Trigonomeetrilised funktsioonid Valemid sin2x + cos2x = 1 sin2x = 1 cos2x cos2x = 1 sin2x tanx = sinx / cosx 1 + tan2x = 1 / cos2x sin2x = 2sinx x cosx cos2x = cos2x sin2x tan2x = 2tanx / (1 tan2x) sinx/2 = ± ((1 cosx) / 2) cosx/2 = ± ((1 cosx) / 2) tanx/2 = ± ((1 cosx) / (1 + cosx)) sin(x ± y) = sinx x cosy ± cosx x siny cos(x ± y) = cosx x cosy ±vp! sinx x siny tan (x ± y) = (tanx ± tany) / (1 ±! tanx x tany) sin(90 x) = cosx cos(90 x) = sinx tan(90 x) = cotx cot(90 x) = tanx sin(180 x) = sinx sin(180 + x) = -sinx sin(360 x) = -sinx sin ++-- ; cos +--+ ; tan +-+- sinx = m = x = (-1)n arcsinm + n ; n Z cosx = m = x = ±arccosm + 2n ; n Z tanx = m = x = arctanm + n ; n Z SIN, COS, TAN joonised ! SIN x I - I -3/4 I -/2 I /4 I -/6 I 0 I sin x I 0 I -0,7 I -1 I -0,7 I -0,5 I 0 I
Aritmeetiline jada: an = a1+(n-1)d d = an-an-1 Sn = Geomeetriline jada: an = a1qn-1 Sn = Hääbuv jada: S = Trigonomeetria: sin 2 2 2 = sin +cos = 1 1+tan = sin2 = 2cossin cos2 = 2cos2-1 tan2 = siinusteoreem: (ümberringjoone raadius) koosinusteoreem: a2=b2+c2-bccos erikülgne kolmnurk: S= n Põhivõrrandid: sinx= a x=(-1) +180n, n Z cox= a x=+360n, n Z tanx= a x= +180n, n Z Kaare pikkus: l= Sektori pindala: S= n Liitintress: c= a(1) a-algväärtus Vektorid: pikkus paralleelsus || ristseis X1X2+Y1Y2= 0 nurk vektorite vahel cos = Sirge võrrand: kahe punktiga tõusu ja algkoordinaadiga y= kx+b (lp y-teljega) tõusu ja punktiga y-y1=k(x-x1)
x xn nxn-1 logax 1 x ln a 1 1 sinx cosx x x2 x 1 cosx -sinx 2 x Astmefunktsioonide puhul kasuta valemit ( xn)`= nxn-1 Leida tuletised
sin cos tan II:+ I:+ II: - I: + II: - I: + III:- IV:- III: - IV:+ III:+ IV: - · sin= cos(90°-) · sin·sin= -1/2[cos(+)-cos(-)] · cos= sin(90°-) · cos·cos= 1/2[cos(+)+cos(-)] · sin(-x)= -sinx · sin·cos= 1/2[sin(+)+sin(-)] · cos(-x)= cosx · SIINUSTEOREEM: a/sin= b/sin= c/sin= 2R · tan(-x)= -tanx · KOOSINUTEOREEM: · sin2+cos2= 1 · a2= b2+c2-2·b·c·cos · tan= sin/cos · cos= b2+c2-a2/2·b·c · cot= cos/sin= 1/tan · b2= a2+c2-2·a·c·cos
Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Nurga veerand võetakse lõpphaara asukoha järgi ning on vastupäeva positiivne, päripäeva negatiivne. Taandamisvalemid võimaldavad taandada mistahes nurga radiaanideks. ja on teineteise täiendusnurgad 90°-ni, kui + = 90°. Siinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=sinx. Tegu on paarisfunktsiooniga, periood on 2. Arkussiinuseks nimetatakse funktsiooni y=arcsinx. Tegu on siinusfunktsiooni pöördväärtusega, absoluutväärtuselt vähim nurk, mille sin on x, paarisfunktsioon. Koosinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=cosx. Tegu on paarisfunktsiooniga (sümmeetriline y telje suhtes), perioodiks 2. Arkuskoosinuseks nimetatakse funktsiooni y=arccosx. Tegu on koosinusfunktsiooni pöördväärtusega, vähim positiivne nurk, mille cos on x
funktsiooni väärtus. Funktsiooni esitusviisid on : 1) Analüütilised ehk valemiga 2) Tabeliga ehk arvuliselt 3) Graafiliselt ehk geomeetriliselt Joonis 3. Mõnede lihtfunktsioonide graafikud (põhiliste elementaarfunktsioonide), määramis – ja muutumispiirkonnad. Joonis 4. Ilmutatud funktsioon ja ilmutamata funktsioon Kui funktsioon on antud kujul y = f (x), siis öeldakse, et funktsioon on ilmutatud. Nt. y=x2+3x , y= sinx+cosx Kui funkts. on antud kujul F( x, y ) = 0, Kusjuures y=y(x), siis öeldakse, et funktsioon on ilmutamata ehk võrrandiga antud. Nt. x2 + y2 = 4 (ringjoon) ehk x2 + y2 – 4 = 0. Praegu saab siit y nö. „ilmutada“: y2 = 4 - x2 ehk y=± √ 4−x 2 Joonis 5. Nt. ey = x + y , siit y „ilmutada“ ei saa. Funktsiooni parameetriline esitlus. Funktsiooni parameetrilise esituse jaoks võetakse kasutusele mingi kolmas täht, tavaliselt t, mida nim. parameetriks
- Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=f(x), siis on tegemist paarisfunktsiooniga. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. f(x)=x2, sest (-x)2=x2 f(x)=cosx, sest cos(-x)=cos x - Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=-f(x), siis on tegemist paaritu funktsiooniga. Graafik on sümmeetriline 0-punkti suhtes. f(x)=x3, sest (-x)3=-x3 f(x)=sinx, sest sin(-x)=-sinx f(x)=tanx, sest tan(-x)=-tanx 3. Funktsiooni piirväärtuse mõiste ja sümbol. Piirväärtuse 5 omadust. - Kui funktsiooni f(x) argumendi x väärtuste jada xn läheneb arvule a ükskõik kummalt poolt, siis funktsiooni väärtuste jada f(xn) läheneb kindlale arvule A, siis see arv A ongi selle funktsiooni f(x) piirväärtus (argumendi x lähenemisel arvule a). - Kui xa, siis f(x)A - Omadused(5): 4. Funktsiooni tuletise mõiste (sõnad+sümbolid). Selgitav joonis
2. Arvutada y’(1), kui y ln (3 punkti). 3. Arendada funktsioon MacLaurini ritta, kasutades kuni x3 3. Arendada funktsioon MacLaurini ritta, kasutades kuni neljandat järku tuletist: f(x) = 2-sin(2x) (3 punkti). neljandat järku tuletist: f(x) = 2-sin(2x) (3 punkti). 4. Arvutada y’, kui y = (2x-3)sinx (3 punkti). 4. Arvutada y’, kui y = (2x-3)sinx (3 punkti). 5. Arvutada järgmised piirväärtused: (2+3+3 punkti) 22 5 x 4 x 2x 4 5. Arvutada järgmised piirväärtused: (2+3+3 punkti) a) lim ; b) lim 22 5 x 4 x 2x 4 x
purske täitesignaaliks valisime ristküliksignaali pinge 1,2 Vpp täitesignaali sagedus 1800 Hz 2 täitesignaali perioodide arv purskes 5 pursete sagedus 120 Hz Mõõtsime: Uamp = 1,172 V Ttäite = 550 s tpurse = 2,360 ms 5. Genereerisime siinuselise kõigusagedussignaali (Sweep): sageduse muutus piirides 1600 Hz...3600 Hz sageduse muutumise periood 240 ms lineaarne sageduse muutumine 6. Genereerisime sinx/x-tüüpi signaali: signaali sagedus 600 Hz ja pinge 0,75 Vrms Joonis 1. Perioodilise sinx/x-tüüpi signaali skemaatiline joonis. 7. Andsime ostsillograafi sisendisse ristkülikimpulsid sagedusega 30 Hz ja pingega 250 mVrms. Mõõtsime impulsi esikülje ja tagakülje kestused: tesikülg = 4,800 ns ttagakülg = 4,550 ns Teoreetiliselt võib esi- ja tagakülje pikkus olla kuni tf =1/(3fmax) tf = 1/(3*30) = 11 ms 8
4. Liitfunktsioon Funkts, mille argumendiks ei ole sõltumatu muutuja, vaid tema mingi funktsioon, nim liitfunkt-niks sõltumatu muutuja suhtes y=f(u) u=u(x), Märkus: sisalduvus võib olla mitmekordne 5. Põhilised elementaarfunkts. 1)astmefunkts y=xa; a IR (nii murrulised, kui negatiivsed) 2)eksponentf-n y=ax, a 1, astmef-ni puhul on muutuja konstantses astmes , eksponentf-ni puhul on muutuja muutuvas astmes 3)logaritmf-n y=log ax, a>0, a 1 4)trig. F- nid y=sinx; cosx;tanx;cotx 5)arkus f-nid y=arcsinx;... NB 2ja 3 ning 4 ja 5 on pöördf-nid. Elementaarf-n saadakse põhilistest elementaarf-nidest aritmeetiliste tehete +liitf-nide moodustamise abil *täisrats f-nidpolünoomid *murdrats f-nidpolünoomide jagatis *irrats f-nidmurrulised astendajad 6.Tõkestamatult kahanev ja kasvav suurus Kahanev: Suurus x: x1,x2,x3..xn=f(n),...tekib vaadeldava suuruse (x) väärtuste jada: xn=1/n=>(tabel) *def.1 Suurus xn on tõkestatud sel korral, kui vastavalt
1.4. Leia funktsiooni f(x) väärtus, kui x = 10 cos 4 2. On antud funktsioon y =x 3 -5x 2 . Leia selle funktsiooni 2.1. nullkohad; 2.2. positiivsus- ja negatiivsusvahemikud; 2.3. ekstreemumkohad, nende liik ning ekstreemumpunktid; 2.4. kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 2.5. skitseeri selle funktsiooni graafik; 2.6. graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 5. 3. Antud on funktsioonid f(x) = sin2x ja g(x) = sinx. 3.1. lahenda võrrand f(x) = g(x) lõigul [0;2] ; 3.2. joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud lõigus [0;2] ; 3.3. leia joonise abil x väärtused, mille korral f(x) < g(x) 4. Kalju äärne maatükk tuleb jagada ristkülikukujuliselt kahte võrdsesse ossa nii et nende pindala oleks maksimaalne. Leia maatükkide mõõtmed, kui traadi pikkus on 600 m. 5. Antud on funktsioonid f(x) = 3 x ja g(x) = 2 5.1
