Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad (0)

Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika - informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a I FUNKTSIOONID Tõkestatud hulgad Ülalt ja alt tõkestatud hulgad Olgu X mingi reaalarvude hulk. Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv M , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x M , siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Ülalt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poollõigus (- , M ] . Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv m , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x m , siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Alt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poolllõigus [m, ) . Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud. Tõkestatud hulga X elemendid paiknevad lõigus [m, M ] , kus M on hulga X mingi ülemine ja m mingi alumine tõke. Kui M on hulga X ülemine tõke, siis on selle hulga ülemiseks tõkkeks ammugi iga arv M > M , ja kui m on hulga X alumine tõke, siis on selle hulga alumiseks tõkkeks ka iga arv m rajaks . Definitsioon: Reaalarvude hulga X suurimat alumist tõket nimetatakse hulga X alumiseks rajaks. Kui hulk X on ülalt tõkestamata, siis ütleme, et hulga X ülemine raja on , ja kui hulk X on alt tõkestamata, siis ütleme, et hulga X alumine raja on - . Hulga X ülemist raja märgitakse sümboliga sup X ja alumist raja sü kasutatakse ka lihtsustatud sümboleid sup x ja inf x . Pidevuse aksioom Teoreem : Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja. (fakt) Järeldus: Igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. Kuhjumispunktid, rajapunktid ja sisepunktid Definitsioon: Punkti (koha, arvu) a ümbruseks ehk -ümbruseks nimetatakse iga vahemikku (a - , a + ) , kus > 0 on mingi arv. Mida väiksem on , seda lühem on vahemik (a - , a + ) , s.t. seda väiksem on punkti a ümbrus. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X kuhjumispunkt kui igas tema ümbruses leidub vähemalt üks hulga X punkt, mis pole reaalarv a ise. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X sisepunkt kui leidub tema ümbrus, mis kuulub hulka X . Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X rajapunkt kui igas tema ümbruses leidub nii hulga X punkte kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X . Sisepunkt ei saa olla rajapunkt. Sisepunkt on alati kuhjumispunkt. Rajapunkt võib olla kuhjumispunkt.
1 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsioon, tema graafik Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui x tähendab mis tahes arvu hulgast X , siis öeldakse, et x on muutuv suurus ehk muutuja hulgas X . Iga arvu x X nimetatakse muutuja x väärtuseks. Definitsioon: Kui igale arvule x X on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y , siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon y = f ( x ) ja kirjutatakse : y = f ( x ) , x X . Muutujat x nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja muutujat y tema sõltuvaks muutujaks. Hulka X nimetatakse funktsiooni mää tema väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks. Arvu y Y , mille määrab võrdus y = f ( x ) , x X , nimetatakse funktsiooni väärtuseks punktis (kohal) x . Kui muutujate x ja y märkimine ei ole oluline, siis y = f ( x ) , x X asemel kõneldakse lihtsalt funktsioonist f määramispiirkonnaga X . Funktsiooni märkimiseks kasutatakse ka tähistust y = y (x ) , x X . Millal x , y ja f ( x ) tähendavad muutujaid ja millal nende väärtusi, selgub alati tekstist. Funktsioon on antud, kui on teada tema määramispiirkond X ja vastavust määrav eeskiri f . Mõnikord kui määramispiirkonda X ei anta , mõeldakse selle all argumendi x väärtuste hulka, kus eeskiri f kehtib. Definitsioon: Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktide ( x, y ) xy-tasandil. Võrdus y = f ( x ) , x X on funktsiooni f graafiku võrrand. Funktsioonide esitusviisid 1. Esitus ilmutatud kujul. Esitatakse valemiga y = f ( x ) , mis näitab, millised tehted tuleb teostada argumendiga, et saada funktsiooni väärtus. Sisuliselt kujutab valem funktsiooni graafiku võrrandit. 2. Esitus tabeli abil. Esitatakse tabel, kus on näidatud arguendi väärtused x1, x2, x x1 x2 ... xn ..., xn ja neile vastavad funktsiooni väärtused y1, y2, ..., yn. y y1 y2 ... yn Sellist esitusviisi kasutatakse sageli eksperimentaalsete tulemuste märkimiseks. 3. Geomeetriline esitus graafiku abil. Esitatakse funktsiooni graafik, kust saab määrata argumendi väärtustele vastavad funktsiooni väärtused. Esitusviis on tüüpiline isekirjutavate mõõteseadmete korral. 4. Parameetriline esitus. Muutujate x ja y väärtused määratakse teatavate abimuutuja t funktsioonide x = x(t ) x = x(t ) , y = y (t ) , t T ehk t T (*) y = y (t ) väärtustena. Abimuutujat t nimetatakse parameetriks ja avaldisi (*) vaadeldava funktsiooni parameetrilisteks võrranditeks. Esituse (*) korral öeldakse, et funktsioon on antud parameetriliselt võrranditega (*) ehk funktsioon on antud parameetrilisel kujul (*). Parameetrilisest esitusest ei selgu, kumb muutujatest x ja y on argument ja kumb on funtksioon. Vajaduse korral märgitakse seda eraldi. x = t Funktsiooni y = f ( x ) , x X võib alati esitada parameetrilised kujul, näiteks: t T = X y = f (t ) Vastupidine esitus, s.o. üleminek parameetriliselt kujult ilmutatud kujule ei ole alati teostatav. 5. Esitus ilmutamata kujul, s.o. võrrandi F ( x, y ) = 0 abil. Definitsioon: Kui võrrand F ( x, y ) = 0 määrab iga x X korral arvu y, siis öeldakse, et ta määrab funktsiooni y = f ( x ) , x X ilmutamata kujul. 6. Esitus polaarkoordinaatides valemiga r = r ( ) , T , mis annab funktsiooni graafiku punktid (x, y ) polaarkoordinaatides (r , ) . Üleminek esituselt polaarkoordinaatides x = r ( ) cos parameetrilisele esitusele on teostatav valemitega: T y = r ( )sin ,
2 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsioonide liigid Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X . Definitsioon: Kui iga x X korral on f (- x ) = f ( x ) , siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks piirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paarisfunktsioon on näiteks y = x , y = cos x . Definitsioon: Kui iga x X korral on f (- x ) = - f ( x ) , siis nimetatakse funktsiooni f paarituks funktsiooniks piirkonnas X. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Paaritu funktsioon on näiteks: y = x , y = sin x , y = tan x , y = cot x , y = arcsin x , y = arctan x . Nii paaris- kui paaritu funktsiooni määramispiirkond on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Definitsioon: Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu 0 tema perioodiks , kui f ( x + ) = f ( x ) iga x X korral. See definitsioon eeldab, et koos punktiga x kuulub piirkonda X ka punkt x + . Kui x + k X iga k Z korral, siis koos arvuga on funktsioon f perioodiks ka arvud k 0 . Kui funktsioon f on perioodiliste funktsioonide summa, siis tema perioodideks on liidetavate funktsioonide perioodide ühiskordsed. Trigonomeetrilised funktsioonid on y = f (x ) vähim positiivne perioodilised ja neil on järgmised perioodid: y = sin x , y = cos x 2k 2 ( k Z , k 0 ). y = tan x , y = cot x k Funktsiooni f perioodi leidmiseks tuleb tingimusest määrata arv , vaadeldes tingimust kui võrrandit suhtes. Funktsioon f on perioodiline parajasti siis, kui sel võrrandil on olemas konstantne lahend 0 , s.o. muutujast x sõltumatu lahend 0 , kusjuures on sel juhul funktsiooni periood. Liitfunktsioon Definitsioon: Kui y = f (u ) , kus u = g ( x ) , siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon, ja kirjutatakse: y = f [g ( x )] . Muutujat u nimetatakse vahepealseks muutujaks. Funktsioone f ja g nimetatakse liitfunktsiooni koostisosadeks. Liitfunktsiooni nimetatakse ka funktsioonide f ja g kompositsiooniks ehk superpositsiooniks. Kui liitfunktsiooni määramispiirkond pole antud, siis selle all mõeldakse argumendi x väärtuste niisugust hulka, mille korral liitfunktsiooni väärtused y eksisteerivad. Kui liitfunktsioon on antud kujul y = f [g ( x )] , siis võime, võttes kasutusele vahepealse muutuja u, esitada ta nn. ahela kujul: y = f (u ) , u = g ( x ) . Algebralised tehted funktsioonidega 1. Funktsiooni y = - f ( x ) graafik on peegelpildiks y = f ( x ) graafikule x-telje suhtes. 2. Funktsiooni y = f (- x ) graafik on peegelpildiks y = f ( x ) graafikule y-telje suhtes. 3. Funktsiooni y = f ( x - a ) graafik on y = f ( x ) graafiku paralleellükke x-telje sihis kaugusele a. 4. Funktsiooni y = f ( x ) + b graafik on y = f ( x ) graafiku paralleellükke y-telje sihis kaugusele b. 5. Funktsiooni y = Af ( x ) graafik on y = f ( x ) graafik, mille mõõtkava on y-telje sihis muudetud A korda.
