regulaarsete piirkondade korral. Millal nimetatakse piirkonda regulaarseks? 4. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse (esitada vastav valem tuletamata). 5. Kolmemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kolmekordse integraali definitsioonid. 6. Kolmekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 7. Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina. 8. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 9. Silinderkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse (esitada vastav valem ilma tuletamata). 10.Sfäärkoordinaadid. Esitada ristkoordinaatide valemid sfäärkoordinaatide kaudu (tuletada ei ole vaja). Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse (esitada vastav valem ilma tuletamata). 11.Joone kaare pikkuse diferentsiaal tasandil ja ruumis. Funktsiooni integraalsumma joonel
teine punkt asub esimese suhtes 50mm x-suunas ja 50mm y-suunas. 2. polaarkoordinaadid (2D) line (enter) (vali 1. punkt) @50<45 (enter) teine punkt asub esimese suhtes 50mm kaugusel ja 45 kraadise nurga all. ----------------------- ERILISTELE PROFFIDELE: 3. sfäärkoordinaadid (3D) line (enter) (vali 1. punkt) @50<45<45 (enter) teine punkt asub esimese suhtes 50mm kaugusel ja xy-tasandil 45 kraadise nurga all ja xy tasandi suhtes 45 kraadise nurga all. 4. silinderkoordinaadid (3D) line (enter) (vali 1. punkt) @50<45,20 ? (enter) teine punkt asub esimese suhtes 50mm kaugusel ja xy-tasandil 45 kraadise nurga all ja xy tasandi suhtes kõrgusel 20mm (z-telje sihis).
28. Tuletada tasandilise kujundi massi valem pindtiheduse kaudu. Tuletada tasandilise kujundi masskeskmete koordinaatide valemid pindtiheduse kaudu. 29. Kolmemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kolmekordse integraali definitsioonid. Massi arvutamine ruumtiheduse kaudu (tuletada vastav valem). 30. Kolmekordse integraali omadused (sh omadused 3-5 koos põhjendustega). 31. Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina. 32. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 33. Silinderkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse (tuletada vastav valem). 34. Sfäärkoordinaadid. Tuletada ristkoordinaatide valemid sfäärkoordinaatide kaudu. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse (tuletada vastav valem). 35. Joone kaare pikkuse diferentsiaal tasandil ja ruumis. Funktsiooni integraalsumma joonel. Esimest liiki joonintegraali definitsioon. Joone
polaarkaugus r) ning nurgaga fikseeritud suunast (polaarnurk ). üleminekuvalemid polaarkoordinaadistiku ja ristkoordinaadistiku vahel: Polaarkoordinaadistik tasandil: Suunaga arvtelg e. polaartelg. Alguspunkt Ühiku pikkus Polaarraadius r = |OM| Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). 12. Ristkoordinaadistik ruumis. Punkti ristkoordinaadid ruumis. Punkti silinderkoordinaadid. Seosed punkti rist- ja silinderkoordinaatide vahel. Ristkoordinaadistiku ruumis moodustavad kolm paarikaupa ristuvat koordinaattelge, mille alguspunktid ühtivad. Telgede eristamiseks nimetatakse ühte neist abstsissteljeks ehk x-teljeks, teist ordinaatteljeks ehk y-teljeks ja kolmandat aplikaatteljeks ehk z-teljeks. Ristkoordinaadistik ruumis: Kolm ristuvat suunaga arvsirget; Alguspuntkid ühtivad; Ühikud on võrdsed.
