Matemaatilised mõisted ja definitsioonid (3)

Matemaatika põhimõisted ja - definitsioonid
1. Funktsioon- kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon.
2. Elementaarne põhifunktsioon- elementaarseteks põhifunktsioonideks nim. järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid;
3. Elementaarfunktsioon - funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena.
4. Tõkestatud funktsioon- funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | 0 korral leidub niisugune arv δ > 0 , et kehtib võrratus | f(x) – A | kirjutatakse lim f(x) = A kui x → a
13. Pidev funktsioon- funktsiooni y = f(x) nim. pidevaks kohal a, kui
lim f(x) , x → a = f(a) . Definitsioon nõuab kolme tingimuse täidetust: 1) funktsioon peab olema määratud kohal a 2) funktsioonil peab leiduma lõplik piirväärtus kohal a 3) peab kehtima võrdus lim f(x) , x → a = f(a)
14. Katkev funktsioon- funktsioon y = f(x) on katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest tingimusest: 1) f(x) pole määratud kohal a 2) funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a 3) lim f(x) , x → a = f(a) EI KEHTI.
15. Katkevuspunkt - Punkti x = a nimetatakse sel juhul funktsiooni katkevuspunktiks.

16. Esimest liiki katkevuspunkt- niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x → a+ ja f( a- ) = lim f(x); x → a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht,

17. Teist liiki katkevuspunkt- arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x → a - on lõpmatu või ei eksisteeri

lim f(x); x → a+ on lõpmatu või ei eksisteeri
18. Funktsiooni tuletis - funktsiooni y = f(x) tuletiseks f ‘(x) kohal x nimetatakse piirväärtust f ‘ (x) = lim ∆y / ∆x ; ∆x → 0 = lim f ( x + ∆x) – f(x) / ∆x ; ∆x → 0, kui see piirväärtus eksisteerib.
19. Funktsiooni n-järku tuletis- funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse tema
(n – 1)-järku tuletise tuletist ja seda tähistatakse f (n) (x) sümboliga.

20. Diferentseeruv funktsioon- kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas.

21. Funktsiooni diferentsiaal - on antud piirkonnas X diferentseeruv funktsioon y = f(x). Selle funktsiooni tuletis piirkonna X mingis punktis x määratakse võrdusega:
f ‘ (x) = lim ∆y / ∆x ; ∆x → 0
Suhe ∆y / ∆x läheneb ∆x → 0 puhul kindlale arvule ja erineb seega tuletisest lõpmatult väikese suuruse võrra:
∆y / ∆x = f ‘(x) + a , kus a → 0 kui ∆x → 0
∆y = f ‘(x)* ∆x + a*∆x
Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks dy nimetatakse avaldist dy = f ‘(x)* ∆x
22. Funktsiooni n-järku diferentsiaal- funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni (n – 1 )-järku diferentsiaali diferentsiaali.
23. Funktsiooni statsionaarne punkt- punkte x € X, kus f ‘(x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f(x) statsionaarseteks punktideks.
24. Funktsiooni kriitiline punkt- funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks.
25. Funktsiooni lokaalne ekstreemum - öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum ( miinimum ), kui leidub niisugune punkti a ümbrus , kus
f (x) = f(a) – miinimum
Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum.
26. Funktsiooni lokaalne ekstreemumpunkt- punkti ( a ; f(a) ) nimetatakse lokaalseks ekstreemumpunktiks. ( x ja y väärtus mõlemad )
27. Funktsiooni globaalne ekstreemum- funktsiooni f globaalseks e. absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A € X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum.
28. Käänukoht- punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. Käänukoht on käänupunkti x väärtus.
29. Graafiku asümptoot- kui funktsiooni y = f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile , siis seda sirget nimetatakse funktsiooni graafiku asümptoodiks.
30. Funktsiooni algfunktsioon - funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F ‘(x) = f(x) iga x € A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks.
31. Määramata integraal - avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c € R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks .
32. Ratsionaalfunktsioon- ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul:
y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid.
33. Polünoom- hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis
34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon- kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon- kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga.
36. Riemanni integraal - piirväärtust lim δ , λ → 0 = lim ∑ f ( ξ i) ∆x i , λ → 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] .
37. Kahe muutuja funktsioon- kui igale arvupaarile ( x; y) ehk punktile P = ( x; y ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z = f (x , y ).
38. n-muutuja funktsioon- kui igale elemendile ehk punktile P = ( x1, x2, …, xn ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud n muutuja funktsioon z = f (x1, x2, …, xn )
39. lahtine piirkond- ainult seesmistest punktidest koosnev piirkond. Sisemised punktid on määramispiirkonna need punktid, mis ei asetse rajajoonel.
40. kinnine piirkond- piirkond kuhu kuulvad seesmised punktid ja ka kõik rajapunktid.
41. tõkestatud piirkond- kui leidub selline konstant C, et piirkonna mistahes punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist on väiksem kui C, nimetatakse piirkonda tõkestatuks.
42. kahe muutuja funktsiooni osamuut- kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) osamuut x järgi : ∆x z = f ( x + ∆x, y ) – f ( x, y)
osamuut y järgi : ∆y z = f ( x, y + ∆y ) – f ( x, y)
43. kahe muutuja funktsiooni täismuut- kahe muutuja funktsiooni z = f( x, y ) täismuut : ∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) – f (x, y)
44. kahe muutuja funktsiooni piirväärtus- arvu A nimetatakse funktsiooni f (x, y ) piirväärtuseks punkti P lähenemisel punktile P0 , kui iga arvu ε > 0 korral leidub arv
r > 0 , et kõigi võrratust | PP0 | y → y0
45. mitme muutuja funktsiooni osatuletis - funktsiooni z = f(x, y, u,…) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu ∆x z ja muudu ∆x suhte piirväärtust ∆x lähenemisel nullile: z ‘ x = lim ∆x z / ∆x kui ∆x → 0
Osatuletis y järgi: z ‘ y = lim ∆y z / ∆y kui ∆y → 0
46. mitme muutuja funktsiooni lokaalne ekstreemum- öeldakse, et funktsioonil z = ( x, y ) on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne ekstreemum, kui tal on selles punktis lokaalne maksimum või miinimum.
47. harilik diferentsiaalvõrrand- võrrand, mis seob otsitavat funktsiooni y = y(x) tema tuletistega y’ , …, y (n) ja sõltumatu muutujaga x.
48. Cauchy ülesanne- ülesannet, milles tuleb leida diferentsiaalvõrrandi
F (x, y, y’ ) = 0 lahend tingimusel y (x0) = y0 , kus x0 , y0 € R on fikseeritud konstandid, nimetatakse algtingimustega ülesandeks e. Cauchy ülesandeks ja tingimust y (x0) = y0 ülesande algtingimuseks.