3 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud 1. Eksponentfunktsioon ja logaritmfunktsioon Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond Eksponentfunktsioon y = a x = exp a x a > 0, a 1 X = (- , ) Y = (0, )
Logaritmfunktsioon y = log a x a > 0, a 1 X = (0, ) Y = (- , )
y = ax a >1 y = ax a 1 y = log a x a 0 X = (- , ) b) a nimetaja Y = (- , ) a lugeja on paaritu arv on paaritu arv c) Y = (0, ) a lugeja on paarisarv a0 X = Y = [0, ) on paarisarv või f) a on irratsionaalarv a 0 korral leidub selline arv N = N ( ) , et kehtib võrratus x n - a N , ja kirjutatakse lim x n = a n
ehk lim x n = a või x n a . Definitsioon: Öeldakse, et jada ( x n ) koondub arvuks a , kui tal on olemas lõplik piirväärtus lim x n = a . Kui aga jadal ( x n ) lõplikku piirväärtust ei ole, siis öeldakse, et jada ( x n ) hajub.
2. Jada lõpmatu piirväärtus Definitsioon: Öeldakse, et jada ( x n ) piirväärtus on + (- ) , kui iga arvu M > 0 korral leidub arv N , et kehtib võrratus x n > M ( x n N , ja kirjutatakse ( lim x n = lim x n = - x x ) ehk xn (xn - ) . Funktsiooni piirväärtus
1. Funktsiooni (lõplik) piirväärtus kuhjumispunktis Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X . Olgu punkt a piirkonna X kuhjumispunkt, s.o. punkt, mille igas ümbruses leidub vähemalt üks temast erinev hulga X punkt. Definitsioon: Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a , kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0 , et kehtib võrratus f (x ) - A ehk f ( x ) A , kui x a või lim f ( x ) = A , kui x a .
7 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a
2. Funktsiooni lõpmatu piirväärtus kuhjumispunktis Definitsioon: Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus punktis a , kui iga arvu N > 0 korral leidub selline arv > 0 , et kehtib võrratus f ( x ) > N (ehk f ( x ) (- ) , kui x a . Ühepoolsed piirväärtused
3. Funktsiooni (lõplik) ühepoolne piirväärtus kuhjumispunktis Punkti a vasakpoolseks -ümbruseks nimetatakse vahemikku (a - , a ) ja parempoolseks - ümbruseks vahemikku (a, a + ) , kus > 0 on mingi arv. Kui x a ja x a , siis öeldakse, et muutuja x läheneb paremalt puntkile a , ja kirjutatakse: x a + . x a - märgib, et x läheneb vasakult punktile a , sisenedes tema igasse vasakpoolsesse ümbrusse, ja x a + märgib, et x läheneb paremalt punktile a , sisenedes tema igasse parempoolsesse ümbrusse. Definitsioon: Arvu A nimetatakse funktsiooni f vasakpoolseks piirväärtuseks punktis a , kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0 , et kehtib võrratus f ( x ) - A Definitsioon: Arvu A nimetatakse funktsiooni f parempoolseks piirväärtuseks punktis a , kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0 , et kehtib võrratus f (x ) - A 4. Funktsiooni (lõplik) (ühepoolne) piirväärtus lõpmatuspunktis Ühepoolseteks piirvärtusteks loetakse ka piirväärtused nn. lõpmata kaugetes punktides ja - , s.o. piirprotsessid x ja x - . Punkti ümbruseks nimetatakse iga vahemikku ( N , ) ja punkti - ümbruseks iga vahemikku (- ,- N ) , kus N > 0 on mis tahes arv. Need on nende punktide ühepoolsed ümbrused. Tähistus x tähendab lähenemist punktile vasakult nii, et x saab suuremaks igast arvust N , s.t. siseneb punkti igasse ümbrusse. Analoogiliselt tähendab x - lähenemist punktile - paremalt nii, et x saab väiksemaks igast arvust - N , s.t. siseneb punkti - igasse ümbrusse. Samal viisil defineeritakse ka piirprotsess x , mis tähendab, et x , või x - või mõlemad korraga. Definitsioon: Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks piirprotsessis x ( x - ) , kui iga arvu > 0 korral leidub arv N > 0 , et f (x ) - A N ( x ( lim f (x) = A). ja kirjutatakse lim f ( x ) = A x x -
8 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a 5. Funktsiooni lõpmatu (ühepoolne) piirväärtus lõpmatuspunktis Definitsioon: Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus piirprotsessis x ( x - ) , kui iga arvu M > 0 korral leidub arv N > 0 , et f (x ) > M , alati kui x > N ; f (x ) > M , alati kui x N või f ( x ) ehk vastavalt f ( x ) , kui x ; f ( x ) , kui x - ; f ( x ) - , kui x ; f ( x ) - , kui x - . Piirväärtust lim f ( x ) = A nimetatakse ka kahepoolseks piirväärtuseks, sest siin muutuja x lähenemine xa
punktile a võib toimuda mõlemalt poolt. Teoreem: lim f ( x ) = A f (a - ) = f (a + ) = A . xa
sin x Tõestada lähtudes piirväärtuse definitsioonidest, et lim = 1. x 0 x Definitsiooni põhjal: S OAB 0 korral leidub arv 1 BB x sin x 1 - cos x = 2 sin 2 sin x S OAB = = ( ) > 0 nii, et -1 murd on korrektselt moodustatud ) x 0 2 v( x + x ) u = u (x + x ) - u ( x ) u ( x + x ) = u + u ( x ) v = v(x + x ) - v( x ) v( x + x ) = v + v( x )
h = [u + u (x )]v(x ) - u (x )[v + v(x )] = uv(x ) + u (x )v(x ) - u (x )v - u (x )v(x ) [v + v(x )]v(x ) vv( x ) + v 2 ( x ) uv( x ) - u ( x )v uv( x ) u ( x )v h( x ) = lim = lim - lim = x 0 [vv( x ) + v ( x )]x 2 x 0 [vv( x ) + v ( x )]x 2 x 0 [vv( x ) + v 2 ( x )]x
u v lim v( x ) - lim u (x ) x 0 x x 0 x u ( x ) v(x ) - v ( x ) u ( x ) u ( x ) v( x ) - v ( x ) u ( x ) = = = x 0 ( lim vv( x ) + v (x ) 2 ) 0 v(x ) + v 2 (x ) v 2 (x )
17 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a
Pöördfunktsiooni diferentseerimine Teoreem: Olgu funktsioonil f piirkonnas X pidev pöördfunktsioon g ja olgu f diferentseeruv kohal x, kusjuures f ( x ) 0 . Siis on funktsioon g diferentseeruv kohal y = f ( x ) ja kehtib seos 1 g ( x ) = . f ( y ) f ( x + x ) - f ( x ) f (x + x ) - f ( x ) f ( x ) = lim 0 >0 y = f ( x + x ) - f ( x ) 0 x 0 x x y = f ( x + x ) - y f ( x + x ) = y + y g [ f (x + x )] = g ( y + y ) x + x = g ( y + y ) g = g ( y + y ) - g ( y ) g = g ( y + y ) - x g = x + x - x g = x
g 1 1 1 1 g ( y ) = lim = lim = = = y 0 y x 0 y y y f ( x ) lim lim g x 0 g x 0 x Kui x 0 , siis f pidevuse tõttu ka y 0 . Kui y 0 , siis g pidevuse tõttu ka x 0 . Seega on protsessid x 0 ja y 0 samaväärsed.
Liitfunktsiooni diferentseerimine Teoreem: Kui liitfunktsioon esitub ahela kujul: y = f (u ), u = (x ) ning on olemas lõplikud tuletised y u punktis u ja u x punktis x , siis on olemas tuletis y x , mis avaldub kujul y x = y u u x . Tõestus: Tõestame teoreemi kitsendusel, et u 0 . y f (u + u ) - f (u ) u ( x + x ) - ( x ) y u = lim = lim u x = lim = lim u 0 x u 0 u x 0 x x 0 x f [ ( x + x )] - f [ ( x )] f (u + u ) - f (u ) f (u + u ) - f (u ) u y x = lim = lim = lim lim = f uu x x 0 x x 0 x u 0 u x 0 x
u on diferentseeruv kohal x ning seega pidev kohal x , mistõttu on x 0 ja u 0 samaväärsed protsessid.
18 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Kõrgemat järku tuletised Olgu funktsioon y = f ( x ) , x X diferentseeruv punktis x . Seega on tal olemas selles punktis x lõplik tuletis y = f ( x ) . Definitsioon: Funktsiooni teist järku ehk teiseks tuletiseks punktis x nimetatakse tuletist tema tuletisest punktis x ja märgitakse sümboliga d 2 y d 2 f (x ) y = f ( x ) = = = y = f = & y& = f ( x) dx 2 dx 2 xx xx
Lagrange ' i Leibnizi Tähistus Newtoni tähistus tähistus liitfunktsiooni tähistus jne. korral Seega võime kirjutada Lagrange'i järgi y = ( y ) ja Leibnizi järgi d 2 y d dy = . dx 2 dx dx Analoogiliselt defineeritakse ka kõrgemat järku kui teist järku tuletised. Üldiselt, funktsiooni n-järku ehk n-ndaks tuletiseks nimetatakse tuletist funktsiooni (n-1)-järku tuletisest ja märgitakse sümboliga d n y d n f (x ) y (n ) = f (n ) ( x ) = = dx 2 dx n Lagrange' i Leibnizi . tähistus tähistus Seega võime kirjutada Lagrange'i järgi y = ( y ) y IV = y (4 ) = ( y ) .... ( y (n ) = y (n - ) ) ja Leibnizi järgi d n y d d n -1 y = dx n dx dx n -1 Kui funktsioonil on olemas lõplik n-järku tuletis mingis punktis (piirkonnas), siis öeldakse, et ta on n korda diferentseeruv selles punktis (piirkonnas).
19 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsiooni diferentsiaal ja selle geomeetriline tõlgendus Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X . Olgu x argumendi muut punktis x X . Siis selles punktis funktsiooni muut on y = f ( x + x ) - f ( x ) . Definitsioon: Kui puntkis x funktsiooni f muut y avaldub kujul y = f ( x )x + a , kus a = o(x ) , kui x 0 , siis öeldakse, et funktsioon f on diferentseeruv punktis x. Kui funktsioon f on diferentseeruv piirkonna X igas punktis, siis öeldakse, et funktsioon f on diferentseeruv piirkonnas X. Suurust dy = f ( x )x nimetatakse funktsiooni f diferentsiaaliks punktis x. Valemis dy = f ( x )x tähistatakse x = dx , sest juhul y = x , dx = dy = x x x = x . Seega dy = f (x )dx Suurust dx = x nimetatakse argumendi x diferentsiaaliks. y Geomeetriliselt funktsiooni diferentsiaal tähendab punktis x B võetud puutuja muutu, s.o. lõigu AB pikkust. y dy>0 Valemist dy = f (x )dx järeldub, et f ( x ) = A P dy A , 0>dy dx y B s.t., et igas punktis on funktsiooni tuletis võrdne funktsiooni ja tema argumendi diferentsiaalide suhtega. See annab sisulise tähenduse Leibnizi tähistusele ja võimaldab seda 0 x-x x x+x x vaadata kui harilikku murdu.
Teoreem: Funktsioon f on diferentseeruv punktis x siis ja ainult siis, kui tal on olemas lõplik tuletis f ( x ) selles punktis x. Lause ,,funktsioon on diferentseeruv lõigus [a, b] " tähendab, et ta on diferentseeruv vahemikus (a, b ) ja et punktis a on tal lõplik parempoolne tuletis ja punktis b lõplik vaskapoolne tuletis. Teoreem: Mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis. Teoreem: Lõigus diferentseeruv funktsioon on pidev selles lõigus. Kõrgemat järku diferentsiaalid Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X ning olgu tal olemas lõplik tuletis punktis x. Seega on tal olemas punktis x diferentsiaal dy = f (x )dx . Fikseerime argumendi muudu dx = x , siis diferentsiaal dy = f ( x )dx on argumendi x funktsioon ja me võime leida tema diferentsiaali. Definitsioon: Funktsiooni y = f ( x ) , x X teist järku ehk teiseks diferentsiaaliks d 2 y punktis x nimetatakse diferentsiaali tema esimesest diferentsiaalist punktis x, s.o. d 2 y = d (dy ) . Üldiselt funktsiooni y = f ( x ) , x X n-järku ehk n-ndaks diferentsiaaliks d n y punktis x nimetatakse diferentsiaali tema (n-1)-järku diferentsiaalist, s.o. d n y = d (d n -1 y ) . Kui funktsioonil y = f ( x ) , x X on olemas lõplik n-järku tuletis f (n ) ( x ) , siis on tal punktis x olemas n-järku difernetsiaal d n y , mis avaldub kujul d n y = f (n ) ( x )dx n , kus dx n on diferentsiaali dx n-is aste. dny Seega d 2 y = f ( x )dx 2 , d 3 y = f ( x )dx 3 ning f (n ) ( x ) = , mis annab sisulise tähendus n-järku tuleitse dx n Leibnizi tähistusele ja võimaldab seda sümbolit vaadelda kui harilkku murdu. Null-järku diferentsiaali all mõeldakse funktsiooni ennast, s.o. d 0 y = f ( x ) .
20 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a
Fuktsioonide omadused Pidevate funktsioonide omadused Teoreem: Pidev funktsioon teisendab lõigu lõiguks. (faktina) = [m, M ] Järeldus: Lõigus pidev funktsioon on tõkestatud selles lõigus. S.t. sup f ( x ) -, x [a, b ] , sest lõigus tõkestatud funktsioonil on olemas mõlemad rajad . Järeldus: Lõigus pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused selles lõigus. S.t. x1 [a, b] : f ( x1 ) = sup f (x ) = max f ( x ) x [a, b] ja x 2 [a, b] : f ( x 2 ) = inf f (x ) = min f ( x ) x [a, b] Järeldus: Lõigus pidev funktsioon omab igat väärtust, mis paikneb ekstremaalsete vää = [m, M ] , kus M = sup f ( x ) = max f ( x ) ja m = inf f ( x ) = min f ( x ) , kus x [a, b] Fermat ' teoreem Definitsioon: Funktsiooni f määramispiirkonna punkti, kus funktsiooni tuletis on null, nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks. Teoreem: Kui funktsioonil f on ekstremaalne väärtus määramispiirkonna X sisepunktis , kus funktsioon on diferentseeruv, siis on statsionaarne punkt, s.t. f ( ) = 0 . Tõestus: Tõestame teoreemi juhul, kui on miinimumpunkt, s.t. f ( ) = min f ( x ) x X U ( ) X f ( + x ) - f ( ) > 0 x 0 : f ( + x ) X f ( + x ) - f ( ) f ( + x ) - f ( ) f ( + ) = lim 0 f ( - ) = lim 0 x 0 + x x 0 - x Kuna fuktsioon on diferentseeruv punktis , siis järelikult f ( ) = 0 . Rolle'i teoreem Teoreem: Kui lõigus [a, b] pideva ja vahemikus (a, b ) diferentseeruva funktsiooni f korral f (a ) = f (b ) , siis on funktsioonil f vahemikus (a, b ) vähemalt üks statsionaarne punkt. Tõestus: Kui f on konstantne funktsioon, on teoreem ilmne, sest f ( x ) = c x [a, b] f ( x ) = 0 x (a, b ) . Tõestame teoreemi mittekonstantse funktsiooni f korral, s.t. x 0 (a, b ) : f ( x0 ) f (a ) = f (b ) . a) kui f ( x0 ) > f (a ) Kuna lõigus pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused selles lõigus, siis [a, b] : f ( ) = max f ( x ) x [a, b ] f ( ) f ( x0 ) f ( x 0 ) > f (a ) f ( ) > f (a ) = f (b ) (a, b ) on sisepunkt Fermat' teoreemi põhjal on statsionaarne punkt. b) kui f ( x0 ) 21 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Cauchy keskväärtusteoreem Teoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigus [a, b] ja diferentseeruvad vahemikus (a, b ) , kusjuures funktsioonil g ei ole statsionaarseid punkte vahemikus (a, b ) , siis leidub vähemalt üks punkt (a, b ) nii, et kehtib võrdus f (b ) - f (a ) f ( ) = . g (b ) - g (a ) g ( ) Tõestus: Kuna funktsioonil g ei ole statsionaarseid punkte vahemikus (a, b ) , siis Rolle'i teoreemi põhjal g (a ) g (b ) g (b ) - g (a ) 0 . f (b ) - f (a ) f (b ) - f (a ) Defineerime: F ( x ) = f ( x ) - f (a ) - [g (x ) - g (a )] F ( x ) = f ( x ) - g ( x ) g (b ) - g (a ) g (b ) - g (a ) f (b ) - f (a ) f (b ) - f (a ) F (a ) = f (a ) - f (a ) - [g (a ) - g (a )] = 0 F (b ) = f (b ) - f (a ) - [g (b ) - g (a )] = 0 g (b ) - g (a ) g (b ) - g (a ) Kuna F on pidev lõigus [a, b] , diferentseeruv vahemikus (a, b ) ning F (a ) = F (b ) , siis Rolle'i teoreemi põhjal leidub funktsioonil F vähemalt üks statsionaarne punkt vahemikus (a, b ) , s.t. f (b ) - f (a ) f (b ) - f (a ) f ( ) F ( ) = f ( ) - g ( ) = 0 = g (b ) - g (a ) g (b ) - g (a ) g ( ) Lagrange'i keskväärtusteoreem Teoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b] ja diferentseeruvad vahemikus (a, b ) , siis leidub punkt (a, b ) nii, et kehtib võrdus f (b ) - f (a ) = f ( ) (b - a ) . Tõestus: Rakendame Cauchy keskväärtusteoreemi juhtumi g ( x ) = x korral. Funktsioon g on lineaarfunktsioon ning seega pidev lõigus [a, b] ning diferentseeruv vahemikus (a, b ) . Funktsioonil g ei ole statsionaarseid punkte vahemikus (a, b ) , sest g ( x ) = 1 0 . Seega f (b ) - f (a ) f ( ) = f (b ) - f (a ) = f ( ) (b - a ) b-a 1 L'Hospitali reegel Teoreem: Kui mingis protsessis lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 või lim f ( x ) = lim g ( x ) = ja eksisteerib f ( x ) f (x ) piirväärtus lim = l , siis selles protsessis lim =l. g ( x ) g (x ) Tõestus: Tõestame juhtumi 0 0 piirprotsessis x a + . f ( x ) Eeldame, et lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 ning eksisteerib piirväärtus lim =l. xa + xa + g ( x ) xa +
Kuna eksisteerib piirväärtus l, siis leidub x nii, et funktsioonid f ja g on pidevad lõigus [a, x ] ja diferentseeruvad vahemikus (a, x ) . Pidevuse tõttu f (a ) = g (a ) = 0 . f ( x ) - f (a ) f ( ) Cauchy keskväärtusteoreemi põhjal = , kus a + (a, x ) x a + g ( x ) - g (a ) g ( ) f (x ) f ( ) f ( x ) Kuna f (a ) = g (a ) = 0 , siis lim = lim . Kuna eksisteerib piirväärtus lim =l, xa + g (x ) (xaa++ ) g ( ) x a + g ( x )
f ( ) f ( x ) f (x ) f ( x ) siis lim = lim = l , seega lim = lim =l x a + g ( ) x a + g ( x ) xa + g ( x ) x a + g ( x ) ( a + )
22 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Taylori valem Kui funktsioon f on n-korda diferentseeruv punktis a, siis punktis x = a + x kehtib Taylori valem 1 1 f ( x ) = f (a ) + f (a )x + f (a )x 2 + ... + f (n ) (a )x n + a n (x ) , 2 n! kus suurust ( ) a n (x ) = o x n , kui x 0 , nimetatakse Taylori valemi jääkliikmeks Peano kujul ja ülejäänud osa Taylori polünoomiks. Kui a = 0 , siis x = x ja Taylori valemist saame valemi 1 1 f ( x ) = f (0 ) + f (0)x + f (0)x 2 + ... + f (n ) (0 )x n + a n ( x ) , 2 n! mida nimetatakse ka Maclaurini valemiks . Tõestus: ( x ) f ( x + x) - f ( x) = f ( x)x + 1 (x) , lim 1 = 0 ( 1 om kõrgemat järku lõpmata väike x suhtes) x 0 x (x) f ( x + x) - f ( x) - f ( x)x f ( x + x) - 0 - f ( x) lim 1 2 = lim = lim = x 0 ( x ) x 0 (x) 2 0 x 0 2x 0
