See peab näiteks paika lõpliku arvu punktide korral, st kui D= {xk є R| k=1,2,…..n} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/n), sauti kui punkte on lõpmata palju, aga me saame nad nummerdada(loenduv hulk) , st D={ xk є R|kєN} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/2 astmes k. Leidub ka muidu hulki, mille Lebesgue mõõt on null. Seega vastavalt Lebesgue’i teoreemile on integreeruv tõkestatud funktsioon, millel on lõplik või loenguv hulk esimest liiki katkevuspunkte. Tõestame järgnevas mõned erijuhud: Lause : Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul. Näidata, et konstantne fn on integreeruv Lause . Iga lõigul konstantne funktsioon on sel Integraali keskväärtusteoreemid lõigul integreeruv, kusjuures
See peab näiteks paika lõpliku arvu punktide korral, st kui D= {xk є R| k=1,2,…..n} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/n), sauti kui punkte on lõpmata palju, aga me saame nad nummerdada(loenduv hulk) , st D={ xk є R|kєN} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/2 astmes k. Leidub ka muidu hulki, mille Lebesgue mõõt on null. Seega vastavalt Lebesgue’i teoreemile on integreeruv tõkestatud funktsioon, millel on lõplik või loenguv hulk esimest liiki katkevuspunkte. Tõestame järgnevas mõned erijuhud: Lause : Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul. 4. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. 5. Muutujavahetus 6. Ositi integreerimine. 7. Osamurdudeks jagamine. 8. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. 9. Integraali keskväärtusteoreemid. 10.Taylori valemi jääkliikme intergraalkuju 11
integraaliks (ehk Riemanni integraaliks) lõigus [a; b] ja kirjutatakse Arve a ja b nimetatakse radadeks. 10. Piisavad ja tarvilikud tingimused funktsiooni integreeruvuseks. x a kus a ei tohi võrduda ühega, ehk a 1 Määratud integraali jaoks on vaja teada Newton Leibnisi valemit. Lõigus pidev funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud monotonne funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud funktsioon, millel on lõplik arv katkevuspunkte, on integreeruv selles lõigus. Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad mingis lõigus, siis ka nende korrutis fg on integreeruv selles lõigus. Funktsiooni integreeruvuseks mingis lõigus on tarvilik, et ta oleks tõkestatud selles lõigus. 11. Tuletada ristkülikvalem n = 2 (n = 3) korral. 12 Tuletada trapetsvalem n = 2 (n = 3) korral. 13 Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = e (lk104) x 14
pidev punktis a. 16) · Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. · Katkevuspunktide liigitus 1 Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused limxa f(x) ja limxa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus , siis nim seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus , siis nim seda punkti funktsiooni f hüppepunktiks (hüppekohaks) 2 Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest limxa f(x) ja limxa+ f(x) puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse
pidev punktis a. 16) · Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. · Katkevuspunktide liigitus 1 Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused limxa f(x) ja limxa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus , siis nim seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus , siis nim seda punkti funktsiooni f hüppepunktiks (hüppekohaks) 2 Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest limxa f(x) ja limxa+ f(x) puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse
` pidev joon. 12) Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide liigitus. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Olgu funktsiooni ! katkevuspunkt: 1. Kui punktis eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim,+X ! ja lim,U ! , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ! esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiku katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis kehtib võrdus lim,+X ! = lim,U ! = lim,+ ! , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ! kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis kehtib võrratus lim,+X ! lim,U ! , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ! hüppepunktiks (hüppekohaks). 2. Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim,+X ! või lim,U
pidev joon. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Katkevuspunktide liigitus: Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused limxa -f(x) ja lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus limxa- f(x) = limxa+ f(x) = lim xa f(x),siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus limxa- f(x) = limxa+ f(x),siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hüppepunktiks. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul - Olgu antud funktsioon f, mis on määratud lõigul [a, b].
· Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(a)] pidev punktis a. 14. Def. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. · Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim f(x) ja lim f(x)m siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim f(x) = lim f(x) = lim f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiku katkevuspunktis a kehtib võrratus lim f(x) lim f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hüppepunktiks (hüppekohaks) · Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim f(x) või lim f(x) puudub või ei ole lõplik, siis
· Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(a)] pidev punktis a. 14. Def. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. · Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim f(x) ja lim f(x)m siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim f(x) = lim f(x) = lim f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiku katkevuspunktis a kehtib võrratus lim f(x) lim f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hüppepunktiks (hüppekohaks) · Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim f(x) või lim f(x) puudub või ei ole lõplik, siis
a Teoreem: Funktsiooni integreeruvuseks mingis lõigus on tarvilik, et ta oleks tõkestatud selles lõigus. Iga tõkestatud funktsioon ei ole integreeruv. Piisavad tingimused funktsiooni integreeruvuseks Lõigus pidev funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud monotonne funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud funktsioon, millel on lõplik arv katkevuspunkte, on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud funktsioon, millel on loenduv hulk katkevuspunkte, s. t. mille katkevuspunktid moodustavad jada, on integreeruv selles lõigus. Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad mingis lõigus, siis ka nende korrutis fg on integreeruv selles lõigus. 4 40. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist ristkülikvalemi abil. Leiame ligikaudse integraali väärtuse funktsioonile:
2. Kui funktsioon y = f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z = g[f(x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 1. Kui punktis a eksisteerivad l~oplikud u¨hepoolsed piirv¨a¨artused lim xa- f(x) ja lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~ordus lim xa- f(x) = lim xa+ f(x) = lim xa f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~orvaldatavaks katkevus- punktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~orratus lim xa- f(x) ei võrdu lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hu¨ppepunktiks (hu¨ppekohaks). 2. Kui v¨ahemalt u¨ks u¨hepoolsetest piirv¨a¨artustest lim xa- f(x) v~oi lim xa+ f(x)
D={xk∈R|k∈N} (xk sisaldava vahemiku pikkus <ε /2k).Leidub ka muid hulki, mille a Lebesgue mõõt on null. Seega vastavalt Lebesgue teoreemile on integreeruv tõkestatud funktsioon, millel on lõplik või loenduv hulk esimest iiki katkevuspunkte. 6. Näidata, et integreeruv funktsioon on tõkestatud b Teoreem:Lõigus integreeruv funktsioon on tõkestatud selles lõigus.Tõestus:Oletame,et funktsioon pole lõigus [a,b] tõkestatud.Näitame,et funktsioon pole integreeruv. 8
.... = ao/2 +n=1(ancos nx+ bnsin nx) trigonomeetriline S(x) perioodiline: 2= n=1un(x)= ao/2 + (ancos (n /l )x+ bnsin (n /l)x)? (*) n =1 S(x) perioodiline: T=2l ao, an, bn kuulub reaalarvude hulka. 1. Millal on funktsioon arendatav trigonomeetrilisse ritta? 2. Kuidas leida kordajaid? 1. Dirichlet' teoreem: f(x) mis lõigul [a,b] pikkusega b-a=2lm rahuldab järgmisi tingimusi: a) f(x) on pidev lõigul [a,b] või omab lõplikku arvu katkevuspunkte. b) f(x) on lõigul [a,b] tükiti monotoonne, siis on f(x) arendatav trigonomeetrilisse ritta (*) selliselt, et 1. pidevuspunktides on f(x) =S(x) 2. otspunktides S(a)=S(b)=f(a)+f(b ) / 2 summafunktsioon S(x) 3. katkevuspunktides on võrdne nende ühepoolsete piirväärtuste aritmeetiliste keskmistega S(x) = f(x;-0)+f(x;0) / 2 MÄRKUS: Väljaspool lõiku [a,b] on S(x) perioodiline, perioodiga T=2l 2. Kordajate leidmine HARMOONILINE ANALÜÜS f(x) = ao/2 +n=1Ancos (nx-n) n-s harmooniline
Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral: lk 46 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste: Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus: Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim.........................., siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim....................................., siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~orvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus............................. siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hüppepunktiks (hüppekohaks). Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim............................... puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti
järelikult on funktsioon ka pidev vahemikus (a,b) · Lõigul pidev funktsioon lisaks vahemikus olevale pidevusele peab olema funktsoonil parempoolne pidevus vasakpoolses otspunktis ja vasakpoolne pidevus parempoolses otspunktis. · Elementaarfunktsiooni pidevus Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad, mis ei tähenda aga seda, et neil poleks katkevuspunkte. Nt funktsioonil on katkevuspunktid aga need ei asu tema määramispiirkonnas. Ehk, kui punkt kuulub funktsiooni määramispiirkonda siis on täidetud pidevuse esimene tingimus ja automaatselt ka teine ja kolmas mistõttu saab a arvutamisel kasutada valemit 16. · Absoluutne maksimum kui leidub punkt lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus
Kui funktsioon f on määratud lõigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b]. Elementaarfunktsioonide pidevus Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. Määramispiirkondade kohal on graafikud pidevad jooned. See ei tähenda, et põhilistel elementaarfunktsioonidel poleks katkevuspunkte. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tegevuste puhul pidevus säilib, siis on ka kõik elementaarfunktsioonid oma määramispiirkonnas pidevad. 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul Kui leidub punkt x1 lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib
Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. v~oi 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. () Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused limf(x) ja limf(x), siis nimetatakse xa- xa+ seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus limf(x) = limf(x) = limf(x),siis nimetatakse seda punkti xa- xa+ xa funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus limf(x) = limf(x),siis nimetatakse seda punkti xa- xa+ funktsiooni f hüppepunktiks (hüppekohaks). 2
Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus. Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. või 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim(x->a astmel -) (x) ja lim(x->a astmel +) (x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid. a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim (x->a astmel -) (x) = lim (x->a astmel +) (x)= lim(x->a) (x) siis nimetatakse seda punkti funktsiooni kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus lim(x->a astmel -) (x) ei võrdu lim(x->a astmel +) (x) siis nimetatakse seda punkti funktsiooni hüppepunktiks (hüppekohaks) 2
Mitmemuutuja funktsiooni pidevus Olgu antud mitmemuutuja funktsioon z=f(P) määramispiirkonnaga D. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui AD; eksisteerib piirväärtus lim f ( P ) ; lim f ( P ) = f ( A) PA PA Funktsiooni f nimetatakse pidevaks piirkonnas G kui ta on pidev selle piirkonna kõigis punktides. Pideva kahemuutuja funktsiooni graafik on pidev pind, st pind mis ei oma katkevuspunkte ega katkevusjooni. 4. Funktsiooni osatuletised Funktsiooni z = f(x, y) osatuletiseks x-i järgi z/x nim piirväärtust limx0(f(x+x,y)-f(x,y))/x=z/x. Osatuletis muutuja y järgi on z/y vastavalt piirväärtus limy0(f(x,y+y)/y=z/y. Osatuletist tähistatakse ka: z/x=f(x,y)/x=f/x=f 'x=fx=z'x=zx. Mitme muutuja funktsiooni osatuletise leidmiseks mingi muutuja järgi tuleb funktsiooni diferentseerida selle muutuja järgi kui ühe muutuja funktsiooni, vaadeldes ülejäänud muutujaid konstantidena.
Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus. Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. või 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni ƒ katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim(x- >a astmel -) ƒ(x) ja lim(x->a astmel +) ƒ(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ƒ esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid. a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim (x->a astmel -) ƒ (x) = lim (x->a astmel +) ƒ(x)= lim(x->a) ƒ(x) siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ƒ kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus lim(x->a astmel -) ƒ(x) ei võrdu lim(x->a astmel +) ƒ(x) siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ƒ hüppepunktiks (hüppekohaks) 2
Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui 1. f on m¨a¨aratud punktis A, st A D 2. eksisteerib piirv¨a¨artus lim f (P ) P A 3. lim f (P ) = f (A). P A Funktsiooni f nimetatakse pidevaks piirkonnas G, kui ta on pidev selle pi- irkonna k~oigis punktides. graafiku kohta. N¨aiteks on pideva kahemuutuja funktsiooni graafik pidev pind (st pind mis ei oma katkevuspunkte ega katkevusjooni). 12) Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise pidevus. Liitfunktsiooni pidevus. Summa, vahe, korrutise ja jagatise pidevus. Kui mitmemuutuja funkt- sioonid f ja g on pidevad punktis A siis on selles punktis pidevad ka summa f + g, vahe f - g, korrutis f g ning eeldusel g(A) = 0 ka jagatis fg . Liitfunktsiooni pidevus. Olgu u1 = 1 (P ), u2 = 2 (P ), . . . , un = n (P ) argumendist P = (x1 , x2 , .
sõltuvusseoseid Y(X). Stone-Weierstrassi teoreem (vt. peatükk 2) ütleb, et kahekihiline 13 pertseptron sobiva neuronite arvuga peidetud kihil on võimeline aproksimeerima suvalist pidevat funktsiooni ning Sontag'i teoreemi järgi, kahekihiline rekurentne närvivõrk sobiva neuronite arvuga peidetud kihil on võimeline aproksimeerima suvalist funktsiooni, millel on lõplik arv katkevuspunkte. Selleks on vaja valida ka sobivaid aktiveerimisfunktsioone ning leida optimaalseid võrgu parameetreid (kaalukoefitsiendid ja nihked). Teoreemidest on näha, et esimene samm on närvivõrgu õige arhitektuuri valik Kui probleemi lahendamisel kasutatakse otsesuunatud (peatükk 1.3.1) või tagasisidestatud (peatükk 1.3.2) närvivõrk, siis probleem seisneb peidetud kihi neuronite arvu valikus. Üldjuhul, kui neuroneid või peidetud neuronite kihte on võrgus liiga vähe, siis:
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy . NB! Pinna positiivse (negatiivse) poole määrame projekteerimisel igale koordinaattasandile eraldi. 2.4. Gaussi-Ostrogradski valem Def. Funktsiooni f nimetatakse tükiti siledaks lõigus [a, b] , kui funktsioonil f ja tema tuletisfunktsioonil f on selles lõigus ülimalt lõplik arv katkevuspunkte, mis kõik on esimest liiki katkevuspunktid (neis punktides leiduvad lõplikud ühepoolsed piirväärtused). Teoreem (Gaussi-Ostrogradski valem). Kui funktsioonid P = P( x, y, z ) , Q = Q( x, y, z ) , R = R( x, y, z ) , Px , Q y , R z on pidevad piirkonnas E , mille rajapind on kinnine ja tükiti sile, siis kehtib valem Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = (P E
sõltuvusseoseid Y(X). Stone-Weierstrassi teoreem (vt. peatükk 2) ütleb, et kahekihiline 13 pertseptron sobiva neuronite arvuga peidetud kihil on võimeline aproksimeerima suvalist pidevat funktsiooni ning Sontag'i teoreemi järgi, kahekihiline rekurentne närvivõrk sobiva neuronite arvuga peidetud kihil on võimeline aproksimeerima suvalist funktsiooni, millel on lõplik arv katkevuspunkte. Selleks on vaja valida ka sobivaid aktiveerimisfunktsioone ning leida optimaalseid võrgu parameetreid (kaalukoefitsiendid ja nihked). Teoreemidest on näha, et esimene samm on närvivõrgu õige arhitektuuri valik Kui probleemi lahendamisel kasutatakse otsesuunatud (peatükk 1.3.1) või tagasisidestatud (peatükk 1.3.2) närvivõrk, siis probleem seisneb peidetud kihi neuronite arvu valikus. Üldjuhul, kui neuroneid või peidetud neuronite kihte on võrgus liiga vähe, siis:
