Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides..................3 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem.................................................................................4 6.Diferentsiaalvõrrandi mõiste...................................................................................................5 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne................................................................................ 5 8.Eksaktne diferentsiaalvõrrand..................................................................................................6 9.Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand.......................................................................... 7 10.Lineaarne diferentsiaalvõrrand...............................................................................................7 11.Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid................................................ 7 1.Kordse integraali mõiste
2 mv LI2 Ek = Em = Liikuva keha kineetiline energia 2 Magnetvälja energia juhtmepoolis 2 Vedrupendli harmoonilise võnkumise diferentsiaalvõrrand Võnkeringi harmoonilise võnkumise diferentsiaalvõrrand d 2x k d 2q 1 + x=0 + q=0 ehk x' '+ 0 x = 0 ehk q' '+ 0 q = 0 2 2
diferentsiaalvõrrand on lineaarne otsitava funktsiooni y ja selle tuletise y' suhtes Lineaarse y'+P(x)y=Q(x) diferentsiaalvõrrandi üldkuju Homogeenne Homogeenseks esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrand diferentsiaalvõrrandit y'=f(x,y), kui f(x,y) on 0-astme homogeenne funktsioon: f(tx,ty)=f(x,y)>0 Homogeense diferentsiaalvõrrandi Homogeenne diferentsiaalvõrrand on esitatav kujul y'=f ( yx ) üldkuju Homogeense y =z , y=zx, y'=z+xz' diferentsiaalvõrrandi x muutujavahetus Murdlineaarset Diferentsiaalvõrrand, mis sisaldab murdlineaarset avaldist, on kujul y'=F avaldist sisaldav diferentsiaalvõrrand ( ab 11 xx +a+b 22 yy +a+b 33 ) . Muutujavahetus on x=X+u ja y=Y+v, kus konstandid u ja v leiame avaldistest
piirkonda, läbitakse kokkuvõttes kahes suunas, siis dx= dx= - ydxdy =- ydxdy, st seos kehtib. Kasutades piirkonda D={(x,y)} ( ׀c y d) ˄ ( (y) (y))}, saab analoogiliselt näidata dy= x dxdy. 6. Diferentsiaalvõrrandi mõiste. Üldlahend.Erilahend. Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob otsitavat funktsiooni, selle tuletisi ja argumenti. Harilik diferentsiaalvõrrand - otsitav on ühe muutuja funktsioon. y’’+y=2ex Üldjuhul võib hariliku diferentsiaalvõrradit esitada kujul F(x.y,y’,y’’,y(n))=0 I järku HDV üldkuju F(x,y,y’)=0 I järku HDV normaalkuju on y’=f(x,y) I järku HDV sümmeetriline kuju on M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 Osatuletistega diferentsiaalvõrrand - otsitav on mitme muutuja funktsioon. Zxx+Zyy=0 Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse otsitava funktsiooni tuletiste kõrgeimat järku selles võrrandis.
23) Asendades nüüd selle jõu avaldise võrrandisse (4.22) ja selle omakorda põhi- võrrandisse (4.21), saame m x = -k 2 m x J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 23 millest +k 2 x =0 x (4.24) Antud punkti liikumise diferentsiaalvõrrand on leitud. Nüüd tuleb see ära lahendada. Kontrollime kõigepealt kas selline diferentsiaalvõrrand on olemas lahendite tabelis (4.12). Selgub, et on küll ja nimelt kolmas võrrand (4.12C). Võrreldes võrrandeid (4.12C) ja (4.24) märkame, et A = k , B = 0. Seetõttu saab lahendite tabeli põhjal diferentsiaalvõrrandi (4.24) üldlahendi kohe välja kirjutada x = C1 sin kt + C 2 coskt (4.25)
Keha liikumisvõrrand r(t)=x(t)i+y(t)+z(t)k, kus x(t), y(t), z(t) on kolm sõltumatut funktsiooni. Teist järku diferentsiaalvõrrand (Newtoni II) r=a= d²r/dt² = 1/m *F Ruutpolünoomi r(t) = r0+v0+ a/2 *t² -ühtlaselt muutuva liikumise valemit, kus r0 algasend, v0 algkiirus, a kiirendus Keha pöörlemisvõrrand (t)=0 + 0 *t + /2 *t² - ühikud on radiaan Newtoni II seadus (kiirendus- ja impulssesitus) r=a= 1/m *F Impilss ehk liikumishulk p= mv Kulgliikumise diferentsiaalvõrrand a=1/m *F r= d²r/dt²=1/m *F Kulg diferentsvõrr lahendamine jõu puudumisel ning konstantse jõu korral (tuletusega) a) kui jõud on null, x=0 d/dt (dx/dt)=0 dx/dt=v0x=const, dx=voxdt voxdt=voxt+x0 , kus vox ja x0 on koordinadi väärtusega ajahetkel t=0. b) kui j]ud on konstantne (raskujõud: F=mg, hõõrdejõud: F=P), on võrrandi lahendiks polünoom x= x0 + vox*t + ax/2 *t²; ax=1/m *Fx Töö: skalaarkorrutis ja joonintegraal
arg z = arctan - kui x <0 ja y <0 x Tehted: korrutis z1 z 2 = z1 z 2 e i ( 1 + 2 ) , z1 z1 i ( 1 -2 ) jagatis = e . z2 z2 Harilikud diferentsiaalvõrrandid Esimest järku diferentsiaalvõrrand dy = f ( x, y ) dx ( x) on eralduvate muutujatega, kui f ( x, y ) = . Siis ( x ) dx =( y ) dy ning ( y) üldlahend on määratud avaldisega ( x ) dx = ( y ) dy +C . 4 MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken
(lk.17) nihe keha algasukohast lõppasukohta suunatud sirglõik, vektoriaalne suurus, tähis . (lk.17) hetkkiirus kiirus vaadeldaval hetkel või kiirus vaadeldavas trajektoori punktis. (lk.35) kiirendus väljendab kiiruse muutumist ajaühiku kohta, tähis . (lk.37) liikumise suhtelisus tähendab seda, et uuritava keha liikumise kirjeldamisel tuleb alati lisada taustkeha (keha, mille suhtes kirjeldatakse uuritava keha liikumist) kirjeldus. (lk.16) liikumisvõrrand diferentsiaalvõrrand, mis määrab keha või süsteemi dünaamika. (lk.40) OSKUSED: kinemaatika ülesannete analüütiline ja graafiline lahendamine sirgjoonelise liikumise korral. s nihe l teepikkus v kiirus t aeg vkeskm. keskmine kiirus a kiirendus v lõppkiirus v0 - algkiirus
2. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = ex. 3. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = sin x . 4. Tuletada ristkülikvalem n = 2 (n = 3) korral. 5. Tuletada trapetsvalem n = 2 (n = 3) korral. 6. Arvutada integraali ligikaudne väärtus ristkülikvalemi abil. 7. Leida antud mitme muutuja funktsiooni määramispiirkond. Vt üles 8. Leida antud mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. 9. Lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. otsi ise vahelduseks:P 10. Kontrollida, kas antud funktsioon on antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks.
