Matemaatiline analüüs l. (11)

Matematiline analüüs l.
Jaan Jaano
1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon.
Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt , pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt.
Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist
mittenegatiivset reaalarvu:
|a| = a kui a ≥ 0
−a kui a 0 .
Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel.
Absoluutväärtuse omadused:
1. | − a| = |a|
2. |ab| = |a| |b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. |a − b| ≥ | |a| − |b| |
Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius.
Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0.
Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a+ε), kus ε > 0.
Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,∞), kus M > 0.
Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (−∞,−M), kus M > 0.
Tõkestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a, b) nii, et A ⊂ (a, b). Tõkestatud hulgad on näiteks kõik lõplikud vahemikud (a, b), lõigud [a, b] ja poollõigud [a, b), (a, b].
2. Jääv ja muutuv suurus. Suuruse muutumispiirkond . Funktsiooni definitsioon. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja , määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused.
Jäävad ja muutuvad suurused. Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks.
Muutumispiirkonna mõiste. Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks.
Funktsiooni mõiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks(ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse.
Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y väärtusi, kusjuures leidub vähemalt üks x väärtus, millele vastab mitu y väärtust.
Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks.
Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Hulka Y = < nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks.
Funktsiooni esitusviisid.
1. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil
on lõplik arv väärtusi.
2. Anaüüutiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = < .
Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool x-telge. Kui aga f(x) 0, siis graafik jääb x- teljest allapoole. Kui suvaline y- teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis, siis funktsioon on ühene. Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks y-teljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene .
3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Eksponent - ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud .
Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x).
Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks .
Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 2. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) (x2), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele
x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb.
Astmefunktsioon on funktsioon järgmisel kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a.
Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul:
y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ̸= 1
Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,∞).
Funktsioon y = ax on kasvav kogu oma määramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma määramispiirkonnas,
kui 0 1.
Trigonomeetrilised funktsioonid
y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x.
Trigonometriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad:
y = sin x : X = R, Y = [−1, 1] ,
y = cos x : X = R, Y = [−1, 1] ,
y = tan x : X = R \Y = R,
y = cot x : X = R \, Y = R.
Graafikud. Funktsioonid y = sin x ja y = cos x on perioodilised perioodiga 2π ning y = tan x ja y = cot x perioodiga
π. Funktsioonid y = sin x, y = tan x ja y = cot x on paaritud ning y = cos x paaris.
4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid . Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune kompenseerimine , funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute omavaheline seos. Logaritmfunktsioon ja tema määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste
funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud.
Üksühese funktsiooni mõiste. Olgu antud funktsioon y = f(x). Vastavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse.
Uksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame
võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes. Vahetavad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk.
Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x , f[g(y)] = y .
Funktsiooni y = f(x) ja tema pöördfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus.
Kui aga pöördfunktsiooni x = g(y) avaldises muutujate x ja y kohad vahetada, st esitada ta kujul y = g(x), siis selle funktsiooni graafik peegeldub üle sirge y = x. Seega on funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud
sümmeetrilised sirge y = x suhtes
Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon x = loga y, kus a on logaritmi alus.
(a > 0 ja a ̸= 1).
Funktsiooni y = loga x määramispiikond ja väärtuste hulk on vastavalt X = (0,∞) ja Y = R.
y = loga x graafik on y = ax graafiku peegeldus sirge y = x suhtes.
Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Peamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide pööramisel on see, et nad ei ole terves oma määramispiirkonnas üksühesed. Seetõttu ei ole võimalik saada neile funktsioonidele terves oma määramispiirkonnas üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel.
arcsin [sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist esimene iga x ∈ [−π/2, π/2] korral.
arccos [cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x ∈ [0, π] korral.
arctan [tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot [cot x] = x , cot[arccot y] = y,
neist esimene iga x ∈ (−π/2, π/2 ) ja kolmas iga x ∈ (0, π) korral.
Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised:
y = arcsin x : X = [−1, 1], Y = [−π/2,π/2] ,
y = arccos x : X = [−1, 1], Y = [0, π] ,
y = arctan x : X = R, Y = (−π/2,π/2) ,
y = arccot x : X = R, Y = (0, π) .
5. Algebralised tehted funktsioonidega. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni
määramispiirkond. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni
definitsioon. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon.
Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y =f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f(x) + g(x).
Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y = (f − g)(x) =f(x) − g(x), korrutis y = (fg)(x) = f(x)g(x) ja jagatis y = (f/g)(x) =f(x)/g(x). Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X. Jagatise
määramispiirkond koosneb kõigist sellistest x ∈ X, mille korral g(x) ̸= 0.
Liitfunktsiooni mõiste. Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) määramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z =
g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga.
Tähistame seda funktsiooni sümboliga g ◦ f. z = (g ◦ f)(x) = g[f(x)].
Liitfunktsioon g ◦ f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Seega on g ◦ f määramispiirkond järgmine: Xg◦f = < .
Elementaarfunktsiooni mõiste. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x,
y = arctan x ja y = arccot x.
Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel.
Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid.
n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x(2) + . . . + an−1x(n−1) + anx(n) ,
kus a0, a1, a2, . . . , an−1, an on konstandid ja an ̸= 0. Ratsionaalfunktsioon on
kahe polünoomi jagatis R(x) =(a0 + a1x + a2x(2) + . . . + an−1x(n−1) + anx(n)) / (b0 + b1x + b2x(2) + . . . + bm−1x(m−1) + bmx(m)) ( ) – zna4it v stepeni
6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid (määramispiirkondi, väärtuste hulki ja graafikuid ei küsi).
Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis , mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi.
Parameetriliselt antud joon. Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = φ(t) ja y = ψ(t). Kirjutame need funktsioonid üles sü= (lim f(x + Δx) − f(x))/ Δx∙ lim g(x + Δx) + f(x) lim(g(x + Δx) − g(x))/ Δx =
Δx→0 Δx→0 Δx→0
= f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) = (f ′g + fg)(x). Sellega ongi reegel 2 tõestatud.
3.(f/g)′= f′g−fg′/g2 .
Olgu y =f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud
liitfunktsioon z = g[f(x)]. Funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena.
Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi
saame f′(x) = dy/dx. Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Saame g′(y) = dz/dy. Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f(x)] tuletise tema argumendi on x ja sõltuva muutuja z diferentsiaalide jagatisena. Saame <′ = dz/dx .
<′=dz/dx=dz∙dy/dy∙dx=dz/dy∙dy/dx= g′(y)f ′(x) = g′[f(x)] f ′(x) .
21. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine . Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem).
Ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerimine. Olgu vaatluse
all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand F(x, y) = 0 muutuja y suhtes. Sageli on see väga raske ülesanne. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x, y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu,et kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid , mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x).
Üks ühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine.
Teoreem 3.2. Olgu üks ühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon x = g(y).
Siis kehtib valem g′[f(x)] =1/f ′(x)
Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f′(x) = dy/dx . Pöördfunktsiooni x = g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult g′(y) = dx/dy . Kasutades neid valemeid arvutame:
g′[f(x)] = g′(y) =dx/dy=1/dy/dx =1/f ′(x). Olemegi tõestanud valemi
.
Parameetriliselt antud funktsiooni diferentseerimine.
Teoreem 3.3. Olgu funktsioon y = f(x) antud parameetrilisel kujul võrranditega
x = φ(t)< + C, kus a ̸= −1, kuna ({x^a+1/ a+1 }+ C)′ = (a + 1) *(x^a)/(a+1) = x^a.
3. ∫ dx/x = ln |x| + C.
4. ∫a^x dx + C , kus a > 0, a ̸= 1, kuna ({a^x/ ln a} + C)′ ln a = ax.
Erijuht: ∫exdx = ex + C.
5. ∫sin xdx = −cos x + C.
6. ∫cos xdx = sin x + C.
7. ∫ dx/Cos^2 x = tan x + C.
8. ∫ dx/ sin^2 x = −cot x + C.
9. ∫ dx/ (k^2+x^2) = 1/k* arctan (x/k )+ C.
Erijuht: ∫ dx/ (1+x^2) = arctan x + C.
10. ∫ dx / √(k^2−x^2) = arcsin (x/k) + C.
Erijuht: ∫ dx / (√1−x^2) = arcsin x + C.
Maaramata integraali omadused (sh omadus 3 koos toestusega).
1. ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx.
2. ∫a f(x)dx = a ∫f(x)dx, kus a on konstant.
