Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks (ainekava järgi koostatud konspekt) (9)

Tartu Ülikool - Matemaatika - Matemaatiline analüüs i

4 HEA

Ainekava eksamiks „ Matemaatiline analüüs I “
2007 – 2008 kevadsemester

Naturaalarvud , täisarvud, ratsionaalarvud, irratsionaalarvud , reaalarvud .
Naturaalarvud – arvud, mis saadakse loendamise teel, tähistatakse: IN (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., ∞)
Täisarvud – kõik naturaalarvud ja nende vastandarvud ning lisaks 0, tähistatakse Z
Ratsionaalarvud – on sellised reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n jagatisena et
. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendmurdarendus ja see on alati perioodiline, tähistatakse Q
Irratsionaalarvud – mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud. Tähistus I
Reaalarvud – hulk R, koosneb kõikidest ratsionaal - ja irratsionaalarvudest
2. Tähtsamad reaalarvude hulgad (lõik, vahemik, poollõik). Hulga R ülemine ja
alumine raja.
Olgu X mingi reaalarvude hulk (X  R).
Hulka X nimetatakse ülalt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv M, nii et x  M iga x X korral. Seejuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks.
Hulka X nimetatakse alt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv m, nii et x ≥ m iga x X korral . Seejuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks.
Hulka X, mis on tõkestatud nii alt kui ülalt, nimetatakse tõkestatud hulgaks.
Ülalt tõkestatud hulga vähimat ülemist tõket nimetatakse selle hulga ülemiseks rajaks ning tähistatakse sup X.
Alt tõkestatud hulga suurimat alumist tõket nimetatakse selle hulga alumiseks rajaks ning tähistatakse inf X.
Teoreem (pidevuse aksioom ) Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja; igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja.
3. Funktsiooni mõiste. Funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond , graafik . Funktsiooni põhilised esitusviisid. Liitfunktsioon , pöördfunktsioon. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsioonid.
Funktsioon - Kui igale arvule
on mingi eeskirja
abil seatud vastavusse üks reaalarv , siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon y=f(x) ja kirjutatakse y=f(x),
Määramis ja muutumispiirkond - Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ja hulka
tema väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks
Funktsiooni graafik - funktsiooni graafikuks nimetatakse punktide (x,y)
Funktsiooni põhilised esitlusviisid:
1. Esitus ilmutatud kujul. Esitatakse valemiga , mis näitab, millised tehted tuleb teostada argumendiga, et saada funktsiooni väärtus. Sisuliselt kujutab valem funktsiooni graafiku võrrandit.
x
x1
x2
...
xn
y
y1
y2
...
yn
2. Esitus tabeli abil. Esitatakse tabel, kus on näidatud arguendi väärtused x1, x2, ..., xn ja neile vastavad funktsiooni väärtused y1, y2, ..., yn.
Sellist esitusviisi kasutatakse sageli eksperimentaalsete tulemuste märkimiseks.
3. Geomeetriline esitus graafiku abil. Esitatakse funktsiooni graafik, kust saab määrata argumendi väärtustele vastavad funktsiooni väärtused. Esitusviis on tüüpiline isekirjutavate mõõteseadmete korral.
4. Parameetriline esitus. Muutujate x ja y väärtused määratakse teatavate abimuutuja t funktsioonide
, ,
ehk
väärtustena. Abimuutujat t nimetatakse parameetriks ja avaldisi (*) vaadeldava funktsiooni parameetrilisteks võrranditeks. Esituse (*) korral öeldakse, et funktsioon on antud parameetriliselt võrranditega (*) ehk funktsioon on antud parameetrilisel kujul (*). Parameetrilisest esitusest ei selgu, kumb muutujatest x ja y on argument ja kumb on funtksioon . Vajaduse korral märgitakse seda eraldi.
Funktsiooni ,
võib alati esitada parameetrilised kujul, näiteks:
Vastupidine esitus, s.o. üleminek parameetriliselt kujult ilmutatud kujule ei ole alati teostatav.
5. Esitus ilmutamata kujul, s.o. võrrandi
abil.