väändenurga. 4. Nimetage nihkemooduli ühikud ja leidke ühikutevahelised seosed. Paskal ehk N/ruutmeetrikohta – jõud, mis on kehal ühe ruutmeetri kohta. 5. Mis on mehaaniline pinge? Mis on tangentsiaalpinge? Mehaaniline pinge näitab, kui suur jõud mõjub kehas lõikepinna ühiku kohta. Kui aga jõud mõjub piki pinda, on tegemist tangentsiaalpingega. 6. Mis on nihke põhjuseks? Nihke põhjus on keha suunatud liikumine. 7. Milline on väändevõnkumise diferentsiaalvõrrand ja kuidas saab sellest leida võnkumise perioodi? 8. Defineerige ainepunkti ja keha inertsimoment. Aine punkt ehk mateeria punkt on füüsikaline keha, mille mõõtmeid antud liikumistingimustes ei arvestata. Inertsimoment I näitab pöörleva keha osade massi jaotust pöörlemistelje suhtes. 9. Mis on võnkeperiood, hälve ja amplituud? Võnkeperiood (tähis T) on väikseim ajavahemik, mille järel keha liikumine kordub. Hälve
kasutada väikestel kiirustel kehtivat keskkonnatakistust (sisehõõrdejõudu): kus on takistustegur ja võnkuva keha kiirus. Lisades selle vabavõngete võrrandile, saame: Asendades kiiruse ja kiirenduse tuletistega ning viies nad teisele poole võrdusmärki, saamegi sumbuvvõngete võrrandi: Takistavas keskkonnas on võnkuva keha liikumisvõrrandiks 1. lineaarne 2. homogeenne 3. II järku diferentsiaalvõrrand. Matemaatikute jaoks on see lineaarne homogeenne II järku diferentsiaalvõrrand, mille lahendi saab avaldada sama astme polünoomi, nn. karakteristliku võrrandi juurte kaudu. · Elektrivõnkumiste difvõrrandi koostamine. Loeng 15. · Sundvõngete difvõrrandi lahendamine faasidiagrammina. Sundvõnked. Oletame, et süsteem hakkab võnkuma sundiva jõu sagedusega ning selle võnkumise amplituudi ja algfaasi määravad sundiva jõu amplituud ning võnkuva süsteemi parameetrid: omasagedus ja sumbuvustegur
orbiidil, siis nimetatakse seda aatomi põhiolekuks (n=1) NB Elektroni leiu tõenäosus on võrdeline tema leiulaine amplituudi ruuduga. KVANTMEHAANIKA Kuna ilmnesid, et mikromaailmas osakestel on olemas laineomadused, siis tuli luua uus teooria, mis kirjeldaks nende laineosakeste käitumist (SCHRÖDINGER ja HEISENBERG). KM kirjeldab elektronileiutõenäosust nn lainefunktsioon e LEIULAINE, mille kuju saab lahendades ära SCH võrrandi. See on teist järku osatuletisega diferentsiaalvõrrand. MIKROMAAILMA TÄPSUSPIIRANGUD Osutub, et ,,tänu" osakeste lainelisusele ei ole korraga võimalik määrata (täpselt) *osakese asukohta ja impulssi *ajahetke ja osakese energiat px Et Neid kahte võrratust nim HEISENBERGI määramatuse seosteks. Nendest järeldub, et mikromaailmas on lubatud lühiajaliselt rikkuda energia jäävuse seadust ja kitsas ruumi piirkonnas rikkuda impulsi jäävuse seadust. Osake, mis parasjagu rikub jäävuse seadusi, kannab nimetust VIRTUAALNE OSAKE
Aatomimudelid I Thomson Avastas elektroni Thomson tegi esimese aatomi mudeli. Rosina kukli mudel. Aatom koosneb elektronidest ja prootonitest, mis on jaotunud mööda aatomit laiali II Rutherford Kuldlehekatse - Rutherford pommitas kulla-aatomeid alfaosakestega(suure massiga heeliumi aatomi tuum, + laenguga). Suurem enamus läbis kuldlehte ilma takistusteta. Mõned üksikud põrkusid tagasi. Järeldus : 1) Aatom koosneb enamasti tühjusest 2) Aatomis peab olema miskit positiivselaenguga ehk tuum.. pisike ja väike Järeldas sellest, et Thomsoni aatomi mudel on vale! Aatomi tuuma järeldas sellest, et positiivse laenguga alfaosakesed põrkusid aatomist tagasi, sama märgilised laengud tõukuvad. Rutherfordi aatomi tuuma omadused: suure tihedusega positiivne laeng III Bohr Bohri teooria - Bohri aatomiteooria on ühe-elektroniliste aatomite poolklassikaline mudel. Bohri postulaadid: 1. Aatomis leiduvad olekud, m...
Integreerimislüli: 1)Teoreetiline ülevaade: Integreerimislüli nimetatakse ka astaatiliseks lüliks ning I-lüliks. Ideaalne integreerimislüli väljundsignaal kasvab (või kahaneb pidevalt püsiva kiirusega, kui xs 0 ja on konstantne. Kiiruse määrab hüppe suurus sisendil. Reaalsel integreerimislüli (kirjeldatav IT1-lüliga) on väljundsignaali kasvamiskiirus alghetkel null ja tõuseb pikkamööda lõpliku kiiruseni. · Diferentsiaalvõrrand: v (t)=Ku (t) · Ülekandefunktsioon: W (p)= K/p · Impulsikaja: w(t)=K(t) · Hüppekaja: h (t)=Kt 2) Siirde- ja sageduskarakteristikud, kui K = 1: I-lüli K=1. a) hüppekaja, b) Bode diagramm 3)Seos konstantse väärtusega sisendi ja väljundi tõusu vahel. Erineva väärtusega sisendid. Nagu näeme, on lineaarne sõltuvus. Suurendades sisend signaali 4 korda (1-lt 4-le) suureneb ka
12F) B + v0 A kus C= (4.12G) B - v0 A Märkused. 1. Lahendite tabelis toodud suurused A ja B on mingid konstandid, kusjuures A 0 Siin ei tohi A ja B sõltuda ajast t, sest sel juhul need lahendid ei kõlba. Muutuvate A(t ) ja B (t ) korral tuleks tekkiv diferentsiaalvõrrand lahendada ise-seisvalt kasutades diferentsiaalvõrrandite teooriat. 2. C1 ja C 2 on integreerimiskonstandid, mis määratakse algtingimuste põhjal. Viiendas tüübis C1 ja C 2 puuduvad, sest seal on need juba asendatud x0 ja v0 v0 x kaudu. 3. Viies tüüp on sirgjoonelise liikumise jaoks kui jõud on proportsionaalne kiiruse ruuduga. Siin on antud 2 lahendit -- esimeses sõltub kiirus asukohast (või läbitud teest), teises sõltub kiirus ajast t
Üldlahend. Erilahend. |yu yv| Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob otsitavat funktsiooni tema tuletiste ja sõltumatute muutujatega. Harilik Kui funktsioon (x,y) on pidev piirkonnas D ja teisendus (u,v) (x,y) on regulaarne piirkonnas ning teisendab piirkonna diferentsiaalvõrrand otsitav on ühe muutuja funktsioon y'' + y = 2ex. Osatuletistega diferentsiaalvõrrand otsitav on mitme muutuja funktsioon zxx + zyy = 0. piirkonnaks D , siis f(x,y)dxdy = f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv.
2. Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. 𝐴 ≔ 𝜕𝑥 2 , 𝐵 ≔ 𝜕𝑦 2 , b] , nimetatakse normaalseks piirkonnaks xy-tasandil (x-telje suhtes). Analoogiliselt defineeritakse normaalne seob otsitavat funktsiooni tema tuletise ja sõltumatute muutujatega. Harilik diferentsiaalvõrrand - otsitav 𝜕2 𝑧 piirkond D = {(x, y) |(a ≤ y ≤ b) ∧ (ϕ (y) ≤ x ≤ ψ (y))} y-telje suhtes. Piirkonda D xy-tasandil nimetatakse onb ühe muutuja funktsioon. y'' + y = 2ex.Osatuletisega diferentsiaalvõrrand - otsitav on mitme muutuja
Diferentsiaalvõrrand: Laplace'i teisendus: Astmelise muutumise korral: Lahutusteoreem: kus si on funktsiooni Saadud nullkohad: ; ja Ci on leitav valemiga kus . Saadud väärtused on: Kujutise uus kuju: Siirdefunktsioon: Siirdefunktsiooni väärtused (eeldusel, et kui siis ): Tabel 1. Siirdefunktsiooni väärtused. t x(t) t x(t) t x(t) 2,04 0 56,04 1,4932 110,04 1,9037 4,04 0,0186 58,04 1,5206 112,04 1,9105 6,04 0,0822 60,04 1,5466 114,04 1,9170 8,04 0,1670 62,04 1,5714 116,04 1,9232 10,04 0,2567 64,04 1,5949 118,04 1,9290 12,04 0,3448 66,04 1,6172 120,04 1,9346 14,04 0,4294 68,04 1,6384 122,04 1,9399 16,04 ...