1 f ( x + x) - f ( x) 1 = lim = f ( x) , s.t. 2 x 0 x 2 1 1 (x ) - f ( x)(x) 2 2 1 lim =0 Tähistame: 1 (x) - f ( x)(x) 2 := 2 (x) x 0 (x) 2 2 1 f ( x + x) - f ( x) = f ( x)x + 1 (x) = f ( x)x + f ( x)(x) 2 + 2 (x) = 2 2 (x) kus lim = 0 ( 2 on teist järku lõpmata väike x suhtes) x 0 (x) 2 1 1 = f ( x)x + f ( x)(x) 2 + f ( x)(x) 3 + 3 (x ) = 2 3! (x) kus lim 3 3 = 0 ( 3 on kolmandat järku lõpmata väike x suhtes) x 0 ( x )
1 1 1 = f ( x)x + f ( x)(x) 2 + f ( x)(x) 3 + ... + f ( n ) ( x)(x) n + n (x) 2 3! n! (x) kus lim n n = 0 ( n on n-järku lõpmata väike x suhtes) x 0 ( x )
n (x) nimetatakse jääkliimkeks, ülejäänud osa Taylori polünoomiks. Võime kirjutada ka Leibnizi kujul: 1 1 f ( x + x) - f ( x) = df ( x) + d 2 f ( x) + ... + d n f ( x) + n (x) 2! n! (x) kus lim n n = 0 ( n on n-järku lõpmata väike x suhtes) x 0 ( x )
23 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsiooni uurimine Monotoonsuspiirkonnad Definitsioon: Funktsiooni f määramispiirkonna punkti, kus funktsiooni tuletis on null või teda ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni kriitiliseks punktiks. Statsionaarne punkt on alati kriitiline punkt. Öeldakse, et funktsioon f on piirkonnas X monotoonselt kasvav, kui x1 , x 2 x1 rangelt kasvav, kui x1 , x 2 x1 f ( x 2 ) . Öeldakse, et funktsioon f on piirkonnas X rangelt kahanev, kui x1 , x 2 x1 0 x 0 . Lagrange'i keskväärtusteoreemi põhjal f ( x 2 ) - f ( x1 ) = f ( ) (x 2 - x1 ) X f ( x ) 0 x X X f ( ) 0 Järelikult f ( x 2 ) - f ( x1 ) 0 f ( x1 ) f ( x 2 ) Lokaalsed ekstreemumid Definitsioon: Öeldakse, et funktsioonil f on kohal a lokaalne maksimum, kui U (a ) nii, et f (a ) = max f ( x ) x U (a ) . f (a ) = max f ( x ) x U (a ) f (a ) f ( x ) x (a - , a + ) Definitsioon: Öeldakse, et funktsioonil f on kohal a lokaalne miinimum, kui U (a ) nii, et f (a ) = min f ( x ) x U (a ) . f (a ) = min f ( x ) x U (a ) f (a ) f ( x ) x (a - , a + )
24 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Teoreem: Kui funktsioon f on pidev kriitilises punktis a, kusjuures ümbruses (a - , a ) on f ( x ) > 0 ( f ( x ) 0 ), siis on funktsioonil f kohal a lokaalne maksimum (vastavalt lokaalne miinimum). Kui tuletis säilitab hulgas (a - , a ) (a, a + ) märgi, siis punktis a lokaalne ekstreemum puudub. Tõestus: Tõestame maksimumi osa. Olgu funktsioon f kasvav, kui x (a - , a ) ja kahanev kui x (a, a + ) . Olgu x, y sellised, et x lim f ( x ) = f (x ) lim f ( y ) = f (a ) f ( x ) f (a ) x (a - , a ) y a - y a -
Olgu x, y sellised, et a f ( x ) . Kuna f on pidev kohal a, siis lim f ( y ) lim f ( x ) . y a - y a -
lim f ( y ) = f (a ) lim f ( x ) = f (x ) f (a ) f ( x ) x (a, a + ) y a - y a -
Kuna f ( x ) f (a ) x (a - , a ) (a, a + ) , siis f (a ) = max f ( x ) x (a - , a ) (a, a + ) Teoreem: Olgu n korda diferentseeruval funktsioonil järgmine omadus f (a ) = f (a ) = ... = f (n -1) (a ) = 0 ja f (n ) (a ) 0 . Kui n on paaritu (s.t. n = 2 p + 1 ), siis pole funktsioonil f kohal a lokaalset ekstreemumit. Kui n on paarisarv (s.t. n = 2 p ), siis juhul kui f (n ) (a ) 0 on funktsioonil f kohal a lokaalne miinimum. Tõestus: Tõestus baseerub Taylori valemil. Taylori valem funktsiooni f esimese tuletise jaoks: x 2 x n - 2 x n -1 f (a + x ) = f (a ) + f (a )x + f (a ) + ... + f (n -1) (a ) + f (n ) (a ) + (x ) 2 (n - 2)! (n - 1)! n-1 f (a + x ) = f (n ) (a ) x n -1 + (x ) (n - 1)! n-1 [ U (x ) : sgn[ f (a + x )] = sgn f (n ) (a )x n -1 ,] n -1 (x ) on (n-1)-järku lõpmatu väike suurus, mis ei mõjuta märki [ ] [ Kui n = 2 p + 1 , siis sgn[ f (a + x )] = sgn f (n ) (a )x 2 p +1-1 = sgn f (n ) (a ) .] Seega x ei mõjuta märki ning funktsioonil f pole kohal a lokaalset ekstreemumit. [ ] [ ] Kui n = 2 p , siis sgn[ f (a + x )] = sgn f (n ) (a )x 2 p -1 = sgn f (n ) (a )x = sgn f (n ) (a ) sgn x , Seega funktsiooni f märk oleneb x -st. Kui f (n ) (a ) 0 , seega on funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum. Kui f (n ) (a ) > 0 , siis funktsiooni f esimese tuletise f ( x ) märk on negatiivne (funktsioon f on kahanev), kui x 0 , seega on funktsioonil f punktis a lokaalne miinimum.
25 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Joone kumerus Definitsioon: Öeldakse, et funktsioon f on piirkonnas X kumer (ehk kumer üles) kui selle piirkonna igas punktis kulgeb puutuja ülalpool tema graafikut . Öeldakse, et funktsioon f on piirkonnas X nõgus (ehk kumer alla) kui selle piirkonna igas punktis kulgeb puutuja allpool tema graafikut. Teoreem: Olgu funktsioon f diferentseeruv piirkonnas X. Joon y = f ( x ) on kumer (nõgus) piirkonnas X parajasti siis, kui funktsiooni f tuletis on monotoonselt kahanev (vastavalt kasvav) selles piirkonnas. Tõestus: Tõestame teoreemi kumeruse korral. Î Olgu funktsioon f kumer piirkonnas X. Näitame, et f (x ) on monotoonselt kahanev. y RQ = f ( x ) - f (a ) - funktsiooni muut ehk y S RS = f (a ) ( x - a ) - puutuja ordinaadi muut (diferentsiaal) Q
R RQ RS f ( x ) - f (a ) f (a ) ( x - a ) + f (a ) - f ( x ) f ( x ) (a - x ) 0 f (a ) ( x - a ) - f ( x ) ( x - a )
0 a x x 0 f (a ) - f ( x ) f ( x ) f (a ) Järelikult f on monotoonselt kahanev, sest x > a . Í Olgu f ( x ) monotoonselt kahanev. Näitame, et joone puutuja on ülalpool graafikut. Olgu x > a , s.t. x - a > 0 . Lagrange'i keskväärtusteoreemi põhjal f ( x ) - f (a ) = f ( ) ( x - a ) , kus a kumeraks . Definitsioon: Nõgusat joont, millel ei ole ühtegi sirgjoonelist tükki, nimetatakse rangelt nõgusaks. Definitsioon: Joone y = f ( x ) punkti (a, f (a )) , kus on olemas puutuja, nimetatakse käänupunktiks, kui leiduvad niisugused ühepoolsed ümbrused (a - , a ) ja (a, a + ) , et ühes neist on joon rangelt kumer ja teises rangelt nõgus. Järeldus: Tuletisel on käänupunktis lokaalne ekstreemum (lõplik või lõpmatu).
