Lineaarfunktsioon Üldkuju y=ax+b Funktsiooniks nimetatakse kahe muutuja omavahelist seost, mis on kindlaks määratud mingi matemaatilise eeskirjaga mida nimetatakse funktsiooni valemiks või funktsiooni eeskirjaks. Tõusev Langev sirge axlineaarliige * Kui a on väiksem, kui 0 sirge bvabaliige/algkordinaad on tegu langeva sirgega. alineaarliikme kordaja/sirge tõus y ja xmuutujad Vabaliige näitab punkti kus funktsioonigraafik (sirge) lõikab y telge. Lineaarliikme...
FUNKTSIOONID x- funktsiooni argument y- funktsiooni väärtus 1. V õ r d e l i n e s e o s y=ax * sirge * läbib 0 * a > 0 -> 1. Ja 3. Veerandis * a < 0 -> 2. Ja 4. Veerandis 2. P ö ö r d v õ r d e l i n e s e o s y= *x0 * x kasvades, y kahaneb ja vastupidi * hüperbool * harudel puuduvad ühised punktid kordinaat telgedega * a > 0 -> 1. Ja 3. Veerandis * a < 0 -> 2. Ja 4. Veerandis 3. L i n e a a r f u n k t s i o o n y=ax+b * sirge * lõikab y-telge punktis (0; b) * a > 0 -> tõusev sirge, 1. Ja 3. veerandis * a < 0 -> langev sirge, 2. Ja 4. Veerandis 4. R u u t f u n k t s i o o n y= a x 2 + b x + c * parabool * a > 0 -> avaneb üles * a < 0 -> avaneb alla * nullkohad Lahendab vastava ruutvõrrandi ...
Funktsiooni mõisted Lineaarfunktsiooni graafik on sirge. Lineaarfunktsiooni graafiku joonestamiseks peab teadma vähemalt kahe punkti koordinaate. Funktsiooni y = 3x + 1 graafik ei läbi koordinaatide alguspunkti. Kui sirge läbib punkte (2; 2) ja (5; 2), siis see sirge on paralleelne x-teljega. Kui sirge läbib punkte (3; 4) ja (3; 2007), siis see sirge on risti x-teljega. Funktsiooni y = 4x + 2 graafik ei läbi punkti (2; 10). Parabooli joonestamiseks tuleb välja arvutada rohkem kui kahe punkti koordinaadid. Ruutfunktsiooni graafik läbib y-telge ühes punktis. Parabooli ja x-telje lõikepunktide x-koordinaate nimetatakse ruutfunktsiooni nullkohtadeks. Pöördvõrdelise seose graafik on hüperbool. Sõltuvuse y = 3 : x graafiku harud paiknevad esimeses ja kolmandas koordinaatveerandis. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = a : x graafik ei läbi y-telge. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = 5 : x graafiku haru...
Joone võrrand Lineaarfunktsioon Funktsiooni, mida saab esitada kujul y = ax+ b nimetatakse lineaarfunktsiooniks. Avaldis ax on lineaarliige. Arv b on vabaliige, b väärtus vastab argumendi (x) väärtusele 0. Arv a näitab, mille võrra muutub funktsioon (y), kui argument (x) suureneb ühe võrra. Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafikuks on sirge, mis lõikub y-teljega punktis (0;b) ja läbib punkti (1; a+b). Sirge tõus a näitab, kui palju muutub sirgel oleva punkti ordinaat (y) siis, kui abstsiss (x) kasvab ühe ühiku võrra. Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega y = ax 2 + bx + c, kus ax 2 on ruutliige, bx on lineaarliige, c on vabaliige. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse parabooliks. Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mille suhtes parabool on sümmeetriline (nimetatakse ka parabooli teljeks). Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatak...
0 ei antud arv vastavate väärtuste korrutis kuulu määramis ning x ja jääv. piirkonda. Kui arv y on a>o, siis graafik on muutujad. 1 ja 3 veerandis, kui a<0, siis 2 ja 4 veerandis. Lineaarfunktsioon: Y=ax+b, Lineaarfunktsiooni Graafikuks on kus a ja b väljendab valem y=ax+b, sirge. 0 kuulub on antud kus ax on lineaarliige ja b määramispiirkonda. arvud on vabaliige ehk Sirge ei läbi alati 0 ning x ja algordinaat. punkti. Sirge läbib y on y teljel punkti b. muutujad.
