a
b
(joon) x=(t) ja y=(t) siis S = ydx [x=at=; x=bt= ja dx=(t)dt=xdt] siis pindala saab: S = yx dt
a
Polaarkoordinaadistik. Kõversektori pindala polaarkoordinaatides
(joon) -polarkaugus (p raadius), punkti kaugus poolusest; -polaarnurk. Seos ristkoordinaadistikuga: (joon) P(;).
[x/=cos; y/=sin] {x=cos; y=sin} x2=2cos2; y2=2sin2 =x2+y2 Kõversektori pindala
polaarkoordinaadistikus: (joon) =; = ja =(). Vaja leida pindala [; ] vahel =o<1<...
Ristkoordinaadistik ruumis: 1) Kolm ristuvat suunaga arvsirget; 2) Alguspuntkid ühtivad; 3) Ühikud on vôrdsed. Punkti ristkoordinaadid ruumis - (punkti koordinaatide saamiseks vôtame ristprojektsioonid vastavatele telgedele) M(x;y;z) Mx(x), My(y), Mz(z). Punkti sfäärilised koordinaadid M(;;). - punkti kaugus alguspunktist; - nurk OMxy ja x-telje pos. suuna vahel. - nurk OMxy ja OM vahel. Seosed punkti rist- ja sfäärkoordinaatide vahel:1) x 2) y 3) z = sin* 12. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. Polaarkoordinaadistik tasandil: 1) Suunaga arvtelg e. polaartelg. 2) Alguspunkt 3) Ühiku pikkus 4) Polaarraadius r = |OM| 5) Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). Punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahelised seosed: 1) x = rcos; y = rsin. 2) r = (x2+y2)1/2; tan = y/x. 13. Geomeetrilise vektori mõiste, tähistused. Vektorite võrdsus. Kollineaarsed vektorid. Vektor e
teljeks, teist aga ordinaatteljeks ehk y-teljeks. Ristkoordinaadistik tasandil: · Kaks ristuvat suunaga arvsirget · Alguspunktid ühtivad · Ühikud on võrdsed Punkti ristkoordinaadid sirgel ja tasandil: · Sirgel: A (x = |OA|, kui A asub pos osal; x = -|OA|, kui A asub neg. osal.) · Tasandil (punkti kordinaatide saamiseks võtame ristprojektsioonid vastavatele telgedele): M Mx, My; Mx(x), My(y) M(x;y) 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. Polaarkoordinaadistik tasandil: · Suunaga arvtelg e. polaartelg. · Alguspunkt · Ühiku pikkus · Polaarraadius r = |OM| · Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). Punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahelised seosed: · x = rcos; y = rsin. · r = (x2+y2)1/2; tan = y/x. 12. Ristkoordinaadistik ruumis
Liitfunktsioon: Kui y on muutuja u funktsioon, u aga omakorda sõltub muutujast x, siis ka y sõltub muutujast x. Olgu y=f(u) ja u = ϕ (x ). Siit saame, et y=f(ϕ (x )) Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mida saab anda üheainsa valemiga y= f( x), kus paremal olev avaldis on koostatud elementaarsetest põhifunktsioonidest ja konstantidest lõpliku arvu liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja liitfunktsiooni moodustamise operatsioonide teel. Polaarkoordinaadistik: Punkti asukoha määramiseks tasapinnal saab kasutada polaarkoordinaate. Võtame tasapinnal punkti O, mida nimetatakse pooluseks ja sellest punktist väljuva kiire, mida nimetatakse polaarteljeks. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) ρ , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk ϕ , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel. Vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise
3) kui tegu on integraaliga f(x) rajades [a;b], kuid leidub c (a