V: c x d, 1(x) y 2(x), 1(x,y) z 2(x,y) 16. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 1)Eeldame et P on üheselt taasatav P' põhjal 2) Olgu fun.-del x = x(u,v,w), y = y(u,v,w) ja z = z(u,v,w) olemas osatuletised x u', xv', xw', yu', yv', yw', zu', zv' ja zw' terves piirkonnas V'. Kui 1 ja 2 on täidetud siis kehtib järgmine muutuja vahetuse valem. J(u,v,w) = jakobiaan 17. Silinderkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse. Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse. 18. Sfäärkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse. 19. Defineerida esimest liiki joonintegraal. 20
Polaarkoordinaadistik tasandil: · Suunaga arvtelg e. polaartelg. · Alguspunkt · Ühiku pikkus · Polaarraadius r = |OM| · Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). Punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahelised seosed: · x = rcos; y = rsin. · r = (x2+y2)1/2; tan = y/x. 12. Ristkoordinaadistik ruumis. Punkti ristkoordinaadid ruumis. Punkti silinderkoordinaadid. Seosed punkti rist- ja silinderkoordinaatide vahel. Ristkoordinaadistiku ruumis moodustavad kolm paarikaupa ristuvat koordinaattelge, mille alguspunktid ühtivad. Telgede eristamiseks nimetatakse ühte neist abstsissteljeks ehk x-teljeks, teist ordinaatteljeks ehk y-teljeks ja kolmandat aplikaatteljeks ehk z- teljeks. Ristkoordinaadistik ruumis: · Kolm ristuvat suunaga arvsirget; · Alguspuntkid ühtivad; · Ühikud on võrdsed.
i= 1 i= 1 korral kui PiVi ja PVi, siis f(P)f(Pi) ning mVi=f(Pi)Vi. Olgu di funktsionaaldeterminant ehk jakobiaan asendisse N. Mõjugu punktile P jõud F=(F1,F2). Jõu F poolt tehtud töö (*) Vi diameeter ja n=max{d1, d2,...,dn}, siis funktsiooni f(P) 16. Silinderkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. n n A=MN·F m m
f (x, y, z )dxdydz = dxdy ( f) (x, y, z )dz . E D x, y Tekkiva kahekordse integraali arvutamiseks püüame kasutada kahekordse integraali arvutusvalemeid. 3. Muutujavahetus kolmekordses integraalis Üleminek silinderkoordinaatidele Olgu r 0 , , h punkti P = ( x, y, z ) silinderkoordinaadid. Seega x = r cos , y = r sin , z = h (r , , h ) . f (x, y, z )dxdydz = f (r cos , r sin , h ) r dr d dh . E Üleminek sfäärikoordinaatidele Olgu r 0 , , punkti P = ( x, y, z ) silinderkoordinaadid. Seega x = r cos sin , y = r sin sin , z = r cos (r , , ) . f (x, y, z )dxdydz = f (r cos sin , r sin sin , r cos ) r sin dr d d . 2
saab nurki ja kasutada jooniste vaatlemiseks suvalisest vaatesuunast (vt. punkt 5). Joonis 1. Ülalkirjeldatud rist-, silinder- ja sfäärkoordinaate saab kasutada punktide sisestamiseks joonestamisel, näiteks (vt. ka lisa 1 juhendi esimesest osast): · 8,13.5,-9 absoluutsed ristkoordinaadid; · @8,13.5,-9 relatiivsed ristkoordinaadid; · 7<22.5,6.45 absoluutsed silinderkoordinaadid; · @7<45,5.5 relatiivsed silinderkoordinaadid; · 4<90<30 absoluutsed sfäärkoordinaadid; · @4<90<30 relatiivsed sfäärkoordinaadid. Ruumiliseks joonestamiseks on edukalt kasutatavad ka mitmed juhendi esimeses osas vaadeldud käsud. Selliste hulka kuulub näiteks käsk LINE tuleb vaid kahe koordinaadi 2 asemel sisestada kolm koordinaati, nii nagu eespool kirjeldatud. Sama kehtib ka mitmete teiste käskude kohta, näiteks RAY ja XLINE.
25 z z P O y y x P x Joonis 7.14. Punkti P silinderkoordinaadid , ja z Leiame muutuja vahetuse jakobiaani u ¨leminekul ristkoordinaatidelt silin- derkoordinaatidele. Arvutuseeskirja (7.26) j¨argi x y z J= x y z . xz yz zz Muutuja z ei s~oltu muutujatest ja , seega z = 0 ja z = 0. Muutujad x ja y ei s~oltu muutujast z, st xz = 0 ja yz = 0. J¨arelikult
annaabi.ee 