TULETISED Astmeline:=n* nt. =5* Trigonomeetrilised: (=cosx = - sinx = Logaritmfunk. tuletised: (; ' Eksponentfunk tuletised: ' = *1 (e lne=1)= Tuletised : ' = ' (x)' = 1 (c)'=0 (-x)' = -1 Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletis 1.Summa tuletis (u+v)' = u' + v' Nt. + (= + 2. Vahe tuletis (u-v)' = u'-v' 3. Korrutise tuletis (u*v)' = u'*v + u*v' 4. Jagatise tuletis (
2 2 Sin+cos=1 cos(90°-)=sin III veerand 180°<<270° 180°+ 2 1+tan=1/cos tan(90°-)=cot IV veerand 270°<<360° 360°- sin2=2sincos 2 2 cos2=cos-sin cot=1/tan=cos/sin sin ++-- cos +--+ tan/cot +-+- Siinusfunktsioon y=sinx SINUSOID [0;2] X=R Y=[-1;1] -1sinx1 sin(-x)=-sinx paaritufunktsioon-graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunktide suhtes Siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2=360° koosinusfunktsioon y=cos X=R Y=[-1;1] -1cosx1 cos(-x)=cosx paarisfunktsioon-graafik on sümmeetriline y-telje suhtes koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2 Tangensfunktsioon y=tan x ei tohi võrduda 90°, 270°, -90°, -270° tan(-x)=-tanx paaritufunktsioon Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga Arkusfunktsioon
täitesignaali perioodide arv purskes n = 5 pursete sagedus fb = 120 Hz Signaali mõõdetud väärtused: Amplituud: Vpp = 1,187 V ± 0,064 V Täitesignaali periood: T = 600 µs ± 0,060 µs Viie purske kestus: 8,36 ms ± 0,0006 ms Ühe purske kestus: 1,672 ms 5. Genereerisime siinuseline kõigusagedussignaal (Sweep): sageduse muutus piirides fg = 1600 Hz ... 3600 Hz sageduse muutumise periood T = 240 ms lineaarne sageduse muutumine 6. Genereerisime sinx/x- tüüpi signaal. Selleks valisime Arbitrary menüüst signaalikujuks SINC. Seadsime signaali sageduseks fg = 600 Hz Pinge Urms 0,75 Vrms. ± 0,0075Vrms Signaali mõõdetud väärtused: Signaali efektiivväärtus Urms = 0,764 V ± 0,0383 V Signaali period T = 1,666 ± 0,017 ms Joonis 1. Genereeritud sinx/x-tüüpi signaali skemaatiline joonis 7. Andsime ostsillograafi sisendisse ristkülikimpulsid sagedusega fg = 50 Hz ja pingega ug = 500 mVrms.
x Eksponentfunktsioon y=a a>0,a≠1 X=(∞;∞) Y=(0;∞) Logaritmfunktsioon y=logx a>0,a≠1 a x=(0;∞) Y=(∞;∞) Siinusfunktsioon y=sinx X=(∞;∞) Y=)1;1( Koosinusfunktsioon y=cosx X=(∞;∞) Y=)1;1( Tangensfunktsioon y=tanx=sinx/cosx X= Y=(∞;∞) Kootangensfunktsioon y=cotx=cosx/sinx =(∞;∞) 9. Jada mõiste. Punkti ümbruse erinevad definitsioonid.
..k+2(l1+l2+...+l)=n ja polünoom tuleb selline: ja Qm(x)/Pn(x) on lahutatav osamurdudeks nii: N. Ax2+2ax+4a+bx2-2bx+cx-2c1 x2|a+b=0 x|2a-2b+c=0 x0|4a-2c=1 2.7 Lihtsamate osamurdude integreerimine. 2.8 Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine I Üldine trigonomeetriline asendus: II t=tanx Kui R(-u,-v)=R(u,v), siis R(u,v)=R(u,(v/u)u)=R1(u,v/u), kusjuures R(-u,v/u)=R1(-u,-v/- u)=R(-u,-v)=R(u,v)=R1(u,v/u). Muutuja R1(u,v) sisaldab ainult muutuja x paaris astmeid. III t=sinx Kui R(-u,v)=-R(u,v) , siis R(u,v)=uR1(u2,v) ja on otstarbekas kasutada muutuja vahetust t=sinx: N TAGASIASENDUS! 2.9 Hüperpoolsete funktsioonide integreerimine I Üldine 2.10 Algebraliste funktsioonide integreerimine +TAGASIASENDUS! III Diferentsiaalbinoom Avaldist , kus , , on ratsionaalarvud(Q) ning a, bR, nim diferentsiaalbinoomiks. Lause:Diferentsiaalbinoomi integraal osutub elementaarfunkiooniks juhul, kui , või on täisarv.
läheneb arvule b. Parempoolse piirväärtuse kirjutusviis on: lim(xa+) f(x) = b või f(x) b kui xa+ 5. Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Def. Muutuvat suurust ehk funktsiooni (x) nim. lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis xx0, kui lim xx0 (x)=0. Lõpmata väikest suurust nim. ka hääbuvaks suuruseks. Asjaolu. et (x) on lõpmata väike suurus piirprotsessis xx0, tähistatakse ka kujul (x)=o(1) (xx0). Näide. Funktsioonid x, x kuubis, sinx, 1-cosx, e astm x miinus 1 ja ln(1-x) on piirprotsessis x0 lõpmata väikesed suurused, sest lim x0 x=0, lim x0 x kuubis =0, lim x0 sinx=0, lim x0 (1-cosx)=0, lim x0 (e astm x miinus 1)=0, lim x0 ln(1- x)=0. Definitsioon2. Muutuvat suurust (x) nim. lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis xx0, kui lim xx0 (x)=. LSS nim. ka vohavaks suuruseks. Näide. Suurused 1/x, 1/x kuubis, 1/sinx, 1/ (1-cosx), 1/(e ast x miinus 1) ja 1/(ln(1-x)) on piirprotsessis xx0 lõpmata suured, sest lim x0
tan x 0 3 1 3 - tan x = m 3 Üldlahend on kujul x = arctan m + nπ = ± arctanm + n ⋅ 180° , kus n ∈ Z . cot x - 3 1 3 0 sinx = m ja cos x = m on olemas lahendid vaid siis, kui 3 m ≤ 1 , sest iga x korral − 1 ≤ cos x ≤ 1 . IV veerandi nurgad
on funktsioon järgmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ei võrdu 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooni y = 1 x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 kvalitatiivselt erinev . Funktsioon y = a x on kasvav kogu oma määramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma määramispiirkonnas, kui 0 < a < 1. Trigonomeetrilised funktsioonid y = sinx, y = cosx, y = tanx ja y = cotx radiaanides antud argumendiga x. Trigonometriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = sinx : X = R, Y = [-1,1], y = cosx : X = R, Y = [-1,1], y = tanx : X = R {(2k + 1)/ 2 * ||k Z }, Y = R, y = cotx : X = R {k||k Z}, Y = R. Funktsioonid y = sinx ja y = cosx on perioodilised perioodiga 2 ning y = tanx ja y = cotx perioodiga . Funktsioonid y = sinx, y = tanx ja y = cotx on paaritud ning y = cosx paaris. 4
() lim () omandada erinevaid arvulisi väärtusi. Muutuva suuruse piirvääruse definitsioon Jäävaks suuruseks nim suurust, mille arvuline väärtus ei y=sinx pööramisel ahendatakse = [- 2 ; 2 ] Y=[-1;1] Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse
Põhiseosed : Kui sinx=m, siis x=(-1)n arcsinm + n, sin 2 + cos 2 = 1 kus n Z sin tan = cos Kui cosx=m, siis x=±arccosm + 2n, tan · cot = 1 kus n Z 1 1 + tan 2 =
Funktsiooni y = x tuletis, kui n on n 37. positiivne täisarv (tõestuseta). Funktsioonide y = sin x ja y = cos x tuletised tõestuseta. Funktsiooni y = x tuletis on nx , kus n on positiivne täisarv, s.o. kui y = x , n n -1 n 38. siis y = nx . n -1 39. Funktsiooni sin x tuletis on cos x , s.o.kui y=sinx, siis y = cos x . 40. Funktsiooni cos x tuletis on -sinx, s.o.kui y = cosx , siis y = -sinx. 41. 42. Konstandi, summa, korrutise ja jagatise tuletiste valemid. 43. Konstandi valem: C'=0 44. Summa valem: (u+v)'=u'+v' 45. Korrutise valem: (uv)'=u'v+uv' u u v - uv = 46. Jagatise valem: v v2 47. 48. Liitfunktsiooni tuletise valem. dy dy du
muutumispiirkonna väärtustele y vastavusse need väärtused x määramispiirkonnast, mille korral f(x)=y. Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon : y=0 Astmefunktsioon y=x astmes a Eksponentfunktsioon y=a astmes x Logaritmfunktsioon y= loga astmes x Trigonomeetrilised funktsioonid: y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx Argusfunktsioonid: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx Elementaarseteks funktsioonideks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaar-funktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Tõkestatud funktsiooniks nimetatakse funktsiooni f(x) piirkonnas A tõkestatuks, kui leidub reaalarv k, nii et |f(x)|<= k iga X kuulub hulka A korral.