kui tsükkel katkeb, siis automaatseadme liikumine peatatakse, vältides nii operaatori uinumiseest tingitud vigade tekkimist d. lüliti programmeerimispuldil, mida vajutatakse roboti transpordiasendisse viimisel e. nupp tehases millele vajutades kutsutakse kohale kiirabi 7 Mitu vabadusastet on Stewart'i platvormil? : a. 6 b. 3 c. 4 d. 5 e. 7 8 APJ süsteemides on kasutusel ................... : a. ristkoordinaadistik b. polaarkoordinaadistik c. ruutkoordinaadistik d. ringkoordinaadistik e. spiraalkoordinaadistik 9 Mis on roboti täiturseade? : a. Täidab roboti liikumisfunktsioone ning tema põhiosaks on üks või mitu manipulaatorit b. Käituri (rattad, roomikud või sammumehhanism) olemasolul on täiturseade mobiilne ning võib liikuda mööda tsehhi territooriumi. c. Enamikul juhtudel aga käitur puudub ning roboti täiturseadme moodustab vaid manipulaator(id) d
P koordinaadiga), mis on võrdne punkti P kaugusega |OP| telje alguspunktist O, kas neg või pos suunal. punkti ristkoordinaadid tasandil on selle punkti ristprojektsioonid abstsiss- ja ordinaatteljel. P(x;y) Leiame punkti P ristprojektsioonid Px ja Py vastavalt x-teljel ja y-teljel. Olgu punkti Px koordinaat abstsissteljel xP ja punkti Py koordinaat ordinaatteljel yP. Selle järgi punkti koordinaadid on P(x;y). 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. polaarkoordinaat kahemõõtmeline koordinaatide süsteem, kus iga tasandi punkt on määratud kaugusega fikseeritud punktist (punkti ja pooluse vaheline pikkus polaarkaugus r) ning nurgaga fikseeritud suunast (polaarnurk ). üleminekuvalemid polaarkoordinaadistiku ja ristkoordinaadistiku vahel: Polaarkoordinaadistik tasandil: Suunaga arvtelg e. polaartelg. Alguspunkt
yc=[ʃʃDγ(x,y)ydxdy]/[ʃʃDγ(x,y)dxdy] 7. Kahekordne integraal polaarkoordinaatides, Poissoni integraal, näideπ Kui piirkond D on ring või selle osa, on kahekordset integraali lihtsam arvutada polaarides. Polaaride def: valime punkti O. See on poolus. Sealt väljub kiir- p (polaartelg). Punkti M asukoht määratakse polaarkaugusega ρ ja polaarnurgaga φ. Nurga φ mõõtmisel loetakse positiivseks vastupäeva suunda. Polaarkoordinaadistik M(ρ,φ). x=ρcosφ ; y=ρsinφ ; ρ=sqrt(x2+y2) ; tanφ=y/x. Poisson integraali abil esitatakse Gaussi kõver. 8. Kolmekordne integraal ja selle arvutamine kolmikintegraali abil, näide Olgu xyz-ruumis R3 antud mingi kinnise pinnaga piiratud piirkond V. Olgu piirkonnas V defineeritud pidev fn. u=f(x,y,z).3kordseks int-ks piirkonnas V nim piirväärtust kui see eksisteerib. Kui 3 muutujaga fn-l on olemas 3xint,nim f-ni integreeruvaks. Kolmikintegraal üle pinna V: 9
47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u ¨lesannete kogu. Tallinn, 1982. 3. L. Pallas, M¨aa¨ramata integraal. Tallinn, 2005 4. I. Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu¨s I. Tallinn, 2001.
x -1 -2 Punkti asukoha m¨ a¨ aramiseks tasandil on lisaks ristkoordinaatidele teisi v~oimalusi. Vaatleme j¨ argnevalt polaarkoordinaate. Polaarkoordinaadistik on m¨a¨aratud punktiga O, mida nimetatakse pooluseks, sellest v¨aljuva kiirega, mida nimetatakse polaarteljeks, 20 ja pikkus¨ uhikuga. J¨argnevalt on polaarkoordinaadistiku pooluseks valitud ristkoordi- naadistiku alguspunkt ja polaarteljeks x-telg (x, y) r y
annaabi.ee 
