10. Kahe muutuja funktsiooni osatuletise geomeetriline tähendus. 11. Pinna puutuja, puutujatasand, normaal. Tuletada puutujatasandi võrrand. +tuletamine 12. Kõrgemat järku osatuletised. Segaosatuletised. 13. Näidata, kui funktsiooni z = f(x, y) teist järku segaosatuletised zxy ja zyx on pidevad punktis P(x, y), siis selles punktis zxy = zyx. 15. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali geomeetriline tähendus. +graafik 16. m-muutuja täisdiferentsiaal, m-muutuja funktsiooni diferentseeruvus, kõrgemat järku täisdiferentsiaal. +vihik +tõestus 19. Kahe muutuja ilmutamata funktsiooni osatuletised. 22. Defineerida lokaalne miinimum, lokaalne maksimum, statsionaarne punkt 24. Tõestada kahe muutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused 25. Mitme muutuja funktsiooni globaalne ekstreemum.
u ( P0 ) = u x ( P0 ) a + u y ( P0 ) b + u z ( P0 ) c . Funktsiooni u osatuletiseks vektori s sihile punktis P0 nim. reaalarvu s Mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal Olgu antud funktsioon u = u ( x, y , z ,...) . Funktsiooni u osadiferentsiaal muutuja x suhtes: u x dx , dx argumendi x muut. Funktsiooni u täisdiferentsiaal: du = u x dx + u y dy + u z dz + ... Olgu antud funktsioon z = f ( x, y ) . 2. järku funktsiooni z täisdiferentsiaal: d z = d ( dz ) = z xx dx + 2 z xy dxdy + z yy dy . 2 2 2 3
funktsiooni y = x2 kohta). 2. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = ex. 3. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = sin x . 4. Tuletada ristkülikvalem n = 2 (n = 3) korral. 5. Tuletada trapetsvalem n = 2 (n = 3) korral. 6. Arvutada integraali ligikaudne väärtus ristkülikvalemi abil. 7. Leida antud mitme muutuja funktsiooni määramispiirkond. Vt üles 8. Leida antud mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. 9. Lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. otsi ise vahelduseks:P 10. Kontrollida, kas antud funktsioon on antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks.
ʃαß{f[x(t);y(t);g(t)]x’+g[...]y’+q[...]z’}dt Kui tasandiline joon on antud võrrandiga y=y(x) xЄ[a;b], siis ʃABf(x,y)dx=ʃabf[x,y(x)]dx 13. II liiki joonintegraali sõltumatus integreerimisteest, näide II liiki joonel on üks omadus veel - olgu üks tasandiline joonintegraal J=ʃLfdx + gdy, mis ühendab punkte M ja N, siis joonintegraal ei sõltu integreerimisteest, kui J = ʃLfdx + gdy = ʃMQNfdx + gdy = ʃMPNfdx + gdy Täisdiferentsiaal: dz = ux(x,y)dx + uy(x,y)dy ning selleks, et fdx+gdy oleks mingi funktsiooni täisdiferentsiaal, on vajalik ja piisav, et fy=gx. Seetõttu kehtib väide, et joonintegraal J = ʃLfdx + gdy on sõltumatu integreerimisteest siis, kui selles piirkonnas D integraalialune avaldis fdx+gdy on mingi funktsiooni täisdiferentsiaal. Praegu vaatlesime tasapinnalist kujundit, kuid sama kehtib ka ruumilise kujundi jaoks 14. I liiki ja II liiki joonintegraali rakendusi: joone pikkus, mass
Funkts-i u=(f(x1,...,xn) nim diferentseeruvaks punktis A(a1,...,an), kui argumendi muudule x=(x1,...,xn) vastav funkts-i muut on u=f/x1(A)x1+...+ f/xn(A)xn+(x), kus (x) on vektori x pikkuse suhtes kõrgemat järku lõpmata väike suurus piirprotsessis x(0,...,0) Suurust df=f(x,y)/x dx+f(x,y)/y dy, kus dx=x ja dy=y, nim funkts-i f(x,y) täisdiferentsiaaliks. Suurust d(df) nimetatakse funktsiooni f(x; y) teist järku täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse d2f Funktsiooni f(x; y) n-järku täisdiferentsiaal defineeritakse kui esimest järku täisdiferentsiaal n-1-järku täisdiferentsiaalist, s.t dnf=d(dn-1f) Liitfunktsiooni osatuletised: Olgu g1(x1,...xm) ,...,gn(x1,...,xm) m- muutuja funkts-id punkti ARm mingis ümbruses U ja diferentseeruvad punktis A. Lisaks eeldame, et n-muutuja funkts f(y1,...,yn) on diferentseeruv punktis P(g1(A),...,gn(A)). Liitfunktsioon h(x1,...,xm)=f(g1(x1,...,xm),...,gn(x1,...,xm) on diferentseeruv punktis A, kusjuures h/xi(A)= f/y1(P) g1/x1(A)+..
Viimaseid kahte teist järku osatuletist nimetatakse segatuletisteks. Teoreem 1 (Schwarzi teoreem). Kui funktsiooni f ( x, y ) osatuletised f xy ja f yx on pidevad punktis P = ( x, y ) , siis f xy (P ) = f yx (P ) . 4 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 8. Mitme muutuja funktsiooni diferentseeruvus, täisdiferentsiaal Olgu antud funktsioon z = f (P ) , kus P D R m . Olgu argumendi xi (1 i m ) muut xi . Valime punkti Q = ( x1 + x1 ,..., x m + x m ) . Siis funktsiooni muut f = f (Q ) - f (P ) . Def. Funktsiooni z = f (P ) nimetatakse punktis P diferentseeruvaks, kui tema muut avaldub kujul f = f x1 (P )x1 + ... + f xm (P )xm + 1x1 + ... + m xm , kus i 0 kui xi 0 i {1,..., m}. Seejuures avaldist
Piirväärtus võrdub järelikult joonele PT punktis P ehitatud puutuja PB ja y-telje positiivse suuna vahelise nurga tangensiga: Niisiis võrdub osatuletis arvuliselt pinna z=f(x,y) ja tasapinna x=const lõikejoone puutuja tõusunurga tangensiga. Analoogiliselt võrdub arvuliselt pinna z=f(x,y) ja tasapinna y=const lõikejoone puutuja tõusunurga tangesinga. 8. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. Definitsioon ja põhjalik selgitus, kuidas täismuudust saame võrduseni Sõltumatute muutujate diferentsiaalid. Mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali definitsioon. Oletame, et kahe muutuja funktsioon f(x,y) on pidev ja omab pidevaid osatuletisi ning punktis M(x;y) ja selle mingis ümbruses. Esitame funktsiooni täismuudu järgmiselt: Võrduse esimeses kahes liikmes on y muutumatu suurus, võrde y+y
= lim x ; xz=(x+x; y)-(x; y)ja x (joon). Geom-lt tähendab f-ni z/x järgi antud punktis x x 0 x P P, f-ni graafikuks oleva pinna ja tasandi y=const lõikejoone puutuja tõusu selles punktis. Täismuut ja täisdiferentsiaal =(x; y;z); =)(x+x; y+y; z+z)-(x; y;z) *Olgu f-n =(x; y;z) tema osatuletised /x; /y; /z määratud punktis P(x, y, z) ja mingis selle ümbruses. Siis on võimalik tõestada et *=/ x x+/ y y+/ z z+ 1x+ 2y+ 3z, kus 1,2,3 on lõpmatult kahanevad suurused piirprotsessides x0, y0, z0 (0);=x2+y2+z2 1x + 2 y + 3z x y z x y z lim = lim 1 + 2 + 3 = lim 1 + lim + lim =0 0 0
8. Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Ristkülikvalem. Trapetsvalem. 9. Pindala arvutamine ristkoordinaatides. 10. Polaarkoordinaadistik. Kõversektori pindala polaarkoordinaatides. 11. Kõverjoone kaare pikkus. 12. Mitme muutuja funktsiooni mõiste. 13. Kahe muutuja funktsiooni tasandilõiked ja nivoojooned. 14. Funktsiooni osamuut ja täismuut. 15. Kahe muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus. 16. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised. 17. Täismuut ja täisdiferentsiaal. 18. Ilmutamata funktsiooni tuletis. 19. Liitfunktsiooni tuletis. 20. Mistahes järku osatuletised. 21. Tuletis antud suunas. 22. Gradient. 23. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. 24. Kahe muutuja funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud piirkonnas. 25. Mitme muutuja funktsiooni tinglikud ekstreemumid. 26. Kahekordse integraali mõiste ja omadused. 27. Kahekordse integraali arvutamine.
............................................. 26 42. Kahe muutuja funktsioon, tema määramispiirkond ja muutumispiirkond. Tuua näiteid kahemuutuja funktsioonide kohta. .................................................................................................26 43. Kahe muutuja funktsiooni pidevus ja katkevus. ......................................................................27 44. Mitme muutuja funktsiooni täismuut ja täisdiferentsiaal. ....................................................... 27 45. Diferentsiaalvõrrandid. Diferentsiaalvõrrandi lahend, üldlahend, erilahend, singulaarne lahend. ............................................................................................................................................28 46. Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Kirjeldada eralduvate muutujatega .................29 diferentsiaalvõrrandi lahendamist. .....................................................
Tehted maatriksitega: Liitmine [aij]+-[bij]=[aij+-bij], Skalaariga korrutamine k[aij]=[kaij], Korrutamine Am·n·Bn·p=Cm·p, Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksiks nimetatakse ¨umarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on ristatavad read ja veerud. Maatriksit, mille ridade arv on v~ordne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristk¨ulikmaatriksiks. Ruutmaatriksit m~o~otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks. nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi k~oik elemendid on nullid. Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude ¨aravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi t¨ahiseks on AT. Pöördmaatriks esineb ainult maatriksil mille ridade arv = veergude arvuga Determinant- Determinant: Ru...
ligikaudset muutu protsentides x muutumisel 1% võrra (kui y ei muutu). Täisdiferentsiaali majanduslik tähendus o Olgu antud kahe muutuja funktsioon z = f(x; y); millel on olemas osatuletised z`x ja z´y. Kirjeldagu antud funktsioon seost majandusnäitajate x; y ja z vahel. o Kuna argumentide x ja y piisavalt väikesteks muutusteks võib lugeda nende muutust ühiku võrra, siis järeldame, et majanduslikult annab täisdiferentsiaal vastava funktsiooni z = f(x; y) ligikaudse muudu, kuui argumentide x ja y väärtused muutuvad ühe ühiku võrra. Samatoodangujooned o Olgu Q = f(x; y) mingi tootmisfunktsioon (kus x ja y on tootmistegurite X ja Y mahud). Siis esitab selle funktsiooni nivoojoon f(x; y) = C kõikvõimalikud tootmistegurite X ja Y mahtude paarid (x; y); kus tootmismaht on võrdne konstanduga C: Seda nivoojoont nimetatakse antud juhul samatoodangujooneks
Definitsioon Võrrandi y' = f (x; y) erilahendiks nimetatakse lahendit, mis saadakse üldlahendist konstandi C fikseerimisega. 8.Eksaktne diferentsiaalvõrrand Olgu meil sümmeetrilisel kujul diferentsiaalvõrrand M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 loomuliku eeldusega funktsioonide ühelisidusas määramispiirkonnas D. Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas D järgmisi tingimusi: · M, N, , C(D) · · Siis leidub selline funktsioon F(x,y), mille täisdiferentsiaal dF(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy piirkonnas D. Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas D järgmisi tingimusi: · M, N, , C(D) · · Siis nimetame diferentsiaalvõrrandit M(x,y)dx + N(x,y)dy eksaktseks ehk täisdiferentsiaaliga diferentsiaalvõrrandiks, mille üldlahendi määrab võrrand , kus II liiki joonintegraal on võetud üle mingeid punkte ja ühendava joone. Kui C=0, siis saame algtingimusega Cauchy ülesande lahendi. 9
y lim y 0 y lim y 0 y . Joonisel on geomeetriliselt kujutataud funktsiooni z f x, y osatuletisi punktis A a, b : need on vastavalt pinna z f x, y ja tasandite x a ja y b lõikumisel tekkinud joonte l x ja l y puutujate tõusud z x tan , z y tan . Funktsiooni z f x, y täisdiferentsiaaliks dz või df nimetatakse avaldist dz f x x, y dx f y x, y dy Funktsiooni, millel on täisdiferentsiaal, nimetatakse diferentseeruvaks. Nagu jooniselt näha, kujutab funktsiooni z f x, y täisdiferentsiaal geomeetriliselt funktsiooni f graafiku puutujatasandi aplikaadi (z-koordinaadi) muutu üleminekul punktist P x, y punkti P 1 x x, y y. Näide 4. Funktsiooni z x 2 sin y osatuletised on z x 2x sin y y const z y x 2 cos y x const ja täisdiferentsiaal dz 2x sin y dx x 2 cos y dy.
x x 0 x f f ( x, y + y ) - f ( x, y ) = lim . y y 0 y Teist järku osatuletised avalduvad kujul 2 f f 2 f f = ; = ; x 2 x x y 2 y y Pideva funktsiooni korral segaosatuletis ei sõltu diferentseerimise järjekorrast 2 f f 2 f f = = yx = y x . xy x y Funktsiooni täisdiferentsiaal avaldub kujul f f df = dx + dy . x y Kui funktsioon sõltub ajast t ja kolmest ruumikoordinaadist x, y , z , siis täisdiferentsiaalist f f f f df = dt + dx + dy + dz t x y z saame avaldada ajalise täistuletise 7 MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken
C fikseerimisega. 8.Eksaktne diferentsiaalvõrrand. Seos teist liiki joonintegraaliga. Olgu meil sümmeetrilisel kujul diferentsiaalvõrrand M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 loomuliku eeldusega funktsioonide ühelisidusas määramispiirkonnas D. Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas D järgmisi tingimusi: M, N, , Є C(D) Siis leidub selline funktsioon F(x,y), mille täisdiferentsiaal dF(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy piirkonnas D. Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas D järgmisi tingimusi: M, N, , Є C(D) Siis nimetame diferentsiaalvõrrandit M(x,y)dx + N(x,y)dy eksaktseks ehk täisdiferentsiaaliga diferentsiaalvõrrandiks, mille üldlahendi määrab võrrand , kus II liiki joonintegraal on võetud üle mingeid punkte ja ühendava joone
Funktsiooni muutumise kiirus ja kiirendus. geomeetriliselt tähendab diferentseeruva funktsiooni y = f(x) tuletis y' = f'(x) selle funktsiooni graafikule punktis P(x; f(x)) tõmmatud puutuja tõusu k. füüsikaliselt näitab tuletis liikumise hetkkiirust. 31. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. mitme muutuja funktsiooni osatuletis funktsiooni z = f(x; y) osatuletis argumendi x järgi tähistatakse z'x. mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal kui funktsiooni z = f(x; y) osatuletised on z'x ja z'y ja need on funktsiooni määramispiirkonna punktis (x; y) pidevad, siis leidub vaadeldaval funktsioonil täisdiferentsiaal dz = z'x dx + z'y dy nt: 32. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine. funktsioonil z = f(x; y) on lokaalne maksimum punktis M(xo; yo), kui f(xo; yo) > f(x; y) kõigile punktile M lähedaste, kuid siiski erinevate punktide P(x; y) korral.
eksperimentalselt uurida. Olekuparameetrid suurused, millega saab td. süsteemi olekut iseloomustada (U, H, S, G, F) Olekuvõrrand süsteemi olekut iseloomustav parameetrite omavaheline sõltuvus (ideaalgaasi olekuvõrrand, reaalgaasi olekuvõrrand) Olekufunktsioon suurus, mis sõltub ainult süsteemi olekust, aga mitte selle oleku saavutamise viisist. Z = f(x, y) on olekufunktsioon, kui tema lõpmata väike muudatus dZ on täisdiferentsiaal: Z Z dZ = dx + dy x y y x Protsessifunktsioon süsteemis toimuvat protsessi iseloomustav suurus, sõltub protsessi läbiviimise viisist, tähistatakse väiketähega (töö w, soojushulk q) Homogeenne süsteem süsteem, mille omadused on tema kõigis osades ühesugused või muutuvad ühest kohast teise üleminekul pidevalt. Heterogeenne süsteem süsteem, mis koosneb mitmest erisuguste omadustega osast faasist.
* y*'+p(x)y*=q(x). * C´(x) e-
p(x)dx
+C(x) e-p(x)dx(-p(x))+p(x)C(x) e-p(x)dx=q(x). *C´(x) e-p(x)dx=q(x) C(x)=q(x) ep(x)dxdx + C1, valime C1=0 *C(x)
)=q(x) ep(x)dxdx y*=)=q(x) ep(x)dxdx e-p(x)dx * 3)Kirjutatakse üldlahend: y=yh+y*=C e-p(x)dx+q(x) ep(x)dxdx e-p(x)dx.
8. Eksaktne DV. Definitsioon: DV-d M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 nimetatakse eksaktseks ehk täisdiferentsiaaliga
võrrandiks, kui leidub funktsioon u=u(x) nii, et tema täisdiferentsiaal on kujul du(x,y)= M(x,y)dx+ N(x,y)dy *
D= {(x,y):a
Kui u=f(x,y), x=x(t) ja y=y(t), siis liitfunktsiooni osatuletis on + osatuletis dx dt dy dt Kahe muutuja Kahe muutuja funktsiooni juurdekasvu peaosa argumentide juurdekasvude funktsiooni tõkestamatul kahanemisel nimetatakse selle funktsiooni täisdiferentsiaaliks: täisdiferentsiaal dz dz dz= dx + dy dx dy Funktsiooni muudu z=f ( x + x , y + y )-f (x , y) dz ligikaudne arvutamine Funktsiooni väärtuse f ( x + x , y + y ) f ( x , y )+ f ' x ( x , y ) x + f ' y ( x , y ) y ligikaudne arvutamine Kahe muutuja Funktsioonil z=f(x,y) on lokaalne maksimum punktis P 0(x0,y0), kui leidub selle
suhte piirväärtust x lähenemisel nullile. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletist argumendi x järgi tähistatakse sümbolitega: Analoogselt, kui x on konstantne ja y saab lubatava muudu y, siis saame vaadeldava funktsiooni osamuudu argumendi y järgi. Leidugu funktsioonil z=f(x,y) osatuletised z'x ja z'y ja olgu need pidevad funktsioonid määramispiirkonna punktis (x,y). Sellisel juhul leidub vaadeldaval funktsioonil täisdiferentsiaal dz, mis avaldub kujul: kus dx=x, dy=y 35. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine. z=f(x;y). Leiduvad osatuletised z'x , z'y , z''xx , z''yy , z''xy. Eeldame, et funkts. on pidev ja segaosatuletised võrdsed. 1) Leida statsionaarsed kohad süsteem: z'x(x0;y0) = 0 ja z'y(x0;y0) = 0; 2) Leida (x0;y0) = Z''xx*Z''yy (Z''xy)2. 3) Kui (x0;y0) > 0 ja Z''xx < 0, siis max koht; kui (x0;y0) > 0 ja Z''xx > 0, siis min koht;
'' vähemalt kahe muutuja järgi, näiteks: z xy .Kui funktsioon z = f (x;y) ja tema esimest ning teist järku '' '' osatuletised on pidevad, siis kehtib z xy = z yx ehk tulemus ei sõltu diferentseerimise järjekorrast. Teine tuletis x järgi näitab graafiku kumerust või nõgusust. 5 Täisdiferentsiaal- Funktsiooni muudu kaht esimest liiget (peaosa) nimetatakse funktsiooni täisdiferentsiaaliks. dz= z x x + z y y = z x dx + z y dy . Täisdiferentsiaali kasutatakse näiteks ' ' ' ' ligikaudsel arvutamisel. Osatuletise kasutamine ligikaudsel arvutamisel- asendan ligikaudsed arvud arvudega, millega on kergem tehteid teostada ning erinevused panen kirja muuduna. Seejärel kasutan valemit. z x' x + z 'y y = z x' dx + z 'y dy
