niisugune arv > 0 , et kehtib võrratus f ( x ) - A < , alati kui 0 < x -a < , ja kirjutatakse lim f ( x ) = A xa ehk f ( x ) A , kui x a või lim f ( x ) = A , kui x a. lim x a f (x) = ± definitsioon: Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus punktis a , kui iga arvu N > 0 korral leidub selline arv > 0 , et kehtib võrratus f ( x ) > N ( < -N ) , alati kui 0 < x -a < , ja kirjutatakse lim f ( x ) = ( - ) xa ehk f ( x ) ( - ) , kui x a. Funktsiooni piirväärtuse tehete omadsued:
x a või f(x) A, kui x a. Näide . Tõestame,et lim x1 (2x + 1) = 3. Olgu > 0 suvaline.Siis f(x) - A=(2x+1)-3 = 2x-1< , kui x-1< . Seega võttes = , näeme, et definitsiooni 1nõuded on täidetud. 2 2 Definitsioon 2. Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus piirprotsessis . x a, kui iga arvu N > 0 korral leidub arv > 0, nii et f(x) > N ( f(x) < -N ), alati kui 0 < | x - a | < . Kirjutame lim xa f(x) = ( vastavalt lim xa f(x) = - ). 2. Funktsiooni piirväärtuse omadused Teoreem 2. Kui eksisteerivad lõplikud piirväärtused lim xa f(x) = A ja lim xa g(x) = B, siis 1) lim xa [ f(x) ± g(x)] = A ± B, 2) lim xa [ c f(x)] = c A, 3) lim xa [ f(x) g(x)] = A B,
ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. ............................................................6 Absoluutväärtuse omadused..
Eeldame, et X ⊂ R on mittetühi alamhulk, mis on alt tõkestatud reaalarvuga m, s.t. m ≤ x iga x ∈ X korral. Omaduse ** kohaselt −x ≤ −m iga x ∈ X korral. Tähistame Y := {−x | x ∈ X} ja paneme tähele, et hulk Y on ülalt tõkestatud. Pidevuse aksioomi (P) põhjal laidub tal ülemine raja c := sup Y. Näitame, et arv a := -c on hulga X alumina raja. Kuna −x ≤ c, siis x ≥ −c = a iga x ∈ X korral , mis tähendab, et a on hulga X alumine tõke. Osutub, et ta on alumistest tõketest suurim. Et selles veenduda, võtame suvalise d > a ja kontrollime niisuguse x0 ∈ X olemasolu, mis rahuldab tingimust x0 < d. Teisisõnu me näitame, et *** on täidetud. Võrratusest d > a tuleneb, et −d < −a = c, ja kuna c = sup Y , siis tingimuse **** põhjal leidub selline y0 ∈ Y , et y0 > −d. Seejuures y0 = −x0 mingi x0 ∈ X korral, mistõttu −x0 = y0 > −d ehk x0 < d. Lause on tõestatud.
R 1 = R - arvsirge d (P, Q ) = x - y B( A, r ) = (a - r , a + r ) - vahemik R 2 - koordinaattasand d (P , Q ) = (x1 - y1 )2 + (x 2 - y 2 )2 B( A, r ) = {P R 2 : d 2 (P, A) < r 2 } Fikseerime punkti A = ( x1 ,..., x m ) R m ja reaalarvu > 0 . Def. Punkti A R m ümbruseks nimetatakse hulka U ( A) = B( A, ) . Öeldakse ka punkti -ümbrus ning kirjutatakse U ( A) . Def. Punkti P R m nimetatakse hulga D R m sisepunktiks, kui leidub ümbrus U (P ) D . Def. Punkti Q R m nimetatakse hulga D R m rajapunktiks, kui iga selle punkti ümbrus U (Q ) sisaldab nii hulka D kuuluvaid kui ka sinna mittekuuluvaid punkte. Def. Hulga D R m rajaks D nimetatakse selle hulga kõigi rajapunktide hulka. Raja nimetatakse sirgel rajapunktideks, tasandil rajajooneks ning ruumis rajapinnaks. Def. Hulka D R m nimetatakse lahtiseks, kui kõik tema punktid on sisepunktid. Def
. . . . . . . . . . . . 33 2.1.4 Tähtsad piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Koonduvuseteooria neli printsiipi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Monotoonsuseprintsiip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Bolzano–Weierstrassi teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 Cauchy kriteerium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Cantori teoreem üksteisesse sisestatud lõikudest . . . . . . . . . . . . 38 2.2.5 Reaalarvu kümnendesitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.6 Arv e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse üldine definitsioon on järgmine: Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või lim x = a . Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a - , a]. Sellisel juhul kirjutatakse x a- Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab
. . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Põhilised elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 SISUKORD 3.6 Elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Funktsiooni piirväärtus ja pidevus 37 4.1 Jada piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Funktsiooni piirväärtuse mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 Ühepoolsed piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.4 Funktsiooni piirväärtuse omadused . . . . . . . . .
(integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja 0 tähistatakse () st () = () + . Määramata integraali tuletis on tingimuste f(x) = O(1), g(x) = O(1) (x [, ]) põhjal(( )- f( )) 0. võrdne integreeritava funktsiooniga st ( ())'= f(x)
Küsimused: 1.Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Darbouc ülem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos-viimane pilt. ∫ f ( x ) dx st ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C . Määramata integraali tuletis on f (¿ ξi) ∆ xi SΠn n võrdne integreeritava funktsiooniga st ( ∫ f ( x ) dx )’= f(x). Tõestus: ( ∫ f ( x ) dx Riemanni summa lõigul [a,b] (f) =
3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega). Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a x x0 - 0 x x0 + 0 Teoreemid piirväärtuste kohta. Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et
3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega). Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a x x0 - 0 x x0 + 0 Teoreemid piirväärtuste kohta. Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et
Mitmemõõtmelise ruumi mõiste Def: On antud n reaalarvu x1...xn ja nende järjestatud jada (x1...xn)(-punkt) seda nim n- mõõtmelise ruumi punktiks. Rn={(x1,...,xn) | xi R, i=1,...,n}, P(x1,...,xn) punkt koordinaatidega xi n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks.
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f’(x1) = 0. Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus f(x) − f(x1) ≤ 0 Selles ümbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x − x1 < 0. Jagame võrratuse negatiivse arvuga x − x1. Kuna
x=f -1 (y), mis igale arvule y ∈ Y = f (X) seab vastavusse arvu x ∈ X, kusjuures y = f(x). Reaalmuutuja ühene funktsioon - Kui hulga X ⊂ R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y ⊂ R, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ( ühene) ühe (reaal-)muutuja (reaalsete väärtustega) funktsioon f. Arvupaaride hulka {(x, y)| x ∈ X ∧ y = f(x)} nimetatakse funktsiooni f graafikuks. 3.Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. Jada – Funktsioon f(x), mille määramispiirkonnaks on kõigi naturaalarvude hulk N. Jada piirväärtus - Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x korral, mis täidab tingimust 0 < |x − a| < δ(ε) kehtib võrratus |f(x) − b| < ε. Lim f(x) = b x→a Koonduv jada – Jada, millel on lõplik piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused - 1)Konstantse funktsiooni piirväärtuseks on see konstant, st
Jada piirva¨ artus. ¨ Arv e. Funktsiooni piirva¨ artus. ¨ Joone asumptoodid. ¨ ~ Lopmata ¨ vaikesed ja ~ lopmata ~ suured suurused. Funktsiooni pidevus. Loigul pidevate funktsioonide omadused. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Po¨ ordfunktsiooni ¨ tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata ~ funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Pohiliste elementaarfunktsioonide tuletised. ~ Korgemat ¨ jarku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine
ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahuldab tingimust PA, funktsiooni väärtus f(P) läheneb arvule b Mitmemuutuja funktsiooni pidevus Olgu antud mitmemuutuja funktsioon z=f(P) määramispiirkonnaga D. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui AD; eksisteerib piirväärtus lim f ( P ) ; lim f ( P ) = f ( A) PA PA
Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada { xnk} , mis 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. koondub arvuks a. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß'i teoreem. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunktimõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. 6. Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega. Reaalmuutuja funktsiooni 6
a. Arvu L2 nimetatakse funktsiooni f(x) vasakpoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga ε>0 korral leidub niisugune arv δ> 0 , et kui a−δ < x Teoreem : Piirväärtus f ¿ on olemas parajasti siis, kui lim ¿ lim ¿ x→a x→ a 8. Piirväärtuste tehetega seotus omadused: a. Eeldame, et kõik paremal pool olevad piirväärtused eksisteerivad. i. Kui c on konstant, siis lim[cf(x)] = c[lim f(x)] s. t ii
X; muutumispiirkond Y Näited: 2. Funktsiooni graafik (definitsioon, piltlik esitus). Definitsioon: funktsiooni graafik= {(x,f(x)): x∈X} Piltlikult: 3. Pöördfunktsioon (definitsioon). Näiteid. Kuidas leida pöördfunktsioone? Definitsioon: funktsiooni kujul f(x)-1 nimetatakse pöördfunktsiooniks Leidmine: 4. Põhilised elementaarfunktsioonid. Nende omadused (määramis- ja muutumispiirkonnad) ja graafikud. 5. Funktsiooni piirväärtus (definitsioon, tähistus). Graafiline esitus (ülesanne lk 7). Millal piirväärtus ei eksisteeri? Definitsioon: Arvu L nimetatakse funtsiooni piirväärtuseks kohal a, kui iga ε>0 puhul leidub niisugune arv δ>0, et iga x≠a puhul, mis rahuldab värratus |x-a|< δ, kehtib värratus |f(x)-L|< ε Piirväärtus ei eksisteeri: 1. Parem-ja vasakpoolsed piirväärtused eksiteerivad kuid ei võrdu 2
