Ülessanne Kas antud hulkade omadused on rekursiivselt invariantsed: 1. Sisaldab vähemalt 3 elementi 2. On tühi 3. On lõputu 4. On rekursiivselt loenduv (RL) Millised neljast omadusest: on rekursiivne on rekursiivselt loenduv omab rekursiivst täiendit omab rekursiivselt loenduvat täiendit on antud hulkade põhjal 1. A = {x | x on paarisarv} 2. B = {x | x on väiksem kui 100} 3. C = {x | x on algarv} 4. D = {x | Wx on tühi} 5. E = {x | Wx sisaldab vähemalt 3 elementi} Lahendus Alusteooria Hulk on rekursiivselt invariantne, kui iga bijektiivse ja rekursiivse junktsiooni f korral, kui hulgal A on omadus P, siis ka hulgal f (a) on omadus P.
Hulga võimsuseks nimetatakse tema ekvivalentsiklassi seose ~ järgi. Võimsusi nimetatakse ka kardinaalarvudeks. Hulga võimsuse jaoks kasutatakse tähiseid ||, ja . Loenduvad hulgad Hulka nimetatakse loenduvaks, kui leidub üksühene vastavus naturaalarvude hulga ja hulga vahel. Seega loenduvad on parajasti need hulgad , mida saab esitada kujul ={1,2,3,...}. Näiteid 1. Täisarvude hulk ja paaris-naturaalarvude hulk on loenduvad hulgad. 2. Igasugune hulga lõpmatu osahulk on ise loenduv ning sama võimsusega kui naturaalarvude hulk . 3. Ratsionaalarvude hulk on loenduv ning sama võimsusega kui naturaalarvude hulk või täisarvude hulk . 4. Hulga kõikide osahulkade hulk () ei ole loenduv, täpselt samuti nagu ei ole loenduvad irratsionaalarvude hulk või reaalarvude hulk. Veelgi põnevam, ka vahemik (0,1) ei ole loenduv. Teoreem 2. Hulk on loenduv parajasti siis, kui hulga elemendid saab esitada paarikaupa erinevate elementidega lõpmatu jadana: ={1,2,3,...}. Tõestus
elemendid. Lõpmatut hulka saab esitada tema elementide osalise loeteluna, mis esitab mingit äratuntavad, regulaarset seaduspära. A ja B on hulgad. A ja b on hulgaelemendid. Millised avaldised on ebakorrektsed? Ebakorrekted on: 4, 7, 8, 10, 11. Mitu tükki saab igat elementi hulgas sisalduda? 1 Iga hulk on iseenda osahulgaks Tõene Kui 2 hulka on samaaegselt teineteise osahulkadeks, siis need hulgad on võrdsed. Kui hulk on loenduv, siis on ta ka lõplik Väär // Kui hulk on lõplik, siis on ta ka loenduv - Tõene
Millise hulga osahulk on iga hulk? Peaks vast olema et iga hulk on universaalhulga osahulk. Mis on hulga astmehulk? Astmehulk on selle hulga kõikide osahulkade hulk. Mitu elementi on n elemendilise hulga astmehulgas? 2n elementi. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks? Lõplik hulk sisaldab kindla arvu elemente. Millsit hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks? Lõpmatu hulk sisaldab piiramatult palju elemente? Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks? Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve. Mis on loendamine? Objektide arvu tuvastamiseks nendele naturaalarvude omistamine on loendamine. Lõpmatu mitteloenduv ja lõpmatu loenduv hulk. Loenduv {0,1,2,.......} Mitteloenduv {7.16646...,7,16646..., ...... } kuna iga elemendi vahel on veel lõpmatult elemente. Millised hulgaaritmeetilised tehted on olemas? 1 unaarne ja 4 binaarset. Binaarsed Hulkade ühend ehk hulgaaritmeetiline liitmine,
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Küsimus 8 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Mitu tükki saab igat elementi hulgas sisalduda? (sisesta arv) Vastus: 1 Küsimus 9 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 sisesta lahtrisse õige sõna: Kui 2 hulka on samaaegselt teineteise osahulkadeks, siis need hulgad on võrdsed Küsimus 10 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kas väide on õige või vale ? Kui hulk on loenduv, siis on ta ka lõplik Vali üks: Tõene Väär Küsimus 11 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kuidas nimetatakse hulka, milles sisalduvad kõik vaadeldavad hulgad ? ( sisesta õige sõna ) Vastus: universaalhulk Küsimus 12 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 kas väide on õige või vale ? hulga täiend on osa universaalhulgast Vali üks: Tõene Väär Küsimus 13 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 kas väide on õige või vale ? Iga hulk on iseenda osahulgaks
tühi hulk ja universaalhulk on iga hulga osahulkadeks. Valige üks: Tõene Väär Küsimus 8 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Kuidas nimetatakse hulka, milles sisalduvad kõik vaadeldavad hulgad ? ( sisesta õige sõna ) Vastus: universaalhulk Küsimus 9 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Kas väide on õige või vale ? Kui hulk on lõplik, siis on ta ka loenduv Valige üks: Tõene Väär Küsimus 10 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 kas väide on õige või vale ? hulga täiend on osa universaalhulgast Valige üks: Tõene Väär Küsimus 11 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 sisesta õige sõna: Kui hulga A kõik elemendid on samal ajal ka hulga B elemendid, siis hulk A on hulga B osahulk Küsimus 12 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 kas väide on õige või vale ?
7 8 9 10 11 12 Marks 24.00/24.00 Grade 100.00 out of a maximum of 100.00 13 14 15 16 17 18 19 20 Question 1 Kas väide on õige või vale ? Finish review Correct Kui hulk on loenduv, siis on ta ka lõplik Mark 1 out of 1 Select one: True False Question 2 vali õiged: Correct
3).(Ositi integreerimine määramata integraalis. Valemi tuletamine.) Lebesgue’i teoreem Funktsioon f on lõigul [a;b] Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis, Määratud integraali rakendused. kui ta on tõkestatud lõigul [a;b] ja pidev peaaegu kõikjal st katkev hulgal, mille Lebesgue mõõt on null. Hulga D c R Lebesgue mõõt on null siis, kui iga ε>0 korral saame leida hulka D katva vahemike süsteemi, mille pikkuste summa on väiksem kui ε. See peab näiteks paika lõpliku arvu punktide korral, st kui D= {xk є R| k=1,2,…..n} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/n), sauti kui punkte on lõpmata palju, aga me saame nad nummerdada(loenduv hulk) , st D={ xk є R|kєN} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/2 astmes k. Leidub ka muidu hulki, mille Lebesgue mõõt on null. Seega vastavalt Lebesgue’i teoreemile on integreeruv tõkestatud funktsioon, millel on lõplik või loenguv hulk ...
ja ja g :B C . Nende kompositsioon g · f : A C on siis samuti bijektsioon. Definitsioon Hulka X nimetatakse loenduvaks, kui leidub bijektsioon hulga X ja naturaalarvude hulga N vahel. Märksus. · Loenduvad hulgad on lõpmatud hulgad · Leidub lõpmatuid hulki, mis ei ole loenduvad. Näide: · Z on loenduv · Q on loenduv · R ei ole loenduv! · (0, 1) ei ole loenduv! David Hilbert (18621943) tutvustas 1924. aastal ühes oma loengus järgmist lõpmatust illustreerivat näidet. Näide: Oletame, et meil on üks hotell, milles on loenduv arv tubasid ja selle hotelli igas toas on üks inimene. · Kas hotelli mahub veel üks külaline? · Kas hotelli mahub veel lõplik arv külalisi? · Kas hotelli mahub veel loenduv arv külalisi? Lause (Loenduvate hulkade omadusi)
sündmusi A1,A2,...,An , kui katse tulemusel toimub üks ja summa. Seega P(X
Teooria 3 1.Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = ∑ . Kui eksisteerib piirväärtus = ∑ , mis ei sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse ∫ . 2. Darboux ülem-ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos. Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a,b]. Siis tükelduse igal osalõigul [ ] leiduvad lõplikud ülemine ja alumine raja ja ning me saame defineerida Darboux’ ülemsumma: ̅ (f)=∑ ja Darboux’ al...
Universaalhulk võeti kasutusele hulka mittekuuluvate elementide esitamiseks. Hulka A mittekuuluvad elemendid mood. hulga A täiendi 𝐴̅. Tühi hulk on elementideta hulk. Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks ∀𝐴(∅⊂𝐴). Mingi hulga A astmehulgaks 2𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve { 0 1 2 3…}. Iga lõplik hulk on alati loenduv. Täisarvud Z lõpmatu/loenduv, reaalarvud R lõpmatu/mitteloenduv. Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe Δ. Kui 𝐴∩𝐵=∅, siis hulgad A ja B on mittelõikuvad. Lõpliku hulga A võimsuseks |A| nim tema elementide arvu. Grassmanni valemid eistavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu
Hu lgateooria põh im õis ted N B ! Värv ilin e tek s t arves tu s es . H ulk on baas ter min iks nii ma te ma at ikas kui ka arvutiteadus es . J ärgnevalt tuvu me hulgateoori a põhikonts epts ioonidega ja hulkadele rakendatavate operats ioonidega. P aradoks : a) H abemeaj aj a puzle- kapten käs ib rühma habemeaj aj ale aj ada habet kõikidel kompan ii liikmete l, eeldus el et rühma liik med ei tohi is e habet aj ada. O lles kõigi teis te habemed aj anud, kas vab talle endale habe. Enda habet ei s aa ta aj ada, s es t nii rikuks ta kapteni käs ku. Kui ta aga enda habet ei aj a, s iis ta peaks ühtpidi kapteni käs u järgi enda habet aj ama (kõikidel liik me tel). D ef: Hu lk A on k ollek ts ioon k orrek ts elt d ef in eeritu d ob jek tid es t, n ii et iga ob jek ti k orral k eh tib ük s järgevas t k ah es t võim alu s es t - x k u u lub h u lk a A , k irju tam e x A - x ei ku u lu h u lk a A , k...
Hulgateooria põhimõisted H ulk on baas ter min iks nii ma te ma at ikas kui ka arvutiteadus es . J ärgnevalt tuvu me hulgateoori a põhikonts epts ioonidega ja hulkadele rakendatavate operats ioonidega. P aradoks : a) H abemeaj aj a puzle- kapten käs ib rühma habemeaj aj ale aj ada habet kõikidel kompan ii liikmete l, eeldus el et rühma liik med ei tohi is e habet aj ada. O lles kõigi teis te habemed aj anud, kas vab talle endale habe. Enda habet ei s aa ta aj ada, s es t nii rikuks ta kapteni käs ku. Kui ta aga enda habet ei aj a, s iis ta peaks ühtpidi kapteni käs u järgi enda habet aj ama (kõikidel liik me tel). D ef: Hu lk A on k ollek ts ioon k orrek ts elt d ef in eeritu d ob jek tid es t, n ii et iga ob jek ti k orral k eh tib ük s järgevas t k ah es t võim alu s es t - x k u u lub h u lk a A , k irju tam e x A - x ei ku u lu h u lk a A , k irju tam e x A H ulki tähis tame s uurte tähte...
mille mõõtmise ja vaatlemise alusel tehakse järeldusi üldkogumi kohta. Igal üldkogumi elemendil peab olema võrdne võimalus valimisse sattumiseks Esinduslik valim -valimisse saGunud isikud peavad esindama populatsioonis esinevaid uuritavaid tunnuseid 3. Mis on andmestik? Rühmitamata ja rühmitatud andmestik. 4. Arvuline tunnus pidev, diskreetne. Pidevvõib omada väärtusi mingil lõigul. Diskreetnearvuliste tunnuste võimalike väärtuste hulk on lõplik või loenduv. 5. Mittearvuline tunnus järjestustunnus, nominaaltunnus. Järjestustunnusmittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnusmittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Mis on juhuslik suurus? Juhuslikuks suurust nimetatakse, mis sõltub juhuslikest sündmustest ja mille väärtust pole seetõttu võimalik enne sündmuse toimumist kindlalt ennustada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon
Juhuslik sü- midagi, mis mingi katse (mingi tingimuste kompleksi realiseerumine) tulemusel võib toimuda Lähtepunkt: elementaarsündmuste ruum, koosneb elementaarsündmustest (1-teist välistavad s, millest iga katse korral 1 kindl. Toimub) Juh. S p-mõisted: 1)vastastikku välistuvad (mis ei sisalda samu elementaars) 2)vastastikku mittevälistuvad (sisaldavad samu elementaars) 3) sündmuste sisalduvus (kui toimub A, toimub ka B kõik sündmuses A sisalduvad elementaars sisalduvad ka B-s) 4)vastandsündmus (sisaldab kõik elementaars, mis ei sisaldu sündmuses A) Tehted juh.s. : 1) Summa (ühend): sisaldab kõik el.s., mis sisalduvad väh 1 liidetavatest sündmustest, tähis U 2) korrutis (ühisosa): sisaldab kõik el.s., mis sisalduvad korraga kõigis korrutatavatessündmustes Tõenäosus: iseloomustab esinemissagedust katsetes, on sündmuse mõõduks, arv nullist üheni Omadused: 1) Normeeriusaksioom (0-1) 2)Liitmisaksioom (summa P=sündmuste P summa) 3)tinglik t...
mida soovitakse objektiivsete meetoditega tundma õppida. 2.. Valimiks nimetatakse teatud hulka üldkogumi elemente, mille mõõtmisandmed on uurija käsutuses. Esinduslik valim. 3. Valimi mõõtmisandmed moodustavad andmestiku. Rühmitamata ja rühmitatud andmestik. 4. Arvuline tunnus pidev, diskreetne. Pidev võib omada väärtusi mingil lõigul. Diskreetne arvuliste tunnuste võimalike väärtuste hulk on lõplik või loenduv 5. Mittearvuline tunnus järjestustunnus, nominaaltunnus. Järjestustunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Juhuslik suurus ehk juhuslik muutuja suurus või muutuja, mille väärtus enne mõõtmist või katset ei ole teada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine,
D={xk∈R|k∈N} (xk sisaldava vahemiku pikkus <ε /2k).Leidub ka muid hulki, mille a Lebesgue mõõt on null. Seega vastavalt Lebesgue teoreemile on integreeruv tõkestatud funktsioon, millel on lõplik või loenduv hulk esimest iiki katkevuspunkte. 6. Näidata, et integreeruv funktsioon on tõkestatud b Teoreem:Lõigus integreeruv funktsioon on tõkestatud selles lõigus.Tõestus:Oletame,et funktsioon pole lõigus [a,b] tõkestatud.Näitame,et funktsioon pole integreeruv. 8
Diskmatt terminid Lausearvutus Disjunktsioon: liitlause on tõene, kui vähemalt üks osalause on tõene Ekvivalents: liitlause on tõene, kui osalaused on sarnased Implikatsioon: liitlause on tõene, kui esimene muutuja on väär või teine muutuja on tõene Inversioon: eitus Ja-tehe: konjunktsioon Konjunktsioon: liitlause on tõene, kui mõlemad osalaused on tõesed Lause: iga lause, mille puhul saab rääkida tema vastavusest tegelikkusele (millel on tõeväärtus) Olemasolu kvantor: näitab, et predikaat kehtib oma määramispiirkonna vähemalt ühe muutujate puhul Predikaat: lause, mis sisaldab ühte või enamat muutujat Samaselt tõene predikaat: predikaat, mis kehtib kogu määramispiirkonnas Samaselt väär predikaat: predikaat, mis ei kehti kusagil määramispiirkonnas Tautoloogia: samaselt tõene lause Täidetav predikaat: predikaat, mis on tõene osas oma määramispiirkonnas Üldsuse kvantor: näitab, et predikaat kehtib oma m...
hulga A täiendi 𝐴̅. Tühi hulk on elementideta hulk. Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks ∀𝐴(∅ ⊂ 𝐴). Mingi hulga A astmehulgaks 2 𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve { 0 1 2 3 … }. Iga lõplik hulk on alati loenduv. Täisarvud Z lõpmatu/loenduv, reaalarvud R lõpmatu/mitteloenduv. Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe ∆. Kui 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, siis hulgad A ja B on mittelõikuvad. Lõpliku hulga A võimsuseks |A| nim tema elementide arvu. Grassmanni valemid eistavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu.
taandada teistele valemitele (jaotustele). Ülesanne: Kuuseistiku kasvamaminemise tõenäosus on 0.8. Kui suur on tõenäosus, et 10 -st istikust läheb kasvama a) 10 puud b) 8 c) 5 d) vähemalt 2 puud. 7 Diskreetne juhuslik suurus (DJS) Def: juhuslikuks suuruseks nimetame suurust, mis katse tulemusel omandab ühe oma võimalikest väärtustest (varem mitte teadaolev). Def: JS nimetame diskreetseks juhuslikuks suuruseks, kui tema väärtuste hulk on lõplik või loenduv. Juhuslikku suurust iseloomustab tema väärtuste hulk ja iga väärtuse tõenäosus. Jaotustabel on iseloomustav X 1 3 4 7 9 P(xi) p1 P3 p4 p7 p9 Def: Juhusliku suuruse tõenäosusfunktsioon (jaotusseadus) on eeskiri, mis seob juhusliku suuruse võimalikud väärtused ja nende tõenäosused pi=P(X=xi).
Hulga täiend on kõik hulgaelemendid, mis ei kuulu sellesse hulka. Tühi hulk on hulk, kus pole ühtegi hulgaelementi. Tühi hulk on iga hulga osahulgaks. Iga hulk on universaalhulga osahulgaks. Astmehulk on hulga kõikide osahulkade hulk. Astmehulgaks n-elemendilisele hulgale on 2^n. Lõplik hulk on hulk, kus on teatud arv hulgalemente. Lõpmatu hulk on hulk, kus on lõptmatu arv hulgaelemente. Loenduv hulk on hulk, mille igale elemendile saav vastavusse seada nat. arv. Hulgaaritmeetilised tehted on ühend, ühisosa, täiend, vahe ja sümmeetriline vahe. Korrutamine on nagu ühisosa. Liitimine nagu ühend. Ühendisse kuuluvad hulkade need elemendid, mis ei kuulu mõlemasse hulka. Ühisossa kuuluvad vaid need elemendid, mis on mõlemal hulgal olemas. Mittelõikuvad hulgad on need, millel pole ühisosa.
.Ak} sündmuste täissüsteem ja saagu sündmus B toimuda ainult koos ühega sündmustest Ai, siis täistõenäosust arvutatakse valemiga: Bayes'i valem. - Arvutame sündmuse Ai tingliku tõenäosuse eeldusel, et toimub sündmus B: 6. Juhuslik suurus, - Juhuslik suurus (JS) on suurus, mis omandab katsel mingi väärtuse. Enne katse toimumist on tundmata. Üldjuhul tähistatakse X. Diskreetne juhuslik suurus on juhuslik suurus, mille väärtuste hulk on lõplik või loenduv. Praktiliselt vaatleme ainult selliseid DJS, mille võimalikud väärtused on 0, 1, 2, ... või alamhulk eelnevast. DJS jaotusseadus on eeskiri, mis seob juhusliku suuruse väärtused ja nende tõenäosused: pi=P(X=xi).( esitatud valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna). keskväärtus - EX = E(X). kus xi tähistab diskreetse juhusliku suuruse x väärtust ja p i selle tõenäosust
P(X
Mittestatsionaarse süsteemi puhul sõltub olekusiirdefunktsioon otseselt ajast. Statsionaarse süsteemi olekusiirdefunktsioon otseselt ajast ei sõltu. Energia, võnkumiste vms piiratud levimiskiirus sisendist väljundisse põhjustab füüsikalistes süsteemides hilistumist. Diskreetaja süsteemi käitumine on määratud diskreetsetel, isoleeritud ajahetkedel, milliseid võib olla lõpmatu, kuid loenduv hulk, seega käitumine sõltub ajast. 1.6.Süsteemi matemaatiline mudel ja selle koostamine Süsteemi matemaatiline mudel on süsteemis toimivate füüsikaliste või muu päritoluga protsesside seaduspärasuste alusel koostatud matemaatiliste seoste (võrrandite) kogum, mis orienteeritud süsteemi puhul seob oleku- ja väljundmuutujaid sõltumatute sisendmuutujatega, võimaldades arvutada süsteemis toimuvaid ajalisi protsesse
parameetrite väärtusi. 12. Juhuslikkus modelleerimisel. Põhimõisted, Stella funktsioonid- Kui ei saa mingit protsessi täpselt määrata siis jääb sisse teatav juhuslikkus- mingi juhuslik element võib määrata süsteemi käitumise suuna. Mõisted: Juhuslik suurus- suurus, mis katse tulemusel omandab ühe oma võimalikest väärtustest (varem mitte teadaolev) Diskreetne juhuslik suurus- kui juhusliku suuruse väärtuste hulk on lõplik või loenduv. Ühtlane jaotus (UNIF(min,max))- pideva juhusliku suuruse jaotus, mille tihedusfunktsioon on konstantne. Praktikas esineb harva, näiteks bussi ooteaeg, ooteaeg valgusfoori taga. Normaaljaotus (NORMAL)- pideva juhusliku suuruse jaotus, mida kirjeldab kaks parameetrit: keskväärtus ja standardhälve. Kolmnurkjaotus (TRIA(min, mood, max)- PJS jaotus, mille korral tihedusfunktsiooni graafik on kolmnurkse kujuga. Jaotust kirjeldavaid parameetreid on kolm- murdjoone nurkpunktide väärtused.
Kehtivad omadused: · refleksiivsus: A A · sümmeetrilisus: kui A B, siis B A · transitiivsus: kui A B ja B C, siis A C Hulka, mis on sama võimsusega nagu naturaalarvude hulk, nimetatakse loenduvaks hulgaks. · Järelikult on loenduvad parajasti need hulgad, mis on esitatavad jadana {a0, a1, a2, . . .}. · Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduvat osahulka. · Loenduva hulga iga lõpmatu osahulk on samuti loenduv. Cantor-Bernsteini teoreem Definitsioon Ütleme, et hulga A võimsus ei ületa hulga B võimsust, kui leidub injektsioon f : A B. Teoreem (Cantor-Bernsteini teoreem.) Kui hulga A võimsus ei ületa hulga B võimsust ja hulga B võimsus ei ületa, hulga A võimsust, siis hulgad A ja B on sama võimsusega. Teoreemi teine sõnastusvariant. Kui A B C ja A C, siis A B C. Teoreem Naturaalarvude hulga alamhulkade hulk on sama võimsusega nagu reaalarvude hulk, st P(N) R. Tõestuse idee
(tundlikkus). Mittestatsionaarse süsteemi puhul sõltub olekusiirdefunktsioon otseselt ajast. Statsionaarse süsteemi olekusiirdefunktsioon otseselt ajast ei sõltu. Energia, võnkumiste vms piiratud levimiskiirus sisendist väljundisse põhjustab füüsikalistes süsteemides hilistumist. Diskreetaja süsteemi käitumine on määratud diskreetsetel, isoleeritud ajahetkedel, milliseid võib olla lõpmatu, kuid loenduv hulk, seega käitumine sõltub ajast. Süsteemi matemaatiline mudel ja selle koostamine- Süsteemi matemaatiline mudel on süsteemis toimivate füüsikaliste või muu päritoluga protsesside seaduspärasuste alusel koostatud matemaatiliste seoste (võrrandite) kogum, mis orienteeritud süsteemi puhul seob oleku- ja väljundmuutujaid sõltumatute sisendmuutujatega, võimaldades arvutada süsteemis toimuvaid ajalisi protsesse
Seet˜ottu A = ∪x∈A ]ax ; bx [. Teiselt poolt on ilmne, et ]a; b[∈ T iga a, b ∈ R, a < b, korral. ¨ Definitsioon 1.4 Oeldakse, et topoloogiline ruum (X, T ) rahuldab teist loenduvuse aksioomi, kui tal leidub loen- duv baas B. N¨ aide 1.6 Reaalarvude ruum R rahuldab teist loendu- vuse aksioomi, sest tema topoloogia baasi moodustavad ka k˜oik vahemikud ]a; b[, kus a ja b on ratsionaalarvud. Selliseid vahemikke on aga loenduv hulk. 1.3 Kinnised hulgad Lisaks lahtistele hulkadele vaadeldakse topoloogilises ruumis (X, T ) kinniseid hulki. Definitsioon 1.5 Hulka A ⊂ X topoloogilises ruumis (X, T ) nimetatakse kinniseks hulgaks, kui tema t¨aiend X A on lahtine hulk, st X A ∈ T . Hulgateooriast on teada, et mis tahes hulga X alamhulkade Ai , i ∈ I, jaoks kehtivad nn. Morgani reeglid: X (∩i∈I Ai ) = ∪i∈I (X Ai ), (1.1)
3 vabaliikme abil saame kirjeldada seoste tugevust 4 regressiooni kordaja b abil saame kirjeldada seose tugevust Regressioonianalüüsi kõige üldisem eesmärk: 1 kirjldada korrlatiivset seost metemaatika funktsioonina Pidev juhuslik suurus... 2 võib omada ükskõik milliseid väärtusi tema võimalikke väärtusi hõlmavas arvuvahemikus. 3 juhuslikku suurust nim pidevaks juhuslikuks suurusesks, kui tema võimalike väärtuste hulk on loenduv. Normaalselt jaotuvas kogumis... 1 ei toimu väärtuste varieerumist 2 standardhälve peab võrduma nulliga 3 jaotuskõver on sümmeetriline 4 mõlemasuunalised kõrvalekalded ei ole võrdvõmalikud Normaaljaotuse korral 1 aritm, keskmine ei saa olla suurem ku geom. Keskmine 2 geom. Keskmine on alati aritm. Keskmisega võrdne 3 ei ole aritm. Keskmise ja mediaanig võrdsed 4 geom. Keskmine ja aritm. Keskmne on alati sama tähendusega
Tõenäosuse määramise viisid: 1) Klassikalised (kombinatooren, geomeetriline, statistiline) 2) mitteklassikalised (subjektiivne/intersubjektiivne, kuuluvusfunktsiooni väärtus...) Juhuslikuks suuruseks nimetatakse suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mitteennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Juhusliku suuruse põhiliigid: 1) diskreetne juhuslik suurus, mille võimalike väärtuste arv on lõplik või loenduv 2) pidev juhuslik suurus, võimalik väärtuste hulk on kontiinum Juhusliku suuruse omadused määrab lõplikult ära jaotusseadus, mida saab esitada: 1) jaotustihedusena, mis def jaotusfunktsiooni tuletisena 2) jaotusfunktsioonina, mis def tõenäosusena Diskreetne juhuslik suurus Tingimused: mittenagtiivsus ja normeeritus Üldtingimused jaotusfunktsioonile: monotoonsus ja normeeritus Pidev juhuslik suurus
3. ei saa olla lineaarhälbest suurem (väiksem) 4. varieeruvas reas = 0 (st puhul rida just varieerub) 5. ei ükski Regressioonianalüüsi kõige üldisem eesmärk: 1. kirjldada korrlatiivset seost metemaatika funktsioonina Pidev juhuslik suurus... 1. võib omada ükskõik milliseid väärtusi tema võimalikke väärtusi hõlmavas arvuvahemikus. 2. juhuslikku suurust nim pidevaks juhuslikuks suurusesks, kui tema võimalike väärtuste hulk on loenduv. Lineaarne regressioonimudelil: 1. pole põhjus ega tagajärge 2. kordaja võb olla nii pos kui neg 3. vabaliikme abil saame kirjeldada seoste tugevust 4. regressiooni kordaja b abil saame kirjeldada seose tugevust Dispersioonanalüüsi eesmärk on: 1. dispersioonide leidmine 2. uuritava nähtuste tegurite mõju olulisuse hindamine Valimi andmete põhjal saadi järgmised tulemused: aritm.keskmine=80 ja standardhälve 20. Üldkogumi maht 1200
Tõenäosuse määramisviisid:
Klassikalised: Kombinatoorne; Geomeetriline; statistiline
mitteklassikalised: subjektiivne/intersubjektiivne; kuuluvusfunktsiooni väärtus,..
