Mitmemuutuja funktsioonid (0)

MITME MUUTUJA FUNKTSIOON
1. Punkti ümbrus. Kinnine ja lahtine piirkond. Mitme muutuja funktsioon ja selle määramispiirkond.
Def. 1.1. ( 0 0 )0 Punkti P x1 , x 2 ,..., x n ümbruseks n-mõõ . Võtame suvalise punkti P( x, y, z ) ja valime muudud x, y, z nii, et vektor PQ , kus ? Q( x + x, y + y, z + z ) oleks samasihiline (kollineaarne) vektoriga s . ? Tähistame PQ = = x 2 + y 2 + z 2 Leiame funktsiooni muudu u = u ( Q ) - u ( P ) = f ( x + x, y + y, z + z ) - f ( x, y , z )
Def. 10.1. ? Funktsiooni u = f ( x, y , z ) tuletiseks vektori s suunas nimetatakse piirväärtust u u u( Q) - u ( P ) (10.1) = lim = lim s 0 0 tingimusel, et see piirväärtus eksisteerib.
u Leiame tuletise seose osatuletisega. s Esitame funktsiooni muudu diferentsiaali abil. u u u u = du + ( ) = x + y + z + ( ) x y z Jagame võrduse -ga. u u x u y u z ( ) = + + + x y z ( ) lim =0 0 ? siit saame x y z cos = , cos = , cos = ? need on vektori = PQ suunakoosinused cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 x y z Ühikvektori e = = ; ; koordinaatideks on suunakoosinused. ? Ka vektori s suuna ü s s1 s2 s3 ? cos = , cos = , cos = , s = s12 + s 22 + s32 s s s Järelikult u u u u ( ) (10.2) = cos + cos + cos + s x y z Minnes üle piirväärtusele, kui 0 saame u u u u = cos + cos + cos s x y z s1 s2 s3 kus cos = , cos = , cos = s s s ? Tuletis antud vektori s suunas üldistab osatuletise mõistet diferentseerimiseks suvalises ? ? suunas. Kui võtta vektori s x-telje ü siis saame valemist (10.2) u u = s x ? ? y-telje suunaline ühikvektor, siis u u = s y ? ? ja ka võ z-telje suunaline ühikvektor u u = s z
Märkus. ? Kahe muutuja funktsiooni u = f ( x, y ) korral saab leida seose suunakoosinuste vahel = - cos = cos - = sin 2 2 Järelikult z z z = cos + sin (10.2') s x y s s cos = 1 , cos = sin = 2 s? = s12 + s 22 s s
Def 10.2. Mitme muutuja funktsiooni u gradiendiks nimetatakse vektorit mille koordinaatideks on selle funktsiooni osatuletised. u u z = f ( x, y ) , grad z = , x y u u u u = f ( x, y, z ) , grad u = , , x y z u u u u = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) , grad u = , ,..., x1 x 2 x n
Vaatleme veelkord valemit (10.2) u u u u = cos + cos + cos s x y z ? u = f ( x, y, z ) s Järelikult u s = e grad u = grad u s s ? ? ? ? a b = a b cos = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3 ab = e b = projab = b cos a u Seega saame = e grad u = proj s grad u = grad u cos (10.4) s
Teoreem 10.1. ? Funktsiooni u = f ( x, y , z ) tuletis vektori s suunas on võrdne selle funktsiooni gradiendi ? projektsiooniga selle vektori s suunale.
Järeldused. 1) Tuletis antud suunas on maksimaalne kui see on tehtud gradiendi suunas u ? max = grad u kui s on samasuunaline grad u -ga = 0 cos = 1 . Teiste s sõnadega funktsiooni kasvamiskiirus on suurim gradiendi suunas. 2) Tuletis suunas, mis gradiendiga risti on null. s grad u = , cos = 0 . 2
11. Nivoojooned ja nivoopinnad. Kõverjoone puutuja ja normaaltasand.
Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y )
Def. 11.1. Jooni, mille võrrandiks on f ( x, y ) = c , nimetatakse funktsiooni z = f ( x, y ) nivoojoonteks. Kolme ja enama muutuja funktsiooni korral saame nivoopinnad. Kolme muutja funktsiooni u = f ( x, y, z ) nivoopinna võrrand on f ( x, y, z ) = c .
Nivoojoon on pinna z = f ( x, y ) ja tasandi z = c lõikejoon ja selle projektsioon xy tasandile .
Vaatleme parameetriliselt esitatud joont kolmemõõtmelises ruumis. x = u(t )
y = v ( t ) (11.1) z = w( t )
t ­ parameeter Anname parameetrile muudu t, siis saavad vastavad muudud ja muutujad x, y, z. Need olgu x, y, z. Vaatleme punkte P ( x, y, z ) ja Q( x + x, y + y, z + z ) Tähistame raadiusvektorid ? r ( t ) ? r ( t ) OP + PQ = OQ ? ? r = PQ = OQ - OP = r ( t + t ) - r ( t )
Leiame r x y z lim = lim ; ; t 0 t t 0 t t t r Vektor on samasihiline vektoriga r . t Kui t 0 , siis punkt Q läheneb mööda joont punktile P ja r võtab puutuja suuna. Eeldame, et funktsioonid u ( t ) , v( t ) , w( t ) on diferentseeruvad, ning x y z x = lim , y = lim , z = lim t 0 t t 0 t t 0 t< t 0 t ? Vektor r? on joone puutuja suunaline vaadeldavas punktis P( x0 , y 0 , z 0 ) . ? Joone L normaaltasand on risti vektoriga r?( t 0 ) ja läbib punkti P( x0 , y 0 , z 0 ) , kus x0 = u ( t 0 ) , y 0 = v( t 0 ) , z 0 = w( t 0 ) . ? ? nx = 0 ? ? n = r?( t 0 ) ? x?( t 0 )( x - x 0 ) + y?( t 0 )( y - y 0 ) + z?( t 0 )( z - z 0 ) = 0 (11.2) Normaaltasandi võrrand. ? ? s = r?( t 0 ) ? x = PQ ? ? ?? ? ? x ja s on kollineaarsed ( s x ) ehk x = k s x - x0 y - y0 z - z 0 (11.3) = = x( t 0 ) y ( t0 ) z(t 0 ) Puutuja võrrandid.
Parameetrilisel kujul x = x 0 + x( t 0 ) t
y = y 0 + y( t 0 ) t (11.3') z = z + z(t ) t 0 0
12. Teoreem gradiendist ja nivoojoonest (nivoopinnast). Kõverpinna puutujatasand ja normaal .
Teoreem 12.1. Funktsiooni gradient on risti vaadeldavat punkti läbiva nivoojoonega või nivoopinnaga.
Tõestus. 1) Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) ja selle nivoojoont f ( x, y ) = c Leiame nivoojoone puutuja võrrandi punktis P( x0 , y 0 ) . y - y 0 = y P ( x - x0 ) Leiame tuletise kui ilmutamata funktsiooni tuletise. Saame f y = - x f y Seega antud puutuja võrrand on f x P y - y0 = - ( x - x0 ) f y P Teisendades saame f ( x - x0 ) + f ( y - y 0 ) = 0 x P y P ? Nivoojoone puutuja normaalvektoriks on seega f f z z n= ; = ; = grad z P x P y P x P y P Järelikult grad z on risti puutujaga ja seega ka nivoopinnaga. 2) Vaatleme kolme muutuja funktsiooni oni u = f ( x, y, z ) ja selle nivoopinda f ( x, y , z ) = c . Võtame nivoopinna punkti P ja kõverjoone L, mis asub nivoopinnal ja läbib punkti P( x0 , y 0 , z 0 ) . Olgu joone L parameetrilised võrrandid x = u ( t ) L : y = v(t ) z = w( t ) ning u ( t 0 ) = x 0 , v( t 0 ) = y 0 , w( t 0 ) = y 0 ? ? Siis vektor r?( t 0 ) on joone L puutujasuunaline r?( t 0 ) Vaadeldes joone L punkte kui nivoojoone punkte, mis rahuldavad L võrrandeid, saame ühe muutuja t liitfunktsiooni. f ( u ( t ) , v( t ) , w( t ) ) = c Leiame selle funktsiooni tuletise täistuletise valemi järgi. du f f f u u u = u + v + w = x+ y+ z =0 dt u v w x y z u u u ? Et grad u = , , ja r? x y z Siis me saime tulemuseks, et ? ? grad u r? = 0 grad u r? Järelikult on gradient risti joone L puutujaga punktis P( x 0 , y 0 , z 0 ) . Et joon L oli suvaline joon nivoopinnal, mis läbis punkti P, siis on gradient risti kõigi selliste joonte puutujatega. Järelikult on gradient risti ka puutujatasandiga ning nivoopinnaga. M.O.T.T.
Nüüd saame kirjutada pinna puutujatasandi ning normaali võrrandid. Olgu pind esitatud ilmutamata funktsiooni kujul F ( x, y , z ) = 0 Teoreemi 12.1 kohaselt võima puutetasandi normaalvektoriks võtta F F F n = grad F = , , x P y P z P Seega puutetasandi võrrand on F F F ( x - x0 ) + ( y - y0 ) + ( z - z 0 ) = 0 (12.1) x P y P z P ja normaali võrrandid kanoonilisel kujul x - x0 y - y0 z - z 0 = = F F F (12.2) x P y P z P ning parameetriliselt F x = x 0 + x t P
F y = y0 + t (12.2) y P F z = z0 + t z P
Kui pind on esitatud võrrandiga z = f ( x, y ) siis saame vastavad võrrandid võttes F ( x, y , z ) = f ( x , y ) - z = 0 Saame võrrandid Puutujatasand f f ( x - x0 ) + ( y - y 0 ) - ( z - z 0 ) = 0 (12.1') x P y P Normaalsirge x - x0 y - y0 z - z 0 = = f f - 1 (12.2'') x P y P
13. Kahe muutuja funktsiooni Taylori valem.
Vaatleme funktsiooni z = f ( x, y ) punkti P( x 0 , y 0 ) ümbruses. Eeldame, et funktsioonil on piisav arv osatuletisi selle punkti ümbruses. Tuletame meelde ühe muutuja funktsiooni y = f ( x ) Taylori valemi f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( n) ( x 0 ) f ( x) = f ( x0 ) + ( x - x0 ) + ( x - x 0 ) 2 + ... + ( x - x 0 ) n + Rn ( x ) (13.1) 1! 2! n! jääkliige Lagrange'i kujul
Rn ( x ) = ( x - x0 ) n +1
f ( n +1) ( x ) , x ( x0 , x ) (13.2) ( n + 1)! Tähistame punkti Q( x, y ) ja vaatleme lõigu PQ parameetrilist esitust x = x 0 + ( x - x0 ) t (13.3)
y = y0 + ( y - y0 )t 0 t 1 Kui t = 0 , siis saame punkti P( x 0 , y 0 ) ja kui t = 1 , siis punkti Q( x, y ) . Kahe muutuja funktsioon f ( x, y ) määrab lõigul PQ ühe muutuja liitfunktsiooni F ( t ) = f ( x , y ) = f ( x0 + ( x - x 0 ) t , y 0 + ( y - y 0 ) t ) (13.4) Seejuures F ( 0 ) = f ( x 0 , y 0 ) ja F (1) = f ( x, y ) Kirjutame funktsiooni F ( t ) teist järku Taylori valemi punktis t = 0 (Maclaurini valem). F ( 0) F ( 0) 2 F ( t ) = F ( 0) + t+ t + R2 ( t ) 1! 2! t3 kus R2 ( t ) = F ( ) , ( 0, t ) 3! Võtame selles valemis t = 1 , saame F ( 0) F ( 0) F ( 1) = F ( 0) + + + R2 (1) 1! 2! 1 kus R2 (1) = F ( t ) , t ( 0,1) 3! Leiame F ( t ) tuletised kasutades täistuletise valemit. f dx f dy f F ( t ) = + = ( x - x 0 ) + f ( y - y 0 ) x dt y dt x y Siit f F ( 0 ) = ( x0 , y 0 )( x - x0 ) + f ( x 0 , y 0 )( y - y 0 ) (13.6) x y Diferentseerides veelkord, saame 2 f dx 2 f dy 2 f dx 2 f dy F (t) = ( x - x0 ) + ( x - x0 ) + ( y - y0 ) + 2 ( y - y0 ) = x 2 dt x y dt y x dt y dt 2 f 2 f 2 f = ( x - x0 ) + 2 2 ( x - x 0 )( y - y 0 ) + 2 ( y - y0 ) 2 x 2 xy y 2 f ( x - x0 ) 2 + 2 ( x - x 0 )( y - y 0 ) + 2 2 f f F ( 0 ) = ( y - y0 ) 2 (13.7) x 2 P x y P y 2 P
f 3 f 3 f 3 3 f F ( t ) = ( - ) + ( - ) ( - ) + ( - )( - ) + ( y - y0 ) 3 3 2 2 x x 0 3 x x 0 y y 0 3 x x 0 y y 0 x 3 x y 2 xy 2 y 3
(13.8) Asendades saadud valemid (13.6)-(13.8) valemisse (13.5) saame otsitava teist järku Taylori valemi 1 f f ( x , y ) = f ( x0 , y 0 ) + ( x - x 0 ) + f ( y - y0 ) + 1! x P y P 1 2 f 2 f 2 f + 2 ( x - x0 ) 2 +2 ( x - x 0 )( y - y 0 ) + 2 ( y - y 0 ) 2 + R2 ( x , y ) 2! x P xy P y P kus 3 f f ( x - x 0 ) 2 ( y - y0 ) + 3 f 2 ( x - x 0 )( y - y 0 ) 2 + 3 3 3 f R 2 ( x, y ) = 3 ( x - x 0 ) + 3 2 ( y - y0 ) 3 3
x R x y R x y y 3 R R x ( x0 , x) R( x , y ) y ( y0 , y ) Toome sisse järgmise diferentseerimis operaatori D= ( x - x 0 ) + ( y - y 0 ) (13.10) x y ning z Dz = ( x - x0 ) + z ( y - y0 ) x y Defineerime operaatori D astmed 2 2 2 ( x - x0 )( y - y0 ) + 2 ( y - y 0 ) 2 2 D = D D = ( x - x0 ) + ( y - y 0 ) = 2 ( x - x0 ) 2 + 2 2
x y x xy y 3 D 3 = ( x - x 0 ) + ( y - y 0 ) = x y 3 3 3 3 = 3 ( x - x0 ) + 3 2 ( x - x 0 ) ( y - y 0 ) + 3 ( )( ) ( y - y0 ) 3 3 2 2 x - x 0 y - y 0 + x x y xy 2 y 3
Nüüd saame valemi (13.9) kujul 2 Df f ( x , y ) = f ( x0 , y 0 ) + ( x 0 , y 0 ) + D f ( x0 , y 0 ) + R2 ( x, y ) 1! 2! 3 D f kus R2 ( x, y ) = ( x , y ) (13.11) 3! x ( x0 , x) y ( y0 , y ) Valemit (13.11) saab kirjutada ka kolme või enama muutuja korral.
14. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid . Ekstreemumi tarvilikud tingimused.
Def. 14.1. Funktsiooni z = f ( x, y ) on punktis P ( x1 , y1 ) miinimum kui leidub selline punkti ümbrus ( x, y ) U ( P ) U ( P ) , et f ( x, y ) > f ( x1 , y1 ) , ( x, y ) ( x1 , y1 ) (14.1)
Punktis Q( x 2 , y 2 ) on funktsiooni maksimum kui leidub selline punkti ümbrus U ( Q ) , et ( x, y ) U ( Q) f ( x, y ) Teoreem 14.1. Mitme muutuja funktsioonid saavad ekstreemumid olla vaid nendes punktides, kus selle funktsiooni esimest järku osatuletised on nullid või ei eksisteeri. Vastavaid punkte nimetatakse kriitilisteks või statsionaarseteks punktideks.
Tõestus. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) . Sellel funktsioonil saab olla ekstreemum punktis P vaid siis kui ka ühe muutuja funtksioonidel g ( x ) = f ( x, y 0 ) ja h( y ) = f ( x 0 , y ) on ekstreemumid punktides x0 ja y 0 vastavalt. Kuid g ( x ) saab omada punktis x0 ekstreemumit vaid siis kui g ( x 0 ) on null või ei eksisteeri. Analoogselt h( y 0 ) on null või f f ei eksisteeri. Kuid g ( x ) = ja h ( y ) = . x y Seega need osatuletised punktis P on nullid või ei eksisteeri. M.O.T.T.
15. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumi piisavad tingimused.
Vaatleme funktsiooni z = f ( x, y )
Def. 15.1. Funktsiooni z = f ( x, y ) Hesse determinandiks nimetatakse selle teist järku osatuletistest moodustatud determinanti. 2 f 2 f 2 x 2 xy f f f (15.1) 2 2 2
H ( x, y) = 2 = - f 2 f x 2 y 2 xy xy y 2
Teoreem 15.1. (Ekstreemumi piisavad tingimused) Olgu punkt P( x 0 , y 0 ) funktsiooni z = f ( x, y ) kriitiline punkt, milles z ( x0 , y 0 ) = z ( x 0 , y 0 ) = 0 (15.2) x y Sel juhul: 1) H ( x 0 , y 0 ) > 0 P on ekstreemum 2 z ( x0 , y 0 ) 0 P on miinimum x 2
2) H ( x 0 , y 0 ) Tõestus. Kirjutame funktsiooni z = f ( x, y ) teist järku Taylori valemi punktis P( x0 , y 0 ) 2 Df f ( x , y ) = f ( x0 , y 0 ) + ( x 0 , y 0 ) + D f ( x0 , y 0 ) + R2 ( x, y ) (15.3) 1! 2! D3 f x ( x , x) R2 ( x, y ) = ( x , y ) y ( y0 , y ) 3! 0
Eelduse kohaselt saame f Df ( x 0 , y 0 ) = ( x 0 , y 0 )( x - x0 ) + f ( x0 , y0 )( y - y 0 ) = 0 x y Tähistame 2 f 2 f 2 f ( x , y ) = A , ( x , y ) = B , ( x0 , y0 ) = C xy 0 0 x 2 0 0 y 2 Siis x = x - x0 y = y - y 0 = x 2 + y 2 x = cos y = sin Siis saame D 2 f ( x0 , y0 ) = A 2 cos 2 + 2B 2 sin cos + C 2 sin 2 = ( = 2 A cos 2 + 2 B sin cos + C sin ) Jääkliikme jaoks saame D3 f ( x , y ) = ( ) , kus 2 R2 ( x, y ) = 3! 2 ( ) on LKS kui 0 lim ( ) = 0 0
Saame Taylori valemi (15.3) kujul f = f ( x , y ) - f ( x 0 , y 0 ) = 2 2 ( A cos 2 + 2B sin cos + C sin + ( ) ) A B 1) Olgu H ( x 0 , y 0 ) = = AC - B 2 > 0 B C Sel juhul AC > 0 A ja C on sama märgiga ning A 0 ja C 0 Saame korrutades ja jagades A-ga D 2 f ( x0 , y0 ) = 2 2 ( ( A cos 2 + 2 AB sin cos + B 2 sin 2 + AC - B 2 sin 2 =) ) 2 (15.5) = 2 2 [ ( A cos + B sin ) 2 + H sin 2 ] A A A cos + B sin = 0 tan = - 0 1 = arctan - 0 B B H sin = 0 sin = 0 = 0 2
Järelikult nurksulgudes olevad liikmed ei saa olla üheaegselt nullid. Seega on nurksulgudes olev avaldis alati rangelt positiivne ja D f ( x 0 , y 0 ) märk on sama, mis 2
2 f osatuletisel A = x 2 P Kui A > 0 f > 0 f ( x, y ) - f ( x0 , y 0 ) > 0 f ( x, y ) > f ( x0 , y 0 ) P( x 0 , y 0 ) on miinimum. Kui A Olgu algul A 0 , siis saame teisendada D f ( x0 , y 0 ) jällegi kujule (15.5). 2
A Sel juhul võttes = 1 = - arctan saame, et f märk on vastupidine A märgile. B Kui aga = 0 siis on f märk sama, mis A-l. Sellest järeldub, et P( x 0 , y 0 ) ei saa olla ekstreemum.