3. Kui ∫f(x)dx = F(x) + C ja a, b on konstandid, siis ∫ f(ax + b)dx =(1/a)*F(ax + b) + C
Toestame omaduse 3. Selleks me peame naitama, et [(1/a)*F(ax + b) + C]′ = f(ax + b).
Kasutades liitfunktsiooni diferentseerimise eeskirja ja vordust F′(x) = f(x)
saame seose
[(1/a)*F(ax + b) + C]`′=(1/a)*[F(ax + b)]′ =(1/a)F′(ax + b) · (ax + b)′ =(1/a)*F′(ax + b) · a = f(ax+b),
mida oligi tarvis toestada.
35. Kirjeldada asendusvotet maaramata integraali avaldamisel.
Vaatleme määramata integraali ∫ f(x)dx . (5.2)
Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja
vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = φ(x)
ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi.
Eeldame, et φ on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni φ pöördfunktsiooni
ψ-ga. Seega x = ψ(u) . (5.3)
Paneme kirja funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/du = ψ′(u).
Korrutades seda võrdust du-ga saame
dx = ψ′(u)du . (5.4)
Kasutades valemeid (5.3) ja (5.4) asendame x ja dx integraali (5.2) all. Saame avaldise
∫ f(x)dx = ∫ f[ψ(u)]ψ′(u)du . (5.5)
Tuletada ositi integreerimise valem maaramata integraali jaoks.
Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise (vt. Diferentsiaali omadus 3 §3.3):d(uv) = vdu + udv .
Integreerime seda avaldist . Saame ∫ d(uv) = ∫ vdu + ∫ udv .
Kuna ∫d(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis uv + C = ∫ vdu + ∫ udv .
Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, sest mõlemad määramata integraalid
∫udv ja ∫vdu sisaldavad juba määramata konstante. Viies ∫vdu võrduse
teisele poolele same ∫ udv = uv − ∫ vdu . (5.6)
Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime.
36. Funktsiooni integraalsumma
Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b].
ja maaratud integraali moisted.
Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga ϱn, st ϱn = max<. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus ϱn läheneb nullile. Kui f on pidev
lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus.
Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse
Wikipediast Olgu f(x) reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatud funktsioon lõigus [a, b], siis määratud integraal
on arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku, x-telje ning vertikaalsete sirgetega x = a ja x = b piiratud kujundi märgiga pindalaga, s.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega.
37. Too arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jouvaljas.
Tuletada vastav valem. Vt konspekt 120-121
38. Maaratud integraali geomeetriline sisu: kovertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem.
Selleks jaotame l˜oigu [a, b] n osal˜oiguks punktidega x0, x1, x2, . . .
. . . , xn, kusjuures a = x0 1 2 n = b.
Fikseerime igal osal˜oigul [xi−1, xi] .uhe punkti pi. T.ahistame Δxi = xi − xi−1 . Vaatleme osal˜oigule [xi−1, xi] toetuvat k˜overtrapetsi osa ΔSi (joonisel 5.2 on selle k.uljed t˜ommatud katkendliku joonega). Kui Δxi on v.aike, siis muutub pidev funktsioon f osal˜oigul [xi−1, xi] v.ahe. Seega v˜oib ta sellel osal˜oigul lugeda
ligikaudselt v˜ordseks konstandiga f(pi) ehk f(x) ≈ f(pi) kui x ∈ [xi−1, xi] . (5.18)
J.arelikult on ΔSi ligikaudselt ristk .ulik ja tema pindala avaldub ligikaudu k˜orguse
ja aluse korrutisena:
ΔSi ≈ f(pi)Δxi
39. Maaratud integraali omadused (sh omadused 3 – 6 koos pohjendustega).
Integraali keskvaartusteoreem koos toestusega.
Teoreem 5.2 (Integraali keskväärtusteoreem). Kui f(x) on pidev lõigul [a, b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et
Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], saavutab ta sellel lõigul oma suurima
ja vähima väärtuse (lõigul pidevate funktsioonide omadus 1 §2.11). Olgu M
suurim v.a.artus ja m vähim v.a.artus. Siis kehtivad iga x ∈ [a, b] korral võrratused
m ≤ f(x) ≤ M. Määratud integraali omaduse 6 põhjal
40. Teoreem muutuva ulemise rajaga integraalist koos toestusega.
Newton- Leibnitzi valem. Valemi toestus.
