Esimese kollokviumi (teooriatöö) kordamisküsimused 1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide. Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv M, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x ≤ M, siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv m, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x≥m, siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Nt: x={1;1;3;5;7} M=ülemine tõke=7 m=alumine tõke=1 2. Sõnastada arvu ε...
1. Sõnastada m-mõõtmeline ruum. Kaugus m-mõõtmelises ruumis. 2. Defineerida punkti P Rm -¨umbrus, rajapunkt, sisepunkt, hulga raja. 3. Defineerida lahtine/kinnine hulk, lahtine/kinnine kera. 4. Sõnastada m-muutuja funktsioon, m-muutuja funktsiooni määramispiirkond, m-muutuja funktsiooni muutumispiirkond, funktsiooni graafik. +muutumispiirkond +graafik 5. Nivoojooned, nivoopinnad. 6. Sõnastada kuhjumispunkt, m-muutuja funktsiooni piirväärtus, m-muutuja funktsiooni korduvad piirväärtused. 8. m-muutuja funktsiooni pidevus. m-muutuja funktsiooni katkevuspunkt. Pidevuse tarvilik ja
puutepunkte vastastippudega ühendavate sirgete lõikepunkt. Nagel’i punkt Christian August Nagel (17.05.1821 – 23.10.1903) – saksa geodeet ja matemaatik. Matemaatilised tööd peamiselt geomeetrias (kolmnurga Nageli punkti defineeris 1836). Nagel’i punkt Kolmnurga KLM külgringjoonte ning külgede puutepunkte vastastippudega ühendavate sirgete lõikepunkt - G. Isoperimeetriline punkt - J • Kolmnurga ABC selline sisepunkt J, mille korral tekkivate kolmnurkade ABJ, BCJ ja CAJ ümbermõõdud tulevad võrdsed. Spieker’i punkt Theodor Spieker [spi:ker] (08.08.1823 – 09.04.1013) – saksa matemaatik. Töötas gümnaasiumiõpetajana. Kirjutas 1862 geomeetriaõpiku, mida Saksamaal kasutati ligi pool sajandit. Uuris mediaalkolmnurga siseringjoone omadusi. Spieker’i punkt - S Kolmnurga ABC mediaalkolmnurga KLM siseringjoone, nn. Spiekeri ringjoone
Hajuv- mitteomav.
a
rtust, millest alates k oik j argnevad muutuva suuruse v a artused kuuluvad 13. * Öeldakse, et jada (Xn) on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et |Xn|
arvu a u mbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad v orratust |x - a| < .
..xm) on vastavusse seatud üks kindel reaalarv w, siis öeldakse, et hulgal D on määratud
w- muutuja funktsioon w=f(x1,x2,...xm), hulka D nim funi w=f(x1,x2,...xm) määramispiirkonnaks, suurusi x1,x2,...xm nim funi
argumentideks (funil on m argumenti)
Def.4 Punkti ARm ümbruseks nim iga lahtist kera S(a,r) (erijuhud: m=2 A ümbruseks lahtine ring S(a,r), m=1 A ümbruseks
sümmeetriline vahemik)
Def.5 Öeldakse, et hulk D on lahtine ruumis Rm kui iga tema punkt on sisepunkt. Öeldakse, et hulk D on kinnine, kui ta sisaldab
kõiki oma rajapunkte.
Def.6 Punkti A nim jada (Pn) piirpunktiks ja tähist limnP=A kui limn-d(Pn,A)=0
Def.6'Punkti A nim jada Pn piirpunktiks, kui iga E>0 korral leidub naturaalarv N nii, et d(Pn,A)
..) ja P2 = ( x2 , y 2 , z 2 ,...) vaheliseks kauguseks nimetatakse reaalarvu d ( P1 , P2 ) = ( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 + ( z1 - z 2 ) 2 + ... . Punkti -ümbrus: Olgu mingi arv. Punkti P0 = ( x0 , y0 , z 0 ,...) -ümbruseks U ( P0 ) nim. kõigi selliste punktide P = ( x, y , z ,...) hulka, mille kaugused punktist P0 on väiksemad kui , s.t d ( P, P0 ) = ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 + ( z - z0 ) 2 + ... < . Hulga sisepunkt: Punkti P0 D nim. hulga D sisepunktiks kui leidub punkti P0 selline -ümbrus, mis kuulub hulka D, s.t U ( P0 ) D . Hulga rajapunkt: Punkti P0 nim. hulga D rajapunktiks, kui igas punkti P0 -ümbruses leidub nii hulga D punkte kui ka punkte, mis ei kuulu hulka D, s.t > 0 U ( P0 ) D U ( P0 ) D . Hulga raja: Hulga D kõigi rajapunktide hulka nim. hulga D rajaks. Lahtine hulk: Hulka D nim. lahtiseks kui kõik tema punktid on sisepunktid. Kinnine hulk: Hulka D nim
Mitmemõõtmelise ruumi mõiste Def: On antud n reaalarvu x1...xn ja nende järjestatud jada (x1...xn)(-punkt) seda nim n- mõõtmelise ruumi punktiks. Rn={(x1,...,xn) | xi R, i=1,...,n}, P(x1,...,xn) punkt koordinaatidega xi n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R
Kuhjumispunktid, rajapunktid ja sisepunktid Definitsioon: Punkti (koha, arvu) a ümbruseks ehk -ümbruseks nimetatakse iga vahemikku (a - , a + ) , kus > 0 on mingi arv. Mida väiksem on , seda lühem on vahemik (a - , a + ) , s.t. seda väiksem on punkti a ümbrus. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X kuhjumispunkt kui igas tema ümbruses leidub vähemalt üks hulga X punkt, mis pole reaalarv a ise. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X sisepunkt kui leidub tema ümbrus, mis kuulub hulka X . Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X rajapunkt kui igas tema ümbruses leidub nii hulga X punkte kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X . Sisepunkt ei saa olla rajapunkt. Sisepunkt on alati kuhjumispunkt. Rajapunkt võib olla kuhjumispunkt. 1 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a
lühendeid. Vältida tuleb lühendite kunstlikku loomist. Esmakordsel kasutamisel kirjuta- takse spetsiifilisemad lühendid koos selgitustega täpselt ja pikalt välja. Lühendite kirjutamine - Levinud lühendite järele punkti ei panda. See on praegune keelenorm! a, dl, e, eKr, jm, jne, jrk, jt, kd, lk, lp, nn, nr, nt, saj, sh, st, u, v, vms, vrd, õa ... - Kui lühend langeb kokku mõne sõnaga või meenutab sõna, siis pannakse sisepunkt: v.a, k.a, p.o, s.o, e.m.a ... (NB! erandlik: n-ö niiöelda) - Ladinakeelsetel lühenditel on omad normid, kaldkirjas ja sageli punktidega: v.s. (versus), op. (opus), ca (circa), a. D. (anno Domini, tühikuga ja punktidega). - Suurtähtlühendi lõppu ega sisse punkte ei panda. Suurtähtlühendeid loetakse kas tähekaupa veerides või kokku sõnana, kui lühend annab kõlaliselt vastuvõetava häälikuühendi. Käänamine lähtub lühendi hääldamisest: EHISe,
public relations). Hiljem kasutatakse ainult lühendit. Lühendi käändes lisatakse käändelõpp ilma sidekriipsuta. Võib koostada lühendite lisa. Tekstis ei kasutata sõnalühendeid („s.a“ asemel kirjutatakse „sel aastal“). Erandiks on „jne“. Viitamisel ja viitekirjetes kasutatakse sõnalühendeid (näiteks „vt joonist 3.2“). Lühendi lõppu punkti ei panda. Kui lühendil on eesti keeles mingi muu tähendus, pannakse sisepunkt („s.a“). Võõrkeelse lühendi lõppu kirjutatakse punkt („ed.“). 4.2.2. Arvud tekstis Arvud kirjutatakse numbritega, ühekohalised arvud aga sõnadega (210 kuulajat, kolm aastat). Järgarv lõpeb punktiga. Arvu suurusjärk kirjutatakse sõnadega (1,2 miljonit või 3,2 tuhandikku). Kõik mõõtühikuga arvud kirjutatakse numbritega (võrdle „kolm aastat“ ja „3 km“), jättes arvu ja mõõtühiku vahele tühiku (protsendi ja nurga- või temperatuurikraadi tähis kir-