26 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a IV INTEGRAAL Määramata integraal Algfunktsioon ja määramata integraali mõiste Definitsioon: Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks piirkonnas X, kui selles piirkonnas F ( x ) = f ( x ) . Sama tingimuse võib esitada ka kujul F ( x ) = f ( x ) ehk dF ( x ) = f ( x )dx . d dx Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F, siis on tal lõpmata palju algfunktsioone G, mis kõik avalduvad kujul G ( x ) = F ( x ) + C , kus C = const . Definitsioon: Funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka piirkonnas X nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks piirkonnas X ja tähistatakse sümboliga
f (x )dx . Seega võime kirjutada:
f (x )dx = F (x ) + C , kui F ( x ) = f (x ) . Valemis nimetatakse: ­ integraalimärk; f ( x )dx ­ integraalialune avaldis ; f (x ) ­ integraalialune (integreeritav) funktsioon, integrand; x ­ integreerimismuutuja; C ­ integreerimiskonstant. Funktsiooni f määramata integraali leidmist nimetatakse funktsiooni f integreerimiseks. Määramata integraali leidmine ja tuletise leidmine on pöördtehted, s.t.
( f ( x )dx ) = f ( x ) , F ( x )dx = F ( x ) + C . Määramata integraali diferentsiaal ja diferentsiaali määramata integraal avalduvad järgmiselt: d f ( x )dx = f ( x )dx , dF (x ) = F (x ) + C .
27 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsiooni u + v määramata integraal Teoreem: Kui leiduvad u ( x )dx ja v( x )dx , siis suvaliste , R korral on olemas ka
[u(x ) + v(x )]dx ja kehtib seos
[u(x ) + v(x )]dx = u(x )dx + v(x )dx . Tõestus: u ( x )dx = U ( x ) + C U ( x ) = u (x ) v( x )dx = V ( x ) + C V ( x ) = v( x )
u (x ) + v(x ) = U (x ) + V (x ) = [U (x ) + V (x )] [u (x ) + v(x )]dx = [U (x ) + V (x )] dx = U (x ) + V (x ) + C = [U (x ) + C ] + [V (x ) + C ] = u v
= u ( x )dx + v( x )dx
Järeldused: [u ( x ) ± v( x )]dx = u ( x )dx ± v(x )dx , u (x )dx = u ( x )dx
Muutujate vahetus määramata integraalis Teoreem: Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F piirkonnas X ja x = (t ) on diferentseeruv piirkonnas T, kusjuures (t ) X t T , siis kehtib võrdus
f (x )dx = f [ (t )] (t )dt . Tõestus: Liitfunktsiooni diferentseerimise reegli põhjal (F ) = F ( ) f [ (t )] (t )dt = F [ (t )] (t )dt = F [ ] dt = (F ) (t )dt = (F )(t ) + C = F [ (t )] + C = F (x ) + C = = F ( x )dx = f ( x )dx f ( x )dx = f [ (t )] (t )dt
Diferentsiaali märgi alla viimine : f [ (t )] (t )dt = f [ (t )]d (t ) . Ositi integreerimine Teoreem: Kui piirkonnass X funktsioonid u = u ( x ) ja v = v( x ) on diferentseeruvad ning on olemas integraal vdu , siis selles piirkonnas X on olemas ka integraal udv ja kehtib seos
udv = uv - vdu . Tõestus: Korrutise diferentseerimisreegli põhjal [u ( x )v( x )] = u ( x )v ( x ) + v( x )u ( x ) [u(x )v(x )] dx = [u (x )v(x ) + v(x )u (x )]dx = u (x )v(x )dx + v(x )u (x )dx = u(x )dv(x ) + v(x )du (x ) uv = udv + vdu udv = uv - vdu
28 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Riemanni integraali mõiste Olgu funktsioon f antud lõigus [a, b] , kus a kus xi = xi - xi -1 . Seda summat nimetatakse funktsiooni f Riemanni integraalsummaks lõigus [a, b] . Olgu osalõikude ei suurim pikkus, s.o. = max xi 1 i n . Definitsioon: Arvu nimetatakse integraalsumma n = f ( i )xi i =1 piirväärtuseks protsessis 0 , kui iga arvu > 0 korral leidub arv > 0 nii, et kehtib võrratus I - Definitsioon: Kui on olemas integraalsumma piirväärtus protsessis 0 , siis funktsiooni f nimetatakse (Riemanni mõttes) integreeruvaks lõigus [a, b] ja arvu nimetatakse funktsiooni f Riemanni integraaliks (ehk määratud integraaliks) lõigus [a, b] ja kirjutatakse b I = f ( x )dx . a
Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a, b] nimetatakse integreerimislõiguks. Kõigi Riemanni mõttes integreeruvate funktsioonide hulka märgime L[a, b].
29 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a
Integreeruva funktsiooni tõkestatus Teoreem: Lõigus integreeruv funktsioon on tõkestatud selles lõigus. Tõestus: Oletame, et funktsioon pole lõigus [a, b] tõkestatud. Näitame, et funktsioon pole integreeruv. a M
n n n n = f ( k )x k = f ( i )xi + f ( k )x k f ( i )xi - f ( k )x k f ( )xk k =m k =1 k =1 k =1 k =1 k i k i k i
M +m M +m Valime f ( i ) nii, et f ( i ) > . Seega > xi - m = M xi xi Seega pole Riemanni integraalsumma lõigus [a, b] tõkestatud ning puudub ka integraalsumma piirväärtus ehk Riemanni integraal.