(Paaris
juured)
e. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad,
väärtuste hulgad ja graafikud
e.i. y=, kus astme alus a on konstantne ja rahuldab väärtust a>0. Lisaks ,
sest a=1 korral saame konstantse funktsiooni y==1.
Eksponentfunktsiooni korral . y= on kasvav kui a>1. y= on kahanev kui
0
vajalikule kujule teisendada. sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos 2 x = 0 : cos 2 x sin 2 x 2 sin x cos x 3 cos 2 x + - =0 cos 2 x cos 2 x cos 2 x Edasine lahenduskäik nagu tan 2 x + 2 tan x - 3 = 0 ruutvõrrandi kujulistes võrrandites. 5. Võrrandite graafiline lahendamine Näide: Joonestada ühte teljestikku funktsioonide y = sinx ja y = cosx graafikud. Leida 0 [ 0 ] jooniselt võrrandi sinx = cosx lahendid lõigul 180 ;270 . Põhjendada vastust. Funktsioonide väärtuste tabeli koostamisel võetakse x reale nurgad kas radiaanides 3 0; ; ; ; ; ; ;2
Perioodiline funktsioon (funktsioon y = x [x]). Liitfunktsioon, selle komponendid (näide). Paarisfunktsioon. Funktsiooni y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsioobiks, kui x X kehtib võrdus f(-x)= f(x) Näide: y = x2 Paaritu funktsioon. Funktsioon y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui x X kehtib võrdus f(-x)=-f(x). Näide: y = sinx. Perioodiline funktsioon. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu T 0 tema perioodiks, kui x X korral ka x ± T X ning kehtib võrdus f(x+T)=f(x) y = x [x] perioodiline ? Oletame t Siis t + 1 [x + 1] = t + 1 = [x] + 1 Nt. t = (x + 1) = x + 1 [x + 1] = x + 1 [x] 1 = x [x] = f(x) T=1 Liitfunktsioon ja selle komponendid (näide). Funktsioonide y = f(u) ja u = g(x) liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(g(x)). Funktsioone f ja g nimetatakse
F 1,2857142857 G 0,9 H 2,5446900494 I 5,8309518948 J 3,2396118013 K 2,0622769172 L 2,3406402454 M 1,004338815 N -1,2104606168 c x y -4 3 5 Valem D= N=sin2x+cos(x*x)-sinx*sin x x y z 5 -0,517714001 1,3667174655 5,5 -0,7724854321 -0,8154107552 6 -1,0306732064 -1,586463587 6,5 -1,2927744846 -0,4014628156 7 -1,5586930536 1,7228312903 7,5 -1,8282907827 3,1929679215 8 -2,1014099742 2,0827836539 8,5 -2,3778861364 -0,6166870565 9 -2,657555335 0,1955403811
lahend _____________________________ 0 on kar. võrr. lahend xQn(x) b) exPn(x) ei ole kar. exQn(x) võrr. lahend ____________________________ on kar.võrr. xkexQn(x) k-kordne lah. ______________________________________________ c) ex(Pn(x)cosx+ ex(Us(x)cosx+ +i ei ole kar. +Qm(x)sinx) võrr. lahend +Vs(x)sinx), s=max(m,n) _____________________________ +i on kar. xex(Us(x)cosx+ võrr. lahend +Vs(x)sinx) ______________________________________________ MÄRKUS. Otsitava erilahendi yMHE avaldistes esinevate polünoomide kordajad leitakse määramata kordajate meetodil.
A- --- &8A4= oa*#*d*J* A6d n 4* o@$ *A *.8&e Trigonomeetnilised p6hiv6rrandid sinx=m = *=(-l)' arcsin m+nn, neZ.'2 TE 7n 1-n 2
F''(x)>0 F''(x)<0 F''(x)<0 F''(x)>0 Käänukoht F''(x)=0 1. Leia funktsioonide tuletised 2 - 3x 1) y=2x5-3,8x4+x2-2 2) y = x -1 3)y=(x+1)sinx-x cos x 4)y=2tanx lnx 5)y=xsinx 6) y=cos 2x- sin2x 3 - 2x + x 2 7)y=tanx cosx 8) y = 9) y=sin2x x 2 x -1 2. Leia funktsiooni y= kasvamis ja kahanemispiirkonnad ja 1 - 3x ekstreemumpunktid. Määra ka nende liik. 3