Iga x ( x - , x + ) korral kehtib võrratus f ( x) f (x ) ; 2.Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui 1.Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses ( x 1- , x 1+ ) ; 2.Iga x (x - , x + ) korral kehtib võrratus f (x) f (x ) . 3.Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks b Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f '(x1) = 0. a. Tõestus: 1. X asub punktist x1 vasakul f ( x )-f ( x1 ) 0 1 x¿ f ( x ) -f ( x 1 ) ¿ x< x1 x-x 1< 0 0 f ( x )-f ¿ f ' ( x1 ) 0 f ' ( x 1 )=0 x-x 1
1. Kollokvium 1. Hulga mõiste. Järjestatud hulk. Tehted hulkadega. Arvuhulgad. Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 (tõestada). Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud. Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tehted hulkadega: * Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas
pidevad. See tulemus kehtib ka siis, kui liitfunktsioonil on mitu koostisosa. x y = cos 3 NT: Funktsioon 2 on kõikjal pidev, sest tema koostisosad x v= y = u , u = cos v ja 3 2 on kõikjal pidevad. 6. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu). funktsiooni tuletis - Funktsiooni y = f (x) tuletiseks f ´(x) kohal x nimetatakse piirväärtust x f ( x + x ) - f )( x ) f ( x ) = lim = lim x 0 y x 0 x kui see piirväärtus eksisteerib. dy df ( x ) f ( x ), y , y x , , Tuletise tähised: dx dx Geomeetriline interpretatsioon e. joone puutujaks punktis P nimetatakse lõikaja
kui 𝑥1 < 𝑥2 , 𝑠𝑖𝑖𝑠 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2) Funktsioon f on piirkonnas X kahanev, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus, s.t. kui 𝑥1 < 𝑥2, 𝑠𝑖𝑖𝑠 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ) Funktsioon f on piirkonnas X konstantne, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab võrdne funktsiooni väärtus, s.t. kui 𝑥1 < 𝑥2, 𝑠𝑖𝑖𝑠 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) Kui funktsiooni f(x) tuletis lõigu (a,b) ulatuses on negatiivne, so f’(x) < 0, siis f-n kahaneb selles vahemikus. Kui funktsiooni f(x) tuletis lõigu (a,b) ulatuses on positiivne, so f’(x) > 0, siis f-n kasvab selles vahemikus. 7. Liitfunktsioon. Näited. Võime saada uusi funktsioone ka mitme funktsiooni kompositsioonina. Liitfunktsiooni saame kahe või enama funktsiooni järjest rakendamisel. Näiteks kui 𝑦 = 𝑓(𝑢) = √𝑢 𝑗𝑎 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1, siis y on funktsioon x-ist, st
1* Normi ka kauguse Def. 1o puudu ||f||∞ = sup|f(x)|(x∈X) 5*(Jada definitsioon. Koonduvad jadad , jada piirväärtus. Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈V Koonduva jada piirväärtuse omadused + tõestus) piirväärtuse ühesuse tõestus.jada
2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Tõestus : funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus Selles ümbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x - x1 < 0. Jagame võrratuse negatiivse arvuga x - x1. Kuna negatiivse arvuga jagamisel võrratuse märk muutub vastupidiseks, saame
23Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 26l'Hospitali reegli põhjal saab 0/0 tüüpi määramatusega piirväärtuse arvutamisel üle minna piirväärtusele, mille all kasutades mõisteid: esineb esialgse murru lugeja tuletise ja nimetaja tuletise jagatis.
2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). ¨ Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x1) = 0. T~oestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 u¨mbrus nii, et iga x korral sellest u¨mbrusest kehtib v~orratus f(x) - f(x1) 0 Selles u¨mbruses asuva arvu x me saame v~otta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x - x1 < 0. Jagame v~orratuse negatiivse arvuga x - x1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Näiteks kui f(x)=ex, siis f-1(y)=lny ja iga x korral ln(ex)=x. Pöördfunktsiooni f-1 leidub ainult niisugusel funktsioonil f, mis on kogu oma määramispiirkonnas kas kasvav või kahanev, sest üksnes selline f korraldab üksühese vastavuse oma määramispiirkonna ja muutumispiirkonna vahel. Kui funktsioon f rahuldab nimetatud tingimust vaid oma määramispiirkonna mingil osahulgal, siis saab rääkida üksnes selle funktsiooni vastava lahendi pöördfunktsioonist. Kui funktsiooni f tuletis f' on kohal x nullist erinev, siis pöördfunktsiooni f-1 tuletis kohal y=f(x) saab avaldada kujul ( f -1 )' ( y ) = f '1( x ) = f ' ( f 1-1 ( y ) ) 4. Funkts. Piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirv. Def: Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a kui suvalises piirprotsessis xa, mis rahuldab tingimust x a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on: lim(xa) f(x) = b või f(x) b kui xa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a-,a+ ), st rahuldavad võrratust |x- a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või limx = a. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame üldisest piirväärtuse definitsioonist, kui me seal esineva ümbruse (a-,a+) kitsendame kas vasakpoolseks või parempoolseks ümbruseks (a-,a] või [a,a+). Piirprotsesside x ja x - definitsioonid.
Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