ainult niisuguste funktsioonidega me tegelemegi), siis kehtib xy yx ehk tulemus ei sõltu diferentseerimise (tuletise leidmise) järjekorrast. Ja enamasti leiame neist ainult ühe. Kuna definitsiooni järgi (piirväärtust kasutades) osatuletise leidmine on tülikas, kasutame niisamuti kui ühe muutuja funktsiooni korral tuletiste tabelit (seesama tabel, tuleb jälgida, et tuletist võetaks õige muutuja järgi). Täisdiferentsiaal Funktsiooni muudu kaht esimest liiget nimetakse funktsiooni täisdiferentsiaaliks z x' x + z 'y y = z x' dx + z 'y dy dz = . Diferentsiaal (mõnikord unustatakse eesliide täis) on (väikeste x ja y korral) ligikaudu võrdne funktsiooni muuduga z dz. Osatuletise kasutamine ligikaudsel arvutamisel. Kasutame sama võtet, mida ühe ühe muutuja funktsiooni väärtuste ligikaudsel arvutamisel:
My = Nx fxy(x + 1x,y + 3y) = fyx(x + 4x,y + 2y), N(x,y) <> 0 lim(x, y0) fxy(x + 1x,y + 3y) = lim(x, y0) fyx(x + 4x,y + 2y). 1. Siis leidub selline funktsioon F(x,y), mille täisdiferentsiaal dF(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy piirkonnas D. 2. Siis nimetame diferentsiaalvõrrandit M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 eksaktseks ehk täisdiferentsiaaliga Näidata, et diferentseeruv kahe- või mitmemuutuja funktsioon on pidev. diferentsiaalvõrrandiks, mille üldlahendi määrab võrrand M(x,y)dx + N(x,y)dy = C, kus II liiki joonintegraal on Funktsiooni f(x,y) nimetatakse pidevaks punktis Po(xo,yo), kui
. . + xm`(P) * xm`(t) seega g`(t) = x1`(P) * (s1/|s|) + . . . + xm`(P) * (sm/|s|). Kui t = 0, siis P = A ja g`(0) = x1`(A) * (s1/|s|) + . . . + xm`(A) * (sm/|s|). Järelikult saame suunatuletise s`(A) jaoks järgmise valemi: s`(A) = (1/|s|) * (x1`(A) * s1 + . . . + xm`(A) * sm). 18) Millist mitmemuutuja funktsiooni nimetatakse diferentseeruvaks? Defineerida mitmemuutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. Tõestada et diferentseeruva funktsiooni täisdiferentsiaali kordajad võrduvad funktsiooni osatuletistega. · Funktsiooni z = (x1, x2, . . . , xm) nim. diferentseeruvaks punktis A, kui selle funktsiooni täismuudu z saab esitada järgmise summana: z = C1* x1 + C2* x2 + . . . + Cm* xm + , · kus C1, C2, . . . , Cm on konstandid, mis üldiselt sõltuvad punktist A ja on on kõrgemat järku
annab nôgususpiirkonna; 5) f''(x) < - annab kumeruspiirkonna; 6) f''(x) = 0 annab käänukohad. 33. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. Mitme muutuja funktsiooni osatuletis kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limx0(xZ / x) = Z'x st. osatuletis muutja x järgi; xZ = f(x0 + x; y) f(x;y). Kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limy0(yZ / y) = Z'y st. osatuletis muutja y järgi; yZ = f(x; y0 + y) f(x;y). Mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal: w=f(x;y;z); dw = w'xdx + w'ydy + w'zdz. 34. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine: z=f(x;y). Leiduvad osatuletised z'x , z'y , z''x2 , z''y2 , z''xy. Eeldame, et funkts. on pidev ja segaosatuletised vôrdsed. 1) Leida statsionaarsed kohad süsteem: z'x(x0;y0) = 0 ja z'y(x0;y0) = 0; 2) Leida (x0;y0) = Z''x2*Z''y2 (Z''xy)2. 3) Kui (x0;y0) > 0 ja Z''x2 < 0, siis max koht; kui (x0;y0) >