4. Arvutada integraali ligikaudne väärtus vasakpoolse ristkülikvalemi abil. 5. Arvutada integraali ligikaudne väärtus parempoolse ristkülikvalemi abil. 6. Arvutada integraali ligikaudne väärtus trapetsvalemi abil. 7. Leida antud kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond. 8. Leida antud kahe muutuja funktsiooni osatuletised. 9. Leida antud kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. 10. Lahendada eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrand. 11. Lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul p1(x)q1(y)dx + p2(x)q2(y)dx = 0 kus p1(x) ja p2(x) on muutuja x funktsioonid ning q1(y) ja q2(y) on muutuja y funktsioonid. Erladuvate muutujatega DV lahendamine 1. Eraldatakse muutujad 2. Leitakse üldlahend NÄIDE: dx + (2y + 1)dy = 0 Tegu on eraldatud muutujatega võrrandiga dx +(2y + 1)dy = 0
kahanema) süsteemi nurkkiirus. Võnkumised ja lained Võnkumiseks nimetatakse füüsikalise suuruse muutust, milles see kaldub oma keskmisest väärtusest kõrvalde kord ühes, kord teises suunas. Mehaaniline võnkumine on keha liikumine, milles see kaldub oma tasakaaluasendist kõrvale kord ühes, kord teises suunas. 37. Harmooniline ostsillaator: võnkumine , võnkeperiood ja sagedus; harmoonilise võnkumise diferentsiaalvõrrand ja selle lahend (harmoonilise võnkumise võrrand); harmooniliselt võnkuva punktmassi kiirus ja kiirendus, nende graafikud; harmoonilise võnkumise energia ja graafik faasiruumis. Harmooniliseks nimetatakse võnkumist, milles võnkuv suurus muutub ajas sinusoidaalse seaduspärasuse järgi. Teisisõnu veel: harmooniline võnkumine on võnkumine hälbega võrdelise ja tasakaaluasendi poole suunatud jõu mõjul. Faas kirjeldab olukorda, milles võnkuv keha antud hetkel viibib = 0t + 0
Bohri aatomimudel (demo) · Energianivoo peakvantarvule n vastav energeetiline väärtus. · Ühelt energianivoolt teisele minekuga on seletatav ka joonspektrite teke. Vesiniku aatomi energianivood: Kvantmehaanika teke ja põhiideed · Kvantmehaanika e. lainemehaanika on laineomadustega mikroosakeste ja nende kogumite käitumist käsitlev füüsika osa. Kvantmehaanika põhiideed · Kvantmehaanika teoreetiliseks aluseks on Schrödingeri võrrand diferentsiaalvõrrand, mille kaudu saab arvutada leiulaine (mikroosakese leiutõenaosust määravad lained) sõltuvuse koordinaatidest ja ajast, kui on teada osakese mass ja talle mõjuvad jõud. Erwin Schrödinger Kvantmehaanika põhiideed · Mikroosakeste laineomadustest tulenevad neile siseomased täpsuspiirangud (Heisenbergi ebatäpsussuhted, 1927): on osakest iseloomustavate suuruste paare, milles kumbagi suurust ei saa korraga mõõta suvalise täpsusega. Ühe
kokkupandult. Käsitletakse liikumise 2.On teada punktm-le mõjuv F.Leida tuleb liidetav=keha massi ja telgedevahelise kauguse T=Iz*z²/2 Tasap l korral: T= m*vc²/2+ põhjustajaid(jõude), mis alati tekitab kehale punktm-i liikumiss. ruudu korrutisega. Ümarmat korral: Iz*z²/2 kiirenduse. Punktmassi liikumise diferentsiaalvõrrand e Ix=Iy=m*r²/4 Rõnga/toru korral: Ix=Iy=m*r²/2 Keha pot en suurendamiseks on vaja teha tööd, Inerts on kehade võime püsida paigalseisus või dün põhiv: Cartesiuse koordinaadistikus: Inertsi raadius antakse tabelites, avalduv kuid keha pot en vähenemise arvelt saame tööd ühtlases sirgjoonelises liikumises kuni mingi mx=Fix izIz/M=m*r²/m=r teha. A=-dV
......................................................................27 44. Mitme muutuja funktsiooni täismuut ja täisdiferentsiaal. ....................................................... 27 45. Diferentsiaalvõrrandid. Diferentsiaalvõrrandi lahend, üldlahend, erilahend, singulaarne lahend. ............................................................................................................................................28 46. Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Kirjeldada eralduvate muutujatega .................29 diferentsiaalvõrrandi lahendamist. .................................................................................................29 47. Homogeenne diferentsiaalvõrrand, kirjeldada homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendamist. ........................................................................................................................................................ 30 1
33) Pöörlevate disbalansside toereaktsionid 34) Vedru-massi liikumise võrrand liikumisvõrrand omavõnkesagedus 35) Pole võimalik vastata 36) Ühikhüpe graafiliselt 37) Ristküliksisend 38) Treppsisend 39) Ei viitsi praegu kirjutada 40) Laplace'i põhiomadus 41) Pean juurde kirjutama 42) Pean juurde kirjutama 43) . 44) . 45) . 46) 1. diferentsiaalvõrrand -> algebraline võrrand-> algebralise võrrandi lahend -> dif võrrandi lahend 47) . 48) . 49)
maksimaalses hälbes, tasakaaluasendis või kusagil seal vahepeal, samuti iseloomustab faas, kus pool tasakaaluasendist pendel hetkel viibib. Sagedus - Sagedus on võrdsete ajavahemike tagant korduvate sündmuste (füüsikas enamasti võngete, impulsside vmt) arv ajaühikus. Ringsagedus - Ringsagedus ehk nurksagedus (tähis ) on võnkuva keha 2 sekundi jooksul sooritatud võngete arvu. Ühikuks on herts. Vedrupendli võnkumine Fe=-kx, ma= -kx, md2x/dt2= -kx, Wp=kx2/2, Wk=mv2/2 Võnkumiste diferentsiaalvõrrand = d2/dt2 = -c , kus - hälve ja c=w2; sellise dif lahendiks on = Acos(wt + 0) Matemaatiline ja füüsikaline pendel mat pendliks nim idealiseeritud süsteemi, mis koosneb kaalutust ja venimatust niidist, mille otsas ripub ainepunkt, keha, mille mass on koondunud ühte punkti. Füüsikaliseks pendliks nim iga reaalset keha, mis ripub kinnitatuna raskuskeskmega mittekokkulangevast punktist. Samasihiliste võnkumiste liitumine P69
valguse kiirusest olulisemalt aeglasemalt liikuvate kehade korral. Vastasel korral tuleb kasutada Einsteini relatiivsusteooriat. Newtoni esimene seadus ehk inertsiseadus ja inerts, mis tegeleb kehade liikumise ja vastastikmõjude uurimisega. Teine seadus ehk kiirenduse ja mehaanika põhiseadus, mis tegelebki kiirenduse ja mehaanikaga. Kolmas seadus ehk mõju ja vastumõju seadus. Dünaamika ülesandeks on leida kehade vastasmõjule matemaatiline esitus ja lahendada saadud diferentsiaalvõrrand. 1. Iga keha seisab paigal või liigub ühtlaselt sirgjooneliselt kui talle ei mõju teised kehad või kui nende kehade mõjud kompenseeruvad. 2. Keha kiirendus on võrdeline talle mõjuva jõuga ning pöördvõrdeline keha massiga. 3. Kaks keha mõjutavad teineteist alati jõududega, mis on suuruselt võrdsed ja suunalt vastupidised. 4 2. NEWTONI ESIMENE SEADUS Newtoni esimene seadus ehk inertsiseadus - Kui mingile kehale ei avalda
Newton oma 1687. a. ilmunud teoses Loodusfilosoofia matemaatilised printsiibid (Philosophiae naturalis principia mathematica) püüdis füüsikat üles ehitada klassikalise geomeetria kombel, tuletades kõigi talle teada olevate nähtuste kirjeldused kolmest põhipostulaadist. Koolifüüsika formuleeringus oleksid need (nn. Newtoni seadused): Dünaamika ülesandeks on: · leida kehade vastasmõjule matemaatiline esitus; · lahendada saadud diferentsiaalvõrrand 5 1. Iga keha seisab paigal või liigub ühtlaselt sirgjooneliselt kui talle ei mõju teised kehad või kui nende kehade mõjud kompenseeruvad. 2. Keha kiirendus on võrdeline talle mõjuva jõuga ning pöördvõrdeline keha massiga. 3. Kaks keha mõjutavad teineteist alati jõududega, mis on suuruselt võrdsed ja suunalt vastupidised.
Neid nimetatakse Lissajous’ kujunditeks. G) Sumbuvad võnkumised H) Sundvõnkumine. Resonants. Sundvõnkumise faas Omavõnkesagedus − keha viiakse tasakaaluasendist välja ja jäetakse omaette. tekib mingi sagedusega võnkumine, mida nim omavõnkesageduseks. Omavõnkeperiood − seotud omavõnkesagedusega => T=2π/ω 4. Lained a. Võnkumiste levimine keskkonnas. Rist- ja pikilainetus b. Sfääriline ja tasapinnaline laine c. Lainete diferentsiaalvõrrand. Superpositsiooniprintsiip d. Lainete interferents e. Seisvad lained f. Lainepakett. Faasi- ja grupikiirus A) Võnkumiste levimine keskkonnas. Rist- ja pikilainetus Ristlainetus − osakesed ei võngu mitte laine levimissuunas, vaid sellega risti. Näiteks lainetused vee pinnal. Ristlaine tekib vedelate ja tahkete kehade pinnal, varrastes, keeltes. Pikilainetus − osakesed võnguvad laine levimissuunas, kuid lõppkokkuvõttes nad ruumis siiski edasi ei kandu
Matemaatika põhimõisted ja - definitsioonid 1. Funktsioon- kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. 2. Elementaarne põhifunktsioon- elementaarseteks põhifunktsioonideks nim. järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid; 3. Elementaarfunktsioon- funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. 4. Tõkestatud funktsioon- funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon- funktsiooni f(x) nim. perioodiliseks, kui leidub selline nullist eri...
defineerime päratu integraali kui piirväärtuse t lim ¿ x →b ∫ f ( x)dx a b ∫ f (x ) dx=¿ a Kuidas arvutatakse: 32. Määratud integraali rakendusi (pindala, ruumala, kaare pikkus, töö, masskese, f-ni keskmine väärtus). Rakendused: 1) kujundi pindala 2) kujuni ruumala 3) joon kaare pikkus 4) töö arvutamine 5) kujunid masskese 6) funktsiooni keskmine väärtus 33. Diferentsiaalvõrrand (DV) (definitsioon). DV-i järk, lahendid ja liigitus (osata määrata järku, liigitada ja kontrollida, kas funktsioon on lahendiks). Üldlahend ja erilahend. Definitsioon: võrrandit, mis sisaldab sõltumatut muutujat x, tundmatut funktsiooni y=f(x) ja selle tuletisi nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks (DV- ks) Diferentsiaalvõrrandi järk: on differentsiaalvõrrandis esinevate tuletiste kõrgeim järk DV lahendiks: nimetatakse iga funktsiooni y=f(x), mille asetamisel
10. Isoprotsessid Isotermiline protsess (T=const) Isobaariline protsess (p=const) Isohooriline protsess (V=const) Isohoorilise protsessi korral on ruumala konstantne, gaas ei paisu ja järelikult tööd ei tee Isobaarilisel protsessil, kus rõhk konstantne, kehtib valem: Isotermilisel protsessil, kus temperatuur konstantne, tuleb avaldada rõhk ruumala ja temperatuuri kaudu ning lahendada diferentsiaalvõrrand Adiabaatiline protsess Gaasides või vedelikes toimuvaid protsesse nimetatakse adiabaatilisteks juhul, kui ei toimu soojusvahetust ümbritseva keskkonnaga Ideaalse gaasi olekuvõrrand molekulide mõõtmed on tühised võrreldes molekulidevahelise kaugusega, molekule vaadelda punktmassidena molekulide vastasmõju seisneb ainult nende omavahelistes elastsetes põrgetes ideaalne gaas on lõpmatult kokkusurutav ja teda ei ole võimalik veeldada
See on nüüd ligikaudu lineaarne võrrand. Esimene tuletis on puutuja tõusunurga tangens ja selle puutuja väärtuse ligikaudse väärtuse saab määrata. Lineariseerimine annab seda täpsemad tulemused, mida väiksem on xsis. 12. Konstantsete kordajatega dünaamika diferentsiaalvõrrandite lahendamine. Konstantsete kordajatega lineaarne dünaamika diferentsiaalvõrrand on üldkujul järgmine: 16 n n -1 n- 2 d x d x d x dx an n v + an-1 n-1 v + an- 2 n-2 v + ... + a1 dt v + a0 xv = dt dt dt m m -1 m- 2 d xh + d x h + d xh + ... + dxh + bm m bm-1 m-1 bm- 2 m-2 b1 dt b0 xh +
signaali, impulsikujulist signaali, siinuse kujuline. T 0 1 2 3 XS 0 1 1 1 Xv 0 0 0,3 0,6 Dünaamilised karakteristikud võivad olla etteantud: 1) analüütiliselt a) diferentsiaalvõrrandi abil b) ülekande funktsiooni abil 2) tabeli abil 3) graafiliselt a) ajakarakteristik 4) grafoanalüütiline a) sageduskarakteristikud Diferentsiaalvõrrand. Diferentsiaal võrrand kirjeldab dünaamilise protsessi, mis kulgeb elementides ja diferentsiaal võrrandi lahend näitab kuidas muutub väljundsignaal aja vältel. An*dXVn/dtn + An-1*dXVn-1/dtn-1 +...+ A1*dXV/dt + A0*XV = Bm*dXSm/dtm + Bm-1*dXSm-1/dtm-1 +....+ + B1*dXS/dt + B0*XS n väljundsignaali kõrgem tuletis, millega määratakse diferentsiaalvõrrandi kõrgem järk An jne koefitsiendid XV väljundsignaal T aeg M sisendsignaali kõrgem tuletis.
signaali, impulsikujulist signaali, siinuse kujuline. T 0 1 2 3 XS 0 1 1 1 Xv 0 0 0,3 0,6 Dünaamilised karakteristikud võivad olla etteantud: 1) analüütiliselt a) diferentsiaalvõrrandi abil b) ülekande funktsiooni abil 2) tabeli abil 3) graafiliselt a) ajakarakteristik 4) grafoanalüütiline a) sageduskarakteristikud Diferentsiaalvõrrand. Diferentsiaal võrrand kirjeldab dünaamilise protsessi, mis kulgeb elementides ja diferentsiaal võrrandi lahend näitab kuidas muutub väljundsignaal aja vältel. An*dXVn/dtn + An-1*dXVn-1/dtn-1 +...+ A1*dXV/dt + A0*XV = Bm*dXSm/dtm + Bm-1*dXSm-1/dtm-1 +....+ + B1*dXS/dt + B0*XS n väljundsignaali kõrgem tuletis, millega määratakse diferentsiaalvõrrandi kõrgem järk An jne koefitsiendid XV väljundsignaal T aeg M sisendsignaali kõrgem tuletis.
vähendab süsteemi energiat. Meie poolt õpitutest kõlbavad seega hõõrde- ja takistusjõud. Matemaatiliselt lihtsam on kasutada väikestel kiirustel kehtivat keskkonnatakistust (sisehõõrdejõudu): kus on takistustegur ja võnkuva keha kiirus. Lisades selle vabavõngete võrrandile, saame: Asendades kiiruse ja kiirenduse tuletistega ning viies nad teisele poole võrdusmärki, saamegi sumbuvvõngete võrrandi: Matemaatikute jaoks on see lineaarne homogeenne II järku diferentsiaalvõrrand, mille lahendi saab avaldada sama astme polünoomi, nn. karakteristliku võrrandi juurte kaudu. Diferentsiaalvõrrandi lahendi tüüp sõltub nüüd juurte tüübist: · Kui need on reaalarvud (st. ruutjuure alune avaldis on positiivne), on otsitavaks funktsiooniks (üldlahendiks) eksponentfunktsioon: millele vastab hääbuv liikumine. · Negatiivne juurealune avaldis viib kompleksarvuliste juurte juurde:
vähendab süsteemi energiat. Meie poolt õpitutest kõlbavad seega hõõrde- ja takistusjõud. Matemaatiliselt lihtsam on kasutada väikestel kiirustel kehtivat keskkonnatakistust (sisehõõrdejõudu): kus on takistustegur ja võnkuva keha kiirus. Lisades selle vabavõngete võrrandile, saame: Asendades kiiruse ja kiirenduse tuletistega ning viies nad teisele poole võrdusmärki, saamegi sumbuvvõngete võrrandi: Matemaatikute jaoks on see lineaarne homogeenne II järku diferentsiaalvõrrand, mille lahendi saab avaldada sama astme polünoomi, nn. karakteristliku võrrandi juurte kaudu. Diferentsiaalvõrrandi lahendi tüüp sõltub nüüd juurte tüübist: · Kui need on reaalarvud (st. ruutjuure alune avaldis on positiivne), on otsitavaks funktsiooniks (üldlahendiks) eksponentfunktsioon: millele vastab hääbuv liikumine. · Negatiivne juurealune avaldis viib kompleksarvuliste juurte juurde:
integraaliga: Olgu funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) määratud ja pidevad lõigus [a, b], kusjuures kogu lõigul f (x) g(x) . Kui tasandiline kujund on ülalt piiratud funktsiooni y = f (x) graafikuga, alt funktsiooni y = g(x) graafikuga ning külgedelt sirgetega x = a ja x = b, siis selle kujundi pindala on võrdne määratud integraaliga: 37. Hariliku diferentsiaalvõrrandi mõiste, järk, üld- ja erilahend. Harilik diferentsiaalvõrrand võrrand, milles otsitavaks on funktsioon y = f(x) ning mis seob funktsiooni y tema tuletisega y', y'', y''', ..., y(n) ja sõltumatu muutuja x-ga. Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob otsitava ühe või mitme muutuja funktsiooni tema tuletiste ja argumentidega. Kui otsitavaks on ühe muutuja funktsioon, siis kõneldakse harilikust diferentsiaalvõrrandist. kui otsitavaks on mitme muutuja funktsioon, on tegemist osatuletistega diferentsiaalvõrrandiga.
See on lihtne diferentsiaalvõrrand nihke suhtes, mis on peidetud veel kiiruse sisse. Ilmutame selle. seotud taustsüsteemis keskkond. 14. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest. Vektori siht on risti vektoritega ja
0 2 1 0 1 - 1 Leida süsteemi impulsskajade maatriks H (t ). H (t ) = Ce At B 31 8. SIIRDEPROTSESSIDE ARVUTUS DIFERENTSIAALVÕRRANDIST Selle peatüki teoreetilisi aluseid saab leida K. Ogata raamatust ptk. 2-7. Sisendi ja väljundi omavahelisi seoseid kirjeldab pidevaja süsteemi puhul diferentsiaalvõrrand dy dny du d mu f y, ,K, , u, ,K, = 0 (*) dt dt dt dt kus m n Kui diferentsiaalvõrrand (*) on n-ndat järku, siis öeldakse, et süsteem on n-ndat järku. Lähtudes funktsioonist (*), on võimalik süsteemi täielikult analüüsida ning arvutada siirde- protsessid ka mittenulliste algtingimuste puhul
XVII Miks ei saa ainult jõuga kirjeldada pöörlevat liikumist? ( jõumoment, rakenduspunkt)Pöörlevale kehale rakendades jõu tekib kiirendus, katsed näitavad et see ei olene vaid jõu suurusest vaid ka jõurakenduspunkti asukohast ja jõu suund on tähtis. Järelikult ei piisa pöörlevale kehale avaldatava mõju kirjeldamisel ainult jõu mõistest. Tuleb kasutada jõumomenti. ( näitena võib tuua ukselingi ) Galilei kiiruse teisendusvalemid? x x ut ( Vx,Vy,Vz ) Midagi seoses kella ja realativistku aegruumiga??????????????? y y Sündmuste on samaaegsed samas süsteemis kui nad toimuvad ühes ja samas kohas. XIX Kahes erinevas kohas sündmuse Sündmuste samaaegsus?Sündmuste on samaaegsed samas z z samaaegs...
Mehaaniline võnkumine on keha liikumine ,milles see kaldub oma tasakaaluasendist kõrvale kord ühes,kord teises suunas. Harmooniliseks nim võnkumist ,milles võnkuv suurus muutub ajas siusoidaalse seaduspärasuse järgi. 2) Mida nimetatakse sumbuvaks võnkumiseks? Sumbuvaks võnkumiseks nimetatakse võnkumist kus amplituudi kahanemine on eksponentsiaalne, st hälve muutub seaduspärasuse järgi. 3) 4) Harmoonilisevõnkumised diferentsiaalvõrrand? .. x = 02 x = 0 Sellist seost peavad rahuldama kõik võnkumisseadused,mis kujutavad 5) Resonants? (millal ta tekib?) Nähtust kus amplituud kasvav järsult kui sundiva jõu sagedus (s) läheneb süsteemi a0 oma võnkesagedusele ( või 0) nim resonants A = ( 02 - s2 ) 2 + 4 2 s2 6) Galilei teisendused? x = x + ut y = y z = z
Kuidas on võimalik ülekandemudelite põhisel analüüsil arvestada mittenullist algolekut? Algtingimused on süsteemi muutujate või parameetrite teadaolevad väärtused analüüsi alghetkel. Mittenulline algtingimus – kui väljundmuutuja ühtib olekumuutujaga, saab mittenullist algolekut kirjeldada väljundmuutuja algväärtusega. Sisendi ja väljundi omavahelisi seoseid diskreetaja süsteemis kirjeldab n-ndat järku diferentsiaalvõrrand. Kui diferentsiaalvõrrand on n-ndat järku, siis öeldakse, et süsteem on n-ndat järku. Lähtudes funktsioonist, on võimalik süsteemi täielikult analüüsida ning arvutada siirdeprotsessid ka mittenulliste algtingimuste puhul. n-dat järku diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks on vaja n algolekut. Kui meil on lineaarne funktsioon, siis diferentsiaalvõrrandi poolt kirjeldav süsteem on lineaarne n-ndat järku pidevaja süsteem.
17. Asendusvõte määramata integrali puhul. 18. Ositi integreerimine 19. Määratud integrali mõiste 20. Newton-Leibnizi valem 21. Määratud integrali omadused 22.Asendusvõte ja ositi integreerimine määratud integraali korral. 23. määratud integraali rakendusi: tasandilise kujundi pindala arvutamine, keha ruumala arvutamine. 24. differentsiaalvõrrandid. (DV). Lahendid, lahendite geomeetriline tõlgendus esimest järku DV korral. Diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob otsitavaid (ühe või mitme muutuja) funktsioone, nende tuletisi (või osatuletisi) ja argumente[1]. Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse otsitavate funktsioonide tuletiste kõrgeimat järku. Näiteks n-järku harilikku diferentsiaalvõrrandit, milles otsitavaks funktsiooniks on y, võib formaalselt esitada järgmiselt: . Iga funktsiooni y=f(x), mis võrrandisse paigutatuna seda võrrandit x suhtes samaselt rahuldab,
Tasandilise kujundi pindala. Defineerime piirkonna S kogupindala kui osapiirkondade pindalade summa A = A1 + A2 + . . .. Seega üldisemal juhul Ruumilise kujundi pindala, kus A(x) on vastava ristlõike pindala: 𝑏 𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑓 2 (𝑥) − 𝑔2 (𝑥)]𝑑𝑥 𝑎 39. Diferentsiaalvõrrand (definitsioon). DV-i järk, lahendid ja liigitus (osata määrata järku, liigitada ja kontrollida, kas funktsioon on lahendiks). Üldlahend ja erilahend. Diferentsiaalvõrrandi järk on diferentsiaalvõrrandis esinevate tuletiste kõrgeim järk. DV-i lahendiks nimetatakse iga funktsiooni y = f(x), mille asetamisel võrrandisse saame samasuse. Kõigi DV-e lahendamisel saadakse kõigepealt üldlahend, millest siis rajatingimusi (algtingimusi) kasutades leitakse sobiv erilahend
1. RAHVUSVAHELINE MÕÕTÜHIKUTE SÜSTEEM SI. PÕHIÜHIKUD, ABIÜHIKUD JA TULETATUD ÜHIKUD SI-süsteem kasutab 7 füüsikalist suurust põhisuurustena ning nende suuruste ühikuid nimetatakse põhiühikuteks. Ülejäänud füüsikaliste suuruste mõõtühikud SI-süsteemis on tuletatud ühikud, need on määratud põhiühikute astmete korrutiste kaudu. Põhiühikud: m, kg, s, A, K, mol, cd. Abiühikud: rad, sr (steradiaan). Tuletatud ühikud: N, Pa, J, Hz, W, C 2. KLASSIKALISE FÜÜSIKA KEHTIVUSPIIRKOND. MEHAANIKA PÕHIÜLESANNE. TAUSTSÜSTEEM Seda makromaailma kirjeldavat füüsikat, mille aluseks said Newtoni sõnastatud mehaanikaseadused, nimetatakse klassikaliseks füüsikaks. Mehaanika põhiülesandeks on leida keha asukoht mistahes ajahetkel. Taustsüsteem on mingi kehaga (taustkehaga) seotud ruumiliste ja ajaliste koordinaatide süsteem. Taustkeha, koordinaatsüsteem ja ajamõõtmisvahend (kell) moodus...