public relations). Hiljem kasutatakse ainult lühendit. Lühendi käändes lisatakse käändelõpp ilma sidekriipsuta. Võib koostada lühendite lisa. Tekstis ei kasutata sõnalühendeid („s.a“ asemel kirjutatakse „sel aastal“). Erandiks on „jne“. Viitamisel ja viitekirjetes kasutatakse sõnalühendeid (näiteks „vt joonist 3.2“). Lühendi lõppu punkti ei panda. Kui lühendil on eesti keeles mingi muu tähendus, pannakse sisepunkt („s.a“). Võõrkeelse lühendi lõppu kirjutatakse punkt („ed.“). 4.2.2. Arvud tekstis Arvud kirjutatakse numbritega, ühekohalised arvud aga sõnadega (210 kuulajat, kolm aastat). Järgarv lõpeb punktiga. Arvu suurusjärk kirjutatakse sõnadega (1,2 miljonit või 3,2 tuhandikku). Kõik mõõtühikuga arvud kirjutatakse numbritega (võrdle „kolm aastat“ ja „3 km“), jättes arvu ja mõõtühiku vahele tühiku (protsendi ja nurga- või temperatuurikraadi tähis kir-
Teada pöördfunktsiooni diferentseerimise reeglit: Olgu pidev rangelt monotoonne funktsioon f : D → R punktis a diferentseeruv. Pöördfunktsioon f−1 : D′ → R on kohal b := f (a) diferentseeruv parajasti siis, kui f′ (a) ̸= 0. Sel juhul 25. Fermat’ teoreem funktsiooni tuletise seosest lokaalse ekstreemumiga (*) Defineerida intervallis määratud funktsiooni lokaalse maksimumi ja lokaalse miinimumi mõiste: Olgu funktsioon f määratud intervallis D ja olgu a intervalli D sisepunkt, s.t. a ∈ Do. Kui punktil a on selline ümbrus Uδ (a), et f (x) ≤ f (a) iga x ∈ Uδ (a) korral, siis öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum. Kui punktil a on selline ümbrus Uδ (a), et f (x) ≥ f (a) iga x ∈ Uδ (a) korral, siis öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne miinimum. Tõestada Fermat' teoreem (lause 6.1), selgitada selle lause geomeetrilist sisu: Olgu funktsioon f : D → R intervalli D sisepunktis a diferentseeruv ning olgu tal
k→∞ Märkus. Arvutades Riemanni integraali funktsioonist f (x) = xr lõigus [0, 1] kahel viisil – integraal- summade piirväärtusena ja Newton–Leibnizi valemi abil –, saame alternatiivse viisi näites 2.5 toodud piirväärtuse arvutamiseks (vt. ptk. 5). ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 53 3 Pidevad funktsioonid 3.1 Funktsiooni piirväärtus Definitsioon. Ütleme, et arv a ∈ R on 1) hulga D ⊆ R sisepunkt (interior point, внутренная точка) (kirjutame a ∈ D o ), kui leidub selline ρ > 0, et (a − ρ, a + ρ) ⊆ D, 2) hulga D ⊆ R isoleeritud punkt, kui a ∈ D ja (a − σ, a + σ) ∩ D = {a} mingi σ > 0 korral, 3) hulga D ⊆ R kuhjumispunkt (limit point, предельная точка), kui iga ρ > 0 korral sisaldab punkti a ümbrus (a − ρ, a + ρ) lõpmata palju hulga D punkte. Paneme tähele, et • hulga kõik sisepunktid on tema kuhjumispunktid (selgitage
¨ TALLINNA TEHNIKAULIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT Peeter Puusemp TOPOLOOGILISED RUUMID Loengukonspekt Tallinn 2003 SISUKORD Eess˜ona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 TOPOLOOGILINE RUUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Topoloogilise ruumi definitsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Topoloogilise ruumi baas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Kinnised hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ¨ 1.4 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 ¨ 2 UMBRUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Punkti u ¨mbruste s¨ usteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Topoloogia m¨a¨a...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