Raudvara VÕRDELINE JA PÖÖRDVÕRDELINE SEOS. LINEAARFUNKTSIOON 4.1 MIS ON FUNKTSIOON? Teise väärtuse üks kindel väärtus on finktsioon. Funktsioon (y) Muutujat, mille väärtuse järgi leitakse teise muutuja vastavaid väärtusi, nimetatakse argumendiks. Argument (x) Argumendi väärtuste järgi leitud teise muutuja vastavat väärtust nimetatakse finktsiooni väärtuseks. 4.2 VÕRDELINE SEOS. Kui vastavate väärtuste (muutujate) jagatis on jääv suurus, siis kaks muutujat on seoses
Funktsioone saab esitada valemi, tabeli graafikuga ja sõnaliselt. Funktsioon e kujutius- seos, mis seob ühe hulga iga elemendi üheselt määratud elemendiga teiste hulgast. Lineaarfunktsioon- funktsioon, mida saab esitada kujul y=ax+b. Ruutfunktsioon- funktsioon, mis on esitatud ruutavaldisega. Funktsiooni määramispiirikond- valemina antud funktsiooni argumendi x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada. Funktsiooni muutumispiirkond- funktsiooni väärtuste hulk ehk selle määramispiirkonna kujutis. Kasvavaks nimetatakse funktsiooni y=f(x) vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi
1. Millist funktsiooni nimetatakse lineaarfunktsiooniks ja mis on selle graafikuks? Lineaarfunktsioon on funktsioon y=ax+b, kus a ja b on mistahes reaalarvud. Selle graafikuks on sirgjoon 2. Mida nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks? Funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse selliseid argumendiväärtuseid, mille korral on reaalne funktsiooni väärtus olemas 3. Millised võimalused on funktsiooni esitamiseks Valemina, tabelina, graafiliselt, järjestatud arvupaaridena, nool diagrammidega 4. Mida nimetatakse funktsiooni null kohaks ja mida negatiivsus piirkonnaks?
3x + y = 2 y= x 3. Lisage joonisele kummagi sirge juurde tema võrrand ning lahendage see võrrandisüsteem joonise abil. x + y = 3 x - 2y = 0 4. Ühendage sobivad paarid. 1 lineaarfunktsioon y= x võrdeline seos y = -3 x + 1 pöördvõrdeline seos y = 1,2 x 5. Joonestage ühes ja samas teljestikus järgmiste funktsioonide graafikud: 1) y = x; 2) y = 2x; 3) y = -2x; 4) y = -2x + 1 6. Joonestage ühes ja samas teljestikus
Võrdeline seos Pöördvõrdeline seos Lineaarfunktsioon Y=ax Y=a/x Y=ax + b a-võrdetegur a-võrdetegur ax-lineaarliige x;y-muutujad x;y-muutujad b-vabaliige y/x = a Yx = a Sirge (0;0) ja (1;a) Hüperbool Sirge y = ax (o;b) A<0 II ; IV A<0 II ; IV A> 0 I ;III A> 0 I ;III Lineaarfunktsioon
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Funktsioon Funktsiooniks nimetatakse vastavust, mis seab sõltumatu muutuja x igale väärtusele hulgale X vastavusse sõltuva muutuja y ühe kindla väärtuse hulgast Y (Funktsioon on seos kahe muutuja vahel, kus ühe muutuja igale väärtusele vastab üks kindel teise muutuja väärtus). Võrdelise seose valemiks on y = ax ja tunnuseks a = y/x. Graafikuks on sirgjoon, mis läbib punkte (0;0) ning (1;a). Pöördvõrdelise seose valemiks on y = a/x, kus x 0 ja tunnuseks a = xy. Graafikuks on hüperbool. Lineaarfunktsiooni valemiks on y = ax + b ning graafikuks sirgjoon, mis läbib punkte (0;b) ning (1;a+b). Funktsiooni määramispiirkond (X) on sõltumatu muutuja e. argumendi x väärtuste e. funktsiooni väärtuste hulk. Funktsiooni muutumispiirkond (Y) on sõltuva muutuja y ...
· Maksimumkoht Kui f ( x 1 ) = 0 ja f ( x 1 ) < 0 , siis x1 on maksimumkoht · Miinimumkoht Kui f ( x 2 ) = 0 ja f ( x 2 ) > 0 , siis x2 on miinimumkoht · Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) · Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) · Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, a 0 Eksponentfunktsioon y = ax, a > 0 ja a 0 Logaritmfunktsioon y = log a x , a > 0, ja a 1, x > 0 -1 Kui f ( x ) = a , siis f x ( x ) = log a x -1 Kui f ( x ) = log a x , siis f (x) = a x Trigonomeetrilised funktsioonid
X+ positiivsuspiirkond Funktsi X- negatiivsuspiirkond Pöördvõrdeline sõltuvus (hüperbool) Y muutumispiirkond y=a /x Lineaarfunktsioon (sirge) a >0 I ja III veerand oonid I y=ax+b a <0 II ja IV veerand Ruutfunktsioon (parabool)
Paarisfunktsioon Funktsioon f(x), kui f( x) = f(x) Paaritu funktsioon Funktsioon f(x), kui f(x) = f(x) Kasutatud kirjandus: Eksaminandile matemaatika riigieksamist, REK, 2001 Valemid asuvad keskkonnas www.kool.ee Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 ja b antud arvud Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, a 0 , b ja c antud arvud Astmefunktsioonid y = x 2n 1, n 0, n N y = x 2n, n 0, n N Kasutatud kirjandus: Eksaminandile matemaatika riigieksamist, REK, 2001 Valemid asuvad keskkonnas www.kool.ee
lõikejoont suurringjooneks. Pindala: S=4· r² Ruumala: V=4/3· r³ 11. Vektor: Mõiste: Vektoriks nim. suunaga lõiku. Vektori koordinaadid: Koordinaattelgede suunalised ühisvektorid i ja j moodustavad vektorbaasi tasandil. Iga vector v avaldub kujul v=Xi+Yj, kus arvud X ja Y on üheselt määratud. Neid arve X ja Y nim. vektori v koordinaatideks antud vektorbaasi suhtes ning kirjutatakse v=(X;Y). Vektori pikkus: Vektori, kui suunatud lõigu pikkuseks nim. selle lõigu pikkust. 12. Lineaarfunktsioon: Mõiste: Funktsiooni y=mx+b, kus m0 ja b on mingid kontstandid, nim. lineaarfunktsiooniks. Joonestamine: (näide) Asend ja tõusunurk: Lineaarfunktsioon on rangelt kasvav, kui m>0 ja rangelt kahanev, kui m<0 (joonisel). 13. Ruutfunktsioon: Mõiste: Ruutfunktsioon on (y=x²) mittenegatiivsete väärtustega paarisfunktsioon. Joonestamine: (näide) Haripunkt: Graafikus (näide joonisel) on ruutbarabool, mille haripunkt asub nullpunktis ja mis on sümmeetriline y-telje suhtes. Asend:
(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3 1 a = a a −n = n k 2a = k a Lineaarfunktsioon: y= ax + b α β d – diameeter; r - raadius (a+b)(a2 – ab + b2)=a3+b3 b b C – ringjoone pikkus a (a - b)(a2 + ab + b2)=a3-b3 (-a-b)2=(a+b)2 0 a =1 − n n ( a) 2
5 katkevuspunkt. 4 koordinaatide alguspunkti (0;0). 10 3 Graafiku asend koordinaat- · Lineaarfunktsioon 2 teljestikus sõltub võrdeteguri 1 Lineaarfunktsiooni e. lineaarse seose valem: y = ax + b , a 0 väärtusest. Kõrvaloleval joonisel