Teoreem: Lõigus pidev funktsioon on Riemanni mõttes integreeruv selles lõigus. (fakt) Lõigus Riemanni mõttes integreeruv funktsioon ei pruugi olla pidev selles lõigus
S ­ kõigi määratud funktsioonide hulk lõigus [a, b] . T ­ kõigi tõkestatud funktsioonide hulk lõigus [a, b] . L ­ kõigi Riemanni mõttes integreeruvate funktsioonide hulk lõigus [a, b] . P ­ kõigi pidevate funktsioonide hulk lõigus [a, b] . D ­ kõigi diferentseeruvate funktsioonide hulk lõigus [a, b] . S T L P D ­ range sisalduvus (fakt)
Teoreem: Lõigus integreeruv funktsioon on integreeruv ka selle lõigu suvalises osalõigus. (fakt) M b s.t. f ( x )dx ma 0 x [a, b] . m = inf (x ) M = sup( x ) x [a, b] m f ( x ) M x [a, b] | g ( x ) m g ( x ) f ( x ) g ( x ) M g ( x ) x [a, b] Riemanni integraali monotoonsuse omaduse põhjal b b b b m g ( x )dx f (x )g (x )dx M g ( x )dx x [a, b] |: g ( x )dx a a a a
b b
f ( x )g ( x )dx f (x )g (x )dx m a b M x [a, b ] , siit a b = g (x )dx a g (x )dx a
b b f (x )g ( x )dx = g (x )dx , kus [m, M ] m = inf ( x ) M = sup( x ) x [a, b] a a
Järeldus: Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b] , siis [a, b] nii, et b
f (x )dx = f ( ) (b - a ) . a
32 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Riemanni integraal ülemise raja funktsioonina Olgu funktsioon f integreeruv lõigus [a, b] ning arv x [a, b] . x Siis võime moodustada Riemanni integraali ülemise raja funktsioonina: G ( x ) := f (t )dt x [a, b] a
Teoreem: Kui f on integreeruv lõigus [a, b] , siis G on pidev selles lõigus. Tõestus: Näitame, et G on pidev, s.t. lim G = 0 . x 0
x + x x x + x a x + x G = G ( x + x ) - G ( x ) = f ( x )dx - f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx = f (x )dx a a a x x
Integraalarvutuse I keskväärtusteoreemi põhjal kui g ( x ) = 1 , siis x + x [inf ( x ), sup( x )] x [x + x, x ]* nii, et f (x )dx = (x + x - x ) = x x
Seega inf f ( x ) inf f ( x ) (x ) sup f ( x ) sup f ( x ) , kus inf f ( x ) = m , sup f ( x ) = M x[a ,b ] x[ x + x , x ]* x[ x + x , x ]* x[a ,b ] x[a ,b ] x[a ,b ]
Seega m (x ) M , s.t. (x ) on tõkestatud, sest funktsioon f on integreeruvuse tõttu tõkestatud. lim G = lim (x )x = 0 , sest x 0 ja (x ) on tõkestatud. Seega on funktsioon G pidev. x 0 x 0
Teoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b] , siis on G diferentseeruv selles lõigus, kusjuures G = f , s.t. funktsioon G on funktsiooni f algfunktsioon. Tõestus: Funktsioon f on pidevuse tõttu lõigus [a, b] integreeruv, seega on G defineeritud korrektselt. G Näitame, et G on diferentseeruv selles lõigus ja G = f , s.t. lim = f ( x ) x [a, b] x 0 x
G (x ) x = = (x ) , kus (x ) [inf f ( x ), sup f ( x )] x [x, x + x ]* x x Kuna lõigus pidev funktsioon omab igat väärtust, mis asub tema ekstremaalsete väärtuste vahel, siis [x, x + x ]* : f ( ) = (x ) . Kui x 0 , siis x . lim f ( ) = lim f ( ) = f ( x ) , sest f on pidev. x 0 x
G lim = lim (x ) = lim f ( ) = f ( x ) Seega G ( x ) = f ( x ) x [a, b] x x 0 x 0 x 0
Märkus: [x, x + x ]* := [x, x + x ], x > 0 [x, x + x ]* := [x + x, x ], x Newton -Leibnizi valem b Teoreem: Kui f on pidev lõigus [a, b] , siis kehtib Newton-Leibnizi valem f (x )dx = F (b ) - F (a ) , a
kus funktsioon F on funktsiooni f mingi algfunktsioon. Tõestus: Moodustame Riemanni integraali ülemise raja funktsioonina x G ( x ) = f (t )dt x [a, b] , mis on funktsiooni f algfunktsioon, kus C = 0 a
Algfunktsioon F ( x ) = G (x ) + C x [a, b] , kus C on mingi konstant b a G (b ) = f (t )dt F (b ) = G (b ) + C , G (a ) = f (t )dt = 0 F (a ) = G (a ) + C = C a a b G (b ) = F (b ) - C = F (b ) - F (a ) f (x )dx = F (b ) - F (a ) a
33 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a
Päratud integraalid Tõkestamata funktsiooni integraal Definitsioon: Kui funktsioon f on tõkestamata punkti b ümbruses, siis tema integraaliks lõigus [a, b] nimetatakse piirväärtust b l
f (x )dx = lim f ( x )dx . (1) l b - a a
Definitsioon: Kui funktsioon f on tõkestamata punkti a ümbruses, siis tema integraaliks lõigus [a, b] nimetatakse piirväärtust b b
f ( x )dx = lim f (x )dx . (2) l a + a l
Definitsioon: Kui funktsioon f on tõkestamata lõigu [a, b] sisepunkti c ümbruses, siis tema integraaliks lõigus [a, b] nimetatakse piirväärtust b c b
f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx . (3) a a c
Niiviisi defineeritud integraale nimetatakse päratuteks integraalideks. Kui vastav piirväärtus eksisteerib ja on lõplik, siis öeldakse, et päratu integraal koondub. Muudel juhtudel öeldakse, et ta hajub. Teoreem: Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F piirkonnas [a, b ) , siis päratu integraali (1) korral kehtib võrdus b
f (x )dx = F (x ) b- a . a
Teoreem: Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F piirkonnas (a, b ] , siis päratu integraali (2) korral kehtib võrdus b
f (x )dx = F (x ) b a+ . a
Teoreem: Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F piirkonnas [a, c ) (c, b] , siis päratu integraali (3) korral kehtib võrdus b
f (x )dx = F (x ) + F (x ) c+ . c- b a a
34 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Lõpmatute rajadega integraalid Definitsioon: Kui funktsioon f on määratud piirkonnas [a, ) ja on integreeruv igas lõigus [a, c] [a, ) , siis tema integraaliks piirkonnas [a, ) nimetatakse piirväärtust c
f (x )dx = lim f (x )dx . a c a
Definitsioon: Kui funktsioon f on määratud piirkonnas (- , b] ja on integreeruv igas lõigus [c, b] (- , b] , siis tema integraaliks piirkonnas (- , b] nimetatakse piirväärtust b b
f ( x )dx = lim f (x )dx . c - - c
Niiviisi defineeritud integraale nimetatakse päratuteks integraalideks. Kui vastav piirväärtus eksisteerib ja on lõplik, siis öeldakse, et päratu integraal koondub. Muudel juhtudel öeldakse, et ta hajub. Definitsioon: Kui funktsioon f on määratud piirkonnas (- , ) , siis tema päratuks integraaliks selles piirkonnas nimetatakse piirväärtust c
f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx , - - c
kus c on suvaline arv. Seejuures öeldakse, et see päratu integraal koondub, kui võrduses paremal pool mõlemad integraalid koonduvad. Muudel juhtudel öeldakse, et ta hajub. Antud integraal ei olene arvu c valikust. Teoreem: Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F piirkonnas [a, ) , siis kehtib võrdus
f (x )dx = F (x ) a , kus a
F (x ) a = lim F ( x ) - F (a ) .
x
Teoreem: Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F piirkonnas (- , b] , siis kehtib võrdus b
f (x )dx = F (x ) b - , kus -
F ( x ) - = F (b ) - lim F ( x ) . b
x -
Teoreem: Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F piirkonnas (- , ) , siis kehtib võrdus
f (x )dx = F (x ) - , kus -
F ( x ) - = lim F ( x ) - lim F ( x ) .
x x -
35 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a V READ Arvread Lõpmatu arvrea ehk rea all mõeldakse avaldist (u n ) = u n = u 0 + u1 + ... + u n + ... , (1) n =0
kus u 0 , u1 , ... on arvud, mida nimetatakse rea liikmeteks . Suvalise indeksiga rea liiget u n nimetatakse rea üldliikmeks. Definitsioon: Jada (U n ) , kus n U n = uk , (2) k =0 nimetatakse rea osasummade jadaks . Igale reale (1) võib koostada tema osasumma jada (2) ja vastupidi, kui on antud rea osasummade jada (2), siis võrduste u0 = U 0 , un = U n - U n-1 (n = 1, 2, ...) abil võime saada rea (1). Seega võime realt alati üle minna tema osasummade jadale ja vastupidi. Definitsioon: Kui eksisteerib (lõplik või lõpmatu) piirväärtus U = lim U n , (3) n
siis seda piirväärtust U nimetatakse rea (1) summaks ja kirjutatakse
u n =0 n =U .