Juhuslikuk suurus- suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mitteennustatava väärtus
mingist võimalikust väärtuste hulgast.
Juhusliku suuruse põhiliigid:
diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik või loenduv (nt variantide nr'id)
pidev juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on pidev (nt mõõtetulemused pidevalt skaalalt)
Juhusliku suuruse omadused määrab (täielikult) tema jaotusseadus:
jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhuslik suurus väärtus ei ületa funktsiooni argumenti x: F(x) = P (X
P(AB) + P(BA) = P(AB) + P(A) – P(AB) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) 2) AB = ∅ => P(A+B) = P(A) + P(B); P(∑i=1∞Ai) = ∑i=1∞P(Ai) P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB) 4. Tõenäosuse klassiklaline ja geomeetriline interpretatsioon. Nende põhimõtteline erinevus. Klassikaline – kasutatakse juhul, kui | Ω | < ∞; rakendamine põhineb kombinatoorikal. P(A) = , kus |Ω| = n ja k on sündmuse A toimumise suhtes soodsate elementaarsündmuste hulk. Geomeetriline – Ω on loenduv või kontiiniumi võimsusega. Olgu ΩA ⊂ Ω – sündmuse A suhtes soodne elementaarsündmuste ruum. Olgu mõõt μ(l,l2,l3) ( ) P(A) = ( ) Põhimõtteline erinevus: klassikaline: P(A) = 0 => A = ∅; geomeetriline P(A) = 0 ≠> A = ∅. 5. Teoreetiline ja statistiline tõenäosus. Nende vaheline seos tuginedes Suurte Arvude Seadusele ( )
vôrrand: y' + p(x)y = q(x) a) u' + p(x)u = 0 (saab u); b) uv' = q(x) (saab v); y = uv y' = u'v + uv'. 40. Eksponentsiaalse kasvu seadus ja valem. 41. Juhuslik suurus, pidev ja diskreetne juhuslik suurus. Juhusliku suuruse jaotus (jaotusseadus). Juhuslik suurus (JS) suurus, mis antud tingimustes võib omandada ühe oma võimalikest väärtustest või väärtusvahemikest. Näiteks üliõpilaste arv loengul, puu diameeter, kilude protsent räimevõrgus jne. Diskreetne JS lõplik või loenduv hulk väärtusi (täringu silmade arv, mittearvulise tunnuse kodeerimistulemused jne.) Pidev JS iga kahe väärtuse vahel võime näidata veel ühe väärtuse (puu diameeter, väljapüütud kilu kaal jne.). JS tähistatakse suurtähtedega, näiteks X, Y, Z. JS konkreetseid väärtusi tähistatakse vastavate väiketähtedega, näiteks JS X väärtusi x1, x2... JS (tõenäosuste) jaotus ehk jaotusseadus on eeskiri, mis määrab vastavuse JS iga väärtuste hulga ja sellest hulgast
*Lõpliku hulga kardinaalarv on selle hulga elementide arv, lõpmatute hulkade puhul kasutatakse aga eritähiseid: 0 tähistab loenduvat võimsust, 1 aga tähistab kontiinumvõimsust. (loendamatu) *Võrdvõimsad hulgad- Kui kahes hulgas on ühepalju elemente ning nende elementide vahel saab luua üksühese vastavuse, on need kaks hulka võrdvõimsad. (Tähistatakse |A|=|B|) *Loenduv hulk- Kui hulk on sama võimsusega nagu naturaalarvude hulk N, peetakse teda üldiselt loenduvaks. Loenduv hulk võib seega olla ka lõpmatu. *Loendamatu hulk- Kui hulk on sama võimsusega nagu reaalarvude hulk IR, peetakse teda loendamatuks. Tänu komakohtadele pole elemente lihtsalt võimalik ammendavalt loetleda. Kontiinumhüpotees- Kontiinumhüpotees on hüpotees, mille arendajaks oli George Cantor (aastal 1877) ning see puudutab lõpmatute hulkade võimalikke suurusi. *Hüpoteesis eristatakse nö. ,,väiksema võimsusega lõpmatut hulka", milleks on
Statsionaarne mudel: Kõik parameetrid on konstantsed, ei sõltu ajast. Sellise süsteemi käitumine sõltub vaid relatiivsest ajast ning mistahes ajahetke võib lugeda nullhetkeks. Seega võib statsionaarse süsteemi analüüsi alati alustada meelevaldsest ajahetkest t0 ning lugeda seda nullajahetkeks. Diskreetajasüsteemi käitumine on aga määratud diskreetsetel, isoleeritud ajahetkedel, milliseid võib olla lõpmatu, kuid loenduv hulk. Diskreetaja süsteemi olekumudeli erinevus pidevajast avaldub eelkõige tuletise mõiste puudumises. Diskreetaja võrrandis esinevate funktsioonide muutusi ajas saab kirjeldada diskreetfunktsiooni diferentsi abil: ∆x(k) = x(k+1). Algolek: Algtingimused on süsteemi muutujate või parameetrite teadaolevad väärtused analüüsi alghetkel. Nullised algolekud, teatava sisendmuutuja rakendamisel süsteemi sisendisse hetkel t0, pole reaktsiooni väljundis üheselt määratud
3. vabaliikme abil saame kirjeldada seoste tugevust 4. regressiooni kordaja b abil saame kirjeldada seose tugevust Regressioonianalüüsi kõige üldisem eesmärk: 1. kirjldada korrlatiivset seost metemaatika funktsioonina Pidev juhuslik suurus... 2. võib omada ükskõik milliseid väärtusi tema võimalikke väärtusi hõlmavas arvuvahemikus. 3. juhuslikku suurust nim pidevaks juhuslikuks suurusesks, kui tema võimalike väärtuste hulk on loenduv. Normaalselt jaotuvas kogumis... 1. ei toimu väärtuste varieerumist 2. standardhälve peab võrduma nulliga 3. jaotuskõver on sümmeetriline 4. mõlemasuunalised kõrvalekalded ei ole võrdvõmalikud Normaaljaotuse korral 1. aritm, keskmine ei saa olla suurem ku geom. Keskmine 2. geom. Keskmine on alati aritm. Keskmisega võrdne 3. ei ole aritm. Keskmise ja mediaanig võrdsed 4. geom. Keskmine ja aritm. Keskmne on alati sama tähendusega
Churchi teoreem: ei leidu algoritmi, mis suudaks suvalise predikaatloogika valemi puhul kindlaks teha, kas valem on samaselt tõene Igasuguse lõpliku võimsusega ja loenduva hulga interpretatsioonide vaatlemine on vajalik, sest saab konstrueerida valemi, mis on tõene parajasti siis, kui kandjas on n elementi, ja saab konstrueerida kehtestatava valemi, mis on väär igas lõpliku kandjaga interpretatsioonis Kui signatuur on lõplik või loenduv, siis loenduvast suuremate kandjate vaatlemine pole vajalik t on juba olemasolev sisse toodud tähis ja c on uus konstant, mis tuuakse sisse Ütleme, et valem F on prefikskujul, kui F = Q1x1Q2x2 ... QnxnF , kus Q1, Q2, ... , Qn on kvantorid, x1, x2, ... , xn indiviidmuutujad ja F kvantoriteta valem, mida nimetatakse valemi F maatriksiks o Prefikskujule viimise algoritm: Avaldame implikatsiooni ja ekvivalentsi teiste tehete kaudu
P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) 3. Tõenäosuse klassiklaline ja geomeetriline interpretatsioon. Nende põhimõtteline erinevus Klassikaline – kasutatakse juhul, kui | Ω | < ∞; rakendamine põhineb kombinatoorikal. k P(A) = , kus |Ω| = n ja k on sündmuse A toimumise suhtes n soodsate elementaarsündmuste hulk. Geomeetriline – Ω on loenduv või kontiiniumi võimsusega. Olgu ΩA ⊂ Ω – sündmuse A suhtes soodne elementaarsündmuste ruum. Olgu mõõt μ(l,l2,l3) μ (Ω A ) P(A) = μ( Ω) Põhimõtteline erinevus: klassikaline: P(A) = 0 => A = ∅; geomeetriline P(A) = 0 ≠> A = ∅. 4. Teoreetiline ja statistiline tõenäosus. Nende vaheline seos tuginedes Suurte Arvude Seadusele
Karakteristlik aktsepteeriv TM on selline, mis aktsepteerib, kui x kuulub keelde. Muul juhul lükkab tagasi. Genereeriv aktsepteeriv TM on selline, mis aktsepteerib, kui x kuulub keelde. Muul juhul ei peatu. DEF: Hulka (keelt), millel leidub karakteristlik Turingi masin, nimetatakse lahenduvaks ehk rekursiivseks. DEF: Hulka (keelt), millel leidub genereeriv Turingi masin, nimetatakse rekursiivselt loenduvaks ehk genereeritavaks. Lemma: Iga lahenduv hulk on rekursiivselt loenduv. T: Igal lahenduva hulga karakteristlikku masinat saab tesendada nii, et ta jääks olekusse qr jõudmise asemel tsüklisse ehk muutuks genereerivaks masinaks. Registermasin sisaldab registreid R1… (sisuks naturaalarv) ja märgendeid N1… Operaatorid on INC (+1), DEC (-1), CLR (nullimine), R → R (omastad ühe väärtuse teisele), JMP Na (go to N), JMP Nb (go to N+1), R JMP Na (kui R=0…), R JMP Nb, CONTINUE (ei tee midagi). Registermälu kasutab suvapöördusmälu
- Vee kolmikpunkti rakk termodünaamilise temperatuuri primaaretalonina. - Rahvusvaheline kilogrammi prototüüp kui lepingu alusel valitud artefakt. 7. MÕÕTETULEMUS KUI JUHUSLIK SUURUS. MÕÕTETULEMUSTE PÕHILISED JAOTUSEADUSED (ei ole otse konspektist) Juhuslikuks nimetatakse suurust, mis sõltub juhuslikest sündmustest ja mille väärtust pole seetõttu võimalik enne sündmuse toimumist kindlalt ennustada. Juhuslikku suurust, millel võib olla lõplik või loenduv arv väärtusi, nimetatakse diskreetseks juhuslikuks suuruseks. Diskreetne juhuslik suurus on määratud, kui on teada tema võimalikud väärtused ja nende väärtuste ilmumise tõenäosused, st. kui on antud jaotustabel. Korrastatud mõõtetulemused on väärtused suuruse järgi, mis on aluseks jaotusseadusele ja jaotusfunktsioonile F(x). Jaotusseadus - väärtus xk ja temale vastav tõenäosus pk=ni /ni (või teiste sõnadega - Diskreetse juhusliku