JADAD Aritmeetiline jada Olgu antud lineaarfunktsioon y=f(x)=ax+b Aritmeetilised jadad on näiteks: 1,3,5,7...2n-1 Selle aritmeetilise jada üldvalem 7,11,13,15,19...4n+3 Selle aritmeetilise jada üldvalem d=3-1=5-3=7-5=...=2 d-aritmeetilise jada vahe 1+5 3+ 7 Omadus: =3 ; =5 2 2 d=11-7=15-11=19-15=...-4 7 +15 11 +19 Omadus: =11 ; =15 2 2 Üldiselt avaldub aritmeetiline jada:
(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3 1 a = a a -n = n k 2a = k a Lineaarfunktsioon: y= ax + b d diameeter; r - raadius (a+b)(a2 ab + b2)=a3+b3 b b C ringjoone pikkus a (a - b)(a2 + ab + b2)=a3-b3 (-a-b)2=(a+b)2 0 a =1 - n n ( a) 2
39. Korrapärane kolmnurk võrdkülgne kolmnurk. 40. Korrapärane prisma püstprisma, mille põhi on korrapärane hulknurk. 41. Korrapärane püramiid püramiid, mille külgservad on võrdsed ja põhjaks on korrapärane hulknurk. 42. Kraad ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 43. Kuup 1. risttahukas, mille kõik servad on võrdsed. 44. Kõõl joone kaht punkti ühendav lõik. 45. Lineaarfunktsioon kahe suuruse x ja y vaheline seos kujul y = ax + b ; ax on lineaarliige, b vabaliige; graafik on sirge. 46. Lineaarvõrrand võrrand, milles tundmatud on ainult esimeses astmes. 47. Lõpmatu kümnendmurd kümnendmurd, mille ükski numbrikoht pole viimane. 48. Lähisküljed ühest ja samast tipust lähtuvad hulknurga küljed. 49. Mediaan kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga ühendav lõik. 50. Minut ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 51
Funktsiooni y = log(1 - x) määramispiirkonnaks saame: 0 < 1 - x < + - < x < 1. Muutumispiirkonnaks on logaritmfunktsiooni muutumispiirkond: Y = (-; + ). Pöördfunktsiooni arvutuseeskirja saamiseks avaldame võrrandist y = log(1 - x) muutuja x: y = log(1 - x) 10 y = 1 - x x = 1- 10 y x = f -1 ( y ) = 1 - 10 y Pöördfunktsiooni määramispiirkond: Y = (-; + ). Pöördfunktsiooni muutumispiirkond: X = (-; 1). Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 a, b - antud arvud Lineaarfunktsiooni graafikuks on sirge. y 2 y=a 0 x+ > b, a b, a <0 ax +
Kahte suurust, mille vastavate väärtuste suhe on jääv, nimetatakse võrdelisteks suurusteks. Seda jäävat suhet (jagatist) nimetatakse nende suuruste võrdeteguriks. Võrdeliste suuruste vahelist sõltuvust nimetatakse võrdeliseks seoseks. Võrdelise seose valem on y = ax, kus a on antud arv. Võrdelise seose graafikuks on sirge, mis läbib koordinaatide alguspunkti Kui a on positiivne, siis on sirge esimeses ja kolmandas veerandis, kui a on negatiivne, siis teises ja neljandas. 33. Lineaarfunktsioon ja selle graafik. Lineaarfunktsiooni üldkuju y = ax + b (0,b)(1,a) Graafikuks on sirge. 34. Pöördvõrdeline seos ja selle graafik. a y x Pöördvõrdeline seos, ülkduju • Hüperbool 35. Võrre, võrde põhiomadus, võrdekujuline võrrand. Võrre on tõene võrdus, mille mõlemad pooled on jagatised (võrdsed). Võrdus on avaldis, mis võib olla tõene või väär. Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut.
2.4 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS. FUNKTSIOONI PIDEVUS Vaatleme funktsioone, mis on määratud valemiga y = f(x). Selliseid funktsioone võib liigitada nende määramispiirkonna järgi. Funktsioonid, mis on määratud kogu reaalarvude hulgas. Need on funktsioonid, mille väärtusi on võimalik arvutada argumendi x iga väärtuse korral. Sellised funktsioonid on lineaarfunktsioon y = ax + b, ruutfunktsioon y = ax 2 + bx + c , aga ka naturaalarvulise astendajaga astmefunktsioon y = x n . Kõigile neile on ühine see, et funktsioonide graafikud on pidevad jooned ja kogu graafiku saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata pideva joonega. Öeldakse, et vaadeldavad funktsioonid on pidevad kogu arvteljel. Funktsioonid, mille määramispiirkond koosneb arvtelje ühest osast. Leidub funktsioone, mis on määratud vaid arvtelje ühel osal: poolsirgel, vahemikus või
sx sy -kui võrdetegur a>0, siis sirge asub I,III 46. Sirge üldvõrrand veerandis Ax + By + C = 0 -kui võrdetegur a<0, siis sirge asub II, IV 47. Sirgete lõikepunkt veerandis 55. Lineaarfunktsioon y = ax +b , kus a, b =R Graaik on sirge 56. Ruutfunktsioon y = ax 2 + bx + c , kus a, b, c = R ja a 0 p n L = a1 ±
Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Ringjoont, mis läbib kolmnurga tippe, nimetatakse kolmnurga ümberringjooneks. Ringjoont, mis asub kolmnurga sees ja mis puutub kolmnurga kõiki külgi, nimetatakse kolmnurga siseringjooneks. Mittetäielik ruutvõrrand nimetatakse ruutvõrrandit, milles kas lineaarliikme kordaja või vabaliige on null. Kui korrutis on null, siis on vähemalt üks teguritest null. Alati 2 lahendit. Lineaarfunktsioon- y = ax + b, mlles ax= lineaarliige ja b= vabaliige. Lahendite arve on 1. Vastava funktsiooni graafik on sirge. Ligikaudse arvu tüvenumbrid- Kui ligikaudsetes arvude 112340; 4,0528 ja 0,0328 koma ja nullid arvu algusest ja lõpust jätta, siis arve 11234; 40528 ja 326 nim. esialgsete arvude tüvedeks. Arvu tüves esinevad numbrid on arvu tüvenumbrid. Seega esimesel arvul on 5, teisel arvul 5 ja kolmandal arvul 3 tüvenumbrit. Näide: Arvu 37,4 tüvenumbrid on 3, 7 ja 4
· Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) · Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) · Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) · Periood f(x + T) = f(x), T periood · Paarisfunktsioon Funktsioon f(x), kui f( x) = f(x) · Paaritu funktsioon Funktsioon f(x), kui f(x) = f(x) Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 ja b antud arvud Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, a 0 , b ja c antud arvud Astmefunktsioonid y = x 2n 1, n 0, n N y = x 2n, n 0, n N y = x 2n, n 0, n N y = x (2n 1), n 0, n N Juurfunktsioonid y= x; x 0 y =3 x Eksponentfunktsioon
1) koordinaatteljestiku tegemisel võtta ühe ühiku pikkuseks 1 cm ehk kaks vihikuruutu (kui õpetaja pole eelnevalt midagi muud öelnud); 2) sirge paikneb kogu koordinaattasandi ulatuses. Kui õpilane ühendab teljestikku märgitud punktid omavahel, siis sel juhul on joonisel lõik, mitte sirge. Joonisel 9 on näide ühest tüüpilisest ,,vildakast" joonisest. Lisaks sirge asemel joonestatud lõigule on siin joonise autor Joonis 9 jätnud ka teljed tähistamata. 3. Lineaarfunktsioon ja selle graafik Funktsiooni, mida saab esitada kujul y = ax + b, kus a ja b on konstandid, nimetatakse lineaarfunktsiooniks. Lineaarfunktsiooni puhul on kindlasti vaja õpilastele selgitada arvude a ja b tähendust. Võttes valemis y = ax + b argumendi x väärtuseks arvu 0, saame tulemuseks y = a0 + b = b, arv b on funktsiooni algväärtus (ehk vabaliige), st väärtus, mis vastab argumendi väärtu sele 0. Geomeetriliselt tähendab see punkti, kus sirge läbib ordinaattelge: (0; b).