H ( x 0 , y 0 ) = AC - B 2 Kui on lähedal nullile, siis sin 0 ja cos 1 ning 2 B cos + C sin märk on sama, mis B-l. Kui > 0 , siis sin > 0 f märk on sama, mis B-l. Kui 3) H ( x 0 , y 0 ) = AC - B = 0 2
A Kui eeldada, et näiteks A 0 , ning = 1 = - arctan , siis D f ( x 0 , y 0 ) = 0 ning f 2
B märk sõltub ( ) märgist. See liige aga sisaldab kolmandat järku osatuletisi. Järelikult tuleb uurida kõrgemat järku osatuletistega liikmeid, et anda vastus ekstreemumi olemasolu kohta. M.O.T.T.
Teoreem 15.2. (Ekstreemumi piisavad tingimused üldisel kujul) Olgu P kriitiline punkt, milles funktsiooni osatuletised on nullid või ei eksisteeri. ? u Vaatleme funktsiooni tuletist vektori s suunas . s u ? Kui tuletise märk punkti P läbimisel vektori s suunas: s ? 1)muutub + - iga s korral P on maksimum ? 2)muutub - + iga s korral P on miinimum ? 3)vähemalt ühe s korral ei muutu või erinevate suundade korral muutub märk erinevalt P ei ole ekstreemum
16. Mitme muutuja funktsiooni tinglikud ekstreemumid. Tingliku ekstreemumi tarvilikud tingimused. Def. 16.1. Funktsiooni z = f ( x, y ) tinglikuks ekstreemumiks nimetatakse ekstreemumit, millel see omandab väärtuste hulgal, millele vastavad argumendid rahuldavad lisatingimust ( x, y ) = 0 (16.1)
n-muutuja funksiooni korral u = f ( x1 ,..., x n ) võib lisatingimusi olla 1-st kuni ( n - 1) -ni. u = f ( x1 ,..., x n ) (16.2) 1 ( x1 ,..., x n ) = 0
2 ( x1 ,..., x n ) = 0 (16.3)
k ( x1 ,..., x n ) = 0 1 k n -1
Leiame kahe muutuja funktsiooni tingliku ekstreemumi tarvilikud tingimused. z = f ( x, y ) ( x, y ) = 0 Lisatingimuse tõttu võime lugeda, et üks muutuja on teise funktsioon. Näiteks y on x-i funktsioon. Diferentseerime z-i täistuletise valemi põhjal dz f f = + y dx x y Diferentseerides lisatingimust saame + y = 0 x y dz Kriitilise punkti leidmiseks võtame =0 dx dz f f = + y = 0 dx x y Lisame siia tuletisest saadud võrduse, mis on korrutatud kordajaga f f + + + y = 0 (16.4) x x y y Olgu 0 , siis saame valida nii, et y f + =0 y y Siis (16.4)-st järeldub, et ka f + =0 x x Kui = 0 , siis peab olema 0 y x (Punktid, kus = = 0 on iseärased punktid ja neid me ei vaatle) x y Siis me võime vaadelda muutujat x kui y funktsiooni ja saada (16.4) asemel f f + x + + =0 x x y y Valides nii, et esimene sulgudes olev avaldis on null, saame, et ka teine on null. Järelikult peavad kriitilistes punktides olema täidetud võrdused f x + x = 0
f + =0 y y ( x, y ) = 0
