7. 0 2 0 0 1 2 1 3 4 1 0 0 4 3 4 2 6 8 0 0 3 0 1 2 1 3 4 5.8. 5.9. Vastused: 5.1. 1 5.2. 2 5.3. 2 5.4. 3 5.5. 2 5.7. 3 5.8. 3 5.9. 2 6.Lineaarse võrrandisüsteemid(LVS) 6.1. LVS lahendid Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarsest võrrandist koosnevat süsteemi , mille ülkuju on a11 x1 + a12 x 2 + .......... + a1n x n = b1 a x + a x + .......... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ..................................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + .......... + a mn x n = bm
8.7 ¨ Ulesanne Lahendada maatriksv~orrand ja kontrollida lahendit. 3 -2 -1 2 X = 5 -4 -5 6 8.8 ¨ Ulesanne Lahendada maatriksv~orrand ja kontrollida lahendit. 3 -1 5 6 14 16 X = 5 -2 7 8 9 10 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 1 LVS ja tema lahend 1.1 T¨ ahistusi ja m~ oisteid Lineaarv~orrandis¨ usteemiks (LVS-iks) nimetatakse j¨ argmist v~ orran- dis¨ usteemi: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1 a x + a x + · · · + a x = y 21 1 22 2 2n n 2 ................................
Crameri valemid. Kompl ¨ Ulesanne Arvutage determinandid 1 2 4 2 4 0 −1 3 3 1 3 −2 5 −6 4 2 1 0 2 5 6 −4 −3 4 1 2 5 1 3 2 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl LVS lahendamine Crameri valemite abil Gabriel Cramer (1704-1752) Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl LVS lahendamine Crameri valemite abil Eeldused: 1 LVS-i tundmatute arv = v˜ orrandite arv
summaga. lim(u1 + u2 +....) = lim u1 + lim u2 + ... Tõestus: Tõestan teoreemi kahe funktsiooni liitmise korral. Olgu lim f(x) = A ja lim g(x) = B (Vaatlen mõlemaid protsesse piirprotsessis x +) Teoreem (1) põhjal võib kirjutada lim x + f(x) + g(x) = lim x + f(x) + lim x + g(x) Eeldame, et liidetavaid on lõplik arv. Tugineb lvs omadusele. Lvs (lõpmata väike suurus) omadus: lim(x+) f(x) = A, kui iga > 0 korral leidub selline arv N, et iga x > N korral on I f(x) A I< ( näitab x ja A vahelist kaugust, mis on väiksem ) Kui lim(x +) f(x) = A, siis f(x) = A + (x), kus (x) lvs (x +) Kui lim(x +) g(x) = B, siis g(x) = B + (x), kus (x) lvs (x+) Kui leidub niisugune arv, kus I f(x) I < (lvs omadus), siis
A A T on vahetatavad ehk kommuteeruvad, s.o. (¿ ¿−1) (¿¿ T )−1=¿ ¿ 57.Lineaarvõrrandisüsteem (LVS) – Süsteemi nimetatakse lineaarvõrrandite süsteemiks. Arve c1, c2,..., cn nimetatakse süsteemi lahendiks, kui süsteemi tundmatute asendamisel nende arvudega saame m samasust. LVSi nimetatakse vasturääkivaks, kui tal ei ole ühtegi lahendit kooskõlaliseks, kui tal on vähemalt üks lahend määramatuks, kui tal on täpselt üks lahend 58.Homogeenne ja mittehomogeenne LVS – homogeenne LVS- LVS, kus kõik vabaliikmed ai=0
3. Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt. 4. Regulaarsete n-j¨arku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)−1 = B−1A−1 5. Maatriksi A−1 pöördmaatriks on maatriks A, s.o (A−1)−1 = A 6. Ühikmaatriksi E pöördmaatriksiks on tema ise, s.o. E−1 = E 7. Maatriksi transponeerimine ja pöördmaatriksi leidmise operatsioon on vahetatavad ehk kommuteeruvad, s.o. (AT)−1 = (A−1)T Lineaarvõrrandisüsteem (LVS) Homogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsttemi nimetatakse homogeenseks, kui vabaliikmed on võrdsed nulliga: b1 = b2 = . . . = bm = 0 Mittehomogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsttemi nimetatakse mittehomogeenseks, kui vähemalt üks vabaliige on nullist erinev. LVS-i maatriks Maatriksis on tundmatute kordajad. Laiendatud maatriks Lisatud on ka vabaliikmed. (viimane veerg) 7
~ KORGEMA ¨O MATEMAATIKA EKSAMITO ¨ 1. variant1 Perekonnanimi, nimi, kuup¨ aev.......................... 1. Antud 2 LVS laiendatud maatriksit 2 Milline LVS on lahenduv 1 0 15 3 5 1 0 5 3 · esimene 5 0 1 5 0 5 ja 0 1 - 45 0 1 5 · teine 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
Näiteks sõidab läbi Inglise Kanali (La Manche ja Pa de Calais väin) üle 400 tuhande laeva aastas, läbi Gibraltari sama aja jooksul üle 150 tuhande lae-va, läbi Malaka ja Singapuri väinade üle 50 tuhande ja läbi Musta mere väinade üle 20 tuhande laeva. Maailmamere peamised laevatatavad väinad 1. Bab el-Mandeb ühendab Punast merd Adeni lahega India ookeanis, eraldab Aafrikat Aasiast (Araabia poolsaarest). p(ikkus) 50 km l(aius) 26 km * lvs 182 m * laevatee väikseim sügavus Talvel kulgeb pinnahoovus põhja-läänesuunaliselt, suvel lõuna-idasuunaliselt, kiirus 0,4 sõlme. Kuna väinas on väga elav laevaliiklus (keskmiselt 50 tuhat laeva aastas), siis liiklemisohutus on püütud tagada eraldustsoonidega. 2. Bassi väin ühendab India ookeani Tasmani merega, eraldab Tasmaania saart Austraaliast. p 317 km l 224 km lvs 49 m
Lineaarvõrrandsüsteem-nim. Võrrandisüsteemi kujul {a11x1+..+a1nxn=b1 ; am1x1+.. +amnxn=bm. Arve aij nim lvs kordajateks, arvud b1..bm on vabaliikmed ja x1..xn on tundmatud. Süsteemi võrrandite arv m ja tundmatute arv n on sõltumatud. Sellist võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks võrrandisüsteemiks, sest otsitavad suurused x1.. xn esinevad ainult lineaarsetes tehetes, st neid on vaid liidetud ja skalaariga korrutatud. Def. Arvude järjendit c1.. cn nim lvs lahendiks, kui tundmatute asendamisel nende arvudega (loomulikus järjekorras, st x1 = c1.. xn = cn) on süsteemi kõik võrrandid rahuldatud. Võrrsüsteemi nim kooskõlaliseks, kui tal leidub vähemalt 1 lahend. Kui lahendid puuduvad, nim sõsteemi vasturääkivaks. Võrrsüs kõigi lahendite hulka nim võrrsüs lahendihulgaks e üldlahendiks. Igal lvs-l kas lahend puudub, on ühene lahend või on lõpmata palju lahendeid. Cramer. Def.
võrrandist koosnevat süsteem.. aij (i-m,j-n)-süsteemi kordajad,b-süsteemi vabaliikmed,x-tundmatud.arvud mis rahuldvad süsteemi (()) ongi süsteemi lahendus. A=-süst.maatriks. B=- süst.laien maatriks. - süst.tundmatute maatriks. B=-süst.vabaliikme maatriks. Siis korrutis(maatriksite) A * == = b avaldist A on süst (()) maatriks kuju. 10. Gaussi meetod lin. Võrrandite lahendamiseks ,süsteemi laiendamine maatriksi abil. 1) 2 LVS on samaväärsed kui neil on ühed ja samad lahendused. 2) LVS teisendades samaväärsele kujule kasutatakse järgmisi teisendusi -a)LVS mistahes võrrandit korrutatakse mistahes 0-st erineva arvuga. b) LVS mistahes võrrandite liidetakse mistahes arvu kordne terve võrrand. 3) LVS st lõpliku arvu teisendustega a) ja b) saadud LVS on samaväärne esialgse maatrikskuju süsteemiga A. Gaussimeetodi rakendamisel
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij =...
0 0 3 0 1 2 1 3 4 Vastused: 5.1. 1 5.2. 2 5.3. 2 5.4. 3 5.5. 2 5.7. 3 5.8. 3 5.9. 2 - 33 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 6.Lineaarse võrrandisüsteemid(LVS) 6.1. LVS lahendid Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarsest võrrandist koosnevat süsteemi , mille ülkuju on a11 x1 + a12 x 2 +.......... + a1n x n = b1 a x + a x +.......... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ..................................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 +.......... + a mn x n = bm (6.1.)
. . + a2nxn = a2, ......................, (1) ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = ai, ......................, am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = am, kus x1, x2, . . . , xn on tundmatud ehk otsitavad ning tundmatute kordajad aij , i Nm, j Nn ja vabaliikmed a1, a2, . . . , am on ette antud reaalarvud, nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemiks. Homogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse homogeenseks, kui kõik vabaliikmed on võrdsed nulliga, s.t. a1 = a2 = . . . = am = 0. Mittehomogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse mittehomogeenseks, kui vähemalt üks vabaliige on nullist erinev. LVS-i maatriks ja laiendatud maatriks Maatriksit nimetatakse vastavalt lineaarvõrrandisüsteemi (1) maatriksiks ja lineaarvõrrandisüsteemi (1) laiendatud maatriksiks
sõltuv. oleksid lineaarselt sõltumatud.) Crameri peajuhtum: Determinantide abiga saab lahendada a*=e Punktide hulga, vektorite hulga ja reaalarvude hulga ühendit, lvs, kus tundmatuid ja võrrandeid on ühe ja samapalju. kahe arvutusoperatsiooniga määratud algebralist süsteemi nimetatakse mille korral on rahuldatud aksioomide 1-4 ja 1-6 nõudeid nim. Tundmatute ees olevatest kordajatest moodustatakse ringiks, kui: kolmemõõtmeliseks afiinseks ruumiks. Tähis A3, A3=PUVUR ·
Happening improviseeritud etendus, millel puudub süzee. Rõhk on improviseerimisel ja publiku kaasamisel etendusse. Ando Keskküla Ando Keskküla lõpetas ERKI disaini eriala 1973. aastal ja sööstis meteoriidina Eesti kunstiellu avangardkunsti rühmituse SOUP69 koosseisus. Jahedad, hüperrealistlikus laadis maalitud maalid tõid talle kiire tunnustuse ja maalikunsti uuendaja maine. Enesetäiendused Saksamaa LVs 1980. ja 1985. ning Hollandis 1994. aastal süvendasid Keskküla huvi interaktiivse ja interdistsiplinaarse elektroonilise ja meediakunsti vastu. Ando Keskkülast sai kõige uue ja radikaalse apologeet Eesti visuaalses kunstikultuuris. Tunnustatud pedagoogi ja originaalse kunstimõtte kandjana jääb mälestus Ando Keskkülast paljude südamesse.
(1949) Seismaks vastu NSVL kasvavale agressiivsusele, asusid Lääne-Euroopa riigid senisest tihedamale koostööle. 1949. Aastal loodi Põhja-Atlandi Lepingu Organisatsioon ehk NATO. NATO tegevuse aluseks on põhimõte: kui ühte selle osalist rünnatakse, asuvad teised tema kaitseks välja. Asutajad: USA, Kanada, Belgia, Holland, Island, Itaalia, Luksemburg, Norra, Portugal, Prantsusmaa, Suurbritannia, Taani. 9.Pariisi kokkulepped (vt okupatsioonireziimi lõpetamine Saksa LVs ja SLV liitumine NATOga). - 1952. Aastal asutasid Prantsusmaa ja Saksamaa Euroopa Söe- ja Terasühenduse. - 1954. Aastal allkirjastas SLV lepingu NATOga (1955 jõustus) - SLVs kaotati okupatsioonireziim ja võeti NATO liikmeks - SLV oli NATO kontrolli all 10.Varssavi Lepingu Organisatsioon (VLO) Varssavi Lepingu Organisatsioon ehk VLO ehk Varssavi pakt oli Ida-Euroopa kommunistliku riikide sõjalis- poliitiline organisatsioon. Ajendiks oli SLV liitumine NATOga
xx0 nim. piirv-st, kus xx0 ja seejuures x>x0. Seda tähistame lim xx0+0 f(x)=b. Piirv-ks
vasakult, kui xx0, nim. piir-st, kus xx0 ja seejuures x
y x = f'(x) + a , kus a 0 ja x 0 Teeme väikese lubatud nipi ja vaatame, mis selle tagajärjel avaldub; korrutame x-ga mõlemad pooled läbi: y x = f'(x) + a x y = f'(x)x + ax AVALDUS FUNKTSIOONI MUUT! Funktsiooni muut koosneb kahest liidetavast: f'(x)x ja ax kusjuures mõlemad on lõpmata väikesed suurused, kuna x 0 . Suurus f'(x)x on aga kõrgemat järku lvs argumendi muudu suhtes, sest a x lim x = x 0 0 Niisiis: y = f'(x)x + ax Seda rohelist osa, mis kõrgema järgu lvs-na domineerib, seda korrutist f'(x)x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks. DEF: Kui funktsioonil f(x) eksisteerib punktis x tuletis f'(x), siis tuletise ja argumendi muudu x korrutist
Maatriksi astak DEF 1: suurimat nat arvu k, mille korral maatriksil A leidub 0 erinev k-järku miinor nim selle maatriksi A astakuks ja märgitakse üles sümboliga rank(A) Maatriksi elementaarteisendused · M mistahes rida võib korrutada mistahes 0 erineva arvuga · M mistahes reale/veerule võib liita/lahutada mistahes arvuga korrutatud rida/veergu · 2 suvalist rida/veergu võib omavahel ära vahetada DEF 2: m A mk0 kõrgeimat järku nim rank(A)=mk KRONEKER-CAPELLI TEOREEM: LVS on lahenduv siis ja ainult siis, kui võrrandite süst maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed CRAMERI peajuhtum m= n ja D 0 Xn = Dn / D Lugejas olev det Dn tuletatakse det D kindla rea kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga. Kompleksarvud X2 + 1 = 0 X2 = -1 x=i i2 = -1 i = sqrt(-1) = =a+b*i kui b 0, siis on imaginaararv (kompleksarv) kui a = 0, siis on puhtimaginaararv kui b = 0, siis on reaalarv
Seevastu sidemed sotsialistlike riikidega olid väga tihedad. NSV Liit pööras suurt tähelepanu relvastumisele. Juba 1949 oli tal aatompomm. Stalini ajal olid NSV Liidu suhted Läänega väga teravad. Välispoliitikas ilmnes jäikus, kangekaelsus. Hrustsovi ajal suhted veidi paranesid, Hrustsov ise käis 1959 USAs, vaimustus seal maisikasvatusest. 1970. aastatel, Breznevi ajal, oli päevakorral pingelõdvenduspoliitika. (Breznev käis visiitidel Prantsusmaal, USAs, Saksa LVs; Nixon käis Moskvas) Peale NSV Liidu vägede viimist Afganistani 1979 NSV Liidu suhted Läänega halvenesid taas. Suhete madalseis oli 1984 (kui USAs oli presidendiks Ronald Reagan). IV Dissidentlus Dissidentlus ehk teisitimõtlemine NSV Liidus oli teisiti, st. mitte kommunistliku ideoloogia vaimus mõtlemine ja tegutsemine. Stalini ajal käituti väga karmilt kõigiga, kes nõukogude võimu kritiseerisid. Sulaajal tekkisid
- vabaliikmete veerg ehk vabaliikmete maatriks. Tähistades sümboliga Aj maatriksi A j-ndat veergu, s.t saab LVSi (1) esitada järgmisel kujul: 12. Crameri valemid. Vaatleme LVSi, kus 1) võrrandite arv = tundmatute arvuga ning 2) süsteemi maatriks on regulaarne e. det 0. LVS on siis kujul (1) Kirjutame LVSi (1) maatrikskujul: (2) Olgu sellise maatriksi determinant, mis on saadud maatriksist A k-nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga: Leiame selle maatriksi determinandi. Kui determinandis det k-nda veeru elementide algebralised täiendid on , , ..
Võrrandisüsteem on mittehomogeenne, kui vähemalt üks vabaliige erineb nullist Vastuoluliseks nim süsteemi, millel lahend puudub Võrrandisüsteemi lahend on tundmatute väärtuste kogum , mis süsteemi asetatuna muudab kõik võrrandid samasusteks Olenevalt võrrandite ja tundmatute arvust ning kordajatest võib lineaarvõrrandisüsteem omada üheainsa lahendi, rohkem lahendeid või mitte ühtki lahendit. 10. lvs lahendamine crameri peajuhul Vaatleme lineaarvõrrandisüsteemi, milles võrrandeid ja tundmatuid ühepalju m = n Moodustame võrrandisüsteemi kordajatest n-järku determinandi Determinanti D nim võrrandisüsteemi determinandiks Eeldame, et . Def Crameri peajuhu määravad tingimused ja m = n (2) Crameri valemid võrrandisüsteemi (1) lahendamiseks 2
1980. Aastate keskpaiku oli SDV-l seitsmes Aafrika riigis kokku umbes 3000 sõjalist nõunikku ja instruktorit. KGB koostöö Stasiga rahvusvahelisel tasandil oli samuti tihedam kui teiste Ida- Euroopa julgeolekuteenistustega. KGB side rahvusvaheliste terroriorganisatsioonidega kulges sageli SDV kaudu. 1970. aastatel paranesid NSV Liidu ja lääneriikide suhted. Visiidid: 1971 Breznev Prantsusmaal, 1972 ja 1974 Nixon NSV Liidus, 1973 Breznev USAs ja Saksa LVs. Religioon SDV-s oli erinevaid kogukondi. Suurim roll oli kristlikul kirikul, kuid tähtsad oli ka reformeeritud evangeeliumi kirik ja rooma-katoliku kirik. Ligi 85% elanikest olid evangelistid, 10% kristlased ja 5% oli protestandid. Vaatamata usuvabadusele üritas riik erinevate meetoditega kirikumõju vähendada ja eriti noori inimesi kirikust võõrutada. Kõige teravam poliitika kiriku vastu oli 1950. aastal, mis tipnes 1953
· 1970 sõlmis Saksa LV nn. idalepingud NSV Liidu ja Poolaga. Lepete sisu: Saksa LV tunnustas Saksa DV ja Poola idapiiri (Oderi ja Neisse jõgi) · 1971 otsustasid USA, NSV Liit, Inglismaa ja Prantsusmaa, et Saksa LV võib Lääne- Berliini esindada rahvusvahelistes organisatsioonides, kuigi Lääne-Berliin pole Saksa LV osa NB! 1970. aastatel paranesid NSV Liidu ja lääneriikide suhted (visiidid: 1971 Breznev Prantsusmaal, 1972 ja 1974 Nixon NSV Liidus, 1973 Breznev USAs ja Saksa LVs) · 1973-1975 toimus Euroopa julgeoleku- ja koostöönõupidamine (istungid Helsingis ja Genfis) NB! 1. augustil 1975 kirjutati Helsingis 33 Euroopa riigi ja USA ning Kanada esindajate poolt alla selle lõppaktile. Selle sisu: lepiti kokku edendada majanduslikku, teadus- ja kultuurialast koostööd ning tunnustati Euroopas kehtivaid riigipiire! See sündmus mõneks ajaks õige pisut kergendas inimeste ja info liikumist NSV Liidu ja muu maailma vahel
standardiinfot, nõustab ettevõtteid ja koordineerib osalemist rahvusvahelises koostöös. Eesti standardeid tähistatakse EVS. Valdav enamik neist on otse üle võetud kas ISO (rahvusvahelised standardid) või EN (eurostandardid) standarditest. Kui Eesti standardiks on ülevõetud rahvusvaheline standard, on selle tähistus EVS-ISO. Piirkondlike standarditest võib tuua järgmisi: Saksamaa – DIN, Soome – SFS, Rootsi – SIS, Suurbritannia – BSI, Taani – DS, Läti – LVS, Leedu – LST, Poola – PKN. 12.2. Vahetatavus Vahetatavuseks nimetatakse toote koostisosa omadust, mis võimaldab seda kasutada sobitamata. Vahetatavus kergendab masinate valmistamist, kasutamist ja remonti, võimaldab kulunud või purunenud detaili või koostu asendada varudetaili või –koostuga, ilma et toote kasutusomadused halveneksid. Vahetatavust saavutatakse vajaliku täpsusega detailide valmistamise ja nende
annaabi.ee 
