Masinamehaanika täielik loengukonspekt (5)

4
Loengukonspekt õppeaines

MASINAMEHAANIKA

Koostanud prof. T.Pappel

Mehhatroonikainstituut
Tallinn
2006
SISUKORD
SISSEJUHATUS
1. ptk. MEHHANISMIDE STRUKTUURITEOORIA
1.1. Kinemaatilised paarid, lülid, ahelad
1.1.1. Kinemaatilised paarid
1.1.2. Vabadusastmed ja seondid
1.1.3. Lülid, kinemaatilised ahelad
1.2. Kinemaatilise ahela vabadusaste. Liigseondid. Liigliikuvused
1.2.1. Vabadusaste
1.2.2. Liigseondid. Liigliikuvused.
1.3. Mehhanismide struktuuri sünteesimine
1.3.1. Struktuurigrupid
1.3.2. Kõrgpaaride arvestamine
1.3.3. Kinemaatiline skeem. Struktuuriskeem
2. ptk. MEHHANISMIDE KINEMAATILINE ANALÜÜS
2.1. Eesmärk. Algmõisted
2.2. Mehhanismide kinemaatika analüütilised meetodid
2.3. Tasandilise mehhanismi kinemaatika arvutusgraafilised meetodid
2.3.1. Siirete leidmine
2.3.2. Kiirusplaan. Homoteetse kolmnurga reegel
2.3.3. Düaadmehhanismide kiirusplaanid
2.3.4. Düaadmehhanismide kiirendusplaanid
2.3.5. Kinemaatilised diagrammid
3. ptk. MEHHANISMIDE DÜNAAMILINE ANALÜÜS
3.1. Mehhanismides toimivad jõud ja momendid . Mehaanilised
karakteristikud
3.1.1. Hõõrdejõud ja -momendid
3.2. Mehhanismide kinetostaatiline analüüs
3.2.1. Inertsjõudude süsteemi taandamine ekvivalentseks
inertsjõuks
3.2.2. Asendatavate masside meetod
3.2.3. Kinemaatilistes paarides toimivate reakstioonide
arvutamine
3.2.4. Tasakaalustava koormuse arvutamine Žukovski meetodiga
3.3. Mehhanismide liikumine neile mõjuvate koormuste toimel
3.3.1. Liikumisfaasid. Töö ülekande seadus. Kasutegur
3.3.2. Liikumisvõrrandite leidmine
3.3.3. Liikumisvõrrandite lahendamine
3.4. Masinate käigu reguleerimine
3.5. Tasakaalustamine ja balansseerimine
3.5.1. Vundamendile mõjuvate dünaamiliste koormuste
kõrvaldamine
3.5.2. Pöörlevate masside tasakaalustamine ja balansseerimine
4. ptk. HAMMASÜLEKANNETE GEOMEETRIA
4.1. Hammasülekannete liigitus
4.2. Hambumisteooria alged
4.3. Sirghammastega silinderülekannete geomeetria
4.3.1. Terminoloogia
4.3.2. Ringjoone evolvent
4.3.3. Evolventhambumise kujundamine
4.3.4. Hammaslati hammaste profiil . Lähtekontuur. Töökontuur
4.3.5. Hammaste lõikamine
4.3.6. Hambapinna modifitseerimine
4.3.7. Nihutusega hammasrattad ja ülekanded
4.3.8. Nihutusega hammasrataste põhiparameetrite arvutus
4.3.9. Piirangud hammasülekannete sünteesimisel.
Kavaliteedinäitajad
4.3.10. Hamba paksuse kontrollmõõtmed
4.4. Kaldhammastega silindeülekanded
4.4.1. Kaldhammaste külgpinna moodustamine. Hambumise
kujunemine
4.4.2. Seosed normaal -, ots- ja telglõikes määratud parameetrite
vahel
4.4.3. Kaldhammastega ekvivalentne sirghammasratas
4.5. Wildhaber-Novikovi ringkruvihambumine
4.6. Nihutustegurite valik. Välis-silinderülekannete geomeetriaarvutus
4.7. Koonusülekannete geomeetria
4.7.1. Koonusevolventhambumise elemendid
4.7.2. Koonusrattad. Koonusülekanded.

Silinderekvivalentülekanded

4.7.3. Koonusrataste hammaste lõikamine
4.8. Tiguülekanded
4.8.1. Üldist
4.8.2. Silindertigude tüübid
4.8.3. Tiguratas . Tiguhambumine
4.8.4. Tiguülekande kasutegur
5. ptk. NUKKMEHHANISMID
5.1. Üldist
5.2. Nukkmehhanismi geomeetria, kinemaatika. Mehhanismis
mõjuvad jõud
5.3. Nukkmehhanismide põhimõõtmete arvutus
5.4. Nuki profileerimine
SISSEJUHATUS Käesoleva loengukonspekti koostamisel on ulatuslikult kasutatud prof . Heino Lepiksoni kirjutatud peatükke õpikutest ja käsiraamatutest.
Mehhanismide ja masinate teooria on rakendusmehaanika haru, mis käsitleb mehhanismide ja neist moodustatud masinate struktuuri, kinemaatika ja dünaamika probleeme, uurides neid nii analüüsi kui ka sünteesi seisukohalt.
Mehhanismide ja masinate teooriat õpetatakse TTÜ õppeplaanide kohaselt õppeaines “masinamehaanika”.
Mehhanism on kehade (lülide) tehissüsteem, mille ülesandeks on etteantud liikumisega keha (sisendlüli), liikumise teisendamine süsteemi teatava teise keha (väljundlüli) soovitud liikumiseks.
Etteantud liikumisega kehi (sisenlülisid) võib olla rohkem kui üks. Neid nimetatakse ka vedavaiks lülideks. Väljundlüli nim ka veetavaks lüliks.
Konstruktsioonitunnuste alusel liigitatakse mehhanismid järgmiselt:

varbmehhanismid (väntmehhanism, väntnookurmehhanism, kulissmehhanism jne),

hammasmehhanismid (hammas- ja tiguülekanded, diferentsiaal - ja planetaarmehhanismid, põrkmehhanismid, malta mehhanismid jt),

hõõrdmehhanismid,

kiilmehhanismid,

kruvimehhanismid,

nukkmehhanismid,

painduvate lülidega mehhanismid ( rihm -, kett- ja trossülekanded).
Teooria seisukohalt liigitatakse mehhanismid struktuuritunnuste järgi (vt 1. ptk).
Peale tahkete lülide kasutatakse mehhanismides ka vedelikke (hüdraulilised m-d), gaase ( pneumaatilised m-d).
Masin on:
a) inimese kehalist ja vaimset tööd kergendav ja tõhustav seade,

mehaanilist liikumist rakendav seadeldis materjalide, energia või informatsiooni muundamiseks

jne…(F.Reuleaux (1829-1905) andis 17 masina definitsiooni, tema tõlkija lisas veel 7)
1. ptk. MEHHANISMIDE STRUKTUURITEOORIA
1.1. Kinemaatilised paarid, lülid, ahelad
1.1.1. Kinemaatilised paarid
Mehhanismi lülid seotakse omavahel nii, et neil säilub võimalus teineteise suhtes liikuda . Lülide suhtelist liikumist võimaldavaid ühendeid nim kinemaatilisteks paarideks (vt järgmisel leheküljel toodud tabel 1, kus on kujutatud tehnikas enamkasutatavad kin. paarid)
Kinemaatiline paar koosneb kahest elemendist.
Elemendiks nim paari moodustavate lülide omavahelises kokkupuutes olevaid osi.
Tabel 1.
Klass Seondite Säilivate vabadus Skeem Tingkujutis Tingtähis Ülekantavad jõud ja Paari nimi ja säiluvad
arv astmete arv pöördemomendid liikumised
Fx Kerapaar. Kolm sõltumatut rotat-
III 3 3 KK*1 Fy siooni ümber kolme telje
Fz
Fx Silinderpaar. Translatsioon piki
IV 4 2 SS*2 Fz ühte telge ja sellest sõltumatu ro-
Tx tatsiooni ümber kolme telje
Tz
Fx Sõrmega kerapaar. Kaks
IV 4 2 KKs Fy sõltumatut rotatsiooni ümber
Fz kahe ristuva telje
Ty
Fx
Fz Translatsioonipaar.
V 5 1 TR Tx Translatsioon piki ühte telge
Ty
Tz

Fx
RO Fy Rotatsioonipaar.
Fz Rotatsiooni ümber ühe telje
Tx
Tz

V 5 1

Fx Kruuvipaar. Rotatsioon ümber
Fz ühe telje ja sellega funktsionaal-
KR Tx selt seotud translatsioon piki
Tz sama telge y=f(y)
Ty =f(Fy)
Elementide kontaktide iseloom võib olla erinev:

kontaktpinna pindala on lõpliku suurusega - tegemist on nn madalpaariga (vt tabel 1 kus toodud kin. paarid on kõik madalpaarid)

kontaktpinna pindala A = 0 - tegemist on nn kõrgpaariga (vt joon 1), kus võib esineda
a) punktkontakt (joon 1,a punktid K)
b) joonkontakt (joon. 1,b joon K-K).
Joonis 1.
Mitmest paarist koosnevaid , kuid üht ja sama liikumist andvaid paare nim liitpaarideks (näiteks kuul- või rull- laager on tervikuna võttes rotatsioonipaar vt. joon. 1,a). Madalpaari eelised - lihtne valmistada, töökindlad, pööratavad st paari moodustavad elemendid võib omavahel ära vahetada ilma, et liikumine muutuks. Kõrgpaarid on mittepööratavad (vt. joon. 2), kus on näidatud, et rulli 1 veeremisel lati 2 suhtes joonestab punkt K tsükloidi 3 (joon 2,a), lati libisemata veeremisel rullil kujundab punkt K evolvendi 4.
Joonis 2.
1.1.2. Vabadusastmed ja seondid
Ruumis vabalt liikuval kehal on 6 vabadusastet - 3 translatsiooni T ja 3 rotatsiooni R (joon.3)
Joon. 3.
Kin. paarid liigitatakse klassidesse seondite arvu järgi (vt. tabel 1)
Tasandilistes mehhanismides st mehhanismides, kus kõik lülid liiguvad mingi pinnaga paralleelsetes pindades , esinevad ainult translatsiooni- ja rotatsioonipaarid ning kõrgpaarid.Konstruktiivsetel kaalutlustel asendatakse mõned kinemaatilised paarid liitpaaridega. Näiteks sõrmega kerapaari asemel kasutatakse kardaanliigendit (Hooke’i liigendit).
1.1.3. Lülid, kinemaatilised ahelad
Kehi, millest moodustub mehhanism, nim lülideks.
Lülisid liigitatakse

tahked ,

vedelad,

gaasilised.
Tahked lülid loetakse absoluutselt jäikadeks.
Sõltuvalt kin.elementide arvust esinevad

lihtlüli (kin.elementide arv 1),

kaksiklüli (2 kin.elementi, vt. joon. 4),

kolmiklüli (3 kin.elementi).
Joon. 4
Kin.paaridega seondatud lülid moodustavad kinemaatilise ahela (analüüsi joonisel 5 toodud kompressori või pumba skeemi, kus 5c on kin. ahel. Sisendlüliks (vedavaks lüliks) on siin vänt 1, vahelüliks keps 2, väljundlüliks (veetavaks lüliks) kolb 3)
Joon.5
Mehhanismi def-st tulenevalt peab mehhanismi sisendlüli (lülide) etteantud liikumisega olema üheselt määratud kõikide teiste lülide (vahelülide, väljundlülide) liikumine.
Kõik mehhanismid on kinemaatilised ahelad. Kõik ahelad ei ole mehhanismid, kuna on võimalik koostada ahelaid, mille puhul pole täidetud mehhanismi definitsioon.
Ahelate liigitus:

tasandilised ahelad - lülid liiguvad mingi pinnaga paralleelsetes pindades,

ruumilised ahelad,

suletud ahelad,

avatud ahelad. (Näited tuuakse loengul)
1.2. Kinemaatilise ahela vabadusaste. Liigseondid.
Liigliikuvused
1.2.1. Vabadusaste
Kuna ühel vabal kehal on 6 vabadusastet (vt joon.3), siis m lüli (keha) korral on vabadusastmete arv w = 6m.
V kl. kin. paar annab 5 sidet st. s = 5
IV kl. kin. paar - s = 4
III kl. kin. paar - s = 3 jne.
Kui tähistada
V kl. kin. paaride arv – pv
IV kl.- piv
III kl.- pIII jne,
on sidemete arv
ja vabadusastmete arv
kuna 1 lüli on liikumatu (raam, korpus).
Kui tähistada m - 1 = n, kus n - liikuvate lülide arv on
… 1.1
Valemit 1.1 nim ruumilise mehhanismi struktuurivalemiks, Vene kirjanduses Malõševi (1923), läänes Kutzbachi (1933) valemiks . Tasapinnalise mehhanismi korral lisandub 3 sidet.
Tasapinnalise mehhanismi vabadusastmete arv
…
Siit selgub , et III ja madalama kl. kin. paare ei saa kasutada tasapinnalise mehhanismi moodustamiseks. Seega on tasapinnalise mehhanismi vabadusastme arv määratav seosega
… 1.2
Valemit 1.2 nim tasapinnalise mehhanismi struktuurivalemiks, aga ka Grübleri või Tšebõševi valemiks.
Antud ahela korral saab vabadusastmeid arvutada valemitega 1.1 või 1.2, kuid on kasutatav ka seos
… 1.3
st. avatud ahela vabadusaste võrdub tema kin.paaride poolt säilitatud liikuvusastmete summaga .
Ahela vabadusaste näitab parameetrite arvu, mille juures on määratud ahela kõikide lülide liikumine. Kui vabadusastmete arv w = 1, on ahela kõikide lülide liikumine määratud üheainsa parameetriga, mis tavaliselt omistatakse sisendlülidele. Kui w = 2, võib mehhanismis olla kaks sisendlüli (etteantud liikumisega lüli) jne. [Näited loengul].
1.2.2. Liigseondid. Liigliikuvused.
Seondit, mis kordab (dubleerib) mehhanismis juba varem teiste paaride poolt kehtestatud seondit, nim. liigseondiks (kasutatakse veel nimetusi “passiivseond”, “dubleeriv seond”). [Näited loengul] Liigseondeid annab ka mehhanismi tasandilisuse nõue. Reaalsetes konstruktsioonides tasandilisi mehhanisme ei eksisteeri, kuna detailide valmistamisel tekivad paratamatult valmistamisvead.
Vabadusastmete arvu määramise lisandub valemisse 1.1 liigseondite arv q ja seega on
… 1.4
Liigliikuvuseks nim. neid mehhanismi lülide liikuvusi, mis pole seotud mehhanismi kinemaatilise funktsiooni realiseerimisega. [Loengul tuuakse näiteid üksiku lüli liigliikuvuse ja grupilise liigliikuvuse kohta].
Liigliikuvust arvestades on põhivabadusastmete arv
… 1.5
kus wl - liigliikuvuste arv.
Liigseondite arvu
… 1.6
määramisel tuleb põhivabadusastmete arv võtta võrdseks mehhanismile etteantud liikumisparameetrite (vedavate lülide) arvuga. Liigliikuvuste arv selgub tavaliselt mehhanismi kinemaatiliselt skeemilt. Liigseondite kõrvaldamiseks tuleb alandada ahelas olevate kin.paaride klassi niipalju, kui on liigseondeid. [Näited loengul].
Liigseondite puudumist ja liigliikuvuste võimaliku olemasolu kontrollimiseks kasutatakse ka mõttelise eksperimendi (montaazi) meetodit. Mõttelise eksperimendi (montaazi) idee - kontrollida, kas mehhanismi on võimalik monteerida nii, et tema detailid ei deformeeruks ja monteeritavate elementide teljed oleksid paralleelsed.
1.3. Mehhanismide struktuuri sünteesimine
1.3.1. Struktuurigrupid
Struktuuri sünteesi all mõeldakse mehhanismi struktuuri projekteerimist, kus määratakse kindlaks lülide ja kin.paaride arv, iseloom ning nende vastastikune asetus . Ühtlasi valitakse kinnislüli.
Sünteesil kasutatakse struktuurigruppide ladestamise meetodit.
Struktuurigruppideks (Assuri gruppideks) nim. avatud ahelaid, mille vabadusaste muutub nulliks, kui nad mehhanismiga liita.
Tasapinnalistel mehhanismidel
w3 = 3n-2pV = 0,
kui

n = 2, pV = 3 , siis nim. struktuurigruppi düaadiks;

n = 4, pV = 6 , siis nim. struktuurigruppi triaadiks;

n = 6, pV = 9 ,on tegemist tetraadi e. neljahaarmelise grupiga;
jne. [Näited loengul].
Struktuurigruppide ladestamiseks (liitmiseks) varustatakse struktuurigrupi lüli või lülid lisaelemendi või lisaelementidega. [Näited loengul].
1.3.2. Kõrgpaaride arvestamine
Kõrgpaare võib taandada madalpaarideks st. asendada muutuva pikkusega kaksiklüliga. Asendav kaksiklüli peab tagama sama liikumise kui kõrgpaar. Seda nõuet saab üldjuhul täita vaid hetketi st. iga järgneva hetke jaoks tuleb asendamist korrata.
Kõrgpaari taandamise käik: [Näited loengul]
1) tõmmata kõrgpaari moodustavatele profiilidele ühisnormaal;

otsida profiilide kõverustsentrid (profiilide kõverusraadiused on üldjuhul muutuvad suurused);

joonestada kõverustsentritesse rotatsioonipaarid ja ühendada need kõrgpaari asendava lüliga;

joonestada välja mehhanism.
1.3.3. Kinemaatiline skeem. Struktuuriskeem
Mehhanismi kinemaatiline skeem on selle mehhanismi mõõtkavaline skemaatiline kujutis, (vt. joon. 5c – kui see skeem on joonestatud mõõtkavalisena, on tegemist kinemaatilise skeemiga).
Mõõtkava on määratud mastaabiteguriga  , mis näitab, mitu ühikut tegelikku suurust (pikkust, aga ka kiirust, kiirendust, jõudu jne.) vastab joonise vastava lõigu ühele millimeetrile.
Mastaabiteguri ühikud
või
jne.]
Struktuuriskeemil arvestatakse ainult lülide tüüpi (liht-, kaksik-, kolmiklüli, …) ja kin.paaride klassi.
Kõik V klassi kin.paarid näidatakse rotatsioonipaari leppemärgiga.
[Näited loengul].
2. ptk. MEHHANISMIDE KINEMAATILINE ANALÜÜS
2.1. Eesmärk. Algmõisted
Mehhanismide kinemaatilise analüüsi all mõistetakse lülide siirete, kiiruste ja kiirenduste arvutamist.
Siiretel on vaja määrata tema pikkus ja lüli punktide trajektoor . Kepsu mistahes punkti trajektoori nim. kepsukõveraks.
Iga lüli siire , kiirus ja kiirendus määratakse tema koordinaadi ja selle esimese ning teise tuletisega aja järgi.
Mehhanismi üldistatud koordinaadiks nim. omavahel sõltumatuid mehhanismi kõikide lülide asendeid kinnislüli suhtes määravaid koordinaate. Mehhanismi üldistatud koordinaatide arv võrdub tema vabadusastme arvuga.
Alglüliks nim. lüli, mille koordinaat on mehhanismi üldistatud koordinaadiks. Alglüli ei pea kokku langema sisendlüliga. Alglüliks võib võtta ka väljund- või vahelüli. Alglüli liikumisseadus st. funktsioon 1 = 1(t) peab kin.analüüsi alustamisel olema teada.
Teiste lülide siirded (näiteks lüli i nurksiire i) on otstarbekas määrata mitte vastava liikumisseadusega i = i(t) vaid nn. siirdefunktsiooni i = i(1) abil, kuna viimane sõltub ainuüksi mehhanismi geomeetriast (konfiguratsioonist). See asjaolu võimaldab mehhanismi kinemaatikat uurida alglüli liikumisseadust eelnevalt määramata, [Selgitused ja näited loengul].
Lähtudes siirdefunktsioonist ja diferentseerides seda mehhanismi üldistatud koordinaadi 1 järgi, saadakse kiiruste ja kiirenduste analoogid.
Lüli i nurkkiiruse analoog ,
lüli i nurkkiirenduse analoog ,
lüli j joonkiiruse analoog ,
lüli j joonkiirenduse analoog .
Pöörleva alglüli puhul on nurkkiiruse ja -kiirenduse analoogid dimensioonita, joonkiiruse ja -kiirenduse analoogidel aga on pikkuse dimensioon.
Kiiruste ja kiirenduste ning nende analoogide vahelise seose tuletamisel lähtume sellest, et lüli i siirdefunktsiooni
i = i [i (t)]
võib käsitleda liitfunktsioonina. Rakendades liitfunktsioonide tuletamise algoritmi , on
… 2.1
ja
… 2.2
Samalaadsed üleminekuvalemid saadakse ka joonsuuruste ja nende analoogide vahel
, … 2.3
, … 2.4
2.2. Mehhanismide kinemaatika analüütilised meetodid
Suletud tasapinnaliste ahelate jaoks kasutatakse suletud vektorhulknurkade meetodit, avatud ahelate korral maatriksteisenduse meetodit. Suletud vektorhulknurkade meetodi kohta on koostatud eraldi loengukonspekt.
2.3. Tasandilise mehhanismi kinemaatika
arvutusgraafilised meetodid
Arvutusgraafilised meetodid on lihtsamad ja ülevaatlikumad kui analüütilised. Puudus - pole alati küllaldase täpsusega.
Kõikide graafiliste meetodite kasutamisel on esimeseks sammuks kinemaatilise skeemi (vt. punkt 1.3.3.) joonestamine , kusjuures kõrgemad kinemaatilised paarid taandatakse (vt. punkt 1.3.2.).
2.3.1. Siirete leidmine
Siirete leidmisel kasutatakse mehhanismi invariante st. muutumatuid suurusi. Nendeks on lülide konstantsed pikkused, kaugused mitteliikuvate ( raamiga ühendatud) kin.paaride sh. translatsioonipaaride vahel jne.
[Näited loengul].
2.3.2. Kiirusplaan. Homoteetse kolmnurga reegel
Olgu teada ühe lüli kahe punkti M ja N kiirused vastavalt
ja
(vt. joon 6c ja 6d järgmisel leheküljel). Sama lüli kolmanda punkti K kiiruse
leidmisel vaatleme etteantud kiirusega punkte kui relatiivse liikumise pooluseid. Koostame vektorvõrrandid
… 2.9
kus
on punkti K suhteline joonkiirus punkti M suhtes (punkti K pöörlemiskiirus ümber pooluse M) ja
on punktide K ja N suhteline joonkiirus.
Kiirusplaani koostamist alustatakse plaani pooluse p kandmisest joonisele, kusjuures tema asukoht valitakse suvaliselt. Kiirusi
ja
mastaabis kujutavate vektorite pikkused
kus
- kiirusplaani mastaabitegur.
Märk “ ˘ “ tähise kohal näitab siin ja edaspidi, et tegemist on lõiguga joonisel.
Lõigu
kanname joonisele lähtuvana poolusest p paralleelsena -ga. Lõigu otspunktist m tõmbame ristsirge lüli punkte M ja K läbiva sirge suhtes. See sirge on suhtelise kiiruse
siht. Analoogiliselt kanname kiirusplaanile lõigu
paralleelsena -ga ja tema otspunktist n ristsirge lüli punkte K ja N läbiva sirge suhtes. Saame suhtelise kiiruse
sihi. Vektorvõrrandit 2.9 rahuldab suhteliste kiiruste vKM ja
sihtide lõikepunkt k. Lüli punkti K absoluutse kiiruse
suuna ja suuruse saamiseks ühendame kiirusplaani punkti k poolusega. Varustame kiirusplaanil olevad vektorid nooltega vastavalt võrrandile 2.9.
Punkti K kiiruse suurus ( moodul )
Lüli kolmnurk MNK ja kiirusplaani kolmnurk mnk on geomeetriliselt sarnased ja tipud sama järjestusega - järelikult homoteetsed. Siit tuleneb homoteetse kolmnurga reegel, mis kehtib nii kiirus- kui kiirendusplaanide korral: kui on teada ühe lüli kahe punkti M ja N kiirused või kiirendused, siis selle lüli kolmanda punkti K kiiruse või kiirenduse leidmiseks joonestatakse kiirus- või kiirendusplaani küljele mn kolmnurk mnk, mis on homoteetne kinemaatilisel skeemil esineva kolmnurgaga MNK. Poolusest tippu k suunduv vektor kujutabki otsitavat kiirust või kiirendust.
Järeldused:

Absoluutseid kiirusi (kiirendusi) kujutavad vektorid väljuvad poolusest. Suhtelise kiiruse (kiirenduse) vektorid paiknevad perifeerselt.

Absoluutse kiiruse (kiirenduse) tähisel on vastavat punkti näitav indeks, suhtelise kiiruse (kiirenduse) tähisel on neid kaks, kusjuures teine tähis viitab punktile, mille suhtes vaadeldakse liikumist.

Suhtelise kiiruse indeksid ja vastava vektori tähised kiirusplaanil on permuteeritud ( vahetatud ). Näiteks vektorit kujutab kiirusplaanil vektor .
2.3.3. Düaadmehhanismide kiirusplaanid
Düaadides esineb kaht tüüpi lülisid, mida käsitletakse eri viisil.
Lüli, millel mõlemad vaadeldavad kinemaatilised paarid on rotatsioonipaarid, kuulub 1. tüüpi.
Kui ühe rotatsioonipaari B (punkti B) absoluutkiirus on teada, siis mis tahes teise punkti C kiirus (vt. 2.3.2.)
… 2.10
Võrrandis 2.10 on vB teada nii suuruselt kui suunalt, vCB on rist punkte CB ühendava sirglõiguga. Tundmatuid on seega kolm ( moodul,
siht ja moodul). Lüli nurkkiirus
, … 2.11
kusjuures selle suund selgub pärast düaadi kiirusplaani koostamist.
2. tüüpi lülid on translatsioonipaari abil seotud juhikuga x-x. 2. tüüpi lülide kiirusi arvestama hakates rakendatakse liitliikumise puhul kehtivat seost
… a.
Joon. 6
Lüli CD (joon. 6) kaasaliikumine on liikumine koos juhikuga. Punkti C kaasaliikumiskiirus on seetõttu juhiku küljes oleva ja lüli punktiga C antud hetkel kokkulangeva punkti Cx kiirus . Suhtelise liikumise määrab translatsioonipaar D, mistõttu see kulgeb rööbiti sihiga x-x. Vastavat kiirust tähistatakse . Seos a avaldub seetõttu järgmiselt:
… 2.12
kus
siht on paralleelne juhikuga x-x. Juhiku punkti Cx kiirus on üldjuhul homoteetsete kolmnurkade reegli abil alati leitav:
siht on xx-ga moodul tundmatu. Seega sisaldab ka võrrand 2.12 kokku kolme tundmatut ega ole üksi lahendatav. Lüli CD nurkkiirus .
Düaade moodustavate lülide kiiruste arvutamise algoritm [Näited loengul ja praktilistes tundides ]

Düaadi kummagi lüli kohta kirjutatakse vastavalt tema tüübile võrrand 2,10 võiu 2.12. Tulemuseks on kahest vektorvõrrandist koosnev süsteem.

Elimineeritakse ühine, kahte tundmatut sisaldav vektor. Tekib uus vektorvõrrand, kus tundmatud on ainult kaks moodulit.

Saadud võrrand lahendatakse graafiliselt st. koostatakse uuritava düaadi kiirusplaan.
2.3.4. Düaadmehhanismide kiirendusplaanid
Kiirendusi on võimalik arvutada ainult pärast kiirusplaanide koostamist.

tüüpi lüli võrrand on:
… 2.13
kus
ning
on vastavalt punkti C pöörlemisel ümber B tekkivad normaal- ja tangentsiaalkiirendused. Vektor
on  BC-ga, moodul on tundmatu. Normaalkomponent (kesktõmbekiirendus)
… 2.1
kus - kiirusplaani mastaabitegur,
- lõik kiirusplaanil,
- punktide B ja C vaheline kaugus (lüli BC pikkus). Vektor
kulgeb punktist C punkti B poole.
Lüli BC nurkkiirendus

tüüpi lülide puhul kasutatakse liitliikumise kiirenduse võrrandit
… 2.15
Selles võrrandis on kui kaasaliikumiskiirendus enamikul juhtudel juhiku kahe punkti etteantud kiirenduste kaudu homoteetse kolmnurga reegliga määratav.
Coriolise kiirendus
on arvutatav ja x-x sihilise suhtelise kiirenduse
moodul on tundmatu. Tundmatuid on seega kokku kolm. Coriolise kiirenduse moodul
kus nii
kui
on kiirusplaani põhjal arvutatavadEt vektor ristub vektorite
ja
poolt määratud tasandiga, peab ta asuma mehhanismi tasandis , ristuma juhikuga xx ja moodustama vektoritega
ja
paremkolmiku. Praktikas kasutatakse sageli järgmist võtet:
suuna määramiseks pööratakse vektorit
90o ümber algpunkti
suunas.[Näited loengul ja praktilistes tundides].
2.3.5. Kinemaatilised diagrammid
Korduvate arvutustega saadud tulemuste kogumi ülevaatlikuks esitamiseks kasutatakse kin. diagramme , mis kujutavad mehhanismi kinemaatiliste parameetrite sõltuvust üldistatud koordinaadist või ajast.
Kinemaatilise tsükli all mõistetakse aega, mille jooksul mehhanismi kõik lülid naasevad lähteasendisse.
Graafiline diferentseerimine ja graafiline integreerimine :
vt praktiliste tundide materjali.

ptk. MEHHANISMIDE DÜNAAMILINE ANALÜÜS

Mehhanismides toimivad jõud ja momendid
Mehaanilised karakteristikud
Kõiki mõjuvaid jõudusid (momentisid) liigitatakse

välisjõud

sidemereaktsioonid.
Välisjõudude rühmad:
Tabel 2.
1.
Motoorsed jõud , motoorsed momendid . Nende töö tsükli jooksul on “+” st. .
Mõjuvad vedavale lülile tema liikumise suunas
2.
Kasuliku koormuse jõud , momendid Tk
(kasulik tekistus).
Jõud, mille ületamiseks masin on loodud. Rakenduvad täiturlülidele.
3.
Raskusjõud Fg. Töö , tsükli lõpuks .
4.
Keskkonnatakistuse jõud Fkt , .
5.
Hõõrdejõud Fh, Wh 0. Seose (a) põhjal
, ... 3.10
kus nurk
on määratav otse mehhanismi skeemilt, jõu rakenduspunkti kiiruse analoog
ning lüli j nurkkiiruse analoog - kinemaatilise analüüsi meetoditega. Andes redutseerimislüli pöördenurgale
sobivalt valitud summaga
järkjärgulisi väärtusi, arvutatakse kiiruste analoogid ja siis . [Näited loengul].
Sageli määratakse redutseeritud motoorsed momendid
ja redutseeritud takistusmomendid
eraldi.

Liikumisvõrrandite lahendamine
Käesolevas punktis vaatleme hooteoreemi (energia integraali) ja hooteoreemi diferentsiaalkujul kasutamist dünaamilise mudeli liikumise uurimisel .
A. Hooteoreemi (eneria integraali) kohaselt (vt. seos 3.6) on ümber kinnispunkti pöörleva redutseerimislüli korral kineetilise energia muutus
, ... 3.11
kus Tr - redutseeritud pöördemoment,
- redutseerimislüli pöördenurk,
- redutseeritud pöördemomendi poolt tehtud motoorsete ja
takistustööde summa,
- vastavalt redutseeritud inertsmoment ja redutseerimis-
lüli nurkkiirus vaadeldava vahemiku alguses,
- samad suurused vahemiku lõpus.
Seosest 3.11 avaldatakse redutseerimislüli nurkkiirus
, ...3.12
mida arvutatakse korduvalt andes redutseerimislüli pöördenurgale
väärtusi sammuga .
Integraali
arvutatakse kas graafilisete või numbriliste meetoditega. Arvutuste tulemusena saadakse
. [Näited loengul]
Kui alustada nurkkiiruse määramist käivitushetkest, siis . Nurkkiiruse
määramist püsifaasis käsitletakse edaspidi. Redutseerimislüli pöördenurga läbimiseks kuluv aeg
arvutatakse seosest
... 3.13
andes pöördenurgale
väärtusi sammuga . [Näited loengul].
Nurkkiiruse sõltuvus ajast st. saadakse graafikute
ja
põhjal pöördenurga
ellimineerimise teel. [Näide loengul].
Redutseerimislüli nurkkiirenduse
leidmisel võib
a) diferentseerida sõltuvust
aja t järgi st.
, ... 3.14
kus on vastavalt nurkkiiruse ja aja mastaabitegurid graafikul,
- graafiku i-nda punkti puutuja tõusunurk
b) lähtudes seosest , on
, ... 3.15
kus - vända pöördenurgale vastava graafiku punkti ordinaat ,
- sama punkti puutuja tõusunurk.
Kui redutseeritud motoorne moment sõltub redutseerimislüli nurkkiirusest
ja redutseeritud takistusmoment sõltub redutseerimislüli nurkpaigutusest
samuti nagu redutseeritud inertsmomentki , esitame võrrandi 3.11 kujul
. ... a
Eeldusel , et redutseerimislüli pöördenurgale
korduvate arvutuste käigus antud väikese sammu  piires muutub motoorne moment Tm lineaarselt, võib võtta
. ... b
Asendame võrrandis (a) integraali kujul (b) st.
saame
, ... 3.16
kus
. … ( c)
Võrrand 3.16 on parabooli võrrand, kus pöördenurga
ulatuses on C ja C1 konstandid.
Võrrandis (c ) on
kus on pindala graafiku
ja abstsisstelje vahel, mis on piiratud pöördenurka
fikseerivate abstsissidega. [Näide loengul]
Nurkkiirus pöördenurga
lõpus
leitakse võrrandi 3.16 ja etteantud kooslahendamisel. Kui etteantud
on esitatud graafikuna, tuleb leida selle graafiku ja võrrandiga 3.16 määratud parabooli lõikepunkt. Sellele punkti põhjal leitakse
graafikult. [Näide loengul].
B. Hooteoreem diferentsiaalkujul:
Kuna
on
. … 3.17
Võrrandist 3.17 avaldub redutseerimislüli nurkkiirendus
. … 3.18
Võrrandist 3.18 selgub, et konstantse redutseeritud pöördemomendi Tr puhul kutsub inertsmomendi vähendamine esile nurkkiirenduse kasvamise.
Kui algasendis , arvutatakse
ja
algasendi vahetus lähtudes oletusest, et suvaliselt valitud väikese ajavahemiku
kestel on mudeli nurkkiirendus konstantne ja võrdne tema väärtusega algasendis:
Sel juhul on
ja .
3.4. Masinate käigu reguleerimine
Masinate käigu reguleerimine võib olla aperioodiline või perioodiline.
Aperioodiline reguleerimine tähendab masina hoidmist püsifaasis st. tingimuse
täitmist. Selleks tuleb motoorset tööd
takistustöö Wt muutustega kohandada. Kasutatakse kiiruste regulaatoreid. Langeva karakteristikuga jõumasin suudab teatavates piirides ise oma tööd reguleerida: takistustöö muutusele järgneb siirdefaas ja agregaat hakkab tööle uues püsigaasis konstantse, kuigi eelmisest erineva keskmise kiirusega.
Masina käigu perioodiline reguleerimine on alglüli nurkkiiruse hetkväärtuse tsüklilise kõikumise leevendamine st. masina käigu ebaühtluse teguri
… (3.19)
hoidmine lubatavates piirides (k - keskmine nurkkiirus). Need piirid on kogemuslikud:
automootorile on   0,005
pumpadel, sepistusmasinatel  = 0,03…0,2 jne.
Praktiliselt toimub perioodiline reguleerimine hooratta abil.
Alglüli keskmine nurkkiirus
… (3.20)
Seoste 3.19 ja 3.20 alusel on
… (3.21)
… (3.22)
võib piisava täpsusega arvutada järgmiselt:
… (a)
…(b)
Redutseerimislüli kineetiline energia
kust redutseerimislüli nurkkiiruse ruut
… (3.23)
vt joon. 19.
Joon. 19.
Avaldiste 3.23 ja a ning b põhjal on
… (3.24)
ja
… (3.25)
Hooratta vajalik inertsmoment
… (3.26)
Kuna
ja
on . … ( c )
Teisest küljest
… (3.27)
Võttes arvesse seoseid 3.27, 3.23 ja c on
kust vajalik hooratta inertsmoment
. .. (3.28)
Hooratta kujundamisel,[näited loengul]
, … (3.29)
kus D - hooratta pöia ristlõike raskuskeset läbiva ringjoone diameeter,
G - hooratta kaal,
R = D/2 .
Hooratta hoomoment
, … (3.30)
tema kaal
. … (3.31)
Hooratta kaal on pöördvõrdeline tema pöia ristlõike raskuskeset läbiva ringjoone diameetri ruuduga .

Tasakaalustamine ja balansseerimine
Mehhanismi masside tasakaalustamiseks nim. masside valikut ja paigutamist eesmärgiga vähendada või kaotada dünaamilisi lisakoormusi.
Tasakaalustamise ülesanne:

Vundamendile ülekantavate dünaamiliste koormuste kõrvaldamine.

Kinemaatilistes paarides toimivate dünaamiliste koormuste tasakaalustamine.
3.5.1. Vundamendile mõjuvate dünaamiliste koormuste
kõrvaldamine
Inertsjõudude süsteem on tasakaalus, kui inertsjõudude peavektor
ja peamoment . [Joonis loengul]
Inertsjõudude süsteemi peavektori Fj projektsioonid koordinaattelgedele:
… (a)
… (b)
Tasapinnalises käsitluses on .
Koordinaatide alguse suhtes arvutatud inertsjõudude peamomendi
projektsioonid
… (c )
… (d)
… (e)
Kuna
… (f)
ja
, … (g)
on
, … (h)
. … (i)
Selleks, et inertsjõudude süsteemi peavektori projektsiooni x- teljel Fjx erinevatel liikumisparameetritel (nurkkiirusel 1 ja nurkkiirendusel 1) võrduks nulliga, peab
…(j)
ja
. … (k)
Kui on täidetud tingimus k, on täidetud ka tingimus j.
Kui võtta
kus m - süsteemi kogumass
xc - süsteemi raskuskeskme x-telje sihiline koordinaat,
siis tingimus
on täidetud, kui xc on konstantne. Valemi (b) põhjal saab analoogilise arutlusega tingimuse Fjy=0 täitmise eelduseks olukorra, kus yc=0.
Tingimus xc ja yc on konstantsed tähendab, et süsteemi raskuskeskme asend ei sõltu ei mehhanismi asendist ega tema liikumisreziimist. Seda tingimust nim. staatilise tasakaalu tingimuseks .
Inertsjõudude peamomendi
projektsiooni x-teljel (vt. seos c) võib, võttes arvesse valemit (g), välja kirjutada kujul
Selleks, et Mjx=0 sõltumata mehhanismi liikumisparameetritest (1, 1, 1), peab
… (l)
ja
. … (m)
Kui on täidetud tingimus (m), on samaaegselt täidetud ka tingimus (l). Kuna
kujutab endast massi tsentrifugaalinertsmomenti pinna zy suhtes st.
peab tingimuse (m) täitmiseks olema Izy konstant.
Analoogilise aruteluga valemi (d) puhul jõuame järeldusele, et inertsjõudude peamoment , kui massi tsentrifugaalinertsmomendid on konstantsed. Seda tingimust nim. puhtdünaamilise tasakaalu tingimuseks.
Masin on täielikus e. dünaamilises tasakaalus (ei tekita vundamendile täiendavaid dünaamilisi koormusi ) siis, kui on üheaegselt täidetud nii staatilise kui puhtdünaamilise tasakaalu tingimused.
Loengul analüüsitakse joonisel 20 toodud ja ka muid juhte.
Joon. 20.

Pöörlevate masside tasakaalustamine ja
balansseerimine
Pöörlevate masside ( rootorite ) tasakaalustamisel tähendab raskuskeskme asendi muutumatuse nõue seda, et raskuskese peab asuma pöörlemisteljel.
Staatilisest tasakaalustamisest piisab kettakujuliste rootorite korral, kuna tsentrifugaalinertsmomendid ei saa nende puhul olla suured.
Balansseerimine on tehnoloogiline operatsioon , mille käigus tasakaalustatakse rootor . Lubatud jääkdisbalansi mõõtühik on kas g.cm või g.mm, sageli antakse ka g.mm/kg st. lubatud jääkdisbalanss rootori massiühiku kohta. /Vt. lisaks vastavate laboratoorsete tööde juhendeid/.
4. ptk. HAMMASÜLEKANDED
Liikumise ülekandmiseks ja liikumisparameetrite teisendamiseks kasutatakse hammas-, hõõrd-, rihm-, kett, kruviülekandeid.
Ülekannet moodustavate rataste nurkkiiruste suhet nim. ülekandesuhteks.
Ülekandesuhe
, ... (4.1)
kus - vedava ratta nurkkiirus,
- veetava ratta nurkkiirus.
Rööpsete telgede korral on arvesse võetud ülekandesuhte märk:
kus v - välishambumiste arv. Näide 4.1
Ülekandearv u on suurema ja väiksema ratta hammaste arvude suhe st.
. ...(4.2)
4.1. Hammasülekannete ja -rataste liigitus
Liigituse aluseks on pöörlemistelgede auhteline asend.
Rööpsete telgede korral kasutatakse silinderhammasrattaid (joon. 5-7), kus rataste suhtelise liikumise hetkeliste tsentrite poolt moodustatud aksoidid on ringsilindrid (Aksoid - vt. p. 4.2 alguses).
Lõikuvate telgede puhul - koonushammasrattad (joon. 8-10).
Kiivaste telgede korral (joon. 11-14) asendatakse vajalikud hüperboloidsed aksoidid kahe silindriga (saadakse kruvirattad) või kahe koonusega (saadakse hüpoidrattad).
4.2. Hambumisteooria alged
Kiiruste hetkelise tsentri P (joon. 16. a.) geomeetrilist kohta liikumatul tasapinnal nim. paikseks tsentroidiks, tema geomeetrilist kohta liikuval, kehaga seotud tasapinnal nim. liikuvaks tsentroidiks e. aksoidiks. Tasapinnalist liikumist saab käsitleda kui liikuva tsentroidi libisemata veeremist paiksel tsentroidil. Kui valmistada vastavad tsentroidid (joon. 16.b) ja panna nad teineteisel libisemata veerema, siis sooritab liikuva tsentroidiga ühendatud keha meie poolt soovitud liikumise. Hammasülekande sünteesimisel tuleb üle kanda vedava võlli 1 pöörlev liikumine veetavale võllile 2 nii, et ülekandesuhe
Märk “-“ viitab välishambumisele.
Et võllidevahelist suhtelist liikumist paremini mõista, kasutame nn. liikumise pööramise võtet, mis seisneb kogu süsteemile lisaliikumise “-2” andmises. Paigalseisvale vaatlejale näib nüüd võll 2 liikumatuna. Võll 1 pöorleb nurkkiirusega 1 ümber telje O1 ja lisaks sellele tiirleb nurkkiirusega 2 ümber paigalseisva telje O2.
Määrame nüüd suhtelise liikumise tsentroidid. Selleks tuleb leida hetkeline kiiruste tsenter ja otsida tema geomeetrilist kohta paigalseisval tasapinnal T2 ja liikuval tasapinnal T1.
Vaatleme punkti K kiirust vK, mis koosneb kahest komponendist v1K ja v2K, kus
kus KO1 ja KO2 vt. joon. 16.
Niisugustest komponentidest koosnev kiirus saab olla null ainult siis, kui
1) komponendid v1K ja v2K on vastassuunalised,
2) komponentide suurused on võrdsed.
Esimene tingimus on täidetud vaid punktis P, mis asub nn. tsentritejoonel.
Teisest tingimusest lähtudes peab
kust
. ...(a)
Seega asub võllide suhtelise liikumise hetkeline kiiruste tsenter tsentrijoonel ja jagab selle vastuproportsionaalselt nurkkiirustega kaheks osaks.
Kui
, ...(b)
kus a - võllide telgede vahe, siis on O1P ja O2P konstantsed st. kiiruste hetkelise tsentri asend tsentrijoonel on püsiv. Seega on nii paikne kui liikuv tsentroid (aksoid) ringjooned, mille raadiuses r1 ja r2 on pöördvõrdelised nurkkiirustega:
. ...(4.3)
Teiselt poolt
. ...(4.4)
Hambumise teoorias nim. aksoide algringjoonteks. Hetkelist kiiruste tsentrit P nim. hambumispooluseks.
Seega puutuvad algringjooned teineteist hambumispooluses P ja veerevad teineteisel libisemata (joon. 17).
Sisehambumise korral
...(4.4’)
. ...(4.3’)
Nurkkiirus ümber kiiruse hetkelise tsentri
Ratta 1 punkti B kiirus ratta 2 suhtes (libisemiskiirus)
(vt. joon. 18) ...(c)
Olgu ratas 1 varustatud hammastega, mille profiiliks on kõver 1 (joon. 19) ja ratas 2 hammastega, mille profiiliks on 2. Valemi c põhjal on punkti Y kiirus kontaktpunktis
Et säiluks normaalne kontakt peab kiirus olema suunatud piki kontaktpunktis profiilidele tõmmatud ühist puutujat t-t. Seega peab kontaktpunkti Y ham-bumispoolusega P ühendav sirge olema suunatud piki profiilide ühist normaali n-n.
Ülaltoodu põhjal võib formuleerida hambumise põhiteoreemi:
Pöörleva liikumise ülekandmiseks konstantse ülekandeteguriga peavad kasutatavad hambaprofiilid olema niisugused, et nende kontaktpunktis tõmmatud ühine normaal läbitaks alati tsentritejoonel liikumatult asuva hambumispooluse.
Hambumise protsessis muutub pidevalt kontaktpunkti Y asend ka liikumatul tasapinnal. Kontaktpunkti geomeetrilist kohta liikumatul tasapinnal nim. hambumissirgeks.
4.3. Sirghammastega silinderülekannete geomeetria
4.3.1. Terminoloogia
Joon. 20. a) 1 - ratta korpus, 2 - hammasvöö, 3 - hammas, 4 - hambavahe;
b) 5 - jalgadepind, 6 - peadepind, 7 - hambatald, 8 - hambalagi;
c) 9 - pea(külg)pind, 10 - siirdepind;
d) 11 - jaotuspind, 12 - jaotusjalg, 13 - jaotuspea, 14 - jaotusjoon.
Hammasratta ühistelgne pind on iga pöördepind, mille telg ühtib ratta teljega.
Hammasratta jalgadepind (pos.5) on hambaid ratta korpusest eraldav ühistelgne pind.
Hammasratta peadepind (pos.6) on hambaid rattakerest kaugemast küljest piirav ühistelgne pind.
Hambale kuuluvat peadepinna osa nim. hambalaeks (pos.8), jalgadepinnaga ühtivat hamba pinda hambatallaks (pos.7).
Hamba peapind (pos.9) on ulatuselt valdav, teoreetilise pinnaga ühtiv hamba külgpinna osa.
Hamba siirdepind (pos.10) on külgpinna osa, mis ühendab hamba peapinda jalgadepinnaga.
Hammasratta jaotuspind (pos.11) on hammaste elementide ja mõõtmete määramisel aluseks võetav ühistelgne pind (silinderratastel jaotussilinder).
Hamba jaotusjalg (pos.12) on hammasratta jaotus- ja jalgadepinna vahel paiknev hambaosa, jaotuspea (pos.13) asub jaotus- ja peadepinna vahel.
Jaotushambajoon (pos.14) (jaotusjoon) tekib hamba peapinna (täpsemini nimipinna) ja jaotuspinna lõikamisel. (Hamba nimipind on peapind, millest lähtudes arvestatakse töötlushälbed).
Joonisel 21 on näidatud hamba külgpinnad ABB’A’ ja CDD’C’.
Hamba (kogu)kõrgus h on radiaalne kaugus peade - ja jalgadesilindri vahel, kusjuures
h = ha + hf ,
kus ha - hamba jaotuspea kõrgus, hf - hamba jaotusjala kõrgus.
Samanimeliste naaberprofiilide vahelist kaugust jaotusringjoone kaarel nim. jaotusringsammuks p. Kui ratta hammaste arv on z, siis
, …(a)
kus d - jaotusringjoone läbimõõt.
Seosest (a) tulenevalt on
, …(4.5)
kus m - jaotusringmoodul
ja
d = m . z . …(4.6)
Moodulite väärtused millimeetrites on määratud standarditega (vt. joon. 31).
Hammasrataste mõõtmed antakse mooduli kordsetena (moodul on hammasrataste mastaabitegur). Nii on
jne. (vaata joon. 31)
kus - hambapea kõrguse tegur,
- hambajala kõrguse tegur.
Naaberhammaste sümmeetriatelgede vahelist nurka nim. nurksammuks , kusjuures
Hammast piiravate erinimeliste profiilide vahelist kaugust jaotusringjoone kaarel nim. hamba jaotusringpaksuseks s. Niisamuti määratletakse hamba paksusi ka teistel ringjoontel (näiteks peaderingpaksus sa).
Hambavahe ringlaiused:
hambavahe jaotusringlaius e
hambavahe peaderinglaius ea
jne.
Kuna hammasrataste geomeetria arvutamisel lähtutakse külglõtkuta hambumisest, on
Paisumisvahe ning määrdekihile vajaliku ruumi tõttu peab tegelikult s1 2. Profiilidevahelise ringkülglõtku jt (vt. joon. 22) saamiseks antakse hammasratta joonisel hamba nimipaksuse mõlemad piirhälbed negatiivsed [eraldi joon.].
Ühisnormaali n-n sihis mõõdetavat lõtku nim. normaalkülglõtkuks jn.
Ratta peaderingjoone ja vastasratta jalgaderingjoone vahelist radiaalkaugust nim. radiaallõtkuks c. Kahe hambuva ratta peaderingjoonte vahele jäävat telgedevahelise joone lõiku nim. hambumissügavuseks h.
4.3.2. Ringjoone evolvent
Ringjoone evolvendiks nim. kõveraid, mida kujundavad ringjoonel libisemata veereva puutuja kõik punktid (joon. 23).
Ringjoont , millel puutuja libisemata veereb , nim. hambumise teoorias alusringjooneks. Tema raadiust tähistatakse - rb, läbimõõtu - db.
Evolvendi omadused:

Ühe alusrinjoone evolvendid on omavahel kongruentsed (ühitatavad liikumise abil). Seega on evolvent täielikult määratud alusringjoone raadiusega rb ja alguspunktiga E0.

Et kujundav sirge veereb alusringjoonel libisemata, siis
jne.
3. Evolvendi kõverusraadiused võrduvad alusringjoone puutuja lõikudega, mis paiknevad evolvendi ja alusringjoone vahel:
jne.
Punktid N1, N2, N3 jne on seega evolvendi kõverustsentrid. Alusringjoon osutub evolvendi kõverustsentrite geomeetriliseks kohaks e. evoluudiks.
Evolvendi parameetriliste võrrandite polaarkoordinaatides tuletamiseks vt. joonist 24. Parameetriteks on profiilinurk y evolvendi jooksvas punktis Y asuva puutuja - ja sellesse punkti viiva raadiusvektori OY = ry vahel. (Et puutuja - on paralleelne raadiusega ONy = rb, siis ka nurk YONy = y) .
Evolvendi raadiusvektori moodul (vt. kolmnurka YONy )
. …(4.7)
Polaarnurga Qy (hammasrataste korral nim. evolventnurgaks) saab määrata seosest
kust
Funktsiooni (tan - ) nim. evolventfunktsiooniks ja tähistatakse invy (involuut y), st
invy =
. …(4.8)
Nurka
nim. laotusnurgaks .
4.3.3. Evolventhambumise kujundamine
Käsitleme nihutuseta evolventhambumise kujundamist, kus jaotus- ja algringjoonte läbimõõdud on võrdsed st.
ja
Telgedevaheline jaotuskaugus
, …(4.9)
kuna algringjooned puutuvad teineteist hambumispooluses P (vt. joon. 26). Üldjuhul tähistatakse telgedevahelist kaugust, kui aw. Nihutuseta rattal on aw = a.
Joonestame algringjoontele puutuja - ja sellega hambumisnurga  moodustava hambumissirge n-n (sirgete tähised puuduvad joonisel 26). Nihutuseta ratastel on  = , kus  - lähtekontuuri (vt. järgmises punktis) profiilinurk.
Seepeale tõmmatakse tsentritest O1 ja O2 hambumissirge ristsirged; saadakse punktid N1 ja N2.
Evolventide kujundamiseks vajalike alusringjoonte raadiusteks võetakse pikkused ON1 = rb1 ja ON2 = rb2.
Alusringjoonte läbimõõdud
. …(4.10)
Kirjeldatud viisil saadud alusringjoonte evolvendid rahuldavad hambumise põhiteoreemi nõudeid.
Nihutuseta rataste jaotuspeade kõrgused
ja peadeläbimõõdud
(vt. ka valemit 4.6).
Hambajalad peavad vastasratta hambapeadest olema radiaallõtku c = c* . m võrra kõrgemad. Seega
ja
jalgadeläbimõõdud
Pärast peaderingjoonte konstrueerimist on võimalik määrata nii hambumissirge kui ka hambaprofiilide toimivaid, aktiivseid osi st. piirkondi, kus hambad tegelikult kokku puutuvad. Kuna hambad lõpevad peaderingjoonel, siis ei saa olla kokkupuudet hammaste vahel väljaspool hambumissirge aktiivosa - lõiku K1K2. Kandnud need punktid tsentritest O1 ja O2 tõmmatud ringjoonekaartega vastavatele profiilidele, saame hammaste profiilide aktiivosade alumised punktid Kp1 ja Kp2 (joonisel 27 need punktid puuduvad).
Hamba profiil on evolventne piirpunktini L (vastav hamba piirkõrgus he), kus ta läheb üle pingete kontsentratsiooni leevendavale siirdekõverale (vt. joon. 28).
4.3.4. Hammaslati hammaste profiil. Lähtekontuur.
Töökontuur
Hammaslatti vaadeldakse kui silinderhammasratta sektorit, mille silindrite läbimõõdud on lõpmata suured. Silinderpinnad on seega muutunud rööptasanditeks ja neile vastavad ühiskeskmega ringjooned rööpsirgeteks (joon. 29.a). Alusringjoone raadiuse rb kasvades (joon. 30) suureneb evolventprofiili kõverusraadius . Kui rb , siis ka  .
Seega on hammaslati hambaprofiiliks sirge. Seda asjaolu kasutatakse omavahel korrektselt hambuvate evolventrataste perekonna kindlaksmääramiseks, selleks piisab hammaslati kuju ehk nn. lähtekontuuri etteandmisest (joon. 29.b). Lähtekontuur on nominaalse hammaslati profiil jaotuspinna risttasandis (silinderratastel vastab sellele otslõige).
Hambalõikeriistade geomeetria alus on töökontuur (joon. 31), mis kujult ühtib lähtekontuuriga, erinedes sellest ainult hambapea kõrguse poolest. Viimast suurendatakse radiaallõtku c*.m võrra selleks, et lõigatavatel hammastel tekiks nõutav jalakõrgus .
Lähtekontuuri peadesirge ja töökontuuri vaheline lõtk säilib, vältimaks hammaste lõikamisel kontakti tööriista hambavahe põhja ja tooriku peadesilindri vahel. Seega töökontuuri hamba kogukõrgus
ja tema jaotussirge poolitab selle.
4.3.5. Hammaste lõikamine

Kopeerimismeetod, kus lõikeinstrumentidena kasutatakse kas ketas - või sõrmmoodulfreese (joon. 32, 33, 34). Kuna hambavahe kuju sõltub hammasratta hammaste arvust (alusringjoone raadiusest), on ühe ja sama mooduliga hammasrataste lõikamiseks vaja eraldi freesi erineva hammaste arvu korral. Praktikas ei ole see nõue realiseeritav. Tegelikult valmistatakse iga mooduli jaoks komplekt freese, kusjuures igat freesi sellest komplektist kasutatakse teatud hammaste arvu vahemikus. Frees lõikab õige kujuga hambavahe vaid hammaste arvu vahemiku minimaalsel väärtusel.

Rullumismeetod, kus lõikeinstrumentidena kasutatakse hambatõukurit (joon. 35), latt -tõukurit või tigufreesi. Hambapinna profiiliks kujuneb lõikeriista lõikeserva järjestikuste suhteliste asendite mähisjoon.
4.3.6. Hambapinna modifitseerimine
Raskelt koormatud ja kiire välishammastega silinderülekande töövõime suurendamiseks kasutatakse lähtekontuuri (joon. 46), mille hambapea profiil on modifitseeritud . Pea modifitseerimine vähendab dünaamilisi lööke. Modifitseerimiskõrguse tegur
ja modifitseerimis-sügavuse tegur .
Kasutusel on veel hambapea paksendiga nn. protuberantsiga töökontuur. Selle järgi profileeritud lõikeriist lõikab hammastele jalaossa sisendsiirde, mis loob head tingimused hammaste viimistlemiseks (šeevertöötluseks või termotöötluse järgseks lihvimiseks).
Protuberantsiga töökontuur koosneb kolmest sirgest osast (profiilinurkadega o, MO, KO), mis lõikavad vastavalt hamba profiili kolme erinevat evolventosa: peaprofiili, modifitseeritud evolventosa ja nürimisprofiili.
4.3.7. Nihutusega hammasrattad ja ülekanded
Tööpingi poolt lõikeriistale ja toorikule antava rullumisliikumise tõttu tekib hammaste lõikamisel pinkhambumine. Kui tööriista lõikeserv on profileeritud töökontuurikohase hammaslatina (tigufrees või latt-tõukuri puhul), siis pinkhambumine hammasrataste lõikamise lõppjärgus kujutab endast hambumist evolventratta ja hammaslati vahel (vt. joon. 47, 48.a, 49.a, 50.a).
Nihutuseta hammasrataste lõikamise lõppjärgus puutub töökontuuri jaotussirge ratta jaotusringjoont veeredes sellel libisemata. Ratta jaotusringjoon on seega pinkhambumise algringjoon ja töökontuuri jaotussirge - algsirge. Seega nimetatakse hammasratta jaotusringjooneks seda ringjoont, millel ringsamm võrdub lõikeriista sammuga.
Lõigatava ratta hammaste jaotusringpaksus s ja hambavahe jaotusringlaius e on võrdsed:
Kui koostada säärastest ratastest tihe, külglõtkuta hambumine (kõik geomeetriaarvutused tehakse, eeldades külglõtkuta hambumist), puutuvad jaotusringjooned teineteist hambumispooluses, jäädes algringjoonteks ka rataste hambumises (vt. joon. 48).
Telgedevaheline jaotuskaugus
Hambumisnurk    .
Kui lõikeriista jaotussirget ei viida lõikamise lõppjärgus lõigatava ratta jaotusringjoone puutujaks (joon. 47.b, 49.a), vaid jäetakse sellest eemale, kaugusel x.m, saadakse positiivse nihutusega hammasratas (plussratas). Lõigatava ratta jaotusringjoonel 1 veereb libisemata töökontuuri jaotussirgega 2 rööpne algsirge 3. Lõikeriista hammaste samm p on algsirgel sama mis jaotussirgel, kuid lõikeriista hambapaksus algsirgel on kahanenud pikkuse 2.x.m.tg võrra. Seega lõigatava ratta jaotusringvahe
ja jaotusringpaksus
. …(4.10)
Pinkhambumise hambumisnurk on määratud töökontuuri profiilinurgaga  ja ei sõltu nihutusest. Seega ei sõltu nihutuse suurusest ei lõigatava ratta alusringjoone raadius ega evolvendi kuju.
Positiivselt nihutatud rataste hambumise skeem on joonisel 49.b. Paksenenud hammaste ja ahenenud hambavahede tõttu tekib hambumine juba olukorras, kus jaotusringjooned (mille läbimõõt d = m . z nihutusest ei sõltu) on teineteisest pikkuse y.m võrra eemal. Selle tagajärjel suureneb ülekande telgede vahe a võrreldes jaotuskaugusega a.
Kuna
ja
siis
. …(4.11)
Tiheda hambumisega määratud telgedevahe tegelik suurenemine (omastatud nihutus)
kus - summaarne nihutustegur.
Vahet
nim. omastamata nihutuseks.
Nihutuse osaline omastamatajätt on tingitud sellest, et telgedevahe määrab kindlaks külglõtkuta tööhambumise teke, mitte pinkhambumises kasutatavad nihutused.
Telgede vahe muutumise tõttu ei ühti hambumispoolust P läbivad algringjooned enam jaotusringjoontega.
Kuna
ja ,
siis
Siit
…(4.12)
ja
Jalgade- ja peaderingjoonte läbimõõdud
…(4.13)
Peaderingjoone läbimõõdu arvutamisel lähtutakse välishambumise korral tingimusest, et ülekandes oleks radiaallõtk c*.m .
Hammaste kõrgus
Negatiivsel nihutusel (joon. 50) võetakse nihutus x.m märgiga “-“.
Positiivse nihutuse korral (joon. 51) paikneb hambaprofiil evolvendi alusringjoonest kaugemal, kus kõverusraadiused on suuremad. Säärastes hammastes tekivad väiksemad kontaktpinged. Pakseneb ka hambajalg ja muutub sujuvamaks siirdekõver. Saab vältida interferentsi (vt. eespool p. 4.3.9).
Teiselt poolt väheneb hamba normaalpaksus lagipinnal.
Muutused negatiivselt nihutatud rataste ja hambumise omadustes on vastupidised positiivselt nihutatute omadele.
4.3.8. Nihutusega hammasrataste põhiparameetrite arvutus
Seost 4.10 võib kasutada siis, kui on eelnevalt teada ülekande hambumisnurk. Hambumisnurka on võimalik määrata tingimustest, et algringjooned veerevad teineteisel libisemata. Järelikult peab ühe ratta hamba paksus algringjoonel olema võrdne hambavahe laiusega teise ratta algringjoonel st.
või . …(a)
Alguses määrame nihutusega x.m lõigatud hammasratta hamba paksuse ja hambavahe laiuse meelevaldse raadiusega ry ringi kaarel (joon. 55).
Jooniselt saame, et
kus  - pool hamba nurkpaksust jaotusringjoonel
y - pool hamba nurkpaksust ringjoonel raadiusega ry .
Asendades hamba nurkpaksuse vastava kaare pikkusega
ja kasutades seoseid 4.6 ja 4.10 saab pärast teisendust valemi hamba paksuse määramiseks
…(4.14)
Analoogilisel teel määratakse seos hambavahe laiuse arvutamiseks
…(b)
Seoste 4.14 ja b põhjal avaldatakse hamba paksus väiksema ratta algringjoonel s1 (ry=r1, z=z1, x=x1, y=) ja hambavahe laius suurema ratta algringjoonel e2 (ey=e2, ry=r2, z=z2, x=x2, y=).
Asendades saadud seosed avaldisse a ning kasutades seost 4.7 kujul
(ry=r , y=)saame pärast teisendust silindriliste hammasrataste evolventülekande hambumise võrrandi, mis seob hambumisnurga  , nihutustegurite summa
ja rataste hammaste arvud z1 ja z2:
…4.15
4.3.9. Piirangud hammasülekannete sünteesimisel.
Kvaliteedinäitajad
Välishammaste lõikamisel lattlõikeriistaga (tigufreesi, latt-tõukuriga) on 3 piirangut: jalgalõige, hamba teravnemine ja hamba töötluspuue.
Jalgalõige tekib, kui lõigatava ratta hammaste arv zxmin, puutub siirdekõver sujuvalt evolventi profiili piirpunktis L (vt. joon. 58.a). Kui x=xmin (e=0, vt. joon. 59), puutub siirdekõver evolventi alusringjoonel (dl=db vt. joon. 58.b), kus dl - profiili piirpunkti läbimõõt.
Kui x