Plaanid puhkusele minna? Võta endale majutus AirBnb kaudu ja saad 37€ kontoraha Tee konto Sulge
Facebook Like

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks (10)

5 VÄGA HEA
Punktid
 
Säutsu twitteris

MATEMAATILINE ANALÜÜS I

§ 1 REAALARVUD JA FUNKTSIOONID

1. Reaalarvu mõiste


Tähistame sümboliga N kõigi naturaalarvude hulga, st
N = {1, 2, 3,...}
ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulga, st
Z = {...,–3,–2,–1, 0, 1, 2, 3,...}.
Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Ratsionaalarvudeks on parajasti need arvud, mis on esitatavad lõplike või lõpmatute perioodiliste kümnendmurdudena.
Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R.
Iga lõplikku kümnendmurdu a= saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil:
a =00... või a =.
Edaspidi välistame kümnendmurru esitamise kujul, mis lõpeb numbriga 9 perioodis. See eeldus võimaldab hõlpsamini defineerida reaalarvude võrdlemise eeskirjad.
Seega reaalarvudeks nimetame kõiki lõpmatuid kümnendmurde, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis.
Reaalarvude võrdlemine Reaalarve
nimetame võrdseteks, kui a = b, ....
Ütleme, et reaalarv a on suurem kui reaalarv b (ehk b on väiksem kui a), kui a > b või leidub k ≥ 1, nii et
> βk.
Reaalarv a on määratud, kui on teada eeskiri tema täiskoha ja iga kümnendkoha leidmiseks. Praktikas kasutatakse irratsionaalarvude asemel nende ratsionaalarvulisi lähendeid.
2. Reaalarvude hulga ülemine ja alumine raja. Pidevuse aksioom
Olgu X mingi reaalarvude hulk (X R).
Hulka X nimetatakse ülalt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv M, nii et xM iga x X korral. Seejuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks.
Hulka X nimetatakse alt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv m, nii et xm iga x X korral . Seejuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks.
Hulka X, mis on tõkestatud nii alt kui ülalt, nimetatakse tõkestatud hulgaks.
Ülalt tõkestatud hulga vähimat ülemist tõket nimetatakse selle hulga ülemiseks rajaks ning tähistatakse sup X.
Alt tõkestatud hulga suurimat alumist tõket nimetatakse selle hulga alumiseks rajaks ning tähistatakse inf X.
Kui hulk X on ülalt (alt) tõkestamata, siis kirjutame vastavalt sup X =  (inf X = –).
On selge, et kui hulgas X leidub maksimaalne element (max X), siis sup X = max X.
Samuti, kui hulgas X leidub minimaalne element (min X ), siis inf X = min X.
Näiteid. 1) Kõigi naturaalarvude hulk X = N on alt tõkestatud, ei ole ülalt tõkestatud;
min X = inf X = 1, sup X = .
2) Hulk X = (1,5] on tõkestatud hulk, inf X = 1, sup X =max X = 5, minimaalset elementi vaadeldavas hulgas ei eksisteeri.
Teoreem 1. (pidevuse aksioom) Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja; igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja.
3. Funktsioonid
Funktsioonid on matemaatilise analüüsi põhilised uurimisobjektid.. Formuleerime funktsiooni mõiste. Olgu antud hulk X R, X  .
Kui igale arvule xX on vastavusse seatud üks reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon f ehk y = f (x).
Hulka X nimetakse funktsiooni f määramispiirkonnaks, hulka
funktsiooni f muutumispiirkonnaks.
Funktsiooni f graafikuks nimetatkse xy-tasandi punktide hulka
Funktsioon on defineeritud, kui on antud tema määramispiirkond ning eeskiri, mis seab igale määramispiirkonna punktile vastavusse ühe reaalarvu. Funktsiooni põhilised esitusviisid on järgmised:
1. analüütiline esitus valemi(te) abil,
2. numbriline esitus tabeli abil,
3. geomeetriline esitus graafiku abil.
Märkus. Kui funktsiooni y = f(x) korral on antud vaid teda määrav eeskiri,mää- ramispiirkond X pole aga fikseeritud, siis loetakse määramispiirkonnaks nende argumendi väärtuste x hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri omab mõtet (nn loomulik määramispiirkond).
Näiteks on funktsiooni
määramispiirkond X = [4,).
Elementaarfunktsioonid. Matemaatilises analüüsis enim uuritud ja kõige sagedamini esinevad funktsioonid on elementaarfunktsioonid.
Põhilisteks elementaarfunktsioonideks nimetatakse järgmisi funktsioone:
1) konstantne funktsioon y = c;
2) astmefunktsioon y = x ;
3) eksponentfunktsioon y = ax (a  0);
4) logaritmfunktsioon y = log a x (a  0, a  1 );
5) trigonomeetrilised funktsioonid y =sin x, y =cos x, y = tan x, y = cot x;
6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x.
Elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone, mis on saadavad põhilistest
elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni
moodustamise operatsioonide teel.
§2 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS JA PIDEVUS

1. Funktsiooni piirväärtuse definitsioonid


Olgu a
80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla
Vasakule Paremale
Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #1 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #2 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #3 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #4 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #5 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #6 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #7 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #8 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #9 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #10 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #11 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #12 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #13 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #14 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #15 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #16 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #17 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #18 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #19 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #20 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #21 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #22 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #23 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #24 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #25 Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks #26
Punktid 100 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 100 punkti.
Leheküljed ~ 26 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2009-10-05 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 642 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 10 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor valat Õppematerjali autor

Lisainfo

Mõisted


Kommentaarid (10)

MeelikaS profiilipilt
Meelika Spriit: palju materjali, väga hea
17:51 12-08-2011
SkuLL profiilipilt
SkuLL: Väga hea materjal!
10:23 06-10-2011
tdrk profiilipilt
tdrk: kasulik materjal
13:49 25-12-2012


Sarnased materjalid

22
doc
Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt
82
docx
Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks
39
pdf
Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad
37
docx
Matemaatiline analüüs l
142
pdf
Matemaatilise analüüsi konspekt TTÜ s
142
pdf
Matemaatiline analüüs I
51
pdf
Matemaatilise analüüsi konspekt
32
pdf
Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID



Faili allalaadimiseks, pead sisse logima
Kasutajanimi / Email
Parool

Unustasid parooli?

UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !
Pole kasutajat?

Tee tasuta konto

Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun