geomeetriline kujutamine. määramispiirkonnaks. Kui kahe teineteisest sõltumatu muutuva suuruse x ja y igale väärtuspaarile (x; y) mingisugusest nende muutumispiirkonnast D vastab suuruse z väärtus, siis öeldakse, et z on kahe sõltumatu muutuja x ja y funktsioon, mis on määratud piirkonnas D. Argumentide x ja y 2. Kahe muutuja funktsiooni , saame z uue muudu z, mida osamuudu ja täismuudu mõisted nimetatakse funktsiooni z (kujutada ka joonisel). täismuuduks ja mis on määratud Et y väärtus sellel tasandil on valemiga: z = f(x+x,y+y) f(x,y). konstantne, siis muutub z joonel PS ainult sõltuvalt argumendi x muutumisest. Andes sõltumatule muutujale x muudu x , saab z muudu, mida nimetatakse z osamuuduks x järgi ja tähistatakse sümboliga x z (joonisel lõik SS): xz = f(x+x,y)
· funktsioon z=f(x,y) on määratud punkti N0(x0;y0) ümbruse kõigis punktides, kuid · puudub piirväärtus · funktsioon on määratud N0(x0;y0) ümbruse kõigis punktides, piirväärtus on olemas, kuid 6. Kahe muutuja funktsiooni osatuletis. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks x järgi nim. vastava osamuudu xz ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletist x järgi tähistatakse sümbolitega: z'x , f'x(x,y) , . Seega definitsiooni kohaselt: Analoogiliselt defineeritakse funktsiooni z=f(x,y) osatuletis y järgi funktsiooni osamuudu yz ja muudu y suhte piirväärtusena y lähenemisel nullile. Osatuletist y järgi tähistatakse sümbolitega z'y , f'y(x,y) , . Seega:
funktsiooni argumendi muutumisel funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Kiirendus funktsiooni teist järku tuletis näitab funktsiooni muutumise kiirendust argumendi muutumisel. 34. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks argumendi x järgi nim vastava osamuudu xz ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletist argumendi x järgi tähistatakse sümbolitega: Analoogselt, kui x on konstantne ja y saab lubatava muudu y, siis saame vaadeldava funktsiooni osamuudu argumendi y järgi. Leidugu funktsioonil z=f(x,y) osatuletised z'x ja z'y ja olgu need pidevad funktsioonid määramispiirkonna punktis (x,y). Sellisel juhul leidub vaadeldaval funktsioonil täisdiferentsiaal
x, y + y ) f (x, y) 44. kahe muutuja funktsiooni piirväärtus- arvu A nimetatakse funktsiooni f (x, y ) piirväärtuseks punkti P lähenemisel punktile P0 , kui iga arvu > 0 korral leidub arv r > 0 , et kõigi võrratust | PP0 | < r (vektori pikkus) rahuldavate punktide P puhul kehtib võrratus | f (x, y) A | < ja kirjutatakse lim f ( x, y) = A , x x0 ja y y0 45. mitme muutuja funktsiooni osatuletis- funktsiooni z = f(x, y, u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu x z ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: z ` x = lim x z / x kui x 0 Osatuletis y järgi: z ` y = lim y z / y kui y 0 46. mitme muutuja funktsiooni lokaalne ekstreemum- öeldakse, et funktsioonil z = ( x, y ) on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne ekstreemum, kui tal on selles punktis lokaalne maksimum või miinimum. 47. harilik diferentsiaalvõrrand- võrrand, mis seob otsitavat funktsiooni y = y(x) tema tuletistega y' , ..., y (n) ja sõltumatu muutujaga x. 48
Sõltumatud ehk argumendid x,y Sõltuv muutuja - z 26. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? Määramispiirkond x ja y ühisosa Muutumispiirkond - Z={z|z=f(x,y); (x;y)D} Graafik määramispiirkonnas olev pind ruumis 27. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z = f (x, y, u, ...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile 28. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Gradient - vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis Mingis punktis leitud gradientvektori suund näitab funktsiooni kiireima muutumise suunda selles punktis. 29
z=f(x;y) (x;y) E D ehk z=f(P) P E D x, y - sõltumatud muutujad ehk argumendid z- sõltuv muutuja 6. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? D määramispiirkond Z = { z|z = f(x;y); (x;y) E D} - muutumispiirkond Funktsiooni graafik kolmedimentsiooniline. Teooriaküsimused nr. 8 1. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z=f(x;y;u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) osamuut x järgi: osamuut: xz = f(x + x, y) - f(x;y) Kahe muutuja funktsiooni x=f(x,y) osamuut y järgi: yz=f(x;y+y) - f(x,y) Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) täismuut: z= f(x+x; y+y) - f(x;y) 2. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis.
x, y - sõltumatud muutujad ehk argumendid z- sõltuv muutuja 6. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? D -määramispiirkond Z = { z|z = f(x;y); (x;y) e D} - muutumispiirkond Funktsiooni graafik kolmedimentsiooniline. TEOORIAKÜSIMUSED nr 8 1. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z=f(x;y;u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: = = Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) osamuut x järgi: osamuut: xz = f(x + x, y) - f(x;y) Kahe muutuja funktsiooni x=f(x,y) osamuut y järgi: yz=f(x;y+y) - f(x,y) Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) täismuut: z= f(x+x; y+y) - f(x;y) 2. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava
Sõltumatud muutujad ehk argumendid x, y ; Sõltuv muutuja z 42. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? Kahe muutuja funktsiooni määramispiirkonda kujutab teatud punktide hulk tasandil. Lihtsamatel juhtudel koosneb kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond joontega piiratud tasapinna osadest. 43. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z=f(x,y, u, ...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu z ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: Funktsiooni z = f(x,y, u, ..) osatuletis y järgi: 44. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis. Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust. grad z(P ) = (z' 45. Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Funktsioon F
Märkus. Teoreemid 2.1 ja 2.2 kehtivad ka n- muutuja funktsiooni korral ( n > 2 ) . 3. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised ja nende geomeetriline tõlgendus. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) muutu. Kui me leiame funktsiooni muudu andes mõlemale argumendile vastava muudu, siis saame funktsiooni täismuudu. z = f ( x + x, y + y ) - f ( x, y ) Kui aga ainult x-muutuja saab muudu, y aga jääb konstantseks, siis saame funktsiooni osamuudu x järgi. x z = f ( x + x, y ) - f ( x, y ) Analoogselt jättes x konstantseks saame osamuudu y järgi. y z = f ( x, y + y ) - f ( x, y ) n-muutuja funktsiooni u = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) osamuut xi järgi saadakse andes sellele muutujale muudu xi ja jättes ülejäänud muutujad konstantseks. u = f ( x1 ,..., xi -1 , xi + xi , xi +1 ,..., x n ) - f ( x1 ,..., xi -1 , xi , xi +1 ,..., x n ) Def. 3.1.
x + x, y + y ) f (x, y) 44. kahe muutuja funktsiooni piirväärtus - arvu A nimetatakse funktsiooni f (x, y ) piirväärtuseks punkti P lähenemisel punktile P0 , kui iga arvu > 0 korral leidub arv r > 0 , et kõigi võrratust | PP0 | < r (vektori pikkus) rahuldavate punktide P puhul kehtib võrratus | f (x, y) A | < ja kirjutatakse lim f ( x, y) = A , x x0 ja y y0 45. mitme muutuja funktsiooni osatuletis - funktsiooni z = f(x, y, u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu x z ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: z ` x = lim x z / x kui x 0 Osatuletis y järgi: z ` y = lim y z / y kui y 0 46. mitme muutuja funktsiooni lokaalne ekstreemum - öeldakse, et funktsioonil z = ( x, y ) on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne ekstreemum, kui tal on selles punktis lokaalne maksimum või miinimum. 5 47
Joonis 6.9. Kaks l¨ahenemisviisi punktile (0;0) ja punkti (0;0) u ¨mbrus U (0; 0) 10 6.5 Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Fikseerime kahe muutuja funktsiooni z = f (x, y) m¨a¨aramispiirkonnas u ¨he punkti P (x, y). J¨attes muutuja y konstantseks, muudame muutujat x suuruse x v~orra ja leiame funktsiooni osamuudu x j¨argi x z. Definitsioon 1. Piirv¨a¨artust z x z f (x + x, y) - f (x, y) = lim = lim (6.6) x x0 x x0 x nimetatakse kahe muutuja funktsiooni f (x, y) osatuletiseks x j¨argi. f Osatuletist x j¨argi t¨ahistatakse veel zx , fx (x, y), . x
annaabi.ee 