Selle süsteemi lahendiks on kriitiliste punktide koordinaadid ( xi , y i ) ja igale punktile vastav parameetri väärtus i . Defineerime funktsiooni F ( x, y, ) = f ( x, y ) + ( x, y ) (16.6) Seda funktsiooni nimetatakse Lagrange'i funktsiooniks. Sel juhul F f F f F = + , = + , = ( x, y ) x x x y y y Seega süsteem (16.5) on ekvivalentne süsteemiga F x = 0
F = 0 (16.7) y F =0 Tingliku ekstreemumi kriitilised punktid on seega Lagrange'i funktsiooni tingimusteta ekstreemumi kriitilised punktid. Lagrange'i funktsiooni meetodit saab üldistada ka suvalise arvu muutujate funktsiooni tingliku ekstreemumi uurimisele. Tingliku ekstreemumi ülesande (16.2), (16.3) korral vaatleme ( n + k ) -muutuja funktsiooni F ( x1 ,..., x n , 1 ,..., k ) = f ( x1 ,..., x n ) + 11 ( x1 ,..., x n ) + 2 2 ( x1 ,..., x n ) + ... + k k ( x1 ,..., x n ) (16.8) Tingliku ekstreemumi tarvilikud tingimused on F f 1 k x = x + 1 x + ... + k x = 0 1 1 1 1
F = f + 1 + ... + k = 0 (16.9) x 1 k n x n x n xn 1 ( x1 ,..., x n ) = 0
( x ,..., x ) = 0 k 1 n i ( i ) Süsteemi lahenditeks on punktid Pi x1 ,..., x n koos vastavate parameetrite väärtustega 1,i , 2,i ,..., k ,i .
17. Kahe muutuja funktsiooni tingliku ekstreemumi piisavad tingimused.
Vaatleme funktsiooni z = f ( x, y ) tingliku ekstreemumeid lisatingimusel ( x, y ) = 0 Kriitilises punktis on funktsiooni y esimene tuletis null. dy f f = + y = 0 dx P x y P Kriitilist punkti saab uurida teise tuletise märgi abil d 2y 2 f 2 f 2 f 2 f = + y + y + ( y ) 2 + f y (17.1) dx 2 x 2 xy yx y 2 y Diferentseerides kaks korda lisatingimust ( x, y ) = 0 2 2 2 + 2 y + ( y ) 2 + y = 0 (17.2) x 2 xy y 2 y d2y Kui võrdusele (17.1) lisada (17.2), mis on korrutatud kordajaga saame tuletise dx 2 Lagrange'i funktsiooni tuletise kaudu. d 2 y 2 f 2 2 f 2 2 f 2 f = + + + + + ( y ) + + y 2 2 y dx 2 dx 2 2 x xy xy y 2 y 2 y y Kriitilises punktis kehtivad võrdused f x + x = 0
f + =0 y y ( x, y ) = 0
Seega kriitilises punktis saame võrduse d2y 2F 2F 2F 2 = 2 +2 y + 2 ( y) dx 2 P dx xy dy P Leiame y kriitilises punktis Lisatingimustest saame y = - x y Kriitilistes punktides on f ja osatuletised võrdsed, seega f y P = - x = - x f y P y P
Tingliku ekstreemumi piisavad tingimused. Kui kriitilises punktis P( x 0 , y 0 ) d2y 1) > 0 P( x0 , y0 ) on miinimum dx 2 d2y 2) dy 2 P dx xy dy P f y y kus x P = - =- f x P x P Valemid (17.3) ja (17.4) võib asendada ka valemiga, milles on avaldatud y-i teist järku diferentsiaal. d 2 y 2 2 F 2 2 F 2 F (17.5) 2
d y = 2 = 2 + 2 + 2 P dx 2 y dx y x y x y dy y P P
d y > 0 P on miinimum 2 P d2y