2. x = - + + 2n = 0,5 + 2n = 0,5 ( 1 + 4n ) , n Z 4 4 Võrrandi lahendid on x = ( 1 + 2n ) , n Z ; x = 0,5 ( 1 + 4n ) , n Z Kontroll: Kui n = 0, siis x1 = ( 1 + 2 0) = ; x2 = 0,5 ( 1 + 4 0 ) = 0,5 sin - cos = 0 - ( -1) = 1 v = p sin 0,5 - cos 0,5 = 1 - 0 = 1 v = p Lahendid on x1 = ; x2 = 0,5 3) Lahendame võrratuse f (x) > 0 lõigus [0; ] . Võrratuse võib lahendada graafiliselt. Selleks tuleb joonestada funktsioonide y = sinx ja y = cosx graafikud lõigul [0; ] . Võrratuse sinx > cosx lahendamiseks tuleb leida sellised argumendi x väärtused, mille korral funktsiooni y = sinx graafik asub ülevalpool funktsiooni y = cox graafikut. Leiame graafikute lõikepunkti abstsissi. Graafikute lõikepunkti võib leida ka jooniselt. Lõigus [0; ] saab x väärtuseks olla ainult 450. x = 450 = . Täpsema tulemuse saamiseks võib lahendada võrrandi sin x cos x = 0. 4
Sel juhul võimalik moodust determnt: W(x) =|y1(x) y2(x) ... yn(x) |y'1(x) y'2(x) ... y' n(x) |... |y1(n-1)(x) y2(n-1) (x) ... yn(n-1)(x)** Nii defineerides saab W det. **Nt. Vaat fne y1=1, y2=sin2x, y3=cos 2x. Moodust W det** W(x) =1 sin2x cos 2x | 0 sin2x -sin2x = -2sin2xcos2x+2sin2xcos2x=0 | 0 2cos2x -2cos2x| =1*sinx(-2*cos2x)+sin2x*2cosx*(-sinx)*0+cos2x*0*2cos2x- 0*2sinxcosx*cos 2x-2cos2x*2cosx*(-sinx)*1-(-2)*cos2x*0sin2x=0 **** I Tõest kui funktsioonid on lin sõltuvad (wronskiga)),ss kehtib seos (*) y1,y2,..yn on lin. Sõltuvad, st @1y1+...+@nyn=0 *tahame näidata et W(x)=0 x (a;b) *oletame, et @n0 (vähemalt 1@dest peab olema erinev 0st) *avaldame yn-i ja moodust W detdi: *yn=(-1/@n) (@1y1+@2y2+..+@n-1yn-1) **W(x)=|y1 y2 ... yn-1 yn |y1' sama |... |y1 (n-1)sama = **|sama yn asemel (-1/@n) (@1y1+@2y2+..+@n-1yn-1) |tuletistega |..
0 teljega nurga 45 ? Vastus: ( 2 ; 8/3 ) ja ( 3 ; 3,5 ) 3 f) Millises punktis M0 on kõvera y = 2x 2 puutuja risti sirgega 4x + 3y + 2 = 0? 1 1 ; ) Vastus: ( 8 16 g) Millisesse kõvera y = x2 -5x +6 pnktis on vaja tõmmata puutuja, et see läbiks punkti M ( 1 ; 1 ) ? Vastus: ( 2 ; 0 ) ja ( 0 ; 6 ) h) Antud on joon y = sinx + 1 Leidke koordinaattasandi esimese veerandis punktid, kus joone puutuja on 1) paralleelne sirgega y = x 3 ; 1 2)risti sirgega y = -2x -1 Vastus: 1) ( 0 ; 1) 2) ( 3 2 f x ax 2 3x b
8 16 f) Millises punktis M0 on kõvera y = puutuja risti sirgega 4x + 3y + 2 = 0? Vastus: ( g) Millisesse kõvera y = x2 -5x +6 punktis on vaja tõmmata puutuja, et see läbiks punkti M ( 1 ; 1 ) ? Vastus: ( 2 ; 0 ) ja ( 0 ; 6 ) h) Antud on joon y = sinx + 1 Leidke koordinaattasandi esimese veerandis punktid, kus joone puutuja on 1) paralleelne sirgega y = x 3 ; 1
Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes. log a y , kus a on logaritmi alus. See funktsioon on määratud, kui x > x= 0. m¨a¨aramispiikond ja v¨a¨artuste hulk on vastavalt X = (0, ∞) ja Y = R. Kui a > 1(graafik) Kui 0 < a < 1(graafik) Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Funktsiooni y = sinx pööramisel ahendatakse tema määramispiirkond kokkuleppeliselt lõiguks [ −π π ; 2 2 ] . Seega on funktsioon y = sin x, x ∈ [ −π π ; 2 2 ] on üksühene. Selle funktsiooni pöördfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y.