Tema järgi nimetatakse eeltoodud seoseid Heisenbergi relatsioonideks. Schrödingeri võrrand. Scrödingeri võrrand on mikromaailma e. kvantmehaanika põhivõrrand. Analoogiline võrrand on klassikalises mehaanikas Newtoni II seadus. F=m*a. Kui makrokeha asukoht, talle mõjuvad jõud ja kiirus on teada, siis saab NII seaduse abil määrata tema liikumisoleku. Scrödinger tugines üldisele lainevõrrandile (lainelist liikumist kirjeldav võrrand). Tulemuseks saadud võrrand on diferentsiaalvõrrand (sisaldab tuletisi). Sellise võrrandi lahendid on funktsioonid lainefunktsioonid, mis kirjeldavad osakeste paiknemise tõenäosuslaineid. Potentsiaalibarjäär ja potentsiaaliauk Kui veerev kuulike kohtab oma teel kerget tõusu (pinnavolti), hakkab tema kiirus tõusul vähenema. Seejuures muutub tema kineetiline energia potentsiaalseks. Kui kuulikese algne kineetiline
ja funktsiooni y = f(x) graafikuga; (b) kujund piiratud funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikutega. Olgu funktsioon y=f(x) määratud, pidev ja mittenegatiinve lõigus [a,b]. Kujundit mis on ülalt piiratud funtsiooni f graafikuga, alt x-teljega ning külgedelt sirgetega x=a ja x=b, nim kõvertrapetsiks. Selle kõvertrapetsi pindlala on võrdne määratud integraaliga: 40. Hariliku diferentsiaalvõrrandi mõiste, järk, üld- ja erilahend. Harilik diferentsiaalvõrrand võrrand, mis seob üht sõltumatut muutujat x funktsiooni y=f(x) ja selle funktsiooni tuletisi või diferentsiaali. Järk võrrandis sisalduvate tuletiste kõrgeim järk. Üldlahend iga niisugune y=f(x), mis rahuldab antud diferentsiaalvõrrandit mistahes konstantide väärtuse korral. Erilahend üldlahendi konstantidele on antud kindlad väärtused. 41. Mõningaid diferentsiaalvõrrandite lahendusvõtteid (eralduvate muutujatega, kõrgemat järku DV).
156. 157. 158. 159. Süsteemi dünaamika üldteoreemide üldiseloomustus N m a = F 160. =1 Niisiis tuleb uurida masspunkti liikumist mitteinertsiaalse taustsüsteemi suhtes, mis omakorda liigub mingi teise, paigaloleva inertsiaalsüsteemi suhtes 161. 162. 163. Punktmassi relatiivse liikumise dünaamika põhivõrrand 164. Selleks, et koostada punktmassi liikumise diferentsiaalvõrrand mitteinertsiaalses koordinaadistikus Newtoni teise seaduse kujul, tuleb punktile mõjuvatele aktiivsetele jõududele ja sidemereaktsioonidele lisada veel kaasaliikumise inertsjõud ja Coriolise inertsjõud 165. Süsteemi masskeskme liikumise teoreem 166. Süsteemi masskese liigub nagu punktmass, millesse on koondatud kogu süsteemi mass ja millele on rakendatud kõik süsteemile mõjuvad välisjõud e N e
Painde põhivalem: = =- EI Detaili elastse joone d d 2 v M M = 2 =- ehk = v = - diferentsiaalvõrrand: dx dx EI EI kus: = f(x) varda pöördenurga funktsioon, [rad]; v = f(x) varda läbipainde funktsioon, [m]; M = f(x) varda paindemomendi funktsioon, [Nm]; I = f(x) varda ristlõike inertsimomendi funktsioon, [m4];
Süsteemi kineetilise momendi teoreem masskeskme suhtes relatiivsel liikumisel ümber masskeskme Köningi telgede suhtes moodustatakse nii, nagu masskese oleks liikumatu punkt. 260. Panna kirja viies järeldus süsteemi kineetilise momendi teoreemist, milleks on kineetilise momendi teoreemi erikuju süsteemi pöörlemisel ümber kinnistelje. 261. Panna kirja kuues järeldus süsteemi kineetilise momendi teoreemist jäiga keha pöörlemise diferentsiaalvõrrand. Kui Iz=const, siis Iz = Mz 262. Mis määrab ära süsteemi kineetilise momendi muutumise kiiruse? Moment Mz. 263. Kirjutada jäiga keha pöörlemise diferentsiaalvõrrand. Milline on selle lahend juhul, kui parem pool on konstantne? 264. Mis on jõu elementaartöö? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? 265. Panna kirja 3 üldist valemit jõu töö arvutamiseks. 266
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
