Tarvilik tingimus: Funktsiooni f integreeruvuseks piirkonnas D on tarvilik funktsiooni f tõkestatus selles piirkonnas ( M > 0 : f (P ) M P D ). 12 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 3. Kahekordse integraali arvutamine Kahekordse integraali arvutamiseks on valemid, kui D on kõvertrapets. Olgu D = {( x, y ) : a x b, (x ) y ( x )} . (x) Teoreem 5. Kui eksisteerivad integraalid f ( x, y )dxdy , f (x, y )dy iga x [a, b] korral, siis D (x ) b (x )
lim a arctan x a lim a arctan x 0 1 dx a dx a 12. lim a 1 0 lim a 1 02 1 x 0 2. 0 1 x 0 1 x Määratud integraali rakendusi. 1. Tasapinnalise kujundi pindala. Kui kõvertrapets (vaata joonist all) on piiratud ülalt ja alt vastavalt joontega y f x ja y g x ning vasakult ja paremalt vastavalt sirgetega x a ja x b, siis tema pindala saab leida valemist b S fx g x dx a Näide 12. Leida kõverate y cos x ja y cos 2x vahele lõigul 0, 2 olev pindala. Joonestame algul selle kujundi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9.6 Numbriline integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Kontrolltöö teemad 1. Riemann'i integraali omadused. 2. Kõvertrapetsi pindala ja selle leidmine. Eksamiteemad 1. Riemann'i summa mõiste. 2. Riemann'i integraali mõiste. 3. Teoreemid 9.1 ja 9.2. 4. Määratud integraali omadused. 5. Kõvertrapets ja selle pindala. 6. Trapetsmeetod. PEATÜKK 9. PINDALA JA RIEMANN'I INTEGRAAL 9.1 Pindala leidmine lõplike summade abil Üldisemalt võime pindala S ligikaudu arvutada järgmiselt. Etteantud lõi- gus [a, b] võtame n osalõiku pikkusega b-a x = . n
1), näidata, et Dirichlet' funktsioon ei ole lõigus [0; 1] integreeruv (näide 11.2). Iga lõigus konstantne funktsioon on selles lõigus integreeruv. Tõepoolest, funktsiooni f : [a, b] → R, f (x) := c (11.4) puhul kehtivad suvalise alajaotuse T = T[x 0, . . . , xn] korral seosed s (T) = S (T) = = c (b − a), mistõttu I∗ (f) = I∗ (f) = c (b − a) , niisiis I (f) = c (b − a) . Paneme tähele, et konstantse funktsiooni (11.4) graafikuga määratud kõvertrapets on ristkülik alusega [a, b] ja kõrgusega c. Tähendab, integraali väärtuseks on sel juhul kõvertrapetsi pindala. Vaatleme Dirichlet’ funktsiooni Suvalise alajaotuse T[x0, . . . , xn] ∈ [0;1] puhul sisaldab iga osalõik [xk−1, xk] eelpoolmainitud teoreemide 1.9 ja 1.10 põhjal nii ratsionaal- kui ka irratsionaalarve. Seetõttu Mk = 1 ja mk = 0 iga k = 1, . . . , n korral. Järelikult seega
(5.1) y A B y = f (x) 0 a x1 x2 x3 x b Joonis 5.1: Kõvertrapets ja ristküliksummad. Vaatleme kõikvõimalikke alajaotusi T lõigus [a, b], tähistame nende hulga gooti tähega T, vajaduse korral täpsemalt T[a,b] . Suvalise kahe alajaotuse T, T ′ ∈ T puhul P∗ (T ) ⊆ P ∗ (T ′ ), mistõttu s (T ) 6 S (T ′ ). Seega on iga arv S (T ′ ) arvude hulga {s (T ) | T ∈ T} ülemine tõke. ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 107
annaabi.ee 