Liitfunktsioon - kui y=f(u), kus u=g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)]
Pöördfunktsioon –
Paaris- ja paaritudfunktsioonid :
*paaris – kui iga korral on f(-x)=f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks piirkonnas X
*paaritu – kui iga korral on f(-x)=-f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarituks funktsiooniks piirkonnas X
Perioodiline funktsioon – funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu tema perioodiks , kui iga korral.
See definitsioon eeldab, et koos punktiga x kuulub piirkonda X ka punkt .
Kui iga korral, siis koos arvuga
on funktsioon f perioodiks ka arvud .
Kui funktsioon f on perioodiliste funktsioonide summa, siis tema perioodideks on liidetavate funktsioonide perioodide ühiskordsed.
Põhilised elementaarfunktsioonid:

Eksponent ja logarithm funktsioon – eksponent:
logaritm:
Astmefunktsioon - ,
Trigonomeetrilised funktsioonid - siinusfunktsioon: y = sinx
koosinusfunktsioon: y = cosx
tangensfunktsioon: y = tanx
kootangensfunktsioon: y = cotx
Arkusfunktsioonid - Arkussiinusfunktsioon: y = arcsinx
arkuskoosinusfunktsioon: y = arccosx
arkustangensfunktsioon: y = arctanx
arkuskootangensfunktsioon: y= arccotx
Hüperpoolsed funktsioonid- hüperpoolne sinus: y=shx =
hüperpoolne koosinus: y = chx=
hüperpoolne tangens: y = thx
hüperpoolne kootangens: y = cthx
Areafunktsioond - areasiinus: y = arshx
areakoosinus: y = archx
areatangens: y = arthx
areakootangens: y = arcthx

4. Funktsiooni piirväärtuste ( lim x® a f (x) = A ja lim x® a f (x) = ± ¥ ) definitsioonid . Funktsiooni piirväärtuse omadused: kahe funktsiooni summa*, vahe, korrutise ja jagatise piirväärtus.

lim x® a f (x) = A definitsioon:
Olgu antud funktsioon , . Olgu punkt
piirkonna
kuhjumispunkt, s.o. punkt, mille igas ümbruses leidub vähemalt üks temast erinev hulga X punkt.
Seega:
Arvu
nimetatakse funktsiooni
piirväärtuseks punktis , kui iga arvu
korral leidub niisugune arv , et kehtib võrratus
, alati kui ,
ja kirjutatakse
ehk
, kui
või , kui .
lim x® a f (x) = ± ¥ definitsioon:
Öeldakse, et funktsioonil
on lõpmatu piirväärtus punktis , kui iga arvu
korral leidub selline arv , et kehtib võrratus
, alati kui ,
ja kirjutatakse
ehk
, kui .
Funktsiooni piirväärtuse tehete omadsued:
Kui antud protsessis leiduvad lõplikud piirväärtused lim f(x) = A ja lim g(x) = B, siis selles protsessis leiduvad järgmised piirväärtused
kahe funktsiooni summa (vahe):
kahe funktsiooni korrutis:
kahe funktsiooni jagatis : kui
5. Piirväärtus lim x® a [ f (x) × g (x)], kui lim x® a g (x) = 0 ja f (x) on tõkestatud. Piirväärtuse monotoonsus , keskmise muutuja omadus.
Keskmise muutuja omadus:
kui antud protsessis
ja selles protsessis , siis on funktsioonil h selles protsessis piirväärtus ja kehtib võrdus

Piirväärtuse monotoonsus:
Monotoonselt kasvavaid ja monotoonselt kahanevaid funktsiooni kokku nimetatakse monotoonseteks.
Funktsiooni nimetatakse monotoonseks antud piirkonnas parajasti siis, kui ta on kas monotoonselt kasvav või monotoonselt kahanev selles piirkonnas. Funktsiooni nimetatakse rangelt monotoonseks antud piirkonnas parajasti siis, kui ta on kas rangelt kasvav või rangelt kahanev selles piirkonnas.
funktsiooni f nimetatakse monotoonselt kasvavaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab mitteväiksem funktsiooni väärtus. Kui aga suuremale argumendi väärtusele vastab mittesuurem funktsiooni väärtus, siis funktsiooni f nimetatakse monotoonselt kahanevaks.
*monotoonselt kasvav:
*monotoonselt kahanev:
on suvalised punktid