{ 0, 1, 2, 3, . . . 1000000000000000000000000 } on lõplik hulk. Lõpmatu hulk sisaldab piiramatult (lõpmatult) palju elemente. I { . . . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 . . . } ja { 0, 1, 2, 3 . . . } on lõpmatud hulgad. A B Hulk on loenduv , kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve { 0, 1, 2, 3 . . . } Iga lõplik hulk on alati ka loenduv. A∩B ühisosa Naturaalarvude hulk N ise ja täisarvude hulk Z on — hulkade VAHE ( hulgaaritmeetiline lahutamine ) Lõpliku hulga A võimsuseks | A | nimetatakse tema elementide
(ei tea, kas on õige) 1. Rakenduse käitumine on oluliselt määratud arvutisüsteemi ja otsustusalgoritmidega 2. Rakendus koosneb erineva teostusega, omavahel ja väliskeskkonnaga interaktsioonis olevatest komponentidest 3. Osa komponentidest passiivsed käsutäitjad, osa aktiivsed otsustajad ja käskijad 4. Komponentide koosmõjul tekkiv käitumine ei ole täpselt ette määratud, ega ole ka tuletatav (mittetäielik info põhjuste kohta, loenduv hulk alternatiive) nn. genereeruv käitumine (emergent behaviour) 5. Määratud on toimimise üldeesmärgid ja füüsikalised, loogilised ja ajalised kitsendused 6. [Reaalajasüsteemid peavad mõistliku aja jooksul reageerima väliskeskkonnast tulevatele mõjutustele. RAS nouded maaravad tarkvara valmistamise eriparad (enamasti tekib sundparalleelsus): · Joudlus tippkoormusel peab olema ennustatav
selles lõigus. Iga tõkestatud funktsioon ei ole integreeruv. Piisavad tingimused funktsiooni integreeruvuseks Lõigus pidev funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud monotonne funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud funktsioon, millel on lõplik arv katkevuspunkte, on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud funktsioon, millel on loenduv hulk katkevuspunkte, s. t. mille katkevuspunktid moodustavad jada, on integreeruv selles lõigus. Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad mingis lõigus, siis ka nende korrutis fg on integreeruv selles lõigus. 4 40. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist ristkülikvalemi abil. Leiame ligikaudse integraali väärtuse funktsioonile: 25
(näiteks alternatiivi teostamiseks kuluv rahasumma sendi täpsusega); · ühtlaselt diskreetne - täpse määratlusega muutumise iseloom (näiteks alternatiivi teostamiseks vajalik töötajate arv); ·kvalitatiivselt erinevate üksikväärtustega muutumise iseloom teguritel pole üheselt määratletav (näiteks alternatiivi teostamiseks vajaliku tehnoloogia valikuvariandid). Praktiliselt on aga enamasti kirjeldatav siiski ainult loenduv arv alternatiive, kusjuures see arv võib olla väga piiratud. 7.Selgitage tegurite omavaheliste seoste tähtsust alternatiivide kujunemisele ja alternatiivide kogumile. Majandusnäitajad uldjuhul sõltuvad uksteisest, st uhe näitaja väärtuse muutmisega kaasneb temaga seotud näitajate väärtuse muutumine. See tähendab aga otsustuse ettevalmistamise
Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendat...
Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendat...
Eelneva arutelu võtame kokku järgmises lauses 1.17. Lause 1.17 Iga järjestatud korpus F sisaldab alamkorpust Q, mis on isomorfne kõigi rat- sionaalarvude järjestatud korpusega Q. Lõpuks märgime veel üht hulga Q tähelepanuväärset omadust. Meenutame, et hulka A ni- metatakse loenduvaks, kui tema ja kõigi naturaalarvude hulga N elementide vahel eksisteerib üksühene vastavus. Omadus 1.18 Kõigi ratsionaalarvude hulk Q on loenduv. Tõestus. Iseseisvalt!z 20 1 Reaalarvud 1.4 Täieliku järjestatud korpuse ühesus. Reaalarvude definitsioon Praeguseks me juba teame, et täielikke järjestatud korpusi eksisteerib. Käesolevas alapeatükis anname vastuse küsimusele, kas selline korpus on üheselt määratud. Teoreem 1.19 Suvalised kaks täielikku järjestatud korpust F1 ja F2 on isomorfsed. Tõestus
kui D = {xk R|k = 1, 2, . . . , n} (xk sisaldava vahemiku pikkus < n ), ~ samuti kui punkte on lopmata palju, aga me saame nad nummerdada (loenduv hulk), st D = {xk R|k N} (xk sisaldava vahemiku pikkus < 2k ). Leidub ka muid hulki, mille Lebesgue mo~ ot ~ on null. ~ Seega vastavalt Lebesgue'i teoreemile on integreeruv tokestatud ~ funktsioon, millel on loplik ~ loenduv hulk esimest liiki voi katkevuspunkte. ~ Toestame ¨ jargnevas ~ moned erijuhud. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 10 / 18 Ma¨ aratud ¨ integraal Lebesgue'i teoreem Lause ~ Loigul ~
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