Teoreem 5.4 (Newton-Leibnitzi valem). Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem
41. Kirjeldada asendusvotet maaratud integraali arvutamisel.
Asendusvõte. Vaatleme määratud integraali
Teeme integraali all asenduse valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-st järgmisel
viisil: u = φ(x). Eeldame, et φ on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame φ
pöördfunktsiooni ψ-ga. Siis x = ψ(u). Paneme kirja funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena:
dx/du =ψ′(u).
Korrutades seda värdust du-ga same dx = ψ′(u)du .
Kasutades valemeid (5.27) ja (5.28) saame integraali (5.26) all suurused x ja dx asendada vastavate u-st sõltuvate suurustega. Erinevalt määramata integraalist, tuleb määratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integreerimis lõik koos rajadega. Uus integreerimislõik koosneb funktsiooni u = φ(x)
väärtustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel üle kogu esialgse integreerimislõigu [a, b]. Ühtlasi on uue integraali alumine raja võrdne u väärtusega,mis vastab muutuja x v.a.artusele a ja .ulemine raja on võrdne u väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele b. Seega on uue integraali alumine raja φ(a) ja
ülemine raja φ(b). Kokkuvõttes saame järgmise valemi:
Tuletada ositi integreerimise valem maaratud integraali jaoks.
42. Defineerida lopmatute rajadega paratud integraalid.
Päratut integraali nimetatakse koonduvaks, kui ta eksisteerib ja on lõplik. Vastasel juhul nimetatakse päratut integraali hajuvaks
Sonastada paratute integraalide hindamisteoreemid.
Defineerida paratud integraalid katkevatest funktsioonidest.
43. Tuletada joonte y f1( x) ja y f2( x) vahel asuva kujundi pindala valem.133
Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega y = f1(x) ja .ulalt joonega y = f2(x), kusjuures a ≤ x ≤ b (joonis 5.4). Meid huvitab D pindala S. Näitame, et S saab esitada f2 ja f1 vahe integraalina, st
44. Toestada keha ruumala valem ristloigete pindalade kaudu ja tuletada sellest
poordkeha ruumala valem.(Vaatame konspekt paberises 134-136, voi 138-140)
45. Tuletada joone pikkuse valem.
Joone pikkuse arvutamine. Olgu antud joon v˜orrandiga y = f(x), kus a ≤ x ≤ b. T.ahistame selle joone pikkuse l-ga. Meid huvitab valem l arvutamiseks. Eeldame, et f(x) on diferentseeruv. Jaotame l˜oigu [a, b] osal˜oikudeks punktidega a = x0 1 2 n = b (joonis 5.8). T.ahistame
Δxi = xi − xi−1 , Δyi = f(xi) − f(xi−1)
Vaatleme osal˜oigu [xi−1, xi] kohale j.a.avat joone osakaart Δli. See osakaar on
suurendatult kujutatud joonisel 5.9.
Kuna f(x) on eelduse kohaselt diferentseeruv, on vaadeldav joon sile. Sile
joon on aga sirgestuv (st suurendamisel muutub ”sirgemaks”). J.arelikult on
v.aikese Δxi korral osakaar Δli ligikaudselt sirgl˜oik ja joonisel 5.9 on ligikaudne
t.aisnurkne kolmnurk. Seega v˜oime me Δli pikkuse arvutamisel kasutada Pythagorase
teoreemi. T.ahistades Δli pikkuse samuti Δli-ga saame
Δli ≈ √ (Δxi)^2 + (Δyi)^2
Edasi avaldame selles valemis esineva funktsiooni muudu Δyi argumendi muudu
Δxi kaudu. Selleks sobib kasutada Lagrange’i teoreemi (vt §3.9). Nimetatud
teoreemi p˜ohjal leidub vahemikus (xi−1, xi) punkt pi nii, et kehtib v˜ordus
f(xi) − f(xi−1) = f′(pi)(xi − xi−1) .
Seega Δyi = f′(pi)Δxi ja valemit (5.40) saab teisendada j.argmiselt:
Δli ≈ √(Δxi)^2 + (f′(pi)Δxi)^2 = √(Δxi)^2 + [f′(pi)]2(Δxi)^2 = = √1 + [f′(pi)]^2 Δxi .
Terve joone ligikaudse pikkuse saame kui summeerime Δli ligikaudsed pikkused: