Analüütilise geomeetria valemid (0)

ANALÜÜTILISE  GEOMEETRIA  VALEMID




1. Vektori koordinaadid  a = Xi + j
Y +Zk = ( X ;Y ; Z )
2. Vektori koordinaatide seos lõpp- ja alguspunktide koordinaatidega  AB = (x – x ; y – y ; z – z )
B
A
B
A
B
A
3. Vektori pikkus 
2
2
2
a = X
Y
Z
X
Y
Z
4. Vektori suuna koosinused  cosα=
; cos β =
; cos γ =
cos2 α + cos2 β + cos2 γ =
a
a
a    
1
5. Vektorite võrdsus  a = ,
b ( X = X ;Y = Y ; Z = Z )
1
2
1
2
1
2
6. Vektorite summa  c = a +b,(X = X + X ;Y = Y +Y ; Z = Z + Z )
3
1
2
3
1
2
3
1
2
7. Vektori korrutamine skalaariga  b = na,(X = nX ;Y = nY ; Z = nZ )
2
1
2
1
2
1
X
Y
Z
8. Vektorite kollineaarsus  a ↑↑ b,( 1
1
1
X
Y
Z
2
2
2
AM
x
x
y
y
A + λ B
A + λ
9. Lõigu jaotamine antud suhtes 
= λ,(x
y
M =
; M =
B ;...)
MB
1 + λ
1 + λ
x + x
y + y
z + z
10. Lõigu poolitamine 
1
2
x =
1
2
y =
1
2
z =
K
2
K
2
K
2
11. Kahe vektori skalaarkorrutis on skalaar , mis võrdub nende vektorite moodulite ja nende vektorite vahelise 
nurga koosinuse korrutisega.    a b
⋅ =a b cosϕ
a ⋅b
12. a ⋅b = a pr b = b pr a
pr a =
a
, millest 
b
b
b
13.

skalaarruut  aa = |a| 2 
2
a = a
a b
⋅
X X + Y Y + Z Z
14.
1
2
1 2
1
2
kahe vektori vaheline nurk  cosϕ=
    cosϕ =
a b
2
2
2
2
2
2
X + Y + Z
X + Y + Z
1
1
1
2
2
2
15. vektorite ristseisu ( a ⊥ b) tingimus: a b = 0, sest ϕ=π/2,   X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2  = 0
16. ühikvektorite skalaarkorrutised
ii = 1
ji = 0
ki  = 0
ij = 0
jj = 1
kj  = 0
ik = 0
jk = 0
kk = 1
17. Skalaarkorrutis koordinaatides a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.
X X +Y Y + Z Z
18.
1
2
1 2
1
2
Ühe vektori  projektsioon teisel vektoril  pr a =
b
2
2
2
X +Y + Z
2
2
2
19. Vektori a  vektorkorrutis  vektoriga b on vektor  c, mis on määratud järgmiste tingimustega:





1. c =a b
x
=a ⋅ b sin ϕ, vektori c pikkus võrdub nende vektorite moodulite ja nende vektorite vahelise 
nurga siinuse korrutisega.
2.Vektori c siht on risti vektoritele a ja b joonestatud rööpküliku tasandiga. ( c ⊥ a ; c ⊥ b )
3.Vektori c suund on selline, et  vektorid  a, b ja c antud järjekorras moodustaksid parempoolse vektorkolmiku, s.t. 
kui vaadata vektori c lõpp punktist, siis vektori a lühim pööre vektori b peale peab olema nähtav  kellaosuti  liikumise 
vastassuunas .
20. Vektorkorrutise moodul võrdub nendele vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga. S = | a x b |
21. kahe võrdse vektori korrutis a x a = 0
22. vektorite kollineaarsuse ( a | | b) tingimus: a x b = 0, sest  sin ϕ = 0
23. ühikvektorite vektorkorrutised
ixi = 0
jxi = –k
kxi  = j
ixj = k
jxj = 0
kxj  = –i
ixk = –j
jxk = i
kxk = 0
1


i
j
k
24. Vektorkorrutis koordinaatides a x b =  X
Y
Z
1
1
1
X
Y
Z
2
2
2
2
2
2


Y
Z
 X
Z 
X
Y
25. Vektorkorrutise moodul 
1
1
1
1
1
1
a b
x =
+ –
Y
Z
 X
Z 
X
Y
2
2

2
2 
2
2
26. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise skalaarkorrutist kolmanda vektoriga c nimetatakse vektorite a,b,c 
segakorrutiseks. V = ( a x b ) c 
27. Vektorite komplanaarsuse tingimus ( a x b ) c = 0
X
Y
Z
1
1
1
28.  Segakorrutis  koordinaatides ( a x b ) c =  X
Y
Z
2
2
2
X
Y
Z
3
3
3
Sirge võrrand ruumis.
29. Sirge  parameetriline  võrrand. x = xA + tl ; y = yA + tm ; z = zA +tn .
30. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud sihivektoriga s ehk sirge kanooniline võrrand
x – x
y – y
z – z
A
A
A
l
m
n
x – x
y – y
z – z
31.
A
A
A
Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B 
x – x
y – y
z – z
B
A
B
A
B
A
 A x B y C z D
1
+ 1 + 1 + 1 = 0
32. Sirge, kui kahe tasandi lõikejoon A x B y C z D
2
+ 2 + 2 + 2 = 0
Sirge võrrand tasandil.
m
33. Sirge parameetriline võrrand x = x
k = tanα =
A + tl ; y = yA + t m, kus sirge tõus 
l
34. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud sihivektoriga s ehk sirge kanooniline võrrand
x – x
y – y
A
A
l
m
35. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud tõusuga k, ehk sirgete kimbu võrrand
y – yA = k ( x – xA )
x – x
y – y
y – y
36.
A
A
B
A
Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B 
k =
x – x
y – y  , kus sirge tõus 
x – x
B
A
B
A
B
A
37. Sirge võrrand antud tõusu ja algordinaadiga. y = k x + b
38. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud normaalvektoriga n = ( A: B )
A
 A ( x – x
A ) +B (y – yA ) = 0, kus sirge tõus  k
tan
= – B
A
C
39. S irge üldvõrrand   Ax + By + C = 0, kus sirge tõus   k = –
 ja algordinaat   b = –
B
B
40. Sirge üldvõrrandi  uurimine :
a) C = 0 , sirge läbib koordinaatide alguspunkti
A x + B y = 0
b) B = 0 , sirge on paralleelne y – teljega
A x + C = 0    ⇒ x = a
c) A = 0 , sirge on paralleelne x – teljega
B y + C = 0     ⇒ y = b
d) B = C = 0 , y – telje võrrand
x = 0
e) A = C = 0 , x – telje võrrand
y = 0
2
x
y
b
41. Sirge võrrand telglõikudes  +
=1 kus sirge tõus   k = –
a
b
a
42. sirge normaalvõrrand   x cos α + y sin α – p = 0
1
43. normeerimistegur   µ = ±
, saadakse kui võrrelda sirge üldvõrrandit ja normalvõrrandit.
2
2
A + B
C
p = –
= C
µ
A2 + B2
44. sirge võrrand polaarkoordinaatides.  ρ
p
= cos(ϕ –α)
45. Tasandi võrrand läbi antud punkti ja antud normaalvektoriga 
A (x – xA) + B ( y – yA ) + C (z – zA ) = 0.
46. Tasandi üldvõrrand. A x + B y + C z + D = 0
Tasandi üldvõrrandi uurimine.
a) D = 0 , tasand läbib koordinaatide alguspunkti
A x + B y + C z = 0
b) C = 0 , tasand on paralleelne z – teljega
A x + B y + D = 0
c) B = 0 , tasand on paralleelne y – teljega
A x + C z + D = 0
d) A = 0 , tasand on paralleelne x – teljega
B y + C z + D = 0
e) D = C = 0, tasand läbib z – telge
A x + B y = 0
f)
D = B = 0, tasand läbib y – telge
A x + C z = 0
g) D = A = 0, tasand läbib x – telge
B y + C z = 0
f) B = C = 0, tasand on paralleelne y z – tasandiga
A x + D = 0 ⇒ x = a
h) A = C = 0, tasand on paralleelne x z – tasandiga
B y + D = 0 ⇒ y = b
i) A = B = 0, tasand on paralleelne x y – tasandiga
C z + D = 0 ⇒ z = c
j)
D = B = C = 0, y z – tasandi võrrand
x = 0
k) D = A = C = 0, x z – tasandi võrrand
y = 0
l)
D = A = B = 0, x y – tasandi võrrand
z = 0
47. Tasandi võrrand telglõikudes
x + y + z =1
a
b
c
48. Tasandi võrrand läbi kolme antud punkti.
x – x
y – y
z – z
A
A
A
x – x
y – y
z – z
B
A
B
A
B
A = 0
x – x
y – y
z – z
C
A
C
A
C
A
49. Tasandi normaalvõrrand.
x cos α + y cos β + z cos γ – p = 0
Kahe sirge vastastikune asend ruumis:
x – x
y – y
z – z
2
1
2
1
2
1
50. kiivsirged. ( s
l
m
n
≠
1 x s2 ) P1P2 ≠  0    
0
1
1
1
l
m
n
2
2
2
3
x – x
y – y
z – z
2
1
2
1
2
1
51. Asetsevad ühel tasandil. ( s
l
m
n
1 x s2 ) P1P2 = 0    
0
1
1
1
l
m
n
2
2
2
s ⋅s
l l + m m + n n
1
2
1 2
1 2
1 2
52. Lõikuvad a ∩ b, siis kahe sirge vaheline nurk  cosϕ =
= 2 2 2 2 2 2
s s
l + m + n ⋅ l + m + n
1
2
1
1
1
2
2
2
53. On risti a ⊥ b, siis  s1 s2  = 0 ⇒ l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0
l
m
n
x – x
y – y
z – z
54. On paralleelsed, siis s
1
1
1
2
1
2
1
2
1
≠
≠
1  x s2  = 0 ja P2 ∉ a ⇒ 
 ja 
l
m
n
l
m
n
2
2
2
1
1
1
l
m
n
x – x
y – y
z – z
55. Ühtivad,  siis   s
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1  x s2  = 0 ja   P2 ∈ a  ⇒      
 ja 
l
m
n
l
m
n
2
2
2
1
1
1
Kahe sirgete vastastikune asend tasandil.
s ⋅s
l l + m m
1
2
1 2
1 2
k – k
56. Lõikuvad a ∩ b, siis  cosϕ =
 või 
2
1
tanϕ =
2
2
2
2
s s
l + m ⋅ l + m
1 + k k
1
2
1
1
2
2
1 2
57. On risti a ⊥ b, siis  s1 s2  = 0 ⇒ l1l2 + m1m2 = 0, või  k1 k2 = – 1, sest et ϕ = π/2
l
m
58. On paralleelsed, siis s
1
1
1  x s2  = 0  ⇒ 
, või  k
l
m
1  = k2 sest et ϕ = 0
2
2
Kahe tasandi vastastikune asend ruumis
n n
A A + B B + C C
59.
1
2
1
2
1
2
1
2
Lõikuvad α ∩ β, siis kahe tasandi vaheline nurk  cosϕ =
2
2
2
2
2
2  ja 
n n
A + B + C ⋅ A + B + C
1
2
1
1
1
2
2
2
võrrandsüsteemi  maatriksite  astakud on r ( A ) = r ( AL ) = 2 
60. On risti α ⊥ β, siis  n1 n2  = 0 ⇒ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 
A
B
C
D
61. On paralleelsed, siis n
1
1
1
1
≠
1  x n2  = 0 ja ⇒ 
 ja r ( A ) = 1 ning  r ( A
A
B
C
D
L ) = 2
2
2
2
2
A
B
C
D
62. Ühtivad,  siis   n
1
1
1
1
1  x n2  = 0 ja  ⇒   
   ja r ( A ) = r ( A
A
B
C
D
L ) = 1
2
2
2
2
Sirge ja tasandi vastastikune asend ruumis
63. Kui sirge ja tasand lõikuvad α ∩ a, siis sirge ja tasandi vaheline nurk
ns
Al +Bm C
+ n
sin ϕ =
 
2
2
2
2
2
2
n s
A +B
C
⋅ l
m
n
A
B
C
64. On risti α ⊥ a, siis  n | | s ⇒ (n x s ) = 0 ⇒  
 
l
m
n
65. On paralleelsed α || a ja P ∉ α, siis n ⊥ s   ⇒ (n s) = 0 ⇒
A l + B m + C n = 0 ja Ax1 + By1 + Cz1 + D ≠ 0
66. Ühtivad a ⊂ α,  siis n ⊥ s   ⇒ (n s) = 0  ja P ∈ α  ⇒
A l + B m + C n = 0 ja  Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0
Kauguste arvutamine.
4
Ax + By + C
67.
0
0
Punkti kaugus sirgest tasandil.  d =
2
2
A + B
Ax + By + Cz + D
68.
0
0
0
Punkti kaugus  tasandist  ehk kahe paralleelse tasandi vaheline kaugus  d =
2
2
2
A + B + C
s
P
× P
69.
S
1
2
Punkti kaugus sirgest ruumis ehk kahe paralleelse sirge vaheline kaugus  d =
s
s
P P ⋅(s ×s )
70.
1
2
1
2
Kahe  kiivsirge  vaheline kaugus   d = pr P P =
1
2
n
s ×s
1
2
Teist järku jooned.
71. Teist järku joone üldvõrrand: 
2
Ax + 2
2
Bxy +Cy + 2Dx + 2Ey + F = 0
72.  Ringjoon .  2
2
2
x + y = R  Keskpunkt punktis K ( a; b )
2
2
2
(x – a) + ( y – b) = R
Teist järku joone üldvõrrand esitab ringjoont , kui A = C ja B = 0.
73. Ringjoone parameetrilised võrrandid  x = R cos t;  y = R sin t
74.  Ellips  on tasandi punktide hulk, mille kauguste summa kahest antud punktist ( fookustest ) on konstantne  
2
2
x
y
suurus ( 2a ) ja on suurem fookuste vahelisest kaugusest ( 2c ).  
= 1 ,mis on ellipsi kanooniline 
2
2
a
b
võrrand.
2c
c
75. 2
2
2
a = b + c  Ellipsi  ekstsentrilisus on fookuste vahelise kauguse ja pikema telje suhe  ε =
2a
a
0