Contents 1.Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused...............1 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi..................................................................................................................... 1 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid.....................................2 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides..................3 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem.......................................................................
kui a=const, siis: a ( x, y )ds = a ( x, y )ds D D Teoreem 4. Kui piirkond D on jaotatud kaheks piirkonnaks D1 ja D2, millel pole ühiseid seesmisi punkte, ja funktsioon f(x,y) on pidev piirkonna D kõikides punktides, siis f ( x, y )dxdy = f ( x, y )dxdy + f ( x, y )dxdy D D1 D2 2. Kahekordse integraali arvutamine (regulaarne piirkond, kaksikintegraal, teoreem kahekordse integraali ja kaksikintegraali vahelisest seosest tõestusega). Piirkonda, mis on regulaarne nii x- kui ka y-telje sihis, nimetatakse lihtsalt regulaarseks piirkonnaks. 2 ( x) b Olgu funktsioon f(x,y) pidev piirkonnas D. Vaatleme avaldist f ( x, y )dy dx ,
Monotoonsus: Kui funktsioonid z=f(x,y) ja z=g(x,y) on integreeruvad ja f(x,y) on suurem kui g(x,y) iga (x,y)ЄD korral, siis on ka f(x,y) integraal väiksem kui g(x,y) Absoluutne integreeruvus: Kui funktsioon z=f(x,y) on integreeruv, siis ka | z=f(x,y)| on integreeruv ja kehtib võrratus | ʃʃDf(x,y)dxdy | ≤ | f(x,y) |dxdy Keskväärtusteoreem: Kui fn z=f(x,y) on integreeruv, siis leidub selline arv µЄ[minf(x,y);maxf(x,y)], et ʃʃDf(x,y)dxdy=µSD 4. Kaksikintegraal, kahekordse integraali arvutamine, näide def. Olgu piirkond D joontrapets, mis on piiratud joontega x=a; x=b, y=φ1(x), y= φ2(x). φ1 ja φ2 on lõigul [a,b] pidevad funktsioonid. VALEM Kaksikintegraal arvutatakse kahe määratud integraali arvutamise teel. Kahekordne int. arv kaksikint järgi. 5. Kahekordse integraali geomeetrilised rakendused: ruumala, tasapinnalise ja ruumilise kujundi pindala, näiteid 1) Ruumala Kui Kahekordse integraali definitsioonist nägime, et kui
4. Kui eksisteerivad integraalid , siis eksisteerib ka integral , kusjuures 5. Kui eksisteerivad integraalid ning iga P ϵ D korral kehtib f(P)<=g(P), siis 6. Kui eksisteerib integraal ja piirkonnas D kehtib võrratus m<=f(P)<=M, siis . 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi. Piirkonda D xy-tasandil nimetatakse regulaarseks, kui tema raja ┌ koosneb lõpilkust arvust pidevatest joontest tüüpi y=φ(x) või x=ψ(y). Regulaarset piirkonda D = {(x; y) | (a ≤ x ≤ b) ᴧ (φ(x) ≤ y ≤ ψ(x))} kus funktsioonid φ(x) ja ψ(x) on mingid pidevad funktsioonid lõigul [a;b] nimetatakse normaalseks piirkonnaks xy-tasandil (x-telje suhtes) Olgu funktsioon f(x,y) pidev piirkonnas D. Vaatleme avaldist
Piirkonda, mis on regulaarne nii x-telje kui ka y-telje sihis, nim. regulaarseks piirkonnaks. Olgu funktsioon z=f(x,y) pidev piirkonnas D. Avaldist nim. funktsiooni z=f(x,y) kaksikintegraaliks üle piirkonna D. Kaksikintegraali tõkked (omadus 19.2). Olgu funktsiooni z=f(x,y) vähim ja suurim väärtus piirkonnas D vastavalt m ja M. Tähistame piirkonna D pindala tähega S, siis kehtib seos: Keskväärtuste teoreem (omadus 19.3). Pideva funktsiooni z=f(x,y) kaksikintegraal ID üle piirkonna D, mille pindala on S, võrdub korrutisega, mille üheks teguriks on pindala S ja teiseks funktsiooni z=d(x,y) väärtus piirkonna D teatud punktis P: 3. Pindala ja ruumala arvutamine kahekordse integraali abil: ruumala arvutamine (+märkus 20.1 ja 20.2); tasandilise piirkonna pindala arvutamine (selgitustega: et olgu f(x, y) 1 jne). Ruumala. Kui keha on piiratud pinnaga z=f(x,y), kus funktsioon f(x,y) on mittenegatiivne, tasandiga z=0 ja silindrilise pinnaga, mille
D D 5. Keskväärtusteoreem. Kui funktsioon z f x, y ja on integreeruv, siis leidub selline arv min f x, y , max f x, y , et kehtib võrdus f x, y dxdy SD D Erijuhul, kui f on pidev piirkonnas D, siis leidub selline punkt x 0 , y 0 D, et f x 0 , y 0 , s.t. f x, y dxdy f x0, y0 SD D 1.4 Kaksikintegraal: Definitsioon. Olgu piirkond D joontrapets mis on piiratud joontega y 1 x ,y 2 x ,x a, x b, kus 1 x 2 x ,x a, b . Sealjuures 1 ja 2 on lõigul a, b pidevad funktsioonid. Siis integraali b 2 x b 2 x ID dx f x, y dy f x, y dy dx a 1 x a 1 x
y) x c Joonis 7.3. x-telje sihis regulaarne piirkond x-telje sihis regulaarne piirkond on kirjeldatav v~orratustega c y d ja 1 (y) x 2 (y). 5 Kaksikintegraal u ¨le x-telje sihis regularse piirkonna defineeritakse d 2 (y) ID = f (x, y)dx dy. c 1 (y) Ka selle kaksikintegraali arvutamine seisneb kahe j¨arjestikuse m¨aa¨ratud
annaabi.ee 