Vastavalt integraali definitsioonile, see piirväärtus ongi määratud integraal f ( x)dx a m.o.t.t. Märkus: Saab näidata, et määratud integraal eksisteerib ka juhul, kui f (x) on pidev kõikjal, v.a. loenduv või lõplik arv I liiki katkevuspunkte. c b b a f ( x)dx + f ( x)dx = f ( x)dx c a © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 47 Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist (tõestusega). Newton-Leibnizi valem b b b f ( x)dx = f (t )dt = f (u )du a a a Vaatleme muutuva ülemise rajaga integraali x f (t )dt = ( x) a
Vastavalt integraali definitsioonile, see piirväärtus ongi määratud integraal f ( x)dx a m.o.t.t. Märkus: Saab näidata, et määratud integraal eksisteerib ka juhul, kui f (x) on pidev kõikjal, v.a. loenduv või lõplik arv I liiki katkevuspunkte. c b b a f ( x)dx + f ( x)dx = f ( x)dx c a © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 47 Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist (tõestusega). Newton-Leibnizi valem b b b f ( x)dx = f (t )dt = f (u )du a a a Vaatleme muutuva ülemise rajaga integraali x f (t )dt = ( x) a
~ samuti kui punkte on lopmata palju, aga me saame nad nummerdada (loenduv hulk), st D = {xk R|k N} (xk sisaldava vahemiku pikkus < 2k ). Leidub ka muid hulki, mille Lebesgue mo~ ot ~ on null. ~ Seega vastavalt Lebesgue'i teoreemile on integreeruv tokestatud ~ funktsioon, millel on loplik ~ loenduv hulk esimest liiki voi katkevuspunkte. ~ Toestame ¨ jargnevas ~ moned erijuhud. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 10 / 18 Ma¨ aratud ¨ integraal Lebesgue'i teoreem Lause ~ Loigul ~ integreeruv funktsioon on tokestatud ~
paikneb funktsiooni m¨a¨ aramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. v~oi 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad l~oplikud u ¨ hepoolsed piirv¨a¨artused lim- f (x) ja xa lim+ f (x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katke- xa vuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~ordus lim f (x) = lim+ f (x) = lim f (x), xa- xa xa siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~ orvaldatavaks katkevus- punktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~orratus lim f (x) = lim+ f (x),
paikneb funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. v~oi 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad l~oplikud u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused lim- f (x) ja xa lim+ f (x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katke- xa vuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~ordus lim f (x) = lim f (x) = lim f (x), xa- xa+ xa siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~ orvaldatavaks katkevus- punktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~orratus lim f (x) = lim+ f (x),
pidevad. 1.2.10 Funktsiooni katkevuspunktid Definitsioon 10.1 Funktsiooni katkevuspunktiks nimetatakse punkti, milles funktsioon ei ole pidev. Pidevuse definitsioonist j¨areldub, et katkevuse p~ohjusteks punktis a v~oivad olla funktsiooni v¨a¨artuse puudumine punktis a, piirv¨a¨artuse puudumine punk- tis a, v~oi m~olema olemasolu korral nende (st v¨a¨artuse ja piirv¨a¨artuse) erine- vus. Eristatakse esimest ja teist liiki katkevuspunkte. ¨ Definitsioon 10.2 Oeldakse, et funktsioonil y = f (x) on punktis a esi- mest liiki katkevus, kui on olemas l~oplikud u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused lim f (x) = b1 xa- ja lim f (x) = b2 xa+ ¨ Oeldakse veel, et x = a on funktsiooni y = f (x) h¨
annaabi.ee 
