Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks (10)

Tartu Ülikool - Matemaatika - Matemaatiline analüüs i

5 VÄGA HEA

MATEMAATILINE ANALÜÜS I

§ 1 REAALARVUD JA FUNKTSIOONID

1. Reaalarvu mõiste

Tähistame sümboliga N kõigi naturaalarvude hulga, st
N ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulga, st
Z Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Ratsionaalarvudeks on parajasti need arvud, mis on esitatavad lõplike või lõpmatute perioodiliste kümnendmurdudena.
Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R.
Iga lõplikku kümnendmurdu a= saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil:
a =00... või a =.
Edaspidi välistame kümnendmurru esitamise kujul, mis lõpeb numbriga 9 perioodis. See eeldus võimaldab hõlpsamini defineerida reaalarvude võrdlemise eeskirjad.
Seega reaalarvudeks nimetame kõiki lõpmatuid kümnendmurde, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis.
Reaalarvude võrdlemine Reaalarve
nimetame võrdseteks, kui a = b, ....
Ütleme, et reaalarv a on suurem kui reaalarv b (ehk b on väiksem kui a), kui a > b või leidub k ≥ 1, nii et
> βk.
Reaalarv a on määratud, kui on teada eeskiri tema täiskoha ja iga kümnendkoha leidmiseks. Praktikas kasutatakse irratsionaalarvude asemel nende ratsionaalarvulisi lähendeid.
2. Reaalarvude hulga ülemine ja alumine raja. Pidevuse aksioom
Olgu X mingi reaalarvude hulk (X  R).
Hulka X nimetatakse ülalt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv M, nii et x  M iga x X korral. Seejuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks.
Hulka X nimetatakse alt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv m, nii et x ≥ m iga x X korral . Seejuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks.
Hulka X, mis on tõkestatud nii alt kui ülalt, nimetatakse tõkestatud hulgaks.
Ülalt tõkestatud hulga vähimat ülemist tõket nimetatakse selle hulga ülemiseks rajaks ning tähistatakse sup X.
Alt tõkestatud hulga suurimat alumist tõket nimetatakse selle hulga alumiseks rajaks ning tähistatakse inf X.
Kui hulk X on ülalt (alt) tõkestamata, siis kirjutame vastavalt sup X =  (inf X = –).
On selge, et kui hulgas X leidub maksimaalne element (max X), siis sup X = max X.
Samuti, kui hulgas X leidub minimaalne element (min X ), siis inf X = min X.
Näiteid. 1) Kõigi naturaalarvude hulk X = N on alt tõkestatud, ei ole ülalt tõkestatud;
min X = inf X = 1, sup X = .
2) Hulk X = (1,5] on tõkestatud hulk, inf X = 1, sup X =max X = 5, minimaalset elementi vaadeldavas hulgas ei eksisteeri.
Teoreem 1. (pidevuse aksioom) Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja; igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja.
3. Funktsioonid
Funktsioonid on matemaatilise analüüsi põhilised uurimisobjektid.. Formuleerime funktsiooni mõiste. Olgu antud hulk X  R, X  .
Kui igale arvule x X on vastavusse seatud üks reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon f ehk y = f (x).
Hulka X nimetakse funktsiooni f määramispiirkonnaks, hulka
funktsiooni f muutumispiirkonnaks.
Funktsiooni f graafikuks nimetatkse xy-tasandi punktide hulka
Funktsioon on defineeritud, kui on antud tema määramispiirkond ning eeskiri, mis seab igale määramispiirkonna punktile vastavusse ühe reaalarvu. Funktsiooni põhilised esitusviisid on järgmised:
1. analüütiline esitus valemi(te) abil,
2. numbriline esitus tabeli abil,
3. geomeetriline esitus graafiku abil.
Märkus. Kui funktsiooni y = f(x) korral on antud vaid teda määrav eeskiri,mää- ramispiirkond X pole aga fikseeritud, siis loetakse määramispiirkonnaks nende argumendi väärtuste x hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri omab mõtet (nn loomulik määramispiirkond).
Näiteks on funktsiooni
määramispiirkond X = [4,).
Elementaarfunktsioonid. Matemaatilises analüüsis enim uuritud ja kõige sagedamini esinevad funktsioonid on elementaarfunktsioonid.
Põhilisteks elementaarfunktsioonideks nimetatakse järgmisi funktsioone:
1) konstantne funktsioon y = c;
2) astmefunktsioon y = x ;
3) eksponentfunktsioon y = ax (a  0);
4) logaritmfunktsioon y = log a x (a  0, a  1 );
5) trigonomeetrilised funktsioonid y =sin x, y =cos x, y = tan x, y = cot x;
6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x.
Elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone, mis on saadavad põhilistest
elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni
moodustamise operatsioonide teel.
§2 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS JA PIDEVUS
1. Funktsiooni piirväärtuse definitsioonid

Olgu a funktsiooni f määramispiirkonna X kuhjumispunkt, st selle punkti a igas ümbruses U(a)=(a–, a+) leidub punkte x X, x ≠ a.
Definitsioon 1. Arvu a nimetatakse. funktsiooni f piirväärtuseks punktis a
(piirprotsessis x a), kui iga arvu   0 korral leidub  =  ( )  0, nii et
f(x)  A ,
alati kui 0 x  a .
Kirjutame
lim xa f(x) = A või
või f(x)  A, kui x  a.
Näide . Tõestame,et
lim x1 (2x + 1) = 3.
Olgu   0 suvaline .Siis
f(x)  A=(2x+1)3 = 2x1 ,
kui x1
Seega võttes  = , näeme, et definitsiooni 1nõuded on täidetud.
Definitsioon 2. Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus piirprotsessis .
x a, kui iga arvu N  0 korral leidub arv   0, nii et
f(x)  N ( f(x)  -N ), alati kui 0   x - a   .
Kirjutame
lim xa f(x) =  ( vastavalt lim xa f(x) = - ).
2. Funktsiooni piirväärtuse omadused

Teoreem 2. Kui eksisteerivad lõplikud piirväärtused
lim xa f(x) = A ja lim xa g(x) = B,
siis
lim xa [ f(x)  g(x)] = A  B,
lim xa [ c f(x)] = c A,
lim xa [ f(x) g(x)] = A B,
lim xa = , B  0.
Funktsiooni f nimetatakse tõkestatuks hulgal X, kui leidub M  0, nii et f(x)  M iga x X korral.
Teoreem 3. Kui limxa g(x) = 0 ja funktsioon y= f(x) on tõkestatud punkti a
mingis ümbruses, siis
lim xa [f(x)g(x)] = 0.
Näide Leiame lim x0 (x2 sin) = A.
Siin ei saa rakendada teoreemi 2,sest lim x0 sin
ei eksisteeri.
Samas sin   1 ja lim x0 x2 = 0, seega A = 0.
Teoreem 4. (piirväärtuse monotoonsus ) Kui punkti a teatavas ümbruses U(a) kehtib
g(x)  f(x),
()
siis ka
lim xa g(x)  lim xa f(x).
()
Teoreem 5. (keskmise muutuja omadus) Kui punkti a mingis ümbruses
g(x)  f(x)  h(x)
ja
lim xa g(x) = lim xa h(x) = A ,
siis eksisteerib ka piirväärtus
lim xa f(x) = A.
Teoreem 6. Kui f on elementaarfunktsioon ja a  X, siis
lim xa f(x) = f(a).
3. Ühepoolsed piirväärtused

Vaatleme piirprotsesse:
1. x  a, x  a – lähenemine paremalt, s.o. parempoolne piirväärtus.
Tähistame: lim xa+ f(x) või f(a+).
2. x  a, x  a – lähenemine vasakult, s.o. vasakpoolne piirväärtus.
Tähistame: lim xa f(x) või f(a).
NB! Definitsioonis 1 tingimus 0  x  a  omandab vastavalt kuju
0  (x  a)  (parempoolse piirväärtuse korral) või 0  (a  x)  (vasakpoolse piirväärtuse korral).
Teoreem 7. Kui eksisteerivad ühepoolsed piirväärtused f(a+) ja f(a), siis nn kahepoolne piirväärtus lim xa f(x) = A eksisteerib parajasti siis, kui f(a+) = f(a)= A.
Ühepoolsed piirväärtused on ka lim x f(x) ja lim x -  f(x).
Definitsioon 3. Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks protsessis
x   (x  – ), kui iga arvu   0 korral leidub arv K  0, nii et
f( x)  A   ,
alati, kui x  K ( x  -K).
Kirjutame
lim x f(x) = A ( lim x -  f(x) = A).
Märkus. Teoreemid 2-5 kehtivad ka lõplike ühepoolsete piirväärtuste puhul.
Märkus. Asendades definitsioonis 3 tingimuse f(x) - A   tingimustega f(x)  N
(vastavalt f(x)  -N), saame defineerida piirväärtused
lim x f(x) =   ( lim x -  f(x) =  ).
Näide Tõestada, et
lim x= .
Olgu   0 suvaline. Võime kirjutada:
f(x)  A = - =  ,
kui x . (kuna x , siis võime eeldada, et (2x–1)0).
Võime võtta K =, siis on definitsiooni 3 nõuded täidetud.
Näide Tõestada, et
Olgu  >0, siis saame
=  ,
mis kehtib, kui  , st kui x  või x  –. Kuna, siis võime eeldada, et x 0 ja jääb tingimus x  –. Seega võime võtta K = , siis on definitsiooni 3 nõuded täidetud.
4. Tähtsad piirväärtused

1) lim x 0 .
Olgu f(x) =, X = (- , 0)(0, ).
Siinjuures x on nurk radiaanides ( radiaan – kesknurk, mis toetub raadiuse pikkusele kaarele) ;1 rad  57  17.
Punkt x = 0 on funktsiooni y = määramispiirkonna X kuhjumispunkt, saame vaadelda piirprotsessi x  0.
Lähtume võrratusest
sin x  x  tan x, iga x ( 0, ) korral,
millest
1   ,
ja (hindame pöördväärtusi):
cos x 
 1 (*)
Võrratus (*) kehtib ka siis, kui x  (, 0), sest selles esinevad funktsioonid on paarisfunktsioonid.
Kuna teoreemi 6 põhjal lim x0
cos x = 1, samuti lim x0 1 = 1, siis teoreemi 5 põhjal (keskmine muutuja omadus) saame seostest (*), et
limx0
= 1.
(esimene tähtis piirväärtus).
2) Vaatleme piirväärtust
limx (1 +
)x .
On tõestatud, et see piirväärtus eksisteerib, tähistame ta sümboliga “e”.
Seega
limx (1 +
)x = e.
(teine tähtis piirväärtus).
Arv e on irratsionaalarv , e = 2,71828…
Kehtivad ka valemid:
lim x  (1 +
)x = e
ning
lim x 0 (1 +
x)1/x = e.
5. Ekvivalentsed lõpmata väikesed funktsioonid

Definitsioon 4. Funktsiooni α= α(x) nimetame lõpmata väikeseks (hääbuvaks) piirprotsessis xa, kui
lim xa α(x)= 0.
Definitsioon 5 Lõpmata väikeseid funktsioone α= α(x) ja β= β(x) nimetatakse ekvivalentseteks piirprotsessis xa, kui
lim xa = 1.
Kirjutame
α(x) ~ β(x), xa.
Teoreem 8. Kui piirprotsessis x  a lõpmata väikeste funktsioonide y= α(x),
y= 1(x), y= (x), y=1(x) korral (x)  1(x), (x)  1(x) ja eksisteerib piirväärtus
siis
2) lim x a [(x) (x)] = lim xa [1(x)1(x)].
6. Pidevad funktsioonid

Vaatleme funktsiooni y= f(x), xÎ X.
Definitsioon 6. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui
lim x®a f(x) = f(a) (1)
Pidevus hulgal X – pidevus selle hulga igas punktis.
Anname pidevuse definitsioonile teise kuju. Selge, et (1) Û lim x®a [f(x) - f(a)] = 0.
Tähistame: Dx = x - a - argumendi muut, ning Dy = f(x) - f(a) – funktsiooni muut, siis
(1) Û lim Dx® 0 Dy = 0 (2)
Näide. Olgu y = x2, fikseerime suvalise a, siis
limDx®0 Dy = limDx® 0 [(a+ Dx)2 - a2) = lim Dx® 0 (2aDx + Dx2) = 0,
seega antud funktsioon on pidev hulgal X = ( -¥, ¥ ), st pidev kõikjal.
Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas (vt teoreem 6).
Funktsiooni f katkevuspunktid – selle funktsiooni määramispiirkonna kuhjumispunk-
tid, milles funktsioon ei ole pidev.
Näide. Funktsiooni f (x) = tan x katkevuspunktid on x = ± p/2, ± 3p/2, …
§ 3 FUNKTSIOONI TULETIS JA DIFERENTSIAAL .
1.Tuletise definitsioon. Pidevus ja diferentseeruvus
Olgu antud funktsioon , xÎ X.
Anname argumendile x muudu Dx, nii et x+ Dx Î X ja vastav funktsiooni muut olgu
D y = f(x+Dx) - f(x).
Definitsioon 7. Kui eksisteerib piirväärtus (lõplik või lõpmatu)
siis seda piirväärtust nimetatakse funktsioonii f tuletiseks punktis x.
Tähistame f¢(x ), y ¢,
Seega
Näide Kui f (x ) = c= const , siis Dy = 0 Þ ( c) ¢= 0.
Näide Olgu
f (x ) = sin x,
siis Dy = sin (x+ Dx) - sin x = 2 cos ( x + ) sin , seega
(sin x)¢= cos (x + ) = cos x.
Tuletise leidmine – diferentseerimine . Diferentsiaalarvutus – matemaatilise analüüsi osa, mis käsitleb tuletise leidmist , omadusi ja rakendusi.
Funktsiooni f diferentseeruvus punktis x – lõpliku tuletise f ¢(x) olemasolu.selles
Punktis.
Pidevus ja diferentseeruvus: iga punktis x diferentseeruv funktsioon on pidev selles
punktis.
2. Tehetega seotud diferentseerimisreeglid
Teoreem 9. Kui funktsioonidel
ja eksisteerivad lõplikud tuletised punktis x ,siis ka funktsioonidel u+v, u–v, uv,
eksisteerivad lõplikud tuletised punktis x, kusjuures
10 (u ± v)′ =u′  v′,
20 (uv)′ =u′ v+ v′u,
30 (cv)′ = cu′, c=const
40
3. Liitfunktsiooni tuletis
Teoreem 10. Kui funktsioonidel
ja eksisteerivad lõplikud tuletised
vastavalt punktides x ja , siis ka liitfunktsioonil y = F(x) = f[φ(x)] eksistee-
rib lõplik tuletis punktis x, kusjuures
F'(x) =
4. Pöördfunktsiooni tuletis
Teoreem 11. Kui funktsioonil on olemas pöördfunktsioon piirkonnas
X, ja eksisteerib lõplik tuletis siis eksisteerib lõplik f'(x) ja kehtib valem
f'(x) =
5. Funktsiooni diferentsiaal, selle rakendusi
Definitsioon 8. Kui piirprotsessis x  a lõpmata väikeste funktsioonide  = (x) ja = (x) korral
siis ütleme, et  = (x) on piirprotsessis x  a kõrgemat järku lõpmata väike kui
β = (x).
Funktsiooni y = f(x) diferentseeruvus punktis x, (st lõpliku tuletise f (x)) ole-
masolu) on samaväärne tingimusega
 y = f (x) x + (x),
kus (x) on piirprotsessis x 0 kõrgemat järku lõpmata väike kui x.
Defintsioon 9. Punktis x diferentseeruvava funktsiooni f muudu peaosa f(x)x nimetatakse selle funktsiooni diferentsiaaliks punktis x.
Tähistame: dy, df, seega
dy = f (x) x.
Olgu y = f( x ) = x, siis saame :
dy = dx = (x)x = x.
(argumendi diferentsiaal võrdub argumendi muuduga). Seega võime kirjutada
dy = f (x)dx.
6. Kõrgemat järku tuletised ja diferentsiaalid
Olgu funktsioonil f lõplikud tuletised hulga X igas punktis. Siis vastavus
x(x) määrab hulgal X funktsiooni f tuletisfunktsiooni .
Kui eksisteeribsiis seda tuletist nimetatakse funktsiooni f teist järku (teiseks)
tuletiseks punktis x, ja tähistatakse f (x), seega
Funktsiooni f teist järku tuletist tähistatakse ka sümbolitega y′′,
Seega lühidalt:
y′′ = (y′)′
ja analoogiliselt jätkates: n-järku tuletis
y (n) = (y(n–1))′,
mille tähistame ka f (n)(x),
Funktsiooni y = f(x) diferentsiaal dy esitub teatavasti valemiga
dy = f (x) dx,
kusjuures üldjuhul dy = dy(x,dx). Kui fikseerime argumendi muudu dx, siis dy on
argumendi x funktsioon. Kui see funktsioon on punktis x diferentseeruv, siis saame
omakorda leida diferentsiaali d(dy), mida nimetatakse funktsiooni f teist järku dife-
rentsiaaliks punktis x ja tähistatakse sümboliga d2y, seega
d2y = d(dy).
Analoogselt jätkates
d3y = d(d2y)
(kolmandat järku diferentsiaal) ja üldiselt
dny = d(dn–1y)
(n-järku diferentsiaal).
7. Tuletise ja diferentsiaali rakendusi
7.1. Tuletise ja diferentsiaali geomeetriline tähendus
Joone Γ puutujaks punktis P0 = (x0, y0) nimetatakse selle joone kõõlu P0Q piirseisu,
kui punkt Q läheneb punktile P0 mööda joont.
Joonel y = f (x) (funktsiooni f graafikul) on juhul, kus f on diferentseeruv punktis x0,
olemas puutuja punktis P0 = (x0, y0), mille võrrand on
Seega on joone y = f (x) punktis P0 = (x0, y0) võetud puutuja tõus f ′(x0).
Vaatleme joonel y = f (x) punkte P0 = (x0, y0) ja Q= (x0+Δx, y0+ Δy), siis vastav puutu-
ja oordinaadi muut on dy(x0, Δx).
7.2. Tuletis kui liikumise kiirus
Kirjeldagu funktsioon s=f(t) punktmassi liikumist sirgel, st olgu s vaadeldava
punktmassi kaugus nullpunktist ajahetkel t. Siis alates ajahetkest t kuni ajahetkeni t+Δt
läbib vaadeldav punkt tee pikkusega Δs = f(t+Δt)– f(t). Suhet
nimetatakse punktmassi liikumise keskmiseks kiiruseks. On ilmne, et keskmine kiirus
kirjeldab liikumist seda täpsemalt, mida väiksem on Δt, seetõttu piirväärtust
nimetatakse punktmassi liikumise kiiruseks ajahetkel t.
Analoogselt defineerime kiirenduse a(t)ajahetkel t ja saame
Üldiselt, mõistes liikumist kui mistahes nähtuse muutumist looduses, tehnikas, ühis-
konnasjne, võime öelda, et funktsiooni f tuletis on seaduse y = f (x) alusel toimuva
nähttuse kulgemise kiirus (intensiivsus).
§4 DIFERENTSIAALARVUTUSE KESK- VÄÄRTUSTEOREEMID JA NENDE RAKEN- DUSI
Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemid

Järgnevalt sõnastame teoreemid, mida tuntakse vastavalt Cauchy teoreemi ja Lagrange ’i teoreemi nime all.

Teoreem 12. (Cauchy keskväärtusteoreem). Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigus [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus (a,b) ning g’(x) ≠ 0 iga x (a,b) korral, siis leidub selline punkt c (a,b), nii et kehtib võrdus
Teoreem 13. (Lagrange’i keskväärtusteoreem). Kui funktsioon f on pidev lõigus [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a b), siis leidub selline punkt c (a, b), nii et
f(b) – f(a)= f’ (c)(b–a).
Lagrange’i teoreem järeldub vahetult Cauchy teoreemist, kui võtta viimases g(x) = x.
Teoreeme 12 ja 13 nimetatakse diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemideks. Arv c on teatav vahepealne väärtus a ja b vahel. Nimetatud teoreemid ei anna küll eeskirja c leidmiseks, kuid sellegipoolest on neil palju rakendusi.
2. L’ Hospitali reegel
L’Hospitali reegel võimaldab leida piirväärtust
limx® a
juhtudel, kus lim x® a f(x)= lim x® a g(x)= 0 (määramatus tüüpi ) või
lim x® a (määramatus tüüpi ).
Teoreem 14. Leidugu punkti a selline ümbrus U(a)= (a- δ, a+ δ ), δ>0, milles funktsioonid f ja g on diferentseeruvad iga x ≠ a korral ning olgu g’(x)≠ 0 vaadeldavas ümbruses. Kui
f(a) = g(a )= 0, siis
eeldusel , et piirväärtus võrduse paremal pool eksisteerib.
Analoogiline reegel (valem (*)) kehtib ka siis, kui lim x® a
3. Taylori valem