Definitsioon: Kui rea (1) summa on lõplik, s.o. kui tema osasummade jada (2) koondub summaks U , siis öeldakse, et rida (1) koondub summaks U . Kui piirväärtus (3) ei eksisteeri või on lõpmatu, s.o. kui osasummade jada (2) ei koondu, siis öeldakse, et rida (1) hajub. Teoreem: Kui rida (un ) koondub, siis lim un = 0 . n
s.t. koonduva rea üldliige läheneb nullile , s.o. jada (un ) on nulljada. Järeldus: Kui lim un 0 , siis rida (un ) hajub. Kui lim un = 0 , siis rida (un ) ei pruugi veel koonduda. n n Jada q n =0 n nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Geomeetriline jada on koonduv , kui q hajuv .
Omadus: Kui read u k =0 k ja v k =0 k on koonduvad, siis suvaliste , R korral on koonduv ka rida
(u k =0 k + vk )
ja kehtib seos
(u k + vk ) = u k + vk . k =0 k =0 k =0
Järeldused: (u k ± vk ) = u k ± vk , (cu k ) = c u k k =0 k =0 k =0 k =0 k =0
36 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Monotoonse jada koonduvus Teoreem: Monotoonne jada on koonduv parajasti siis, kui ta on tõkestatud. Tõestus: Tõestame teoreemi monotoonselt kasvava jada korral. Jada (u n ) on monotoonselt kasvav, s.t. u n +1 u n n N . Jada (u n ) on tõkestatud, s.t. M R nii, et u n Kuna iga piirväärtust omav suurus on tõkestatud, siis M > 0 nii, et u n M n N . Í Olgu monotoonselt kasvav jada tõkestatud. Näitame, et see jada on koonduv, s.t. lim U n . n
Kuna jada on monotoonselt kasvav ning tõkestatud, siis on monotoonselt kasvav ning tõ on tõkestatud reaalarvude hulk. Seega U = sup U n . nN
1) U U n n N ; 2) > 0 n0 N : U - 0 n > n0 U - n0 Seega lim U n = U = sup U n . n nN
Järeldus: Positiviine rida on koonduv parajasti siis, kui tema osasummade jada on tõkestatud. Järeldus (I võrdluslause): Olgu 0 u k v k k N . Kui rida vk koondub, siis koondub ka rida k =0 u k =0 k .
Kui rida u k =0 k hajub, siis hajub ka rida v k =0 k .
Tõestus: 0 u k v k k N 0 u k vk k =0 k =0 Kui rida v k =0 k koondub, siis M > 0 : 0 u k v k 0 : 0 m Järeldus (Integraaltunnus): Kui rida u n u n = f (n ) , kus f on positiivne funktsioon lõigus [1, ) , on n =1 monotoonselt kahanev, siis see rida koondub parajasti siis, kui koondub päratu integraal
f (x )dx . 1
Kui > 1 , siis see rida koondub. 1 Kui = 1 , siis see rida hajub. Rida n n =0 nimetatakse üldistatud harmooniliseks reaks . Kui 37 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Vahelduvate märkidega read Definitsioon: Öeldakse, et rida on vahelduvate märkidega, kui ta esitub kujul
(- 1) a k , kus a k > 0 k N . k
k =0
(- 1) a k on koonduv kui a n 0 k Teoreem (Leibnizi tunnus): Vahelduvate märkidega rida k =0
monotoonselt, s.t. a n +1 a n , a n 0 . Tõestus: (a0 - a1 ) + (a 2 - a3 ) + ... + (a 2 n - a 2 n+1 ) = U 2 n+1 0 , sest (a0 - a1 ) 0, (a 2 - a3 ) 0, ... U 2 n +1 U 2 n -1 , s.t. (U 2 n+1 ) on montoonne a0 - (a1 - a2 ) - (a3 - a4 ) + ... + (a2 n-1 - a2 n ) - a2 n+1 = U 2 n+1 a0 - a2 n+1 a0 , sest (a1 - a2 ) 0, (a3 - a4 ) 0, ... ning a2 n+1 0 , sest an 0 a0 0, a1 0, ... Seega on (U 2 n+1 ) nii monotoonne kui tõkestatud. Sama konstruktsiooni tõttu on ka jada (U 2 n -1 ) nii monotoonne kui tõkestatud, seega on ta koonduv, s.t. lim U 2 n -1 = U . n
U 2 n = U 2 n -1 + a 2 n lim U 2 n = lim U 2 n -1 + lim a 2 n = U + 0 = U , sest a n 0 n n n
lim U 2 n -1 = U lim U 2 n = U lim U n = U n n n
Absoluutse koonduvuse mõiste Definitsioon: Kui rea un korral koondub rida n =0 un , siis öeldakse, et rida n =0 u n =0 n koondub absoluutselt. Kui rida un koondub, aga rida n =0 un ei koondu, siis öeldakse, et rida n =0 u n =0 n
koondub tingimisi . Teoreem: Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. (fakt) Üldistatud Cauchy tunnus Tähistame: lim u n = lim sup u k - kõikvõimalike osajadade maksimaalse osajada summa piirväärtus n n k n
Teoreem: Olgu u n =0 n positiivne rida ja olgu C = lim n u n . Kui n
a) C 1 , siis rida (u n ) hajub, kusjuures lim u n 0 (tarvilik tingimus pole täidetud) n
c) C = 1 , siis tunnus ei tööta, s.t. leidub nii hajuvaid kui koonduvaid ridu, mille korral C = 1 . Tõestus: Tõestame juhtumi C 38 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Astmeread Definitsioon: Öeldakse, et rida on astmerida , kui ta esitub kujul
a n =0 n x n , kus a n R, x - sõltumatu muutuja.
n X = x | lim a k x k - astmerea koonduvuse piirkond n k =0 n k A = x | lim a k x - astmerea absoluutse koonduvuse piirkond n k =0 1 R= - astmerea koonduvusraadius lim n a n n
Teoreem (Cauchy-Hadamanrdi valem): Astmerida a n x n koondub absoluutselt piirkonnas (- R, R ) ja hajub kui x > R . n=0
Tõestus: n
a k Kasutame üldistatud Cauchy tunnust rea k x puhul. k =0
n x C = lim n a n x = x lim n a n = n n R x n n x ( ) 0 lim(a x ) 0 . n
a k 2) C = > 1 x > R , siis rida k k x hajub, kusjuures lim a k x k k
R k =0 n n
n Seega rida a x k =0 k k hajub.
Funktsiooni esitus astmereana 1 1 Maclaurini valemi f ( x ) = f (0 ) + f (0)x + f (0)x 2 + ... + f (n ) (0 )x n + a n ( x ) 2 n! n f (k ) (0 ) k (x ) võime esitada kujul f ( x ) = x + n ( x ) , kus lim n n = 0 . ( 0!= 1 ja f (0 ) ( x ) = f ( x ) ) k =0 k! x 0 x f (k ) (0 ) k lim n ( x ) = 0 f (x ) = x n k =0 k!
Seega on iga funktsioon f esitatav astmereane järgmiselt: f (n ) (0 ) n f (x ) = x n =0 n!
39