.. y=a:x · Funktsioon on ühene vastavus · Igale vastab üks, mitte ühelegi kahte või enamat 16. Funktsiooni kasvamine vahemikus- · Kui mingis vahemikus argumendi väärtuste suurenedes ka funktsiooni väärtused suurenevad, siis see funktsioon on selles vahemikus kasvav. · Näitame, et a>0 korral funktsioon on kasvav, a<0 korral aga kahanev. x2 suurem kui x1, siis .... 17. Lineaarfunktsioon, graafik- · Funktsiooni, mis avaldub kujul y=ax+b, nimetatakse lineaarfunktsiooniks k y= 18. x Pöördvõrdeline sõltuvus, graafik- · Sõltuvust, mis avaldub kujul , nimetatakse pöördvõrdeliseks sõltuvuseks. 1, kui x 0, = 19. 0, kui x 0 Heaviside funktsioon, gaafik- · Palk=Põhipalk+0,3*K* (K) · K kasum 1, kui x 0 sgn x = 0, kui x = 0
Eeltoodud põhiliste meetodite kõrval on kasutusel teisi meetodeid. Palju neist on sarnased Bishopi lihtsustatud meetodiga, kuid momentide tasakaalu tingimuse kõrval arvestavad ka jõudude tasakaalu tingimust. Mogenstern ja Price (1965, 1967) võttes arvesse kõiki tasakaalutingimusi eeldasid, et lõikude vahelised nihkejõud T (joonis 9.14) on seotud lõikudevaheliste horisontaaljõududega T = f(x) E, kus on konstant ja f(x) lõigu horisontaalkauguse lineaarfunktsioon. Sellistel eeldustel saab tasakaaluvõrrandite süsteemi antud ääretingimuste juures lahendada ja püsivusteguri F leidmiseks. Spencer eeldas, et lõikudevahelise jõu resultandi kaldenurk on ühe lõigu jaoks konstantne. Lõikudevahelise resultantjõu kaldenurk ja püsivustegur leitakse järkjärgulise lähenemise teel. Janbu lahenduse korral leitakse lõikudevahelised jõud järk-järgulise lähenemise teel alustades eeldusest, et nihkejõud lõikude vahel puuduvad
pind lõigete meetod Vähimruutude meetod Empiiriline valem: valem y = f(x), mis väljendab mingi katse tulemusena saadud kahe suuruse x ja y vahelist ligikaudset sõltuvust. Vähimruutude meetod: see on üks võimalus, mille kaudu saab leida võimalikult head empiirilist valemit y = f(x). Põhiideeks on leida valemis esinevad arvkordajad nii, et valemi põhjal arvutatud suuruste f(xi) ja katseandmete yi vahede ruutude summa oleks minimaalne. Erinevaid lähendfunktsioone: o Lineaarfunktsioon y = ax + b o Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c o y = aebx o y = a log x o y = a sin bx Arvutamine (lineaarsel juhul): o Kõigepealt saadakse katseandmed tabelina, kus on kirjas x ja y väärtused. o Edasi moodustatakse tabel, kus on eraldi veergudes kirjas i katsete arv, xi väärtus mingi katse korral, yi väärtus mingi katse korral, xi2 - väärtuse ruut mingi katse korral ja xiyi x ja y väärtuste korrutis mingi katse korral. Iga veeru lõpus on veergude summa.
Funktsiooni y = f ( x ) 1) nullkohtade leidmiseks lahendatakse võrrand f ( x ) = 0 ; 2) positiivsuspiirkonna X + leidmiseks lahendatakse võrratus f ( x ) > 0 ; 3) negatiivsuspiirkonna X - leidmiseks lahendatakse võrratus f ( x ) < 0 . 4.2 Elementaarfunktsioonid 1. Konstantne funktsioon y = c (joon. 1). 23 2. Võrdeline sõltuvus (joon. 1): y = kx , k = tan , 0 < , paaritu funktsioon. Määramispiirkond X = . 3. Lineaarfunktsioon (joon. 1): y = kx + b , k = tan , 0 < , ei paaris ega paaritu, kui b 0 . X = . y Joon. 1 4. Pöördvõrdeline sõltuvus (joon. 2): a y = , graafikuks on võrdhaarne hüperbool, asümptootideks on koordinaatteljed, x paaritu funktsioon. X = ( - ; 0 ) U ( 0 ; ) . Joon. 2 5. Ruutfunktsioon:
x2 = 3 vasak pool: (2 . ( 3) + 3)3 316 = ( 3)3 316 = 343 parem pool: (2 . ( 3) 1)3 = ( 7)3 = 343 Vasak pool on võrdne parema poolega. Vastus: x1 = 2 ja x2 = 3 Ruutfunktsioon - Sissejuhatus ruutfunktsiooni Praeguseks momendiks peaksid tundma niisuguseid seosei muutujate x ja y vahel, nagu a võrdeline seos y = ax, pöördvõrdeline seos y ning lineaarseos ehk lineaarfunktsioon y = x ax + b. Kordame neid seoseid. Edasi vaatame ülesandeid. 1. Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui x 2; 1; 0; 1; 2; 3 . Lahendus: Kõigepealt joonestame graafiku. Teame, et sirge joonestamiseks piisab kahest punktist. Võtame x = 0. Sel juhul on y = 1,5 . 0 = 0. Saime punkti (0; 0). Olgu nüüd x = 2, siis y = 1,5 . 2 = 3. Teine punkt on (2; 3)
2) positiivsuspiirkonna X leidmiseks lahendatakse võrratus f x 0 ; 3) negatiivsuspiirkonna X leidmiseks lahendatakse võrratus f x 0 . 4.2 Elementaarfunktsioonid 1. Konstantne funktsioon y c (joon. 1). 23 2. Võrdeline sõltuvus (joon. 1): y kx , k tan , 0 , paaritu funktsioon. Määramispiirkond X ¡ . 3. Lineaarfunktsioon (joon. 1): y kx b , k tan , 0 , ei paaris ega paaritu, kui b 0 . X ¡ . y Joon. 1 4. Pöördvõrdeline sõltuvus (joon. 2): a y , graafikuks on võrdhaarne hüperbool, asümptootideks on koordinaatteljed, x paaritu funktsioon. X ; 0 U 0 ; . Joon. 2
F ( ) = f ( ) - g ( ) = 0 = g (b ) - g (a ) g (b ) - g (a ) g ( ) Lagrange'i keskväärtusteoreem Teoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b] ja diferentseeruvad vahemikus (a, b ) , siis leidub punkt (a, b ) nii, et kehtib võrdus f (b ) - f (a ) = f ( ) (b - a ) . Tõestus: Rakendame Cauchy keskväärtusteoreemi juhtumi g ( x ) = x korral. Funktsioon g on lineaarfunktsioon ning seega pidev lõigus [a, b] ning diferentseeruv vahemikus (a, b ) . Funktsioonil g ei ole statsionaarseid punkte vahemikus (a, b ) , sest g ( x ) = 1 0 . Seega f (b ) - f (a ) f ( ) = f (b ) - f (a ) = f ( ) (b - a ) b-a 1 L'Hospitali reegel Teoreem: Kui mingis protsessis lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 või lim f ( x ) = lim g ( x ) = ja eksisteerib
momentide tasakaalu tingimuse kõrval arvestavad ka jõudude tasakaalu tingimust. Mogenstern ja Price (1965, 1967) võttes arvesse kõiki tasakaalutingimusi eeldasid, et lõikude vahelised nihkejõud T (joonis 9.14) on seotud lõikudevaheliste horisontaaljõududega T = f(x) E, kus on konstant ja f(x) lõigu horisontaalkauguse 9 lineaarfunktsioon. Sellistel eeldustel saab tasakaaluvõrrandite süsteemi antud ääretingimuste juures lahendada ja püsivusteguri F leidmiseks. Spencer eeldas, et lõikudevahelise jõu resultandi kaldenurk on ühe lõigu jaoks konstantne. Lõikudevahelise resultantjõu kaldenurk ja püsivustegur leitakse järkjärgulise lähenemise teel. Janbu lahenduse korral leitakse lõikudevahelised jõud järk- järgulise lähenemise teel alustades eeldusest, et nihkejõud lõikude vahel puuduvad
paika ka funktsiooni läbikorrutamisel mõne reaalarvuga. Lisaks kui oskame leida nullkohti, siis kolmkohtade leidmiseks tuleb polünoomist lahutada kolm ning leida saadud tulemuse nullkohad. Saame näidata, et kui polünoomi aste on , siis tal ei saa olla rohkem kui null- kohta (või „kolmkohta”). Sellest tulemusest võib intuitiivselt aru saada, kui mõelda, et lineaarfunktsioon ei tee ühtegi jõnksu, ruutfunktsioon teeb maksimaalselt ühe jõnksu, kuupfunktsioon kaks jõnksu ja analoogselt teeb astme polünoom jõnksu. Et pärast teatud nullkohta polünoomiga jälle nulli tagasi jõuda, on meil alati tarvis ühte jõnksu ja jõnksu abil võime nõnda nulli jõuda täpselt korda. Kõigest sellest võib kavalam järeldada, et kui kaks -astme polünoomi on võrdsed
annaabi.ee 