Funktsioonide liigid. Paarisfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f ( x) = f (- x) iga x puhul määramispiirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y- telje suhtes: y = x2 Paarituks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f (- x) = - f ( x) iga x puhul määramispiirkonnas X. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline 0 punkti suhtes. Näiteks f(x)=x, f(x)=sinx. y = sin x Liitfunktsioon. Lihtfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis sõltub argumendist vahetult Liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni piirkonnas X kujul F ( x ) = f [ ( x ) ] Pöördfunktsioon. y = ( x) Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni , mis rahuldab seost ( g ( x) ) = x
Def. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y= , kus a on nullist erinev konstantse astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Def. Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y= , kus astme alus a on konstantne ja a>0 ja a1. Määramispiirkond X= ja väärtuste hulk Y=(0,). Def.Trigonomeetrilised funktsioonid on funktsioonid kujul y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4. Def. Eeldame, et argument x on funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud, st, et iga y Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-I kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y=f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Def
Def. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y= , kus a on nullist erinev konstantse astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Def. Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y= , kus astme alus a on konstantne ja a>0 ja a1. Määramispiirkond X= ja väärtuste hulk Y=(0,). Def.Trigonomeetrilised funktsioonid on funktsioonid kujul y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4. Def. Eeldame, et argument x on funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud, st, et iga y Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-I kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y=f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Def
piirväärtuste summa, vahe ja korrutis. 16*(Ekvivalentsed lõpmata väikesed suurused. Näidata, et kahe ekvivalentse lõpmata väikese suuruse vahe on kõrgemat järku lõpmata väike suurus)Lõpmata väikeseid suurusi (x) ja (x) nim. piirprotsessis X->Xo ekvivaletseteks lõpmata väikesteks suurusteks, kui ). Seda fakti tähistatakse ( ). *Ekvivalentsete lõpmata väikeste suuruste vahe on kõrgemat järku lõpmata väike: Näiteks: x-sinx ~x3/6 (x->0) sinx ~x (x->0) 18*(Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigid)Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on täidetud kolm tingimust: 1). f(a); 2). 3). (Tõestus: (Xo))=0 (Xo f(x-xo)) f(xo))=0 ) Tähistatakse: f(x) C *Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a nimetatakse f(x) katkevuspunktiks.
positiivne osa. 28. Arcsina- Siinuse poordfunktsioon, leiab nurga, mille siinus on antud. x=(-1)narcsinx+k 29. Arccosa- x= +,- arccosx+2k 30. Arctana- x= arctanx+k 31. Perioodiline funktsioon- · Funktsiooni y=f(x) , mis rahuldab tingimust f(x+p)=f(x), kus p0 iga x korral määramispiirkonnas X nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks. Arvu p nimetatakse seejuures funktsiooni perioodiks. · Trigonomeetriliste funktsioonide perioodid · Sinx ja cos x ---- 2 tanx ja cotx ---- · Perioodi leidmiseks tuleb võrdusest f(x+p)=f(x) määrata p, st lahendada vastav võrrand p suhtes · Leiame funktsiooni y=sin3x perioodi. 6x + 3 p 3p 2 cos sin =0 · 2 2 sin3(x+p)=sin3x; sin3(x+p)-sin3x =0 32. Ühe ja sama mõiste kahe omaduse tarvilikkuse ja piisavuse seos, näide · Ühe omaduse eksisteerimine või puudumine toob kaasa teise omaduse
kraad = rad rad = kraad A 180° lim g ( x) = x a = , kus B 0 78. Siinusf-n, selle graafik ja omadused y=sinx x a lim g ( x a x ) B 79. Koosinusf-n, selle graafik ja omadused y=cosx 91. Piirväärtus lõpmatuse kohal 80. Tangensf-n, selle graafik ja omadused y=tanx 81. Kootangesf-n ja selle graafik
a) = 0. 11. Näidata, et kahe lõpmata väikese suuruse korrutis ja summa on lõpmata väikesed. 12. Näidata, et kahe ekvivalentse lõpmata väikese suuruse vahe on kõrgemat järku lõpmata väike suurus. Näiteks: x-sinx ~x3/6 (x->0) sinx ~x (x->0) 13. Näidata, et kui lim x→a f(x) = b, siis leidub δ > 0, et f(x) = b + α(x) ∀x ∈ (a − δ, a + δ) {a}, kus α(x) on piirprotsessis x → a lõpmata väike suurus. 20. Naidata, et mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis
Tõesta neid. Kerge. 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Liitfunktsiooni tuletis: Lause 1. Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures N1. Leiame funktsiooni y=sin2x tuletise. Olgu u=sinx ja y=u2. Seega Näitan, et teatud eeldustel peab paika seos N2. Leian tuletise: Lause 2. Kui lõigul [a, b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil leidub tuletis kohal f(x), kusjuures Ehk Tõestus. Leian funktsiooni N. Leian mingi funktsiooni pöördfunktsioonist nt. Lause 3. Kui funktsioon y=f(x) on esitatud parameetrilisel kujul
2 13) Summa tuletis ( u + v )´= u’+v’ x 14) a) Astme tuletis ( xn)´= n*xn-1 b) tuletis (ax)´= a lna 1 1 15)a) ( ln x)´= x b) (logax)´= xlna 16) (sinx)´= cos x 1 17) a) (cosx)´= -sin x b) (tanx)´= cos2 x 18) (ex)´= ex 19) Kirjuta sirge võrrand teades tõusu k ja punkti A(x 1; y1) : y-y1=k(x-x1) 20) Kirjuta joone y =f(x) puutuja võrrand, kui puutepunkt on A(x 1; y1), millega võrdub sel juhul tõus, kirjuta täpselt tuletise kaudu: y-y1=f’(x1)(x-x1) 21) Kirjuta sirgete paralleelsuse tunnus: k1=k2
Näited. Nimetage paaris-ja paaritu funktsioonide graafikute omadusded. Kui iga korral on f(-x) = f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks, ja kui on f(-x) = -f(x), siis paarituks funktsiooniks piirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=tanx, y=cot x, y=arcsinx ja y=arctanx on paaritud funktsioonid ning y=cos on paarisfunktsioon. Paaritu funktsiooni y=x3 graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. 7. Defineerige funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon. Millisel tingimusel funktsioonil eksisteerib pöördfunktsioon? Milline seos on funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ääramispiirkondade vahel? Milline seos on funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni graafikute vahel?