6. Ühepoolsed piirväärtused, sealhulgas piirväärtused limx® ¥ f (x) , lim x® -¥ f (x).
Vaatleme piirprotsesse:
1. x  a, x  a – lähenemine paremalt, s.o. parempoolne piirväärtus.
Tähistame: lim xa+ f(x) või f(a+).
2. x  a, x  a – lähenemine vasakult, s.o. vasakpoolne piirväärtus.
Tähistame: lim xa f(x) või f(a).
NB! Definitsioonis 1 tingimus 0  x  a  omandab vastavalt kuju
0  (x  a)  (parempoolse piirväärtuse korral) või 0  (a  x)  (vasakpoolse piirväärtuse korral).
Teoreem . Kui eksisteerivad ühepoolsed piirväärtused f(a+) ja f(a), siis nn kahepoolne piirväärtus lim xa f(x) = A eksisteerib parajasti siis, kui f(a+) = f(a)= A.
Ühepoolsed piirväärtused on ka lim x f(x) ja lim x -  f(x).
Definitsioon 3. Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks protsessis
x   (x  – ), kui iga arvu   0 korral leidub arv K  0, nii et
f( x)  A   ,
alati, kui x  K ( x  -K).
Kirjutame
lim x f(x) = A ( lim x -  f(x) = A).
7. Tähtsad piirväärtused:
= 1
TÕESTUS:
lim x® a f (x) = A
LAUSE 1: arv A on funktsiooni f piirväärtus protsessis x  a parajasti siis, kui A on selle funktsiooni f piirväärtus nii protsessis xa+ kui ka xa-
Funktsiooni f(x) =
määramispiirkond X = \{0}, seega punkt a = 0 ei kuulu määramispiirkonda. Paneme tähele, et funktsioon f on paaris funktsioon, seega lause 1 põhjal on piisav, kui näitame et
= 1 **
Kuna nüüd on vaadeldavaks protsessiks nullile lähenemine paremalt, siis võime piirduda vaatlusel määramispiirkonna alamhulgaga . Illustreerimie olukorda järgmisel joonisel:
Vaatleme ringi raadiusega 1. Ringi kaarel on fikseeritud punkt P nii, et nurk
0
( 0 vahemikus (a,b). Valime punktid nii, et  .
Rakendades Lagrange ´i keskväärtusteoreemi lõigus [] saame väita, et leidub selline punkt
nii et
Kuna eeldasime, et> 0 iga korral, siis ka 0 ja kuna eeldasime, et , siis seosest (1) saame, et 0, seega funktsioon f kasvab vahemikus (a,b).
Teoreem 2. Vahemikus (a,b) diferentseeruv funktsioon kasvab (kahaneb) selles vahemikus parajajasti siis, kui
1. ≥ 0 (£ 0) iga xÎ(a,b) korral,
2. punktid xÎ(a,b), kus = 0 ei moodusta vahemikku.
19. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ( tarvilikud tingimused; piisavad tingimused 2 ).
Lokaalse ekstreemumi tarvilikud tingimused.
1) Olgu funktsioon f diferentseeruv punkti a mingis ümbruses ja olgu punktis a lokaalne ekstreemum , siis f ¢(a) = 0 (a on funktsiooni f statsionaarne punkt).
2) Lokaalne ekstreemum võib realiseeruda ka punktis, kus funktsioon ei ole diferentseeruv.
Näiteks, kui f(x) = | x |, siis miinumum realiseerub punktis a = 0,.samas ei ole sellel funktsioonil tuletist punktis 0.

Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused.