. . + xm`(P) * xm`(t) seega g`(t) = x1`(P) * (s1/|s|) + . . . + xm`(P) * (sm/|s|). Kui t = 0, siis P = A ja g`(0) = x1`(A) * (s1/|s|) + . . . + xm`(A) * (sm/|s|). Järelikult saame suunatuletise s`(A) jaoks järgmise valemi: s`(A) = (1/|s|) * (x1`(A) * s1 + . . . + xm`(A) * sm). 18) Millist mitmemuutuja funktsiooni nimetatakse diferentseeruvaks? Defineerida mitmemuutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. Tõestada et diferentseeruva funktsiooni täisdiferentsiaali kordajad võrduvad funktsiooni osatuletistega. · Funktsiooni z = (x1, x2, . . . , xm) nim. diferentseeruvaks punktis A, kui selle funktsiooni täismuudu z saab esitada järgmise summana: z = C1* x1 + C2* x2 + . . . + Cm* xm + , · kus C1, C2, . . . , Cm on konstandid, mis üldiselt sõltuvad punktist A ja on on kõrgemat järku
..,xm) ja olgu A(a1,a2,...,am) punkt funktsiooni f määramispiirkonnas. Piirväärtust f ( a1 , a 2 ,..., ai -1 , xi , ai +1 ,..., a m ) - f ( a1 , a 2 ,..., ai -1 , ai , ai +1 ,..., a m ) lim xi ai xi - ai nimetatakse funktsiooni f osatuletiseks argumendi xi järgi punktis A ja tähistatakse z / f z / f x'i ( A) või ( A) või z / f ( A) xi x i 5. Funktsiooni täisdiferentsiaal Funktsiooni täisdiferentsiaaliks kohal A nimetatakse argumendi muutude x j y suhtes lineaarset liiget Cx+Dy valemis z=Cx+Dy+ ja tähistatakse dz või df 6. Täisdiferentsiaali rakendusi ligikaudsetes arvutustes (NB! Olen kasutanud sümblit ¤ delta asemel ja b osatuletise tagurpidi d asemel) Olgu funktsioon z=f(x,y) punktis (x,y) diferentseeruv. Leiame selle täismuudu: ¤z=f(x+¤x,y+¤y)- -f(x,y), millest f(x+¤x,y+¤y)=f(x,y)+¤z Teame, et ¤z~dz, kus dz=(bf/bx)*¤x+(bf/by)*¤y
g (0) = fx1 (A) + fx2 (A) + . . . + fxm (A) . |s| |s| |s| J¨arelikult saame (6.22) p~ohjal suunatuletise fs (A) jaoks j¨argmise valemi 1 fs (A) = f (A)s1 + fx2 (A)s2 + . . . + fxm (A)sm . (6.23) |s| x1 18) Millist mitmemuutuja funktsiooni nimetatakse diferentseeruvaks? Defineerida mitmemuutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. Tõestada et diferentseeruva funktsiooni täisdiferentsiaali kordajad võrduvad funktsiooni osatuletistega. Funktsiooni z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) nimetatakse diferentseeruvaks punktis A kui selle funktsiooni t¨aismuudu z saab esitada j¨argmise summana: z = C1 x1 + C2 x2 + . . . + Cm xm + , (6.24) kus C1 , C2 , . . . , Cm on konstandid, mis u ¨ldiselt s~oltuvad punktist A ja on
Ilmselt on funktsiooni F statsionaarseid punkte(st lahendeid) rohkem kui funktsiooni f tinglikke .Siis leidub selline funktsioon F(x,y), mille täisdiferentsiaal dF(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy piirkonnas D. Lause: ekstreemumeid. Miski ei garanteeri, et süsteemi lahend(x, y) rahuldaks ekstreemumülesandes nõutud , kui Saame tingimust (x, y) = 0
nihkega võrdub gaasi ruumala juurdekasvuga, dV Sds , millest järeldub gaasi paisumisel tema poolt tehtud elementaarne töö 11 A pdV . (9.15) Siin tuleb veel tähelepanu juhtida asjaolule, et gaasi poolt sooritatud elementaarne töö pole täisdiferentsiaal, seetõttu ei saa tema ette kirjutada diferentsiaali tähist d. Täisdiferentsiaali integraal mingist algolekust üle mingi olekute muutumiste jada sellesse olekusse tagasi võrduks nulliga, kuid gaasi töö mingi ringprotsessi käigus ei tarvitse nulliga võrduda. p S ds Kui gaasi rõhk kolbi liigutab, siis tähendab see, et gaasimolekulid annavad kolvi põhja vastu
annaabi.ee 
