idl × r dB = 3 4 r Analoogilise integraaliga võime leida ka ringvoolu (vooluga juhtme, mis on ringjoone kujuline = juhtmekeerd!) välja. Siin on asi Valguse peegeldumisseadus väidab, et isegi lihtsam. Ringjoone tsentri jaoks on kahe keskkonna lahutuspinnale langev kiir, sellelt peegeldunud kiir ja langemispunktist 3.4 Magnetvälja mõju vooludele ja tõmmatud pinnanormaal paiknevad ühes ja juhtidele
(3.23) Teiselt poolt on osakese inertsjõu d moment punkti A suhtes ( ) M A d = d cos = 2 cos h + 2 sin d ( ) Kõikide osakeste inertsjõudude peamoment on siis võrdne integraaliga 40 ( ) l M A = 2 cos h + 2 sin d 0 mille integreerimine annab 1
võib saada I regul. jäiga neg. tagasiside sisseviimisega ja see tagasiside stabiliseerib regul tööd ja selle tõttu dünaamilised omadused paranevad. PI regulaator. Tal on 2. esimese regulaatori kombinatsioon ja ta omab nende eeliseid s.t. tal puudub staatiline viga ja ta omab häid dünaamilisi omadusi. Sellel regulaatoril reg. organi ümberpaigutus on võrdeline reguleeritava parameetri kõrvalekaldega ja selle kõrvalekalde integraaliga. 1 dt + µ t µ = K p + - reguleerimisseadis. 0 i PI regulaatorist on võimalik saada p-reg., kui jäiga tagasiside ahelasse lülitame sisse dif. lülid. Sel juhul jäik tagasiside muutub elastseks tagasisideks, mis toimub ainult siirdeprotsessi ajal ja selle aja jooksul töötab regul. nagu p-reg., sellepärast omab häid dünaamilisi omadusi. Püsi reziimis elastse tagas
võib saada I regul. jäiga neg. tagasiside sisseviimisega ja see tagasiside stabiliseerib regul tööd ja selle tõttu dünaamilised omadused paranevad. PI regulaator. Tal on 2. esimese regulaatori kombinatsioon ja ta omab nende eeliseid s.t. tal puudub staatiline viga ja ta omab häid dünaamilisi omadusi. Sellel regulaatoril reg. organi ümberpaigutus on võrdeline reguleeritava parameetri kõrvalekaldega ja selle kõrvalekalde integraaliga. 1 dt + µ t µ = K p + - reguleerimisseadis. 0 i PI regulaatorist on võimalik saada p-reg., kui jäiga tagasiside ahelasse lülitame sisse dif. lülid. Sel juhul jäik tagasiside muutub elastseks tagasisideks, mis toimub ainult siirdeprotsessi ajal ja selle aja jooksul töötab regul. nagu p-reg., sellepärast omab häid dünaamilisi omadusi. Püsi reziimis elastse tagas
osakeste koguenergia just nii palju suurem, kuivõrd on selles ruumalas olevate osakeste kogumass suurem ühe osakese massist: kus on aine tihedus. Võime arvutada ka energiatiheduse laines, jagades koguenergia koguruumalaga: Energiavoog laines. Et lainetus levib, kaasneb tema liikumisega ka energia levik. Analoogselt vee vooluhulgale läbi vooluga risti oleva pinna võime defineerida laine energiavoo tiheduse Energiavoo läbi suvalise pinna saame nüüd leida integraaliga Doppleri efekt: seletus ja valemi tuletus laine sageduse muutust allika-vastuvõtja omavahelise liikumise tõttu - nimetataksegi Doppleri efektiks. Doppleri efekt - ringlained liikuva punktallika korral. Oletame, et laineallikas (võnkuv keha, ostsillaator) läheneb meile kiirusega . Sel juhul on lainevõrrandis olev suurus (allika kaugus) sõltuv ajast. Ühtlase liikumise korral ja lainevõrrandi faasiosa kus
osakeste koguenergia just nii palju suurem, kuivõrd on selles ruumalas olevate osakeste kogumass suurem ühe osakese massist: kus on aine tihedus. Võime arvutada ka energiatiheduse laines, jagades koguenergia koguruumalaga: Energiavoog laines. Et lainetus levib, kaasneb tema liikumisega ka energia levik. Analoogselt vee vooluhulgale läbi vooluga risti oleva pinna võime defineerida laine energiavoo tiheduse Energiavoo läbi suvalise pinna saame nüüd leida integraaliga Doppleri efekt: seletus ja valemi tuletus laine sageduse muutust allika-vastuvõtja omavahelise liikumise tõttu - nimetataksegi Doppleri efektiks. Doppleri efekt - ringlained liikuva punktallika korral. Oletame, et laineallikas (võnkuv keha, ostsillaator) läheneb meile kiirusega . Sel juhul on lainevõrrandis olev suurus (allika kaugus) sõltuv ajast. Ühtlase liikumise korral ja lainevõrrandi faasiosa kus
Võtame sirgjuhtmel tükikese pikkusega , mille kohta kehtib BSL valem. Et saada kogu juhtme välja, peame integreerima analoogiliselt "laetud sirge" elektriväljaga. Jooniselt näeme, et Pannes need BSL valemisse, saame: 81 Kruvireegel ja selle lääne analoog - parema käe reegel. Integreerides seda üle nullist -ni, saamegi Analoogilise integraaliga võime leida ka ringvoolu (vooluga juhtme, mis on ringjoone kujuline = juhtmekeerd!) välja. Siin on asi isegi lihtsam. Ringjoone tsentri jaoks on , , ning 82 Integraal piki juhet: sirgvool. Pisut keerulisema matemaatikaga saame punkti jaoks, mis asub ringvoolu teljel kaugusel tsentrist.
annaabi.ee 