Järelikult on suurus α(x)f(x) lõpmata väike piirprotsessis x → x0 . 11 Näidata, et kahe lõpmata väikese suuruse korrutis ja summa on lõpmata väikesed. Kui komponentide piirväärtused eksisteerivad, siis summa ja korrutise piirväärtus on vastavalt piirväärtuste summa ja piirväärtuste korrutis. Seega väide kehtib. 12 Näidata, et kahe ekvivalentse lõpmata väikese suuruse vahe on kõrgemat järku lõpmata väike suurus. Näiteks x – sinx ~ x³ / 6 (x → 0), kuigi sinx ~ x (x → 0) 13 Näidata, et kui lim f(x) = b, siis leidub δ > 0, et x→a f(x) = b + α(x) ∀ x ∈ (a - δ, a + δ) {a} , kus α(x) on piirprotsessis x →a lõpmata väike suurus. Tõestus: def Olgu α(x) = f(x) – b. Et lim α(x) = lim (f(x) – b) = lim f(x) – lim b = b - b = 0, x→a x→a x→a x→a siis suurus α(x) on lõpmata väike piirprotsessis x → a. 15 Punktis pidevate funktsioonide omadusi
Astmefunktsioon y = , kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Määramispiirkond: Eksponentfunktsioon y = , kus astmealus a on konstantne ja rahuldab võrratust a>0. Lisaks sellele eeldame veel, a 1, sest muidu oleks see konstantne funktsioon. X=R, Y = (0,). Graafik on juhtudel a > 1 (kasvav) ja 0 < a < 1 (kahanev). Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sinx, X = R, Y = (-1,1), graafik perioodiline perioodiga 2, paaritu funktsioon y = cosx, X = R, Y = (-1,1), graafik perioodiline perioodiga 2, paarisfunktsioon y = tanx, X = R / || k Z, Y = R, graafik periood on , paaritu funktsioon y = cotx, X = R/ k || k Z, Y = R, periood on , paaritu funktsioon 4. Üksühese funktsiooni mõiste Funktsioonis y = f(x) on igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnas seatud vastavusse ühe kindla y väärtus. Eeldame, et ka
g on diferentseeruvad selles punktis ja ( f + g )( x0 ) = f ( x0 ) + g ( x0 ) ( f - g )( x0 )= f ( x0 )- g ( x0 ) ( fg )( x0 )= f ( x0 ) g ( x0 )+ f ( x0 ) g ( x0 ) (cf )( x0 ) = c f ( x0 ), c = const f f ( x0 ) g ( x0 ) - f ( x0 ) g ( x0 ) 0 ( x ) = 2 g g ( x0 ) 4 Näide Leiame funktsiooni y = x sinx + cosx tuletise. Summa diferentseerimise reegli abil (x sin x + cos x ) = ( x sin x) + (cos x) Korrutise diferentseerimise reegli abil = x sin x + x(sin x) + (cos x) = sin x + x cos x - sin x = x cos x 5 Näide Leiame funktsiooni y = tan x tuletise. Jagatise diferentseerimise reegli abil sin x
DEF 16. Punkti (x;y) kohavektori pikkust nim. polaarraadiuseks. Nurka , mille punkti (x;y) kohavektor moodustab x-telje pos. Suunaga nim. polaarnurgaks, kusjuures vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. 1.2 Elementaarfunktsioonid 1.Konstantne funktsioon y=c 2.Astmefunktsioon y=x 3.Eksponentfunktsioon y=ax 4.Logaritmfunktsioon y=logax 5.Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx DEF 1. Elementaarfunktsiooniks nim. iga funkstiooni, mis on esitatav põhiliste elementaarfunktsioonide kaudu. DEF 2. Funktsiooni Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an nim. n-astme polünoomiks ehk täisratsionaalseks funktsiooniks. Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil Pn(x) on täpselt n kompleksset nullkohta x1, x2,...,xn. DEF 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehks murdratsionaalseks funktsiooniks nim. kahe polünoomi
erinev. *Eksponentfunktsioon on funktsioon j argmisel kujul: kus astme y=a , rahuldavad ka nende jadade piirväärtused. alus a on konstantne ja rahuldab v orratust a > 0. *Trigonomeetrilised 22. Sõnastada tõkestatud funktsioon. Tõestada, kui funktsioonil f on antud funktsioonid y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx protsessis lõplik piirväärtus, siis on ta selles protsessis tõkestatud 7. Liitfunktsioon ja pöördfunktsioon. V:Funktsiooni f nim ülalt tõkeskatud(alt tõkestatud) funktsiooniks hulgal X1 U X1 Liitfunktsioon ja selle komponendid (näide). Funktsioonide y = f(u) ja u = kui leidub selline reaalarv M(m), et iga x e X1 korral kehtib võrratus f(x) M
annaabi.ee 