Teoreem 15. (Taylori valem) Kui funktsioon f on punktis a n korda diferentseeruv, siis kehtib valem
Suurust an = an[(x–a)] nimetatakse Taylori valemi jääkliikmeks.
Erijuhul a = 0, saame Maclaurini valemi:
Kui funktsioon on f on (n+1) korda diferentseeruv punkti a mingis ümbruses, siis jääkliige an esitub nn. Lagrange´i kujul:
kus c Î (a, x) või c Î (x, a).
4. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise piirkondade leidmine
Funktsiooni kasvamise ja kahanemise piirkondade leidmiseks sõnastame järgnevad teoreemid
Teoreem 16. Kui funktsioon f on diferentseeruv vahemikus (a,b) ja  0
(  0 ) iga x(a,b) korral, siis funktsioon f kasvab (kahaneb) selles vahemikus.
Teoreem 17. Vahemikus(a,b) diferentseeruv funktsioon kasvab (kahaneb) selles vahemikus parajajasti siis, kui
1. ≥ 0 ( 0) iga x(a,b) korral,
2. punktid x(a,b), kus = 0 ei moodusta vahemikku.
Näide. Olgu f(x)=
Leiame = 3 Siis  0, kui x ≠ 0 ja = 0 vaid punktis x = 0. Seega teoreemi 17 põhjal antud funktsioon kasvab kogu oma määramispiirkonnas (–,).
5. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid
Definitsioon 10. Öeldakse, et funktsioonil f(x) on punktis a lokaalne maksimum
(lokaalne miinimum), kui leidub selle punkti ümbrus U(a), et
f (x) £ f(a) ( f(x) ³ f(a)) iga x Î U(a) korral.
Lokaalse ekstreemumi tarvilikud tingimused.
1) Olgu funktsioon f diferentseeruv punkti a mingis ümbruses ja olgu punktis a lokaalne ekstreemum , siis f ¢(a) = 0 (a on funktsiooni f statsionaarne punkt).
2) Lokaalne ekstreemum võib realiseeruda ka punktis, kus funktsioon ei ole diferentseeruv.
Näiteks, kui f(x) = | x |, siis miinumum realiseerub punktis a = 0,.samas ei ole sellel funktsioonil tuletist punktis 0.
Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused.

I piisav tingimus
Teoreem.18. Kui funktsioon y= f(x) on kaks korda diferentseeruv statsionaarses punktis a, siis on funktsioonil f punktis a lokaalne miinimum, kui f ²(a) > 0 ja lokaalne maksimum, kui f ²(a)

.DOC Laadi alla originaalfail 26 lk · .doc · 689 allalaadimist

100 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 100 punkti.

~ 26 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2009-10-05 Kuupäev, millal dokument üles laeti

689 laadimist Kokku alla laetud

10 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

valat Õppematerjali autor

Matemaatiline Analüüs I kordamine eksamiks

reaalarv reaalarvude hulk ülemine alumine raja pidevuse aksioom funktsioonid funktsiooni piirväärtuse definitsioonid funktsiooni piirväärtuse omadused ühepoolsed piirväärtused tähtsad piirväärtused ekvivalentsed lõpmata väikesed funktsioonid pidevad funktsioonid tuletise definitsioon pidevus diferentseeruvus tehetega seotud diferentseerimisreeglid liitfunktsiooni tuletis pöördfunktsiooni tuletis funktsiooni diferentsiaal hospitali reegel taylori valem funktsiooni kasvamise ja kahanemise piirkondade leidmine funktsiooni lokaalsed ekstreemumid joone kumerus nõgusus käänupunktid joone asümptoodid arvjadad arvrea koonduvus hajuvus arvrea koonduvuse tarvilik tingimus rea absoluutne ja tingimisi koonduvus arvridade tähtsamad koonduvustunnused d´alembert´i tunnus cauchy tunnus vahelduvate märkidega read leibnizi tunnus astmerida koonduvuspiirkond funktsioonide arendamine astmereaks algfunktsioon määramata integraal tehetega seotud integreerimisreeglid määratud newton-leibnizi integraal määratud integraali omadused määratud riemanni integraal seos riemanni integraali ja newton-leibnizi integraali vahel päratud integraalid

Sarnased õppematerjalid

22

doc

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks (ainekava järgi koostatud konspekt)

Ainekava eksamiks ,, Matemaatiline analüüs I " 2007 2008 kevadsemester 1. Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Naturaalarvud arvud, mis saadakse loendamise teel, tähistatakse: IN (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., ) Täisarvud kõik naturaalarvud ja nende vastandarvud ning lisaks 0, tähistatakse Z m

Matemaatiline analüüs i

39

pdf

Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad

vähemalt üks hulga X punkt, mis pole reaalarv a ise. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X sisepunkt kui leidub tema ümbrus, mis kuulub hulka X . Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X rajapunkt kui igas tema ümbruses leidub nii hulga X punkte kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X . Sisepunkt ei saa olla rajapunkt. Sisepunkt on alati kuhjumispunkt. Rajapunkt võib olla kuhjumispunkt. 1 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsioon, tema graafik Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui x tähendab mis tahes arvu hulgast X , siis öeldakse, et x on muutuv suurus ehk muutuja hulgas X . Iga arvu x X nimetatakse muutuja x väärtuseks. Definitsioon: Kui igale arvule x X on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y ,

Matemaatiline analüüs i

37

docx

Matemaatiline analüüs l.

Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suva

Matemaatiline analüüs

32

doc

Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega

piirkonnas A, kui F `(x) = f(x) iga x A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. 31. Määramata integraal - avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks. 32. Ratsionaalfunktsioon - ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom - hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga. 36. Riemanni integraal - piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e

Matemaatika

156

pdf

Kõrgem matemaatika

MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kõrgem matemaatika

82

docx

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks

1. Reaalarvud Reaalarvude hulga R kirjeldamisel peab oskama välja tuua järgmist: 1) Q ⊂ R – ratsionaalarvude hulk sisaldub reaalarvude hulgas 2) Aritmeetika (tehted reaalarvudega) ja järjestus Aritmeetika. Eeldame, et hulgas R on defineeritud reaalarvude liitmine ja korrutamine järgmiste omadustega: (A1) a + b = b + a kõikide a,b € R korral (liitmise kommutatiivsus) (A2) (a + b)+ c =a +(b + c) kõikide a,b,c € R korral (liitmise assotsiatiivsus) (A3) b + 0 = b iga b € R puhul (nullelemendi olemasolu) (A4) iga b € R puhul leidub -b € R korral omadusega b + (-b) = 0 (vastandelemendi olemasolu) (M1) ab = ba kõikide a,b € R korral (korrutamise kommutatiivsus) (M2) (ab) c = a (bc) kõikide a,b,c € R korral (korrutamise assotsiatiivsus) (M3) 1b = b iga b € R puhul (ühikelemendi olemasolu) (M4) iga b € R {0} puhul leidub b-1 € R omadusega bb-1=1 (pöördelemendi olemasolu) (D) (a + b)

Matemaatiline analüüs

36

pdf

Matemaatiline analüüs

Matemaatiline analüüs 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a)  0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a)  0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal

Matemaatiline analüüs 1

21

docx

Matemaatiline analüüs 1, teine teooriatöö kordamisküsimused

23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y ' =f ( a ) +r ( x ) x Korrutame saadud avaldise x-ga ja saame y=f ' ( a ) x+ , kus =r ( x ) x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (Tõestada) ' lim f ( a ) x dy lim r ( x ) x =¿ x o = lim f ' ( a )=f ' ( a ) 0 x x x o lim = x o = lim r ( x ) =0 lim ¿ x o x x x o x o Loetleda diferentsiaali omadused 1. d (u +v )=

Matemaatika

Rohkem sarnaseid

Kommentaarid (10)

Meelika Spriit: palju materjali, väga hea

17:51 12-08-2011

SkuLL: Väga hea materjal!

10:23 06-10-2011

tdrk: kasulik materjal

13:49 25-12-2012

Kõik kommentaarid