I piisav tingimus

Teoreem . Kui funktsioon y= f (x) on kaks korda diferentseeruv statsionaarses punktis a, siis on funktsioonil f punktis a lokaalne miinimum, kui f ²(a) > 0 ja lokaalne maksimum, kui f ²(a)

.DOC Laadi alla originaalfail 22 lk · .doc · 782 allalaadimist

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #1

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #2

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #3

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #4

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #5

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #6

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #7

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #8

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #9

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #10

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #11

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #12

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #13

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #14

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #15

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #16

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #17

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #18

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #19

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #20

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #21

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt #22

100 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 100 punkti.

~ 22 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2009-10-05 Kuupäev, millal dokument üles laeti

782 laadimist Kokku alla laetud

9 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

valat Õppematerjali autor

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks

naturaalarvud täisarvud ratsionaalarvud irratsionaalarvud reaalarvud tähtsamad reaalarvude hulgad (lõik vahemik poollõik) hulga r ülemine ja alumine raja funktsiooni mõiste funktsiooni määramispiirkond muutumispiirkond graafik funktsiooni põhilised esitusviisid liitfunktsioon pöördfunktsioon paaris- ja paaritud funktsioonid perioodilised funktsioonid põhilised elementaarfunktsioonid elementaarfunktsioonid funktsiooni piirväärtuste definitsioonid funktsiooni piirväärtuse omadused: kahe funktsiooni summa vahe korrutise ja jagatise piirväärtus piirväärtuse monotoonsus keskmise muutuja omadus ühepoolsed piirväärtused ekvivalentsed lõpmata väikesed funktsioonid nende rakendamine piirväärtuste leidmisel funktsiooni pidevus (antud punktis antud hulgal kõikjal ) katkevuspunktid elementaarfunktsioonide pidevus oma määramispiirkonnas funktsiooni tuletis pidevus ja diferentseeruvus aritmeetiliste tehetega seotud diferentseerimisreeglid ( tõestus summa korral ) liitfunktsiooni tuletis pöördfunktsiooni tuletis tuletise geomeetriline tähendus funktsiooni diferentsiaal selle geomeetriline tähendus kõrgemat järku tuletised ja diferentsiaalid diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemid (lagrange?i teoreem selle geomeetriline tähendus cauchy teoreem) l´ hospitali reegel taylori valem maclaurini valem funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkondade leidmine funktsiooni lokaalsed ekstreemumid joone kumerus ja nõgusus käänupunktid joone asümptoodid arvjadad arvjada koonduvus ja hajuvus arvread arvrea osasumma arvrea koonduvus ja hajuvus arvrea absoluutne koonduvus arvrea koonduvuse tarvilik tingimus arvridade tähtsamad koonduvustunnused (esimene võrdlustunnus d´alembert´i tunnus cauchy tunnus leibnizi tunnus) astmeread funktsioonide arendamine astmeritta taylori rida maclaurini rida algfunktsioon ja määramata integraal tehetega seotud integreerimisvõtted ositi integreerimine ja muutujavahetus määramata integraalis määratud (newtoni- leibnizi) integraal (definitsioon; omadused: aditiivsus lineaarsus monotoonsus keskväärtusteoreem) määratud integraal ülemise raja funktsioonina selle funktsiooni tuletis määratud ( riemanni) integraali definitsioon ja geomeetriline tähendus newtoni - leibnizi valem päratud integraalid (definitsioonid lihtsamad arvutusnäited ) arvrea koonduvuse integraaltunnus

Sarnased õppematerjalid

doc

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks

MATEMAATILINE ANALÜÜS I § 1 REAALARVUD JA FUNKTSIOONID 1. Reaalarvu mõiste Tähistame sümboliga N kõigi naturaalarvude hulga, st N = {1, 2, 3,...} ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulga, st Z = {...,3,2,1, 0, 1, 2, 3,...}. p Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul q , kus p ja q on täisarvud, q 0. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Ratsionaalarvudeks on parajasti need arvud, mis on esitatavad lõplike või lõpmatute perioodiliste kümnendmurdudena. Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R. Iga lõplikku kümnendmurdu a= , 12 ...n saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil: a = , 12 ...n 00... või a = , 12 ...(n -1)99.

Matemaatiline analüüs i

pdf

Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad

vähemalt üks hulga X punkt, mis pole reaalarv a ise. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X sisepunkt kui leidub tema ümbrus, mis kuulub hulka X . Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X rajapunkt kui igas tema ümbruses leidub nii hulga X punkte kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X . Sisepunkt ei saa olla rajapunkt. Sisepunkt on alati kuhjumispunkt. Rajapunkt võib olla kuhjumispunkt. 1 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsioon, tema graafik Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui x tähendab mis tahes arvu hulgast X , siis öeldakse, et x on muutuv suurus ehk muutuja hulgas X . Iga arvu x X nimetatakse muutuja x väärtuseks. Definitsioon: Kui igale arvule x X on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y ,

Matemaatiline analüüs i

doc

Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega

piirkonnas A, kui F `(x) = f(x) iga x A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. 31. Määramata integraal - avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks. 32. Ratsionaalfunktsioon - ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom - hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga. 36. Riemanni integraal - piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e

Matemaatika

docx

Matemaatiline analüüs l.

funktsiooni väärtust kohal a tema piirväärtusest kohal a. Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline tõlgendus. ( ) Kui funktsioonil f(x)on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a, kus x = a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus() f(x) ühele ja samale arvule b. Teiste sõnadega: suvalises piirprotsessis x a, kus x = a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P = (x, f(x)) ühele ja samale punktile A = (a, b). Seda on kujutatud joonisel 2.2.(vaata Jaano konspekt lh.34) Mõned märkused(): 1. Funktsiooni piirväärtus on alati üheselt( ) määratud. See tähendab, et kui lim/xa/f(x) = b1 ja lim/xa/f(x) = b2, siis b1 = b2 . 2. Funktsioonil võib olla piirväärtus ka punktis a, mis asub väljaspool tema määramispiirkonda. See oli nii eespooltoodud näites. Funktsiooni piirvaartuse definitsiooni laiendamine() juhtudele a = ± ja b = ±. (

Matemaatiline analüüs

156

pdf

Kõrgem matemaatika

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Kõrgemat järku determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Determinantide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Kontrolltöö teemad 1. Tehted maatriksitega. 2. Maatriksite korrutamine. 3. Determinantide omadused. 4. Determinandi väärtuse arvutamine, arendades determinanti rea või veeru järgi. Eksamiteemad 1. Tehted maatriksitega. 2. Determinandi mõiste ja omadused. 3. Determinandi elemendile vastava miinori ja alamdeterminandi mõisted. 4. Determinandi arendamine rea või veeru järgi. PEATÜKK 1. MAATRIKSID JA DETERMINANDID 1.1 Maatriksi mõiste Maatriksi A vastandmaatrik- Definitsioon 1

Kõrgem matemaatika

pdf

Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID

Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m

Matemaatiline analüüs ii

pdf

Enno Paisu konspekt

lim h( x) = a x x0 m.o.t.t. Teoreem 4 Olgu punkti x0 teatud ümbruses kehtiv võrratus f(x) >0 Kui funktsioonil f (x) on piirväärtus tingimusel, et x x 0 , siis piirväärtus peab olema mittenegatiivne lim f ( x) = a 0 x x0 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 3 Tõestus: Oletame, et a>0 Siis f ( x) - a a , sest f(x)0 a>0 Kuid teoreemi (5.1) järgi peab f(x) - a olema lõpmatult vähenev suurus ja seega muutub kui tahes väikeseks Seega a>0 on võimatu ja a0 m.o.t.t. Järeldus 5.1 Kui on täidetud võrratus f(x) >g(x) punkti x0 ümbruses ja funktsioonide f(x) ja g(x) piirväärtused eksisteerivad, siis lim f ( x) lim g ( x) x x0 x x0 Tõepoolest h(x)= f(x)- g(x) 0 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 4

Matemaatiline analüüs